10.5：绘制二次方程图

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Nov 1, 2022
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- 10.4E：练习
- 10.5E：练习

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

识别两个变量中二次方程的图形
找到对称轴和抛物线的顶点
找到抛物线的截距
两个变量中的图形二次方程
求解最大值和最小值应用程序

做好准备

在开始之前，请参加这个准备测验。

$y=3x−5$ 通过绘制点来绘制方程图。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
评估 $2x^2+4x−1$ 何时 $x=−3$
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
评估 $−\frac{b}{2a}$ 时间 $a=13$ ，b= $\frac{5}{6}$
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

识别两个变量中二次方程的图

我们已经绘制了这种形式的方程式 $Ax+By=C$ 。我们之所以称之为线性方程式，是因为它们的图形是直线。

现在，我们将绘制形式的方程式 $y=ax^2+bx+c$ 。我们将这种方程称为两个变量中的二次方程。

定义：两个变量中的二次方程

由两个变量组成的二次方程，其中 a、b 和 c 是实数 $a\neq 0$ ，是形式为 $y=ax^2+bx+c \nonumber$

就像我们开始通过绘制点来绘制线性方程一样，我们将对二次方程做同样的事情。

让我们先看一下绘制二次方程的图形 $y=x^2$ 。我们将选择介于 −2 和 2 之间的 x 的整数值，然后找到它们的 y 值。参见表。

$y=x^2$
x	y
0	0
1	1
$−1$	1
2	4
$−2$	4

注意当我们 let $x=1$ and 时 $x=−1$ ，y 得到的值是相同的。

$\begin{array} {ll} {y=x^2} &{y=x^2} \\ {y=1^2} &{y=(−1)^2} \\ {y=1} &{y=1} \\ \nonumber \end{array}$

当我们放手 $x=2$ 时也发生了同样的事情 $x=−2$ 。

现在，我们将绘制点以显示图表 $y=x^2$ 。参见图。

此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的 u 形曲线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最低点位于点 (0, 0) 处。曲线上的其他点位于 (-2, 4)、(-1、1)、(1、1) 和 (2, 4)。

该图不是一条直线。这个数字被称为抛物线。每个二次方程都有一个看起来像这样的图形。

在示例中，你将练习通过绘制几个点来绘制抛物线。

示例 $\PageIndex{1}$

$y=x^2-1$

回答

我们将通过绘制点来绘制方程图。

为 x 选择整数值，将它们代入方程并求解 y。
在图表中记录有序货币对的值。		$。$
绘制这些点，然后用平滑曲线将它们连接起来。结果将是方程的图形 $y=x^2−1$		$。$

示例 $\PageIndex{2}$

图表 $y=−x^2$ 。

回答: $此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的 u 形曲线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最高点位于点 (0, 0) 处。曲线上的其他点位于 (-2、-4)、(-1、-1)、(1、-1) 和 (2, -4)。$

示例 $\PageIndex{3}$

图表 $y=x^2+1$ 。

回答: $此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的 u 形曲线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最低点位于点 (0, 1) 处。曲线上的其他点位于 (-2, 5)、(-1、2)、(1、2) 和 (2, 5)。$

方程 $y=x^2$ 和方程怎么样 $y=x^2−1$ differ? What is the difference between their graphs? How are their graphs the same?

该形态的所有抛物线都向上或向下 $y=ax^2+bx+c$ 打开。参见图。

此图并排显示了两个图表。左侧的图形显示了一条在 x y 坐标平面上绘制的向上开放的 u 形曲线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最低点位于点 (-2, -1) 处。曲线上的其他点位于 (-3, 0) 和 (-1, 0)。图形下方是方程 y 等于 a 平方加 b x 加 c。下方是图形的方程，y 等于 x 平方加 4 x 加 3。在该值之下是大于 0 的不等式，这意味着抛物线向上打开。右侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的 u 形曲线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最高点位于点 (2, 7) 处。曲线上的其他点位于 (0, 3) 和 (4, 3)。图形下方是方程 y 等于 a 平方加 b x 加 c。下方是图形的方程，y 等于负 x 平方加 4 x 加 3。在该值之下是不等式 a 小于 0，这意味着抛物线向下打开。

请注意，两个方程的唯一区别是图 $x^2$ 中第二张图的方程中的负号。当 $x^2$ 项为正值时，抛物线向上打开；当该 $x^2$ 项为负值时，抛物线向下开放。

定义：抛物线方向

对于二次方程 $y=ax^2+bx+c$ ，如果：

$该图显示了两条陈述。第一条语句是 “a 大于 0，抛物线向上打开”。这句话后面是向上开口的抛物线的图像。第二个语句是 “小于 0，抛物线向下打开”。这句话后面是向下开盘的抛物线的图像。$

示例 $\PageIndex{4}$

确定每个抛物线是向上还是向下打开：

$y=−3x^2+2x−4$
$y=6x^2+7x−9$

回答

$。$

由于 “a” 为负数，因此抛物线将向下开放。

$。$

由于 “a” 为正，因此抛物线将向上开放。

示例 $\PageIndex{5}$

确定每个抛物线是向上还是向下打开：

$y=2x^2+5x−2$
$y=−3x^2−4x+7$

回答

向上
向下

示例 $\PageIndex{6}$

确定每个抛物线是向上还是向下打开：

$y=−2x^2−2x−3$
$y=5x^2−2x−1$

回答

向下
向上

找到抛物线的对称轴和顶点

再看图。你看到我们可以把每个抛物线折成两半然后那一面会放在另一面之上吗？ “折叠线” 是一条对称线。我们称之为抛物线的对称轴。

我们再次显示同样的两张图，对称轴用红色表示。参见图。

此图显示了两个并排的图表。左侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最低点位于点 (-2, -1) 处。曲线上的其他点位于 (-3, 0) 和 (-1, 0)。图表上还有一条垂直虚线，它在点 (-2, -1) 处穿过抛物线的中心。图形下方是图表的方程，y 等于 x 平方加 4 x 加 3。右侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。曲线上的最高点位于点 (2, 7) 处。曲线上的其他点位于 (0, 3) 和 (4, 3)。图表上还有一条垂直虚线，它在点 (2, 7) 处穿过抛物线的中心。图形下方是图表的方程，y 等于负 x 平方加 4 x 加 3。

可以使用二次公式得出对称轴的方程。我们将省略此处的推导并直接使用结果。图形的对称轴方程 $y=ax^2+bx+c$ 为 x= $−\frac{b}{2a}$ 。

因此，为了找到上面绘制的每个抛物线的对称方程，我们将代入公式 x= $−\frac{b}{2a}$ 。

该图显示了找到两个抛物线的对称轴的步骤。在左侧，给定方程 y 等于 x 平方加 b x 加 c 的标准形式写在给定方程 y 等于 x 平方加 4 x 加 3 的上方。对称轴是方程 x 等于负 b 除以量两倍 a。将二次方程中的 a 和 b 的值插入，公式变成 x 等于负 4 除以量 2 乘以 1，简化为 x 等于负 2。在右侧，二次方程的标准形式是 y 等于 a x 平方加 b x 加 c，写在给定方程 y 等于负 x 平方加 4 x 加 3 的上方。对称轴是方程 x 等于负 b 除以量两倍 a。将二次方程中的 a 和 b 的值插入，公式变成 x 等于负 4 除以量 2 乘以 -1，简化为 x 等于 2。 — 图。这些是红虚线的方程式吗？

抛物线上位于对称轴上的点是抛物线上的最低点或最高点，这取决于抛物线是向上还是向下打开。这个点被称为抛物线的顶点。

我们可以很容易地找到顶点的坐标，因为我们知道它位于对称轴上。这意味着它的 x 坐标是 $−\frac{b}{2a}$ 。为了找到顶点的 y 坐标，我们将 x 坐标的值替换为二次方程。

$该图显示了找到两个抛物线顶点的步骤。左侧是给定方程 y 等于 x 平方加 4 x 加 3。方程下方是 “对称轴为 x 等于 -2” 的陈述。下方是语句旁边的 “vertex is” 语句是 x 值为 -2 的有序对，与对称轴相同，y 值为空。在此之下，原始方程被重写。方程下方是在 x 值中插入 -2 的方程，即 y 等于 -2 平方加 4 乘以 -2 加 3。这简化为 y 等于 -1。下面是 “顶点是 (-2, -1)” 的陈述。右侧是给定方程 y 等于负 x 平方加 4 x 加 3。方程下方是 “对称轴为 x 等于 2” 的陈述。下方是语句旁边的 “vertex is” 语句是 x 值为 2 的有序对，与对称轴相同，y 值为空。在此之下，原始方程被重写。方程下方是方程，其中 x 值插入 2，即 y 等于负值 2 的平方，再加上 4 乘以 2 加 3。这简化为 y 等于 7。下面是 “顶点是 (2, 7)” 的陈述。$

定义：对称轴和抛物线的顶点

对于带方程的抛物线 $y=ax^2+bx+c$ ：

抛物线的对称轴是直线 x= $−\frac{b}{2a}$ 。
顶点位于对称轴上，因此其 x 坐标为 $−\frac{b}{2a}$ 。

为了找到顶点的 y 坐标，我们将 x= 替换 $−\frac{b}{2a}$ 为二次方程。

示例 $\PageIndex{7}$

对于抛物线，请 $y=3x^2−6x+2$ 查找：

对称轴和
顶点。

回答

1。		$。$
对称轴是直线 x= $−\frac{b}{2a}$		$。$
将 a, b 的值代入方程中。		$。$
简化		x=1
		对称轴是直线 x=1
2。		$。$
顶点位于对称线上，因此其 x 坐标将为 x=1
将 x=1 代入方程并求解 y。		$。$
简化		$。$
这是 y 坐标。		y=−1 顶点是 (1, −1)。

示例 $\PageIndex{8}$

对于抛物线，请 $y=2x^2−8x+1$ 查找：

对称轴和
顶点。

回答

x=2
(2, −7)

示例 $\PageIndex{9}$

对于抛物线，请 $y=2x^2−4x−3$ 查找：

对称轴和
顶点。

回答

x=1
(1, −5)

找到抛物线的截取点

当我们绘制线性方程时，我们经常使用 x 和 y 截距来帮助我们绘制线条图。找到拦截的坐标也将有助于我们绘制抛物线图。

请记住，在 y 截距处 x 的值为零。因此，为了找出 y 截距，我们在方程中替换 x=0。

让我们找出下图所示的两个抛物线的 y 截距。

此图显示了两个并排的图表。左侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。顶点位于点 (-2, -1) 处。曲线上的其他点位于 (-3, 0) 和 (-1, 0)。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 -2 处穿过顶点。图形下方是图表的方程，y 等于 x 平方加 4 x 加 3。其下方是 “x 等于 0” 的语句。旁边是图表的方程，其中为 x 插入 0，得出 y 等于 0 平方加 4 乘以 0 加 3。这简化为 y 等于 3。方程下方是陈述 “y 截距 (0, 3)”。右侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。顶点位于点 (2, 7) 处。曲线上的其他点位于 (0, 3) 和 (4, 3)。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 2 处穿过顶点。图形下方是图表的方程，y 等于负 x 平方加 4 x 加 3。其下方是 “x 等于 0” 的语句。旁边是图表的方程，其中为 x 插入 0，得出 y 等于负量 0 平方加 4 乘以 0 加 3。这简化为 y 等于 3。方程下方是陈述 “y 截距 (0, 3)”。

在 x 截距处，y 的值为零。为了找出 x 截距，我们在方程 $y=0$ 中替换。换句话说，我们需要求解 x 的方程 $0=ax^2+bx+c$ 。

$\begin{array} {ll} {y=ax^2+bx+c} \\ {0=ax^2+bx+c} \\ \nonumber \end{array}$

但是像这样求解二次方程正是我们在本章前面所做的。

我们现在可以找到图中所示的两个抛物线的 x 截距。

首先，我们将用方程找到抛物线的 x 截距 $y=x^2+4x+3$ 。

		$。$
让 y=0		$。$
因子。		$。$
使用零乘积属性。		$。$
解决。		$。$
		x 截距为 (−1,0) 和 (−3,0)。

现在，我们将用方程找到抛物线的 x 截距 $y=−x^2+4x+3$ 。

		$。$
让 y=0		$。$
这个二次不分解，所以我们使用二次方程式。		$。$
a=−1、b=4、c=3。		$。$
简化。		$。$ $。$ $。$ $。$
		x 截图是 an $(2+\sqrt{7},0)$ d $(2−\sqrt{7},0)$

我们将使用 x 截距的十进制近似值，这样我们就可以在图表上找到这些点。

$\begin{array} {l} {(2+\sqrt{7},0) \approx (4.6,0)} & {(2−\sqrt{7},0) \approx (-0.6,0)}\\ \nonumber \end{array}$

这些结果与我们的图表一致吗？参见图。

此图显示了两个并排的图表。左侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。顶点位于点 (-2, -1) 处。曲线上在 (-3, 0)、(-1、0) 和 (0, 3) 处绘制了三个点。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 -2 处穿过顶点。图形下方是图表的方程，y 等于 x 平方加 4 x 加 3。其下方是 “y 截距 (0, 3)” 语句。下面是 “x-intercepts (-1, 0) 和 (-3, 0)” 的语句。右侧的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。飞机的 x 轴从负 10 延伸到 10。飞机的 y 轴从负 10 延伸到 10。顶点位于点 (2, 7) 处。曲线上在 (-0.6, 0)、(4.6、0) 和 (0, 3) 处绘制了三个点。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 2 处穿过顶点。图形下方是图表的方程，y 等于负 x 平方加 4 x 加 3。其下方是 “y 截距 (0, 3)” 语句。其下方是 “x-intercepts（2 加上 7, 0 的平方根）大致等于 (4.6, 0) 且（2 减去 7, 0 的平方根）大致等于 (-0.6, 0)”。

定义：找到抛物线的截取点

要用方程求出抛物线的截距 $y=ax^2+bx+c$ ：

$\begin{array}{ll} {\textbf{y-intercept}}& {\textbf{x-intercept}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve the y}}& {\text{Let} y=0 \text{and solve the x}}\\ \nonumber \end{array}$

示例 $\PageIndex{10}$

找到抛物线的截距 $y=x^2−2x−8$ 。

回答

		$。$
要找出 y 截距，让 x=0 求解 y。		$。$
		当 x=0 时，y=−8。 y 截距是点 (0, −8)。
		$。$
要找出 x 截距，让 y=0 求解 x。		$。$
通过分解求解。		$。$
		$。$

当 y=0 时，则 x=4 或 x=−2。 x 截距是点 (4,0) 和 (−2,0)。

示例 $\PageIndex{11}$

找到抛物线的截距 $y=x^2+2x−8$ 。

回答: y: (0, −8); x: (−4,0), (2,0)

示例 $\PageIndex{12}$

找到抛物线的截距 $y=x^2−4x−12$ 。

回答: y: (0, −12); x: (6,0), (−2,0)

在本章中，我们一直在求解这种形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 。我们求解了 xx，结果是方程的解。

我们现在正在研究两个形式的变量的二次方程 $y=ax^2+bx+c$ 。这些方程的图形是抛物线。抛物线的 x 截距出现在 y=0 的地方。

例如：

$\begin{array}{cc} {\textbf{Quadratic equation}}&{\textbf{Quadratic equation in two variable}}\\ {}&{y=x^2−2x−15}\\ {x^2−2x−15}&{\text{Let} y=0, 0=x^2−2x−15}\\ {(x−5)(x+3)=0}&{0=(x−5)(x+3)}\\ {x−5=0, x+3=0}&{x−5=0, x+3=0}\\ {x=5, x=−3}&{x=5, x=−3}\\ {}&{(5,0) \text{and} (−3,0)}\\ {}&{\text{x-intercepts}}\\ \end{array}$

二次方程的解是 x 截距的 x 值。

早些时候，我们看到二次方程有 2、1 或 0 个解。下图显示了这三种情况的抛物线示例。由于方程的解给出了图形的 x 截距，因此 x-in tercepts 的数量与解的数量相同。

以前，我们使用判别来确定这种形式的二次方程的解数 $ax^2+bx+c=0$ 。现在，我们可以使用判别来告诉我们图中有多少个 x 截距。

$此图并排显示了三个图表。最左边的图表显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。抛物线的顶点位于右下象限。图下方是不等式 b 的平方减去 4 a c 大于 0。下面是 “两种解决方案” 的陈述。其下方是 “两次 x 拦截” 的陈述。中间的图表显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。抛物线的顶点在 x 轴上。图表下方是方程 b 的平方减去 4 a c 等于 0。下面是 “一种解决方案” 的陈述。下面是 “一个 x 截距” 的陈述。最右边的图形显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。抛物线的顶点位于左上象限。图下方是不等式 b 的平方减去 4 a c 小于 0。下面是 “没有真正的解决方案” 的说法。下面是 “没有 x 截距” 的声明。$

在开始求解二次方程以找出 x-in tercepts 的值之前，可能需要评估判别值，以便知道预期会有多少解。

示例 $\PageIndex{13}$

找到抛物线的截距 $y=5x^2+x+4$ 。

回答

		$。$
要找出 y 截距，让 x=0 求解 y。		$。$ $。$ 当 x=0 时，则 y=4。 y 截距是点 (0,4)。
		$。$
要找出 x 截距，让 y=0 求解 x。		$。$
找出判别值来预测解的数量，所以 x-in tercepts。		b^2−4ac 1^2−4⋅5⋅4 1−80 −79
由于判别值为负，因此该方程没有真正的解。		没有 x 截距。

示例 $\PageIndex{14}$

找到抛物线的截距 $y=3x^2+4x+4$ 。

回答: y: (0,4)；x: 无

示例 $\PageIndex{15}$

找到抛物线的截距 $y=x^2−4x−5$ 。

回答: y: (0, −5); x: (5,0) (−1,0)

示例 $\PageIndex{16}$

找到抛物线的截距 $y=4x^2−12x+9$ 。

回答

		$。$
要找出 y 截距，让 x=0 求解 y。		$。$ $。$
		当 x=0 时，则 y=9。 y 截距是点 (0,9)。
		$。$
要找出 x 截距，让 y=0 求解 x。		$。$
找出判别值来预测解的数量，所以 x-in tercepts。		b^2−4ac 12^2−4⋅4⋅9 144−144 0
		由于判别值为 0，因此该方程没有真正的解。因此，有一个 x 截距。
通过分解完美平方三项式来求解方程。		$。$
使用 “零积分” 属性。		$。$
求解 x。		$。$ $。$
		当 y=0 时，则为 $\frac{3}{2}$ =x。
		x 截距是重点 $(\frac{3}{2},0)$ 。

示例 $\PageIndex{17}$

找到抛物线的截距 $y=−x^2−12x−36.$ 。

回答: y: (0, −36); x: (−6,0)

示例 $\PageIndex{18}$

找到抛物线的截距 $y=9x^2+12x+4$ 。

回答: y: (0,4)；x: $(−\frac{2}{3},0)$

两个变量中的图形二次方程

现在，我们拥有了在两个变量中绘制二次方程所需的所有片段。我们只需要把它们放在一起。在下一个示例中，我们将看到如何执行此操作。

如何在两个变量中绘制二次方程

示例 $\PageIndex{19}$

图表 $y=x2−6x+8$ 。

回答: $该图显示了绘制二次方程 y 等于 x 平方减去 6 x 加 8 的步骤。步骤 1 是写出一侧为 y 的二次方程。这个方程的一侧已经有 y 了。 a 的值为 1，b 的值为 -6，c 的值为 8。$ $第 2 步是确定抛物线是向上还是向下打开。由于 a 为正，因此抛物线向上打开。$ $第 3 步是找到对称轴。对称轴是直线 x 等于负 b 除以量 2 a。插入 b 和 a 的值后，公式变成 x 等于负 -6 除以数量 2 乘以 1，简化为 x 等于 3。对称轴是直线 x 等于 3。$ $步骤 4 是找到顶点。顶点位于对称轴上。将 x 等于 3 代入方程并求解 y。方程为 y 等于 x 平方减去 6 x 加 8。用 3 替换 x 变成 y 等于 3 平方减去 6 倍 3 加 8，简化为 y 等于 -1。顶点是 (3, -1)。$ $第 5 步是找出 y 截距，然后在对称轴上找到与 y 截距对称的点。我们在方程中替换 x 等于 0。方程为 y 等于 x 平方减去 6 x 加 8。用 0 替换 x 变成 y 等于 0 平方减去 6 倍 0 加 8，简化为 y 等于 8。 y 截距为 (0, 8)。我们使用对称轴来找到一个与 y 截距对称的点。 y 截距距离对称轴左 3 个单位，x 等于 3。对称轴右侧 3 个单位的点 x 等于 6。与 y 截距对称的点为 (6, 8)。$ $第 6 步是找到 x 截获物。我们在方程中替换 y 等于 0。方程变为 0 等于 x 平方减去 6 x 加 8。我们可以通过分解求解这个二次方程，得到 0 等于数量 x 减去 2 乘以数量 x 减去 4。求解每个方程得到 x 等于 2 且 x 等于 4。 x 截距为 (2, 0) 和 (4, 0)。$ $第 7 步是绘制抛物线图。我们绘制与 y 截距对称的顶点、截距和点的图形。我们将这五个点连接起来绘制抛物线。该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -2 到 10 延伸。飞机的 y 轴从 -3 到 10 延伸。顶点位于点 (3, -1) 处。曲线上在 (0, 8)、(6、8)、(2、0) 和 (4, 0) 处绘制了四个点。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 3 处穿过顶点。$

示例 $\PageIndex{20}$

绘制抛物线图 $y=x^2+2x−8$ .

回答: y: (0, −8); x: (2,0), (−4,0)；
轴：x=−1；顶点：(−1, −9)；
$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -10 延伸到 10。飞机的 y 轴从 -10 到 10 延伸。顶点位于点 (-1, -9) 处。曲线上在 (0, -8)、(2, 0) 和 (-4, 0) 处绘制了三个点。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 -1 处穿过顶点。$

示例 $\PageIndex{21}$

绘制抛物线图 $y=x^2−8x+12$ 。

回答: y: (0,12); x: (2,0), (6,0)；
轴：x=4；顶点 :( 4, −4)；
$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -10 延伸到 10。飞机的 y 轴从 -10 到 10 延伸。顶点位于点 (4, -4) 处。曲线上在 (0, 12)、(2、0) 和 (6, 0) 处绘制了三个点。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 4 处穿过顶点。$

定义：用两个变量绘制二次方程。

写出一边是 yy 的二次方程。
确定抛物线是向上还是向下打开。
找到对称轴。
找到顶点。
找出 y 截距。在对称轴上找到与 y 截距对称的点。
找到 x 截距。
绘制抛物线图。

通过@@ 分解，我们能够在上一个示例中找到 x-in tercepts。在下一个示例中，我们也通过分解找到了 x 截距。

示例 $\PageIndex{22}$

图表 $y=−x^2+6x−9$ 。

回答

方程 y 在一边。		$。$
由于 a 为 −1，抛物线向下打开。要找到对称轴，请找到 $x=−\frac{b}{2a}$ 。	$。$	$。$ $。$ $。$ 对称轴为 x=3。顶点在 x=3 线上。 $。$
在 x=3 时找到 y。		$。$ $。$ $。$ $。$ 顶点是 (3,0)。 $。$
y 截距在 x=0 时出现。替换 x=0。简化。点 (0, −9) 是对称线左侧的三个单位。对称线右边三个单位的点是 (6, −9)。与 y 截距对称的点为 (6, −9)		$。$ $。$ $。$ (0, −9)。 $。$
x 截距在 y=0 时出现。		$。$
替换 y=0。		$。$
将 GCF 考虑在内。		$。$
将三项式分解为因子。		$。$
求解 x。		$。$
将各点连接起来，绘制抛物线图。		$。$

示例 $\PageIndex{23}$

绘制抛物线图 $y=−3x^2+12x−12$ 。

回答

y: (0, −12); x: (2,0)；
轴：x=2；顶点 :( 2,0)；

$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -10 延伸到 10。飞机的 y 轴从 -1 到 10 延伸。顶点位于点 (2, 0) 处。另一个点绘制在曲线上 (0, -12) 处。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 2 处穿过顶点。$

示例 $\PageIndex{24}$

绘制抛物线图 $y=25x^2+10x+1$ 。

回答

y: (0,1); x: (−15,0)；
轴：x=−15；顶点 :( −15,0)；

$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -5 到 5 延伸。飞机的 y 轴从 -5 到 10 延伸。顶点位于点处（-1 五分之一，0）。另一个点绘制在曲线上 (0, 1) 处。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 -1 五分之一处穿过顶点。$

因为 $y=−x^2+6x−9$ the vertex and the x 截距的图是同一个点。还记得判别是如何确定二次方程解数的吗？方程 $0=−x^2+6x−9$ is 0, so there is only one solution. That means there is only one x -截距的判别值，它是抛物线的顶点。

你希望在图表上看到多少 x-in tercepts $y=x^2+4x+5$ ？

示例 $\PageIndex{25}$

图表 $y=x^2+4x+5$ 。

回答

方程的一侧有 y。		$。$
由于 a 为 1，抛物线向上打开。		$。$
$x=−\frac{b}{2a}$ 。		$。$ $。$ $。$ x=−2。 $。$
顶点在 x=−2 线上。
在 x=−2 时找到 y。		$。$ $。$ $。$ $。$ (−2,1)。 $。$
y 截距在 x=0 时出现。替换 x=0。简化。点 (0,5) 是对称线右边的两个单位。对称线左边两个单位的点是 (−4,5)。		$。$ $。$ $。$ (0,5)。 $。$ (−4,5)
x-截距在 y=0 时出现。
替换 y=0。测试判别值。		$。$ $。$
		$b^2−4ac$ $42−4⋅15$ $16−20$ $−4$
由于判别值为负，因此没有解，因此没有 x- 截距。将各点连接起来，绘制抛物线图。您可能需要再选择两个点以获得更高的精度。		$。$

示例 $\PageIndex{26}$

绘制抛物线图 $y=2x^2−6x+5$ 。

回答

y: (0,5); x: none; ax
is: $x=\frac{3}{2}$ ; vertex: $(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$ ;

$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -5 到 5 延伸。飞机的 y 轴从 -5 到 10 延伸。顶点在点处（3 半，1 半）。另一个点绘制在曲线上 (0, 5) 处。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 处穿过顶点等于 3 半。$

示例 $\PageIndex{27}$

绘制抛物线图 $y=−2x^2−1$ 。

回答

y: (0, −1); x: none; ax
is: x=0; vertex :( 0, −1);

$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -10 延伸到 10。飞机的 y 轴从 -10 到 10 延伸。顶点位于点 (0, -1) 处。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 0 处穿过顶点。$

通过将 x=0 代入方程来找到 y 截距很容易，不是吗？但是我们需要使用二次公式来找出示例中的 x 截距。在下一个示例中，我们将再次使用二次公式。

示例 $\PageIndex{28}$

图表 $y=2x^2−4x−3$ 。

回答

$。$

方程 y 有一面。
由于 a 为 2，抛物线向上打开。

$。$

要找到对称轴，请找到

$x=−\frac{b}{2a}$

$。$
$。$
$。$
顶点是 x=1

直线上的顶点 x=1。

$。$

在 x=1 时找到 y

$。$
$。$
$。$
(1, −5)

y 截距在 x=0 时出现。

$。$

替换 x=0。

$。$

简化。

$。$
y 截距为 (0, −3)

点 (0, −3) 是对称线左边一个单位。
对称线右边一个单位的点是 (2, −3)

与 y 截距对称的点为 (2, −3)。

当 y=0 时出现 x 截距

$。$

替代 y=0

$。$

使用二次方程式。

$。$

用 a、b、c 的值进行替换。

$。$

简化。

$。$

在激进内部进行简化。

$。$

简化激进。

$。$

将 GCF 考虑在内。

$。$

移除常见因素。

$。$

写成两个方程式。

$。$

对数值进行近似值。

$。$

x- 截距的近似值为 (2.5,0) 和 (−0.6,0)。

使用找到的点绘制抛物线图。

$。$

示例 $\PageIndex{29}$

绘制抛物线图 $y=5x^2+10x+3$ 。

回答

y: (0,3); x: (−1.6,0), (−0.4,0)；
轴：x=−1；vertex :( −1, −2)；

$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -5 到 5 延伸。飞机的 y 轴从 -5 到 5 延伸。顶点位于点 (-1, -2) 处。曲线上绘制了另外三个点，位于 (0, 3)、(-1.6、0)、(-0.4、0)。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 -1 处穿过顶点。$

示例 $\PageIndex{30}$

绘制抛物线图 $y=−3x^2−6x+5$ 。

回答

y: (0,5); x: (0.6,0), (−2.6,0)；
轴：x=−1；顶点 :( −1,8)；

$该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。飞机的 x 轴从 -10 延伸到 10。飞机的 y 轴从 -10 到 10 延伸。顶点位于点 (-1, 8) 处。曲线上绘制了另外三个点，分别为 (0, 5)、(0.6、0) 和 (-2.6, 0)。图表上还有一条表示对称轴的垂直虚线。直线在 x 等于 -1 处穿过顶点。$

求解最大值和最小值应用程序

知道抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点，这为我们提供了一种确定二次方程的最小值或最大值的简便方法。顶点的 y 坐标是向上打开的抛物线的最小 y 值。它是向下打开的抛物线的最大 y 值。参见图。

此图并排显示了两个图表。左图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向下开口的抛物线。抛物线的顶点位于右上象限。顶点被标记为 “最大值”。右图显示了在 x y 坐标平面上绘制的向上开口的抛物线。抛物线的顶点位于右下象限。顶点被标记为 “最小值”。

定义：二次方程的最小值或最大值

二次方程图形顶点的 y 坐标是

如果抛物线向上打开，则二次方程的最小值。
如果抛物线向下打开，则二次方程的最大值。

示例 $\PageIndex{31}$

找出二次方程的最小值 $y=x^2+2x−8$ 。

回答

		$。$
由于 a 为正，因此抛物线向上打开。
二次方程具有最小值。
找到对称轴。		$。$ $。$ $。$ x=−1
顶点在 x=−1 线上。		$。$
在 x=−1 时找到 y。		$。$ $。$ $。$ (−1、−9)
由于抛物线具有最小值，因此顶点的 y 坐标是二次方程的最小 y* 值。*
二次曲线的最小值为 −9，在 x=−1 时出现。
显示图表以验证结果。		$。$

示例 $\PageIndex{32}$

求二次方程的最大值或最小值 $y=x^2−8x+12$ 。

回答: 当 x=4 时，最小值为 −4。

示例 $\PageIndex{33}$

求二次方程的最大值或最小值 $y=−4x^2+16x−11$ 。

回答: 当 x=2 时，最大值为 5。

我们已经使用了这个公式

$\begin{array} {l} {h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}}\\ \nonumber \end{array}$

计算在 t 秒后以初始速度向上射向空中的物体的高度（以英尺 h 为单位）。 $v_{0}$

这个公式是变量 tt 中的二次方程，所以它的图形是抛物线。通过求解顶点的坐标，我们可以得出物体需要多长时间才能达到其最大高度。然后，我们可以计算出最大高度。

示例 $\PageIndex{34}$

二次方程 $h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}$ 模拟排球从 4 英尺的高度直向上击球的高度，速度为每秒 176 英尺。

排球需要多少秒才能达到最大高度？
找到排球的最大高度。

回答

$h=−16t^2+176t+4$

由于 a 为负数，因此抛物线向下打开。

二次方程具有最大值。

1。
$\begin{array} {ll} {}&{t=−\frac{b}{2a}}\\ {\text{Find the axis of symmetry.}}& {t=−\frac{176}{2(−16)}}\\ {}&{t=5.5}\\ {}&{\text{The axis of symmetry is} t = 5.5}\\ {\text{The vertex is on the line} t=5.5}& {\text{The maximum occurs when} t =5.5 \text{seconds.}}\\ \nonumber \end{array}$

2。

在 t=5.5 时找到 h。		$。$ $。$
使用计算器进行简化。		$。$
		顶点是 (5.5,488)
由于抛物线具有最大值，因此顶点的 h 坐标是二次方程的最大 y 值。		二次曲线的最大值为 488 英尺，在 t=5.5 秒时出现。

示例 $\PageIndex{35}$

二次方程 $h=−16t^2+128t+32$ 用于计算以 128 英尺/秒的速度从 32 英尺的高度向上抛出的石头的高度。宝石需要多长时间才能达到其最大高度？最大高度是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一。

回答: 达到 288 英尺的最大高度需要 4 秒钟。

示例 $\PageIndex{36}$

以 208 英尺/秒的速度从地面向上发射的玩具火箭的二次方程为 $h=−16t^2+208t$ 。火箭何时会达到最大高度？最大高度是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一。

回答: 达到 676 英尺的最大高度需要 6.5 秒。

访问以下在线资源以获取更多指导和练习绘制二次方程：

关键概念

每个二次方程的图形都是抛物线。
抛物线方向对于二次方程 $y=ax^2+bx+c$ ，如果
- a>0，抛物线向上打开。
- a<0，抛物线向下打开。
对称轴和抛物线顶点对于带有方程的抛物线 $y=ax^2+bx+c$ ：
- 抛物线的对称轴是直线 $x=−\frac{b}{2a}$ 。
- 顶点位于对称轴上，因此其 x 坐标为 $−\frac{b}{2a}$ 。
- 为了找到顶点的 y 坐标，我们用二次方程代替 $x=−\frac{b}{2a}$ 。
找出抛物线的截距用方程式找出抛物线的截距 $y=ax^2+bx+c$ ：
$\begin{array} {ll} {\textbf{y-intercept}}&{\textbf{x-intercepts}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve for y}}&{\text{Let} y=0 \text{and solve for x}}\\ \nonumber \end{array}$
用两个变量绘制二次方程的图形
1. 写出一边是 yy 的二次方程。
2. 确定抛物线是向上还是向下打开。
3. 找到对称轴。
4. 找到顶点。
5. 找出 y 截距。在对称轴上找到与 y 截距对称的点。
6. 找到 x 截距。
7. 绘制抛物线图。
二次方程的最小值或最大值
- 二次方程图形顶点的 y 坐标是
- 如果抛物线向上打开，则二次方程@@ 的最小值。
- 如果抛物线向下打开，则二次方程@@ 的最大值。

词汇表

对称轴: 对称轴是穿过抛物线中间的垂直线 $y=ax^2+bx+c$ 。

抛物线: 两个变量中的二次方程的图形是抛物线。

两个变量中的二次方程: 由两个变量组成的二次方程，其中 a、b 和 c $a \ge 0$ 是实数，形式为方程 $y=ax^2+bx+c$ 。

顶点: 抛物线上位于对称轴上的点称为抛物线的顶点；它是抛物线上的最低点还是最高点，取决于抛物线是向上还是向下打开。

x-抛物线的截距: x-in tercepts 是抛物线上的点在哪里 $y=0$ 。

y-抛物线的截距: y 截距是抛物线上的点 $x=0$ 。

学习目标

做好准备

识别两个变量中二次方程的图

定义：两个变量中的二次方程

示例1\PageIndex{1}

示例2\PageIndex{2}

示例3\PageIndex{3}

定义：抛物线方向

示例4\PageIndex{4}

示例5\PageIndex{5}

示例6\PageIndex{6}

找到抛物线的对称轴和顶点

定义：对称轴和抛物线的顶点

示例7\PageIndex{7}

示例8\PageIndex{8}

示例9\PageIndex{9}

找到抛物线的截取点

定义：找到抛物线的截取点

示例10\PageIndex{10}

示例11\PageIndex{11}

示例12\PageIndex{12}

示例13\PageIndex{13}

示例14\PageIndex{14}

示例15\PageIndex{15}

示例16\PageIndex{16}

示例17\PageIndex{17}

示例18\PageIndex{18}

两个变量中的图形二次方程

示例19\PageIndex{19}

示例20\PageIndex{20}

示例21\PageIndex{21}

定义：用两个变量绘制二次方程。

示例22\PageIndex{22}

示例23\PageIndex{23}

示例24\PageIndex{24}

示例25\PageIndex{25}

示例26\PageIndex{26}

示例27\PageIndex{27}

示例28\PageIndex{28}

示例29\PageIndex{29}

示例30\PageIndex{30}

求解最大值和最小值应用程序

定义：二次方程的最小值或最大值

示例31\PageIndex{31}

示例32\PageIndex{32}

示例33\PageIndex{33}

示例34\PageIndex{34}

示例35\PageIndex{35}

示例36\PageIndex{36}

关键概念

词汇表

示例 $\PageIndex{1}$

示例 $\PageIndex{2}$

示例 $\PageIndex{3}$

示例 $\PageIndex{4}$

示例 $\PageIndex{5}$

示例 $\PageIndex{6}$

示例 $\PageIndex{7}$

示例 $\PageIndex{8}$

示例 $\PageIndex{9}$

示例 $\PageIndex{10}$

示例 $\PageIndex{11}$

示例 $\PageIndex{12}$

示例 $\PageIndex{13}$

示例 $\PageIndex{14}$

示例 $\PageIndex{15}$

示例 $\PageIndex{16}$

示例 $\PageIndex{17}$

示例 $\PageIndex{18}$

示例 $\PageIndex{19}$

示例 $\PageIndex{20}$

示例 $\PageIndex{21}$

示例 $\PageIndex{22}$

示例 $\PageIndex{23}$

示例 $\PageIndex{24}$

示例 $\PageIndex{25}$

示例 $\PageIndex{26}$

示例 $\PageIndex{27}$

示例 $\PageIndex{28}$

示例 $\PageIndex{29}$

示例 $\PageIndex{30}$

示例 $\PageIndex{31}$

示例 $\PageIndex{32}$

示例 $\PageIndex{33}$

示例 $\PageIndex{34}$

示例 $\PageIndex{35}$

示例 $\PageIndex{36}$