9.7: 更高的根源

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 简化根数较高的表达式
• 使用 Product 属性简化具有较高根系的表达式
• 使用 Quotient 属性简化具有较高根系的表达式
• 加上和减去更高的根

注意

1. 简化：$y^{5}y^{4}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.2.7。
2. 简化：$(n^2)^6$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.2.19。
3. 简化：$\frac{x^8}{x^3}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.5.1。

简化具有较高根系的表达式

到目前为止，在本章中，我们已经使用了平方和平方根。 现在，我们将扩大工作范围，将更高的权力和更高的根源包括在内。

让我们先回顾一些词汇。

$$\begin{array}{cc} {}&{}\\ {\textbf{We write:}}&{\textbf{We say:}}\\ {n^2}&{\text{n squared}}\\ {n^3}&{\text{n cubed}}\\ {n^4}&{\text{n to the fourth}}\\ {n^5}&{\text{n to the fifth}}\\ \nonumber \end{array}$$

术语 “平方” 和 “立方体” 来自正方形面积和立方体体积的公式。

如果有一张表，列出从 −5to5 的整数的幂会很有帮助。 参见图$\PageIdnex{1}$。

图$\PageIndex{1}$：从 −5 到 5 的整数的第一次到第五次方。

注意图中的标志$\PageIndex{1}$。 当然，所有正数的幂都是正数。 但是当我们有一个负数时，偶数幂是正数，奇数次方是负数。 我们将在下面复制带有 −2 幂的行，以帮助你看清这一点。

在本章前面，我们定义了数字的平方根。

if$n^2=m$，则 n 是 m 的平方根。

我们用这个表示法$\sqrt{m}$来表示主平方根。 所以$\sqrt{m} \ge 0$总是这样。

现在，我们将把定义扩展到更高的根源。

定义：一个数字的第 N 个根

if$b^n=a$，则 b 是数字 a 的第 n 个根。

写入了 a 的第 n 个根的主体$\sqrt[n]{a}=b$

n 被称为激进的索引。

我们不为平方根写索引。 就像我们使用 “cubed” 这个词一样$b^3$，我们使用 “cube root” 一词来表示$\sqrt[3]{a}$。

我们参考图$\PageIndex{1}$是为了帮助我们找到更高的根源。

$$\begin{array}{cc} {4^3=64}&{\sqrt[3]{64}=4}\\ {3^4=81}&{\sqrt[4]{81}=3}\\ {(−2)^5=−32}&{\sqrt[5]{−32}=−2}\\ \nonumber \end{array}$$

我们可以有一个负数的偶数根吗？ 不。 我们知道负数的平方根不是实数。 任何偶数根也是如此。 负数的偶数根不是实数。 负数的奇数根是实数。

定义：的属性$\sqrt[n]{a}$

当 n 是偶数并且

• $a\ge 0$，那么$\sqrt[n]{a}$是一个实数
• $a < 0$，那么$\sqrt[n]{a}$不是实数

当 n 是奇数时，$\sqrt[n]{a}$是 a 的所有值的实数。

示例$\PageIndex{1}$

简化：

1. $\sqrt[3]{8}$
2. $\sqrt[4]{81}$
3. $\sqrt[5]{32}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{8}$
由于$(2)^3=8$。	2
2。	$\sqrt[4]{81}$
由于$(3)^4=81$。	3
3。	$\sqrt[5]{32}$
由于$(2)^5=32$。	2

示例$\PageIndex{2}$

简化：

1. $\sqrt[3]{27}$
2. $\sqrt[4]{256}$
3. $\sqrt[5]{243}$。

回答

1. 3
2. 4
3. 3

示例$\PageIndex{3}$

简化：

1. $\sqrt[3]{1000}$
2. $\sqrt[4]{16}$
3. $\sqrt[5]{32}$。

回答

1. 10
2. 2
3. 2

示例$\PageIndex{4}$

简化：

1. $\sqrt[3]{−64}$
2. $\sqrt[4]{−16}$
3. $\sqrt[5]{−243}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{−64}$
由于$(−4)^3=−64$。	−4
2。	$\sqrt[4]{−16}$
想想，$(?)^4=−16$.没有提高到第四次幂的实数是正数。	不是实数。
3。	$\sqrt[5]{−243}$
由于$(−3)^5=−243$。	−3

示例$\PageIndex{5}$

简化：

1. $\sqrt[3]{−125}$
2. $\sqrt[4]{−16}$
3. $\sqrt[5]{−32}$。

回答

1. −5
2. 不是真的
3. −2

示例$\PageIndex{6}$

简化：

1. $\sqrt[3]{−216}$
2. $\sqrt[4]{−81}$
3. $\sqrt[5]{−1024}$。

回答

1. −6
2. 不是真的
3. −4

当我们处理基数中有变量的平方根时，我们将变量限制为非负值。 现在，我们将取消此限制。

数字的奇数根可以是正数也可以是负数。 我们已经看见了$\sqrt[3]{−64}=−4$。

但是非负数的偶数根总是非负数，因为我们取主数 n 个根。

假设我们从 a=−5 开始。

$$\begin{array}{cc} {(−5)^4=625}&{\sqrt[4]{625}=5}\\ \nonumber \end{array}$$

我们怎样才能确保 −5 的第四个根提高到第四次方，$(−5)^4$即 5？ 我们将在以下属性中看到。

定义：简化奇数和偶数根

对于任何整数$n \ge 2$，

$$\begin{array}{cc} {\text{when n is odd}}&{\sqrt[n]{a^n}=a}\\ {\text{when n is even}}&{\sqrt[n]{a^n}=|a|}\\ \nonumber \end{array}$$

当我们取一个表达式的偶数根时，我们必须使用绝对值符号，其中一个变量是激进的。

示例$\PageIndex{7}$

简化：

1. $\sqrt{x^2}$
2. $\sqrt[3]{n^3}$
3. $\sqrt[4]{p^4}$
4. $\sqrt[5]{y^5}$。

回答

我们使用绝对值来确保得到正根。

1。	$\sqrt{x^2}$
从那$(x)^2=x^2$以后，我们想要积极的根源。	|x|
2。	$\sqrt[3]{n^3}$
由于$(n)^3=n^3$。 它是一个奇数根，因此不需要绝对值符号。	n
3。	$\sqrt[4]{p^4}$
从那$(p)^4=p^4$以后，我们想要积极的根源。	|p|
4。	$\sqrt[5]{y^5}$
由于$(y)^5=y^5$。 它是一个奇数根，因此不需要绝对值符号。	y

示例$\PageIndex{8}$

简化：

1. $\sqrt{b^2}$
2. $\sqrt[3]{w^3}$
3. $\sqrt[4]{m^4}$
4. $\sqrt[5]{q^5}$。

回答

1. |b|
2. w
3. |m|
4. q

示例$\PageIndex{9}$

简化：

1. $\sqrt{y^2}$
2. $\sqrt[3]{p^3}$
3. $\sqrt[4]{z^4}$
4. $\sqrt[5]{q^5}$

回答

1. |y|
2. p
3. |z|
4. q

示例$\PageIndex{10}$

简化：

1. $\sqrt[3]{y^{18}}$
2. $\sqrt[4]{z^8}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{y^{18}}$
由于$(y^6)^3=y^18$。	$\sqrt[3]{(y^6)^3}$
	$y^6$
2。	$\sqrt[4]{z^8}$
由于$(z^2)^4=z^8$。	$\sqrt[4]{(z^2)^4}$
由于$z^2$是正数，因此我们不需要绝对值符号。	$z^2$

示例$\PageIndex{11}$

简化：

1. $\sqrt[4]{u^{12}}$
2. $\sqrt[3]{v^{15}}$。

回答

1. $u^3$
2. $v^5$

示例$\PageIndex{12}$

简化：

1. $\sqrt[5]{c^{20}}$
2. $\sqrt[6]{d^{24}}$。

回答

1. $c^4$
2. $d^4$

示例$\PageIndex{13}$

简化：

1. $\sqrt[3]{64p^6}$
2. $\sqrt[4]{16q^{12}}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{64p^6}$
重写$64p^6$为$(4p^2)^3$。	$\sqrt[3]{(4p^2)^3}$
取立方体根。	$4p^2$
2。	$\sqrt[4]{16q^{12}}$
将激进分子重写为第四种力量。	$\sqrt[4]{(2q^3)^4}$
取第四根根。	$2|q^3|$

示例$\PageIndex{14}$

简化：

1. $\sqrt[3]{27x^{27}}$
2. $\sqrt[4]{81q^{28}}$。

回答

1. $3x^9$
2. $3∣q^7∣$

示例$\PageIndex{15}$

简化：

1. $\sqrt[3]{125p^9}$
2. $\sqrt[5]{243q^{25}}$

回答

1. $5p^3$
2. $3q^5$

使用 product 属性简化具有较高根系的表达式

我们将简化具有较高根的表达式，其方式与简化平方根表达式的方式大致相同。 如果第 n 个根没有因子，则将其视为简化$m^n$。

定义：简化 N TH TH ROOT

$\sqrt[n]{a}$如果 a 没有因子为，则视为简化$m^n$。

我们将把平方根的乘积属性概括为包括任何整数根$n \ge 2$.

定义：N 个根的乘积特性

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}$和$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

wh$\sqrt[n]{a}$ en$\sqrt[n]{b}$ and 是实数，对于任何整数$n \ge 2$

示例$\PageIndex{16}$

简化：

1. $\sqrt[3]{x^4}$
2. $\sqrt[4]{x^7}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{x^4}$
使用最大的完美立方体因子将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[3]{x^3·x}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[3]{x^3}·\sqrt[3]{x}$
简化。	$x\sqrt[3]{x}$
2。	$\sqrt[4]{x^7}$
使用最大完美第四功率因数将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[4]{x^4·x^3}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[4]{x^4}·\sqrt[4]{x^3}$
简化。	$|x|\sqrt[4]{x^3}$

示例$\PageIndex{17}$

简化：

1. $\sqrt[4]{y^6}$
2. $\sqrt[3]{z^5}$。

回答

1. $|y∣\sqrt[4]{y^2}$
2. $z\sqrt[3]{z^2}$

示例$\PageIndex{18}$

简化：

1. $\sqrt[5]{p^8}$
2. $\sqrt[6]{q^{13}}$。

回答

1. $p\sqrt[5]{p^3}$
2. $q^2\sqrt[6]{q}$

示例$\PageIndex{19}$

简化：

1. $\sqrt[3]{16}$
2. $\sqrt[4]{243}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{16}$
	$\sqrt[3]{2^4}$
使用最大的完美立方体因子将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[3]{2^3·2}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[3]{2^3}·\sqrt[3]{2}$
简化。	$2\sqrt[3]{2}$
2。	$\sqrt[4]{243}$
	$\sqrt[4]{3^5}$
使用最大完美第四功率因数将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[4]{3^4·3}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[4]{3^4}·\sqrt[4]{3}$
简化。	$3\sqrt[4]{3}$

示例$\PageIndex{20}$

简化：

1. $\sqrt[3]{81}$
2. $\sqrt[4]{64}$。

回答

1. $3\sqrt[3]{3}$
2. $2\sqrt[4]{4}$

示例$\PageIndex{21}$

简化：

1. $\sqrt[3]{625}$
2. $\sqrt[4]{729}$。

回答

1. $5\sqrt[3]{5}$
2. $3\sqrt[4]{9}$

在取一个表达式的偶数根时，别忘了使用绝对值符号，其中的变量是激进的。

示例$\PageIndex{22}$

简化：

1. $\sqrt[3]{24x^7}$
2. $\sqrt[4]{80y^{14}}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{24x^7}$
使用完美的立方体因子将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[3]{2^{3}x^{6}·3x}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[3]{2^{3}x^{6}}·\sqrt[3]{3x}$
将第一个 radicand 重写为$(2x^2)^3$	$\sqrt[3]{(2x^{2})^3}·\sqrt[3]{3x}$
简化。	$2x^2\sqrt[3]{3x}$
2。	$\sqrt[4]{80y^{14}}$
使用完美的第四次功率因数将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[4]{2^{4}y^{12}·5y^2}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[4]{2^{4}y^{12}}·\sqrt[4]{5y^2}$
将第一个 radicand 重写为$(2y^3)^4$	$\sqrt[4]{(2y^3)^4}·\sqrt[4]{5y^2}$
简化。	$2|y^3|\sqrt[4]{5y^2}$

示例$\PageIndex{23}$

简化：

1. $\sqrt[3]{54p^[10}]$
2. $\sqrt[4]{64q^{10}}$。

回答

1. $3p^3\sqrt[3]{2p}$
2. $2q^2\sqrt[4]{4q^2}$

示例$\PageIndex{24}$

简化：

1. $\sqrt[3]{128m^{11}}$
2. $\sqrt[4]{162n^7}$。

回答

1. $4m^3\sqrt[3]{2m^2}$
2. $3|n|\sqrt[4]{2n^3}$

示例$\PageIndex{25}$

简化：

1. $\sqrt[3]{−27}$
2. $\sqrt[4]{−16}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{−27}$
使用完美的立方体因子将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[3]{(−3)^3}$
取立方体根。	−3
2。	$\sqrt[4]{−16}$
哪里没有实数 n$n^4=−16$。	不是实数。

示例$\PageIndex{26}$

简化：

1. $\sqrt[3]{−108}$
2. $\sqrt[4]{−48}$。

回答

1. $−3\sqrt[3]{4}$
2. 不是真的

示例$\PageIndex{27}$

简化：

1. $\sqrt[3]{−625}$
2. $\sqrt[4]{−324}$。

回答

1. $−5\sqrt[3]{5}$
2. 不是真的

使用 Quotient 属性简化具有较高根系的表达式

我们可以像简化平方根一样用商来简化较高的根。 首先，我们简化激进内部的所有分数。

示例$\PageIndex{28}$

简化：

1. $\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}$
首先简化激进部分下的分数。	$\sqrt[3]{a^3}$
简化。	一个
2。	$\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}$
首先简化激进部分下的分数。	$\sqrt[4]{a^8}$
使用完美的第四次功率因数重写 radicand。	$\sqrt[4]{(a^2)^4}$
简化。	$a^2$

示例$\PageIndex{29}$

简化：

1. $\sqrt[4]{\frac{x^7}{x^3}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{y^{17}}{y^5}}$。

回答

1. |x|
2. $y^3$

示例$\PageIndex{30}$

简化：

1. $\sqrt[3]{\frac{m^{13}}{m^7}}$
2. $\sqrt[5]{\frac{n^{12}}{n^2}}$。

回答

1. $m^2$
2. $n^2$

以前，我们使用 Quotient 属性 “反向” 来简化平方根。 现在，我们将对公式进行概括以包括更高的根。

定义：N 个根的商属性

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$和$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

什么时候$\sqrt[n]{a}$ and $\sqrt[n]{b}$ are real numbers, $b \ne 0$, and for any integer $n \ge 2$

练习$\PageIndex{31}$

简化：

1. $\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}$
2. $\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}$

回答

1。	$\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}$
两个 radicand 都不是完美的立方体，所以使用 Quotient Property 写成一个激进。	$\sqrt[3]{\frac{−108}{2}}$
简化激进下方的分数。	$\sqrt[3]{−54}$
使用完美的立方体因子将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[3]{(−3)^3·2}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[3]{(−3)^3}·\sqrt[3]{2}$
简化。	$−3\sqrt[3]{2}$
2。	$\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}$
两个 radicand 都不是完美的第四次方，所以使用 Quotient Property 写成一个激进分子	$\sqrt[4]{\frac{96x^7}{3x^2}}$
简化激进下方的分数。	$\sqrt[4]{32x^5}$
使用完美的第四次功率因数将 radicand 重写为产品。	$\sqrt[4]{2^{4}x^4·2x}$
将激进改写为两个激进的乘积。	$\sqrt[4]{(2x)^4}·\sqrt[4]{2x}$
简化。	$2|x|\sqrt[4]{2x}$

示例$\PageIndex{32}$

简化：

1. $\frac{\sqrt[3]{−532}}{\sqrt[3]{2}}$
2. $\frac{\sqrt[4]{486m^{11}}}{\sqrt[4]{3m^5}}$

回答

1. 不是真的
2. $3|m|\sqrt[4]{2m^2}$

示例$\PageIndex{33}$

简化：

1. $\frac{\sqrt[3]{−192}}{\sqrt[3]{3}}$
2. $\frac{\sqrt[4]{324n^7}}{\sqrt[4]{2n^3}}$。

回答

1. −4
2. $3|n|\sqrt[4]{2}$

如果部首内部的分数无法简化，我们使用 Quotient Property 的第一种形式将表达式重写为两个部首的商。

示例$\PageIndex{34}$

简化：

1. $\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}$
基数中的分数无法简化。 使用商属性写成两个部首。	$\frac{\sqrt[3]{24x^7}}{\sqrt[3]{y^3}}$
使用完美的立方体因子将每个 radicand 重写为产品。	$\frac{\sqrt[3]{8x^6·3x}}{\sqrt[3]{y^3}}$
将分子重写为两个自由基的乘积。	$\frac{\sqrt[3]{(2x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}}{\sqrt[3]{y^3}}$
简化。	$\frac{2x^2\sqrt[3]{3x}}{y}$
2。	$\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}$
基数中的分数无法简化。 使用商属性写成两个部首。	$\frac{\sqrt[4]{48x^{10}}}{\sqrt[4]{y^8}}$
使用完美的立方体因子将每个 radicand 重写为产品。	$\frac{\sqrt[4]{16x^8·3x^2}}{\sqrt[4]{y^8}}$
将分子重写为两个自由基的乘积。	$\frac{\sqrt[4]{(2x^2)^4}·\sqrt[4]{3x^2}}{\sqrt[4]{(y^2)^4}}$
简化。	$\frac{2x^2\sqrt[4]{3x^2}}{y^2}$

示例$\PageIndex{35}$

简化：

1. $\sqrt[3]{\frac{108c^{10}}{d^6}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{80x^{10}}{y^5}}$。

回答

1. $\frac{3c^3\sqrt[3]{4c}}{d^2}$
2. $\frac{x^2}{∣y∣}\sqrt[4]{\frac{80x^2}{y}}$

示例$\PageIndex{36}$

简化：

1. $\sqrt[3]{\frac{40r^3}{s}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{162m^{14}}{n^{12}}}$

回答

1. $r\sqrt[3]{\frac{40}{s}}$
2. $\frac{3m^3\sqrt[4]{2m^2}}{∣n^3∣}$

加上和减去更高的根

我们可以加上和减去更高的根，就像我们加上和减去平方根一样。 首先，我们给出了类似激进分子的正式定义。

定义：像激进分子一样

具有相同索引和相同基数的激进被称为激进。

就像激进分子有相同的指数和相同的基数。

• $9\sqrt[4]{42x}$$−2\sqrt[4]{42x}$而且就像激进分子。
• $5\sqrt[3]{125x}$而且$6\sqrt[3]{125y}$不像激进分子。 激进分子是不同的。
• $2\sqrt[5]{1000q}$而且$−4\sqrt[4]{1000q}$不像激进分子。 指数不同。

我们像激进项一样添加和减去，其方式与相似项相加和减去的方式相同。 我们可以添加$9\sqrt[4]{42x}+(−2\sqrt[4]{42x})$，结果是$7\sqrt[4]{42x}$。

示例$\PageIndex{37}$

简化：

1. $\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}$
2. $4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}$

回答

1。	$\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}$
自由基就像，所以我们加上系数	$2\sqrt[3]{4x}$
2。	$4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}$
自由基就像，所以我们减去系数。	$2\sqrt[4]{8}$

示例$\PageIndex{38}$

简化：

1. $\sqrt[5]{3x}+\sqrt[5]{3x}$
2. $3\sqrt[3]{9}−\sqrt[3]{9}$

回答

1. $2\sqrt[5]{3x}$
2. $2\sqrt[3]{9}$

示例$\PageIndex{39}$

简化：

1. $\sqrt[4]{10y}+\sqrt[4]{10y}$
2. $5\sqrt[6]{32}−3\sqrt[6]{32}$。

回答

1. $2\sqrt[4]{10y}$
2. $2\sqrt[6]{32}$

当一个表达式看起来不像激进分子时，我们将首先简化每个部首。 有时候，这会导致激进分子相似的表情。

示例$\PageIndex{40}$

简化：

1. $\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}$
2. $\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}$
使用完美立方因子重写每个 radicand。	$\sqrt[3]{27}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{8}·\sqrt[3]{2}$
重写完美的立方体。	$\sqrt[3]{(3)^3}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{(2)^3}·\sqrt[3]{2}$
尽可能简化激进分子。	$3\sqrt[3]{2}−2\sqrt[3]{2}$
像激进分子一样结合。	$\sqrt[3]{2}$
2。	$\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}$
使用完美的第四个功率因数重写。	$\sqrt[4]{16}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{81}·\sqrt[4]{3}$
使用完美的立方体因子将每个 radicand 重写为产品。	$\sqrt[4]{(2)^4}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{(3)^4}·\sqrt[4]{3}$
将分子重写为两个自由基的乘积。	$2\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{3}$
简化。	$5\sqrt[4]{3}$

示例$\PageIndex{41}$

简化：

1. $\sqrt[3]{192}−\sqrt[3]{81}$
2. $\sqrt[4]{32}+\sqrt[4]{512}$。

回答

1. $\sqrt[3]{3}$
2. $6\sqrt[4]{2}$

示例$\PageIndex{42}$

简化：

1. $\sqrt[3]{108}−\sqrt[3]{250}$
2. $\sqrt[5]{64}+\sqrt[5]{486}$。

回答

1. $−\sqrt[3]{2}$
2. $5\sqrt[5]{2}$

示例$\PageIndex{43}$

简化：

1. $\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}$
2. $\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{512y^5}$。

回答

1。	$\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}$
使用完美立方因子重写每个 radicand。	$\sqrt[3]{8x^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{−27x^6}·\sqrt[3]{3x}$
重写完美的立方体。	$\sqrt[3]{(2x)^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{(−3x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}$
尽可能简化激进分子。	$2x\sqrt[3]{3x}−(−3x^2\sqrt[3]{3x})$
2。	$\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{516y^5}$
使用完美的第四个功率因数重写。	$\sqrt[4]{81y^8}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{256y^4}·\sqrt[4]{2y}$
使用完美的立方体因子将每个 radicand 重写为产品。	$\sqrt[4]{(3y^2)^4}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{(4y)^4}·\sqrt[4]{2y}$
将分子重写为两个自由基的乘积。	$3y^2\sqrt[4]{2y}+4|y|\sqrt[4]{2y}$

示例$\PageIndex{44}$

简化：

1. $\sqrt[3]{32y^5}−\sqrt[3]{−108y^8}$
2. $\sqrt[4]{243r^{11}}+\sqrt[4]{768r^{10}}$。

回答

1. $2y\sqrt[3]{4y^2}+3y^2\sqrt[3]{4y^2}$
2. $3r^2\sqrt[4]{3r^3}+4r^2\sqrt[4]{3r^2}$

示例$\PageIndex{45}$

简化：

1. $\sqrt[3]{40z^7}−\sqrt[3]{−135z^4}$
2. $\sqrt[4]{80s^{13}}+\sqrt[4]{1280s^6}$。

回答

1. $2z^2\sqrt[3]{5z}+3z^5\sqrt[3]{5z}$
2. $2∣s^3∣\sqrt[4]{5s}+4|s|\sqrt[4]{5s}$

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关键概念

• 的属性
• $\sqrt[n]{a}$当 n 是偶数并且
  • $a \ge 0$，那么$\sqrt[n]{a}$是一个实数
  • $a < 0$，那么$\sqrt[n]{a}$不是实数
  • 当 n 是奇数时，$\sqrt[n]{a}$是 a 的所有值的实数。
  • 对于任何整数$n \ge 2$，当 n 为奇数时$\sqrt[n]{a^n}=a$
  • 对于任何整数$n \ge 2$，当 n 为偶数时$\sqrt[n]{a^n}=|a|$
• $\sqrt[n]{a}$如果 a 没有因子为，则视为简化$m^n$。
• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}$和$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$和$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• 要像自由基一样进行组合，只需将系数相加或减去即可，同时保持基数不变。

词汇表

n 个数字的根

if$b^n=a$，那么 b 是 a 的第 n 个根。

根上的主体

写入了 a 的根中的主体$\sqrt[n]{a}$。

索引

$\sqrt[n]{a}$n 被称为激进的索引。

像激进分子一样

具有相同索引和相同基数的激进被称为激进。