4.7: 线性不等式图

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Nov 1, 2022
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- 4.6E：练习
- 4.7E：练习

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

验证两个变量中不等式的解
认识不等式解与其图之间的关系
绘制线性不等式

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

解决： $4x+3>23.$
如果您错过了此问题，请查看练习 2.7.22。
从代数翻译成英语： $x<5.$
如果你错过了这个问题，请查看练习 1.3.1。
评估 $3x−2y$ 何时 $x=1, \, y=−2.$
如果您错过了此问题，请查看练习 1.5.28。

验证两个变量中不等式的解

我们已经学会了如何解决一个变量中的不等式。现在，我们将研究两个变量中的不等式。两个变量中的不等式有许多用途。例如，如果你经营一家企业，你会希望你的收入大于成本，这样你的企业才能获利。

线性不等式

线性不等式是一种可以用以下形式之一书写的不等式：

$A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C \nonumber$

其中 $A$ 和不是 $B$ 都为零。

你还记得一个变量的不等式有许多解吗？不等式的解 $x>3$ 是任何大于的数字 $3$ 。我们在数字行上显示了这一点，方法是在右边的数字行中加上阴影 $3$ ，然后在左括号处加上一个左括号 $3$ 。参见图 $\PageIndex{1}$ 。

图中显示了一条从负 5 延伸到 5 的数字线。括号显示在正 3 处，箭头从正 3 延伸到正无穷大。 — 图 $\PageIndex{1}$

同样，两个变量中的不等式有很多解。当我们在值中替换时 $(x, y)$ ，任何使不等式成真的有序对都是不等式的解。

线性不等式的解

当我们替换和的值时，如果不等式为真，则有序对 $(x, y)$ 就是线性不 $x$ 等式的解 $y$ 。

练习 $\PageIndex{1}$

确定每个有序对是否是不等式的解 $y>x+4$ ：

$(0,0)$
$(1,6)$
$(2,6)$
$(−5,−15)$
$(−8,12)$

回答

1。

$(0,0)$		$。$
$。$		$。$
简化。		$。$ 所以， $(0,0)$ 不是解决办法 $y>x+4$ 。

2。

$(1,6)$		$。$
$。$		$。$
简化。		$。$ 所以， $(1,6)$ 是一个解决方案 $y>x+4$ 。

3。

$(2,6)$		$。$
$。$		$。$
简化。		$。$ 所以， $(2,6)$ 不是解决办法 $y>x+4$ 。

4。

$(−5,−15)$		$。$
$。$		$。$
简化。		$。$ 所以， $(−5,−15)$ 不是解决办法 $y>x+4$ 。

5。

(−8,12)		$。$
$。$		$。$
简化。		$。$ 所以， $(−8,12)$ 是一个解决方案 $y>x+4$ 。

练习 $\PageIndex{2}$

确定每个有序对是否是不等式的解 $y>x−3$ ：

$(0,0)$
$(4,9)$
$(−2,1)$
$(−5,−3)$
$(5,1)$

回答

是的
是的
是的
是的
不

练习 $\PageIndex{3}$

确定每个有序对是否是不等式的解 $y<x+1$ ：

$(0,0)$
$(8,6)$
$(−2,−1)$
$(3,4)$
$(−1,−4)$

回答

是的
是的
不
不
是的

认识不等式解与其图之间的关系

现在，我们将研究不等式的解与其图表有何关系。

让我们 $\PageIndex{1}$ 再想一想图中的数字线。该点将该数字线 $x=3$ 分为两部分。一边 $3$ 是所有数字都小于 $3$ 。另一方面， $3$ 所有数字都大于 $3$ 。参见图 $\PageIndex{2}$ 。

图中显示了一条从负 5 延伸到 5 的数字线。括号显示在正 3 处，箭头从正 3 延伸到正无穷大。数字线上方的箭头从 3 延伸并指向左边。它被标记为 “小于 3 的数字”。数字线上方的箭头从 3 延伸并指向右边。它被标记为 “大于 3 的数字”。 — 图 $\PageIndex{2}$

的解决方案 $x>3$ 是右边数字线的阴影部分 $x=3$ 。

同样，这条线将平面 $y=x+4$ 分成两个区域。直线的一侧是带有以下点的点 $y<x+4$ 。在这条线的另一边是带有的点 $y>x+4$ 。我们称这条线 $y=x+4$ 为边界线。

边界线

带方程的直线 $Ax+By=C$ 是分隔区域与所在 $Ax+By>C$ 区域的边界线 $Ax+By<C$ 。

对于一个变量中的不等式，端点用圆括号或方括号显示，具体取决于解中是否包含 aa：

$图中显示了两条数字线。左边的数字行标有 x 小于 a。数字行在 a 处显示圆括号和指向左边的箭头。右边的数字行标有 x 小于或等于 a。数字行在 a 处显示方括号和指向左侧的箭头。$

同样，对于两个变量中的不等式，边界线以实线或虚线显示，以表示解中是否包含该直线。表中对此进行了总结 $\PageIndex{1}$ 。

桌子 $\PageIndex{1}$
$Ax+By<C$	$Ax+By\leq C$
$Ax+By>C$	$Ax+By\geq C$
解中不包括边界线。	边界线包含在解决方案中。
边界线为虚线。	边界线是实线。

现在，让我们来看看我们在练习中发现了什么 $\PageIndex{1}$ 。我们首先绘制线条 $y=x+4$ ，然后绘制我们测试的五个点。参见图 $\PageIndex{3}$ 。

该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于 x 加 4 的直线绘制为从左下角向右上角延伸的箭头。以下点被绘制并标记（负 8、12）、（1、6）、（2、6）、（0、0）和（负 5、负 15）。 — 图 $\PageIndex{3}$

在练习中， $\PageIndex{1}$ 我们发现有些要点是解决不平等的办法 $y>x+4$ ，有些则不是。

我们绘制的哪个点是解决不平等的办法 $y>x+4$ ？要点 $(1,6)$ 和 $(−8,12)$ 是解决不平等的办法 $y>x+4$ 。请注意，它们都位于边界线的同一侧 $y=x+4$ 。

这两个点 $(0,0)$ 和 $(−5,−15)$ 位于边界线的另一边 $y=x+4$ ，它们不是不等式的解 $y>x+4$ 。对于这两点， $y<x+4$ .

那重点 $(2,6)$ 呢？因为 $6=2+4$ ，该点是方程的解 $y=x+4$ 。所以 $(2,6)$ 这个点在边界线上。

让我们在边界线的左侧再取一个点，测试它是否是不等式的解 $y>x+4$ 。该点 $(0,10)$ 显然在边界线的左边，不是吗？这是解决不平等的办法吗？

$\begin{array}{l}{y>x+4} \\ {10\stackrel{?}{>}0+4} \\ {10>4} &{\text{So, }(0,10)\text{ is a solution to }y>x+4.}\end{array}$

您在边界线左侧选择的任何点都是不等式的解 $y>x+4$ 。左边的所有点都是解决方案。

同样，边界线右侧的所有点（带 $(0,0)$ 和 $(−5,−15)$ 的一侧）都不是解 $y>x+4$ 。参见图 $\PageIndex{4}$ 。

该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于 x 加 4 的直线绘制为从左下角向右上角延伸的箭头。以下点被绘制并标记（负 8、12）、（1、6）、（2、6）、（0、0）和（负 5、负 15）。直线的左上角是不等式 y 大于 x 加 4。直线的右边是不等式 y 小于 x 加 4。 — 图 $\PageIndex{4}$

不等式图 $y>x+4$ 如下图所 $\PageIndex{5}$ 示。这条线 $y=x+4$ 将飞机分为两个区域。阴影部分显示了不等式的解决方案 $y>x+4$ 。

边界线上的点和位置 $y=x+4$ 上的点不是不等式的解 $y>x+4$ ，因此线本身不是解的一部分。我们通过将直线设为虚线，而不是实线来证明这一点。

该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于 x 加 4 的直线绘制为从左下角向右上角延伸的虚线箭头。直线左上角的坐标平面有阴影。 — 图 $\PageIndex{5}$ ：不等式 y>x+4 的曲线图。

练习 $\PageIndex{4}$

显示的边界线是 $y=2x−1$ 。写下图表所示的不等式。

回答

这条线 $y=2x−1$ 是边界线。直线的一侧是带有 $y>2x−1$ 的点，另一侧是带点的点 $y<2x−1$ 。

让我们测试一下这个点 $(0,0)$ ，看看哪个不等式描述了它的边界线边。

在 $(0,0)$ ，哪个不平等是正确的：

$\begin{array}{ll}{y>2 x-1} & {\text { or }} & {y<2 x-1 ?} \\ {y>2 x-1} && {y<2 x-1} \\ {0>2 \cdot 0-1} && {0<2 \cdot 0-1} \\ {0>-1 \text { True }} && {0<-1 \text { False }}\end{array}$

既然 $y>2x−1$ 是真的 $(0,0)$ ，那就是解决方案。阴影区域显示了不等式的解决方案 $y>2x−1$ 。

由于边界线是用实线绘制的，因此不等式包括等号。

该图显示了不等式 $y\geq 2x−1$ 。

我们可以使用任何点作为测试点，前提是它不在线上。我们为什么选择 $(0,0)$ ？因为它是最容易评估的。你可能需要在边界线的另一边选取一个点然后检查一下 $y<2x−1$ 。

练习 $\PageIndex{5}$

用边界线写下图表所示的不等式 $y=−2x+3$ 。

回答: $y\geq −2x+3$

练习 $\PageIndex{6}$

用边界线写下图表所示的不等式 $y=\frac{1}{2}x−4$ 。

回答: $y \leq \frac{1}{2}x - 4$

练习 $\PageIndex{7}$

显示的边界线是 $2x+3y=6$ 。写下图表所示的不等式。

回答

这条线 $2x+3y=6$ 是边界线。直线的一侧是带有 $2x+3y>6$ 的点，另一侧是带点的点 $2x+3y<6$ 。

让我们测试一下这个点 $(0,0)$ ，看看哪个不等式描述了它的边界线边。

在 $(0,0)$ ，哪个不平等是正确的：

$\begin{array}{rr}{2 x+3 y>6} && {\text { or } \quad 2 x+3 y<6 ?} \\ {2 x+3 y>6} && {2 x+3 y<6} \\ {2(0)+3(0)>6} & & {2(0)+3(0)<6} \\ {0} >6 & {\text { False }} & {0<6}&{ \text { True }}\end{array}$

所以，一边 $(0,0)$ 是哪一边 $2x+3y<6$ 。

（你可能想在边界线的另一边选一个点然后检查一下 $2x+3y>6$ 。）

由于边界线以虚线绘制，因此不等式不包含等号。

该图显示了不等式的解 $2x+3y<6$ 。

练习 $\PageIndex{8}$

用边界线写下图中阴影区域所示的不等式 $x−4y=8$ 。

回答: $x-4 y \leq 8$

练习 $\PageIndex{9}$

用边界线写下图中阴影区域所示的不等式 $3x−y=6$ 。

回答: $3 x-y \leq 6$

绘制线性不等式

现在，我们已经准备好将所有这些放在一起，绘制线性不等式图。

练习 $\PageIndex{10}$ : How to Graph Linear Inequalities

绘制线性不等式图 $y \geq \frac{3}{4} x-2$ 。

回答: $此图是一个包含三列三行的表。第一列是标题列，它包含每个步骤的名称和编号。第二栏包含进一步的书面指示。第三列包含数学。在表格的第一行，左边的第一个单元格显示为：“步骤 1。识别边界线并绘制图表。如果不等式小于或等于或大于或等于，则边界线为实线。如果不等式小于或大于，则边界线为虚线。第二个单元格中的文字为：“用等号替换不等号以找到边界线。绘制边界线 y 等于四分之三 x 减 2 的图。不等号大于或等于，所以我们画一条实线。第三个单元包含坐标平面上四分之三 x 减 2 的直线的图形。$ $在表的第二行中，第一个单元格显示：“步骤2。测试不在边界线上的点。这是不平等的解决方案吗？在第二个单元格中，指令说：“我们将测试 (0, 0)。这是不平等的解决方案吗？” 第三个单元格问：在 (0, 0) 处，y 是否大于或等于四分之三 x 减去 2？下方是不等式 0 大于或等于四分之三 0 减去 2，不等式符号上方有一个问号。在该值之下是不等式 0 大于或等于负 2。下面是：“所以（0，0）是一个解决方案。$ $在表的第三行中，第一个单元格显示：“步骤3。边界线一侧的阴影。如果测试点是解，则在包含该点的一侧加上阴影。如果测试点不是解决方案，则在另一侧遮阳。在第二个单元格中，指令说：测试点 (0, 0) 是 y 大于或等于四分之三 x 减去 2 的解。所以我们在那边遮住阴影。” 第三个单元格中是坐标平面上四分之三 x 减 2 的直线的图形，直线上方的区域为阴影。$

练习 $\PageIndex{11}$

绘制线性不等式图 $y \geq \frac{5}{2} x-4$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。直线 y 等于五半 x 减去 4 绘制为从左下角向右上角延伸的实心箭头。直线上方的区域有阴影。$

练习 $\PageIndex{12}$

绘制线性不等式图 $y<\frac{2}{3} x-5$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于三分之二 x 减 5 的直线绘制为从左下角向右上角延伸的虚线箭头。直线下方的区域有阴影。$

这里总结了我们绘制线性不等式图所采取的步骤。

绘制线性不等式图。

识别边界线并绘制图表。
- 如果不等式为 $≤$ 或 $≥$ ，则边界线为实线。
- 如果不等式为 $<$ 或 $>$ ，则边界线为虚线。
测试不在边界线上的点。这是不平等的解决方案吗？
边界线一侧的阴影。
- 如果测试点是解，则在包含该点的一侧加上阴影。
- 如果测试点不是解决方案，则在另一侧遮阳。

练习 $\PageIndex{13}$

绘制线性不等式图 $x−2y<5$ 。

回答

首先我们绘制边界线 $x−2y=5$ 。不平等 $<$ 之处在于我们画一条虚线。

$该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。直线 x 减去 2 y 等于 5 被绘制为从左下角向右上角延伸的虚线箭头。$

然后我们测试一个点。我们将 $(0,0)$ 再次使用，因为它易于评估并且不在边界线上。

$(0,0)$ 有解决方案 $x−2y<5$ 吗？

$该图显示不等式 0 减 2 乘以 0，括号中小于 5，不等式符号上方有一个问号。下一行显示 0 减去 0 小于 5，不等号上方有一个问号。第三行显示 0 小于 5。$

这个点 $(0,0)$ 是解 $x−2y<5$ ，所以我们在边界线的那一侧做阴影。

练习 $\PageIndex{14}$

绘制线性不等式图 $2x−3y\leq 6$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。直线 2 x 减去 3 y 等于 6 被绘制为从左下角向右上角延伸的实心箭头。直线上方的区域有阴影。$

练习 $\PageIndex{15}$

绘制线性不等式图 $2x−y>3$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。直线 2 x 减去 y 等于 3 被绘制为从左下角向右上角延伸的虚线箭头。直线下方的区域有阴影。$

如果边界线穿过原点怎么办？这样我们就不能 $(0,0)$ 用作测试点了。没问题——我们只选择不在边界线上的其他点即可。

练习 $\PageIndex{16}$

绘制线性不等式图 $y\leq −4x$ 。

回答

首先我们绘制边界线 $y=−4x$ 。它采用斜率截距形式，带有 an $m=−4$ d $b=0$ 。不平等 $≤$ 之处在于我们画一条实线。

$该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。直线 s y 等于负 4 x 绘制为从左上角向右下角延伸的实心箭头。$

现在，我们需要一个测试点。我们可以看到该点 $(1,0)$ 不在边界线上。

$(1,0)$ 有解决方案 $y≤−4x$ 吗？

$图中显示 0 小于或等于负数 4 乘以 1，不等式符号上方有一个问号。下一行显示 0 不小于或等于负 4。$

这个点 $(1,0)$ 不是解法 $y≤−4x$ ，所以我们在边界线的另一侧进行阴影。参见图 $\PageIndex{6}$ 。

该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于负 4 x 的直线绘制为从左上角向右下角延伸的实心箭头。点 (1, 0) 已绘制，但未标注。直线左边的区域有阴影。 — 图 $\PageIndex{6}$

练习 $\PageIndex{17}$

绘制线性不等式图 $y>−3x$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于负 3 x 的直线绘制为从左上角向右下角延伸的虚线箭头。直线右边的区域有阴影。$

练习 $\PageIndex{18}$

绘制线性不等式图 $y\geq −2x$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于负 2 x 的直线绘制为从左上角向右下角延伸的实心箭头。直线右边的区域有阴影。$

一些线性不等式只有一个变量。他们可能有 “ $x$ 但没有 $y$ ” 或 “a $y$ 但没有” $x$ 。在这些情况下，边界线要么是垂直线，要么是水平线。你还记得吗？

$\begin{array}{ll}{x=a} & {\text { vertical line }} \\ {y=b} & {\text { horizontal line }}\end{array}$

练习 $\PageIndex{19}$

绘制线性不等式图 $y>3$ 。

回答

首先我们绘制边界线 $y=3$ 。它是一条水平线。不平等 $>$ 之处在于我们画一条虚线。

我们测试一下 $(0,0)$ 。

$y>3 \\ 0\not>3$

$(0,0)$ 不是解决的办法 $y>3$ 。

因此，我们会遮盖不包括的一面 $(0,0)$ 。

练习 $\PageIndex{20}$

绘制线性不等式图 $y<5$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于 5 的直线绘制为水平穿过平面的虚线箭头。直线上方的区域有阴影。$

练习 $\PageIndex{21}$

绘制线性不等式图 $y \leq-1$ 。

回答: $该图显示了 x y 坐标平面。 x 轴和 y 轴各从负 10 到 10 不等。 y 等于负 1 的直线绘制为水平穿过平面的虚线箭头。直线下方的区域有阴影。$

关键概念

绘制线性不等式图
1. 识别边界线并绘制图表。
  如果不等式为 $≤$ 或 $≥$ ，则边界线为实线。
  如果不等式为 $<$ 或 $>$ ，则边界线为虚线。
2. 测试不在边界线上的点。这是不平等的解决方案吗？
3. 边界线一侧的阴影。
  如果测试点是解，则在包含该点的一侧加上阴影。
  如果测试点不是解决方案，则在另一侧遮阳。

词汇表

边界线: 带有方程的直线 $A x+B y=C$ ，用于将区域与所在 $A x+B y>C$ 区域分开 $A x+B y<C$ 。

线性不等式: 一种不等式，可以用以下形式之一书写：
$A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C$
其中 $B$ ， $A$ 和不是都为零。

线性不等式的解: 有序对 $(x,\,y)$ 是线性不等式的解，当我们替换 $x$ 和的值时，不等式是正确的 $y$ 。

学习目标

注意

验证两个变量中不等式的解

线性不等式

线性不等式的解

练习4.7.1\PageIndex{1}

练习4.7.2\PageIndex{2}

练习4.7.3\PageIndex{3}

认识不等式解与其图之间的关系

边界线

练习4.7.4\PageIndex{4}

练习4.7.5\PageIndex{5}

练习4.7.6\PageIndex{6}

练习4.7.7\PageIndex{7}

练习4.7.8\PageIndex{8}

练习4.7.9\PageIndex{9}

绘制线性不等式

练习4.7.10\PageIndex{10}: How to Graph Linear Inequalities

练习4.7.11\PageIndex{11}

练习4.7.12\PageIndex{12}

绘制线性不等式图。

练习4.7.13\PageIndex{13}

练习4.7.14\PageIndex{14}

练习4.7.15\PageIndex{15}

练习4.7.16\PageIndex{16}

练习4.7.17\PageIndex{17}

练习4.7.18\PageIndex{18}

练习4.7.19\PageIndex{19}

练习4.7.20\PageIndex{20}

练习4.7.21\PageIndex{21}

关键概念

词汇表

练习 $\PageIndex{1}$

练习 $\PageIndex{2}$

练习 $\PageIndex{3}$

练习 $\PageIndex{4}$

练习 $\PageIndex{5}$

练习 $\PageIndex{6}$

练习 $\PageIndex{7}$

练习 $\PageIndex{8}$

练习 $\PageIndex{9}$

练习 $\PageIndex{10}$ : How to Graph Linear Inequalities

练习 $\PageIndex{11}$

练习 $\PageIndex{12}$

练习 $\PageIndex{13}$

练习 $\PageIndex{14}$

练习 $\PageIndex{15}$

练习 $\PageIndex{16}$

练习 $\PageIndex{17}$

练习 $\PageIndex{18}$

练习 $\PageIndex{19}$

练习 $\PageIndex{20}$

练习 $\PageIndex{21}$