1.6: 可视化分数
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- 205066
在本节结束时，您将能够：
- 查找等效分数
- 简化分数
- 乘以分数
- 除以分数
- 简化用分数条书写的表达式
- 将短语翻译成带分数的表达式
对本节所涵盖主题的更详尽的介绍可以在 Prealgebra 章节 “分数” 中找到。
查找等效分数
分数是表示整体各部分的一种方式。 分数\(\dfrac{1}{3}\)表示一个整数被分成三个相等的部分，每个部分是三个相等的部分之一。 参见图\(\PageIndex{1}\)。 分数\(\dfrac{2}{3}\)代表三个相等部分中的两个。 在分数中\(\dfrac{2}{3}\)，2 被称为分子，3 被称为分母。
写一个分数\(\dfrac{a}{b}\)，其中\(b\neq 0\)和
- \(a\)是分子，\(b\)是分母。
分数代表整体的各个部分。 分母\(b\)是整数被划分为的相等部分的数量，分子\(a\)表示包含了多少个部分。
如果将整个馅饼切成 6 块，然后我们全部吃掉了 6 块，我们就吃了\(\dfrac{6}{6}\)块，换句话说，吃了整块馅饼。
所以\(\dfrac{6}{6}=1\)。 这使我们得出了一个的属性，它告诉我们除零以外的任何数字除以自身都是\(1\)。
\[\dfrac{a}{a} = 1 \quad (a \neq 0)\]
除零以外的任何数值除以自身均为一。
进行操纵数学活动 “分数等同于一” 将有助于你更好地理解等同于一的分数。
如果一个馅饼被切成6块然后我们全部吃掉了6块，我们就吃了\(\dfrac{6}{6}\)块，换句话说，一整块馅饼。 如果把馅饼切成 8 块然后我们全部吃掉了 8 块，我们就吃了\(\dfrac{8}{8}\)块，或者一整块馅饼。 我们吃了同样的量——一整块馅饼。
分数\(\dfrac{6}{6}\)和\(\dfrac{8}{8}\)具有相同的值 1，因此它们被称为等效分数。 等效分数是具有相同值的分数。
这次让我们想想披萨。 该图\(\PageIndex{3}\)显示了两张图片：左边是单个披萨，切成相等的两块，右边是第二个大小相同的披萨，切成八块。 这是一种表示\(\dfrac{1}{2}\)等同的方式\(\dfrac{4}{8}\)。 换句话说，它们是等效的分数。
等效分数是具有相同值的分数。
我们怎样才能用数学\(\dfrac{1}{2}\)变成\(\dfrac{4}{8}\)？ 我们怎么能拿一个切成 2 块的披萨然后切成 8 块？ 我们可以将 2 个较大的碎片中的每一个切成 4 个小块！ 然后将整个披萨切成 88 块，而不仅仅是 2 块。 从数学上讲，我们所描述的可以这样写\(\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 4} = \dfrac{4}{8}\)。 参见图\(\PageIndex{4}\)。
该模型得出以下属性：
如果\(a,b,c\)是数字在哪里\(b\neq 0, c\neq 0\)，那么
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\cdot c}{b\cdot c}\]
如果我们用不同的方式切披萨，我们就能得到
所以，我们说\(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{2}{4}\)\(\dfrac{3}{6}\)、和\(\dfrac{10}{20}\)是等效的分数。
进行操纵数学活动 “等效分数” 将有助于你更好地理解两个分数相等时的含义。
找出三个等效的分数\(\dfrac{2}{5}\)。
- 回答
-
为了找到等效的分数\(\dfrac{2}{5}\)，我们将分子和分母乘以相同的数字。 我们可以选择除零之外的任何数字。 让我们把它们乘以 2、3，然后再乘以 5。
-
所以\(\dfrac{4}{10}\)、\(\dfrac{6}{15}\)、和\(\dfrac{10}{25}\)等同于\(\dfrac{2}{5}\)。
找出三个等效的分数\(\dfrac{3}{5}\)。
- 回答
-
\(\dfrac{6}{10}\),\(\dfrac{9}{15}\),\(\dfrac{12}{20}\); 答案可能有所不同
找出三个等效的分数\(\dfrac{4}{5}\)。
- 回答
-
\(\dfrac{8}{10}\),\(\dfrac{12}{15}\),\(\dfrac{16}{20}\); 答案可能有所不同
简化分数
如果分数的分子和分母中除了 1 之外没有其他公共因子，则认为该分数是简化的。
例如，
- \(\dfrac{2}{3}\)之所以简化，是因为没有 2 和 3 的常见因子。
- \(\dfrac{10}{15}\)未简化，因为 5 是 10 和 15 的常用因子。
如果分数的分子和分母中没有共同的因子，则认为分数是简化的。
“减少分数” 一词意味着简化分数。 我们通过移除分子和分母的共同因子来简化或减少分数。 在移除所有常见因子之前，分数不会被简化。 如果表达式有分数，则在分数被简化之前，它不会被完全简化。
在练习中\(\PageIndex{4}\)，我们使用等效分数属性来查找等效分数。 现在，我们将反向使用等效分数属性来简化分数。 我们可以重写该属性以同时显示两种表单。
如果\(a,b,c\)是数字在哪里\(b\neq 0,c\neq 0\)，
\[\text{then } \dfrac{a}{b} = \dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} \text{ and } \dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} = \dfrac{a}{b}\]
简化：\(-\dfrac{32}{56}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{32}{56}\) 重写显示常见因子的分子和分母。 \(-\dfrac{4\cdot 8}{7\cdot 8}\) 简化使用等效分数属性。 \(-\dfrac{4}{7}\) 请注意，分数\(-\dfrac{4}{7}\)已简化，因为不再有常见因子。
简化：\(-\dfrac{42}{54}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{7}{9}\)
简化：\(-\dfrac{42}{54}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{5}{9}\)
有时候，要找到分子和分母的共同因子可能并不容易。 发生这种情况时，一个好主意是将分子和分母分数分成素数 s。然后使用等效分数属性除去常见因子。
简化：\(-\dfrac{210}{385}\)
- 回答
-
简化：\(-\dfrac{69}{120}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{23}{40}\)
简化：\(-\dfrac{120}{192}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{5}{8}\)
现在，我们总结了简化分数时应遵循的步骤。
- 重写分子和分母以显示常见因子。
如果需要，先将分子和分母分数分成素数。 - 通过除去常见因子来简化等效分数属性的使用。
- 如果需要，将所有剩余因子相乘。
简化：\(\dfrac{5x}{5y}\)
- 回答
-
\(\dfrac{5x}{5y}\) 重写显示共同因素，然后除去常见因素。 
简化。 \(\dfrac{x}{y}\)
简化：\(\dfrac{7x}{7y}\)
- 回答
-
\(\dfrac{x}{y}\)
简化：\(\dfrac{3a}{3b}\)
- 回答
-
\(\dfrac{a}{b}\)
乘以分数
许多人发现乘以和除分数比加减分数容易。 因此，我们将从分数乘法开始。
进行操纵数学活动 “模型分数乘法” 将有助于你更好地理解乘法分数。我们将使用一个模型来告诉你如何将两个分数相乘，并帮助你记住这个过程。 让我们开始吧\(\dfrac{3}{4}\)。
现在我们要起飞\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{3}{4}\)了。
请注意，现在，整数被分成 8 个相等的部分。 所以\(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}\)。
要乘以分数，我们将分子相乘，然后乘以分母。
如果\(a,b,c\)和\(d\)是数字，其中 an\(b\neq 0\) d\(d\neq 0\)，那么
\[\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\]
要乘以分数，请将分子相乘并乘以分母。
当然，当乘以分数时，正数和负数的属性仍然适用。 作为第一步确定产品的标志是个好主意。 在运动中\(\PageIndex{13}\)，我们将乘以负数和正数，因此乘积将为负。
乘以：\(-\dfrac{11}{12}\cdot \dfrac{5}{7}\)
- 回答
-
第一步是找到产品的标志。 由于迹象不同，因此该产品为阴性。
\[\begin{array} {ll} {} & {-\dfrac{11}{12}\cdot \dfrac{5}{7}} \\{\text{Determine the sign of the product; multiply.}} &{-\dfrac{11\cdot 5}{12\cdot 7}} \\ {\text{Are there any common factors in the numerator}} &{} \\ {\text{and the denominator? No}} &{-\dfrac{55}{84}} \end{array}\]
乘以：\(-\dfrac{10}{28}\cdot \dfrac{8}{15}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{4}{21}\)
乘以：\(-\dfrac{9}{20}\cdot \dfrac{5}{12}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{3}{16}\)
将分数乘以整数时，将整数写成分数可能会有所帮助。 任何整数 a 都可以写成\(\dfrac{a}{1}\)。 所以，例如，\(3 = \dfrac{3}{1}\)。
乘以：\(-\dfrac{12}{5}(-20x)\)
- 回答
-
确定产品的标志。 迹象相同，因此产品为阳性。
\(-\dfrac{12}{5}(-20x)\) 以分数\(20x\)形式写入。 \(\dfrac{12}{5}(\dfrac{20x}{1})\) 乘以。 重写\(20\)以显示共同因素\(5\)并将其分开。 
简化。 \(48x\)
乘以：\(\dfrac{11}{3}(-9a)\)
- 回答
-
\(-33a\)
乘以：\(\dfrac{13}{7}(-14b)\)
- 回答
-
\(-26b\)
除以分数
现在我们知道如何乘以分数，我们差不多可以分数了。 在我们做到这一点之前，我们需要一些词汇。
分数的倒数是通过反转分数，将分子放在分母中，将分母放在分子中来得出的。 的倒数\(\dfrac{2}{3}\)是\(\dfrac{3}{2}\)。
请注意\(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2} = 1\)。 一个数字及其倒数乘以\(1\)。
要在将两个数字相乘\(1\)时得到正乘积，数字必须具有相同的符号。 因此，倒数必须具有相同的符号。
的倒数\(-\dfrac{10}{7}\)是\(-\dfrac{7}{10}\)，since\(-\dfrac{10}{7}(-\dfrac{7}{10}) = 1\)。
的倒数\(\dfrac{a}{b}\)是\(\dfrac{b}{a}\)。
一个数字及其倒数乘以一\(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a} = 1\)
进行操纵数学活动 “模型分数除法” 将有助于你更好地理解分数除法。
要除以分数，我们将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
如果\(a,b,c\)和\(d\)是数字，其中 an\(b\neq 0, c\neq 0\) d\(d\neq 0\)，那么
\[\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\]
要除以分数，我们将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
我们需要说\(b\neq 0, c\neq 0\)并\(d\neq 0\)确保我们不会除以零！
除以：\(-\dfrac{2}{3}\div\dfrac{n}{5}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} & {-\dfrac{2}{3}\div \dfrac{n}{5}} \\{\text{To divide, multiply the first fraction by the}} &{-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{n}} \\ {\text{reciprocal of the second.}} &{} \\ {\text{Multiply.}} &{-\dfrac{10}{3n}} \end{array}\]
除以：\(-\dfrac{3}{5}\div\dfrac{p}{7}\)。
- 回答
-
\(-\dfrac{21}{5p}\)
除以：\(-\dfrac{5}{8}\div\dfrac{q}{3}\)。
- 回答
-
\(-\dfrac{15}{8q}\)
找出商数：
\(-\dfrac{7}{18}\div (-\dfrac{14}{27})\)
- 回答
-
\(-\dfrac{7}{18}\div(-\dfrac{14}{27})\) 要除以，请将第一个分数乘以第二个分数的倒数。 \(-\dfrac{7}{18}\cdot -\dfrac{27}{14}\) 确定产品的符号，然后乘以.. \(\dfrac{7\cdot 27}{18\cdot 14}\) 重写显示常见因素。 
移除常见因素。 \(\dfrac{3}{2\cdot 2}\) 简化。 \(\dfrac{3}{4}\)
找出商数：
\(-\dfrac{7}{8}\div (-\dfrac{14}{27})\)
- 回答
-
\(\dfrac{4}{15}\)
找出商数：
\(-\dfrac{7}{8}\div (-\dfrac{14}{27})\)
- 回答
-
\(\dfrac{2}{3}\)
有几种方法可以记住要采取哪些步骤来乘以或除分数。 一种方法是重复对自己的呼唤。 如果你每次练习时都这样做，你就会记住这些步骤。
- “要乘以分数，请将分子乘以然后乘以分母。”
- “要除以分数，请将第一个分数乘以第二个分数的倒数。”
另一种方法是记住两个例子：
某些分数的分子或分母本身包含分数。 分子或分母是分数的分数称为复数分数。
复数分数是其中分子或分母包含分数的分数。
复杂分数的一些例子是：
\[\dfrac{\frac{6}{7}}{3} \quad \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \quad \dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{5}{6}}\]
为了简化复杂分数，我们记得分数条表示除法。 例如，复数分数\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}\)意味着\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}\)。
简化：\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}\) 重写为分区。 \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}\) 将第一个分数乘以第二个分数的倒数。 \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{5}\) 乘以。 \(\dfrac{3\cdot 8}{4\cdot 5}\) 寻找常见因素。 
划分常见因素并进行简化。 \(\dfrac{6}{5}\)
简化：\(\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{4}{5}\)
简化：\(\dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{6}{11}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{11}{14}\)
简化：\(\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}\) 重写为分区。 \(\dfrac{x}{2} \div \dfrac{xy}{6}\) 将第一个分数乘以第二个分数的倒数。 \(\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{6}{xy}\) 乘以。 \(\dfrac{x\cdot 6}{2\cdot xy}\) 寻找常见因素。 
划分常见因素并进行简化。 \(\dfrac{3}{y}\)
简化：\(\dfrac{\frac{a}{8}}{\frac{ab}{6}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{3}{4b}\)
简化：\(\dfrac{\frac{p}{2}}{\frac{pq}{8}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{4}{q}\)
使用分数条简化表达式
在分数中将分子与分母分隔开的直线称为分数条。 分数条用作分组符号。 然后，运算顺序告诉我们要简化分子，然后简化分母。 然后我们分开。
为了简化表达式\(\dfrac{5 - 3}{7 + 1}\)，我们首先分别简化分子和分母。 然后我们分开。
\[\begin{array} {l} {\dfrac{5 - 3}{7 + 1}} \\ {\dfrac{2}{8}} \\ {\dfrac{1}{4}} \end{array}\]
使用@@
- 简化分子中的表达式。 简化分母中的表达式。
- 简化分数。
简化：\(\dfrac{4 - 2(3)}{2^{2} + 2}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{4 - 2(3)}{2^{2} + 2}} \\ {\text{Use the order of operations to simplify the}} &{\dfrac{4 - 6}{4 + 2}} \\ {\text{numerator and the denominator.}} &{} \\ {\text{Simplify the numerator and the denominator}} &{\dfrac{-2}{6}} \\ {\text{Simplify. A negative divided by a positive is negative.}} &{-\dfrac{1}{3}} \end{array}\]
简化：\(\dfrac{6 - 3(5)}{3^{2} + 3}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{3}{4}\)
简化：\(\dfrac{4 - 4(6)}{3^{2} + 3}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{5}{3}\)
分数中的负号在哪里？ 通常负号位于分数的前面，但有时您会看到带有负分母的分数，有时会看到带有负分母的分数。 请记住，分数代表除法。 当分子和分母有不同的符号时，商为负数。
\[\begin{array} {ll} {\frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}} &{\frac{\text{negative}}{\text{positive}} = \text{negative}} \\ {\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}} &{\frac{\text{positive}}{\text{negative}} = \text{negative}} \end{array}\]
对于任何正数\(a\)\(b\)和
\[\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\]
简化：\(\frac{4(-3) + 6(-2)}{-3(2) - 2}\)
- 回答
-
分数条的作用类似于分组符号。 因此，完全分别简化分子和分母。
\[\begin{array} {ll} {} &{\frac{4(-3) + 6(-2)}{-3(2) - 2}} \\{\text{Multiply.}} &{\frac{-12 + (-12)}{-6 - 2}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{-24}{-8}} \\ {\text{Divide.}} &{3} \end{array}\]
简化：\(\frac{8(-2) + 4(-3)}{-5(2) + 3}\)
- 回答
-
\(4\)
简化：\(\frac{7(-1) + 9(-3)}{-5(3) - 2}\)
- 回答
-
\(2\)
将短语翻译成带分数的表达式
现在我们已经对分数做了一些工作，我们可以翻译那些会生成带有分数的表达式的短语了。
英语单词 quotient 和 r atio 通常用于描述分数。 请记住，“商” 表示除法。 aa 和 bb 的商是我们除\(b\)以\(a\) or 得到的结果\(\dfrac{a}{b}\)。
将英语短语翻译成代数表达式：and\( m\) 和\(n\) and 之差的商\(p\)。
- 回答
-
我们正在寻找 and\(m\) 和\(n\)\(p\)... 之差的商 这意味着我们要划分 and\(m\) 和\(n\) and 的差值\(p\)。
\[\dfrac{m - n}{p}\]
将英语短语翻译成代数表达式：and\(a\) 和\(b\) and 之差的商\(cd\)。
- 回答
-
\(\dfrac{a - b}{cd}\)
将英语短语翻译成代数表达式：和\(q\)、\(p\)和之和的商\(r\)。
- 回答
-
\(\dfrac{p + q}{r}\)
关键概念
- 等效分数属性：如果\(a, b, c\)是数字\(b\neq 0, c\neq 0\)，其中，则
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\cdot c}{b\cdot c}\)和\(\dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} = \dfrac{a}{b}\) - 分数除法：如果\(a, b, c\)和\(d\)是数字，其中\(b\neq 0, c\neq 0\) an\(d \neq 0\) d，则\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\)。 要除以分数，请将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
- 分数乘法：如果\(a,b,c\)和\(d\)是数字\(b\neq 0, d\neq 0\)，那么\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\)。 要乘以分数，请将分子相乘并乘以分母。
- 在@@ 分数中放置负号：对于任何正数\(a\)\(b\)和\(\dfrac{-a}{a} = \dfrac{a}{-a} = -\dfrac{a}{b}\)
- 一的属性:\(\dfrac{a}{a} = 1\); 除零以外的任何数值除以自身均为一。
- 简化分数
- 重写分子和分母以显示常见因子。 如果需要，先将分子和分母分数分成素数。
- 通过除去常见因子来简化等效分数属性的使用。
- 将所有剩余因子相乘。
- 使用分数条简化表达式
- 简化分子中的表达式。 简化分母中的表达式。
- 简化分数。
词汇表
- 复杂分数
- 复数分数是其中分子或分母包含分数的分数。
- 分母
- 分母是分数底部的值，表示整数被分成相等部分的数量。
- 等效分数
- 等效分数是具有相同值的分数。
- 分数
- 写入分数\(\frac{a}{b}\)\(b\neq 0\)，其中 a 是分子，b 是分母。 分数代表整体的各个部分。 分母 b 是整数被划分为的相等部分的数量，分子 aa 表示包含了多少个部分。
- 分子
- 分子是分数顶部的值，表示包含了整体的多少部分。
- 倒数
- 的倒数\(\frac{a}{b}\)是\(\frac{b}{a}\)。 一个数字及其倒数乘以一:\(\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} = 1\).
- 简化的分数
- 如果分数的分子和分母中没有共同的因子，则认为分数是简化的。