5.3: 指数和科学记数法的属性

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用指数的属性简化表达式
• 使用负指数的定义
• 使用科学记数法

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：$(−2)(−2)(−2)$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 简化：$\dfrac{8x}{24y}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 命名十进制$(−2.6)(4.21)$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

使用指数属性简化表达式

请记住，指数表示相同数量的重复乘法。 例如，在表达式中$a^m$，指数$m$告诉我们使用基数$a$作为因子的次数。

$$a^{m}= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\color{cyan}{\text{m factors}}} \nonumber$$

例如

$$(-9)^{5}= \underbrace{ (-9)\cdot (-9)\cdot (-9)\cdot (-9) \cdot (-9)}_{\color{cyan}{\text{5 factors}}} \nonumber$$

让我们回顾一下带有指数的表达式的词汇表。

定义：指数表示法

这已经被大$a$$m^{th}$力读懂了。

在表达式中$a^m$，指数$m$告诉我们使用基数$a$作为因子的次数。

当我们通过加减来组合相似项时，我们需要使用相同的基数和相同的指数。 但是当你乘以和除法时，指数可能会有所不同，有时基数也可能不同。

首先，我们将看一个通向产品属性的示例。

		$x^{2} \cdot x^{3}$
这是什么意思？		$\underbrace{x \cdot x}_{2 factors} \color{cyan}{\cdot} \underbrace{\color{black}{} x\cdot x \cdot x}_{3 factors}$
		$x^{5}$

请注意，5 是指数 2 和 3 的总和。 我们看到$x_2 \cdot x_3$的是$x^{2+3}$或$x^5$。

基数保持不变，我们添加了指数。 这导致了指数的乘积属性。

定义：指数的乘积属性

如果 a 是实数且$m$和$n$是整数，则

$$a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber$$

要用相似的基数相乘，请将指数相加。

示例$\PageIndex{1}$

简化每个表达式：

1. $y^5·y^6$
2. $2^x·2^{3x}$
3. $2a^7·3a$。

回答

ⓐ

使用产品属性，$a^m·a^n=a^{m+n}$。
简化。

ⓑ

使用产品属性，$a^m·a^n=a^{m+n}$。
简化。

ⓒ

重写，$a=a^1$。
使用可交换属性并 使用产品属性$a^m·a^n=a^{m+n}$。
简化。

ⓓ

将指数相加，因为基数相同。
简化。

示例$\PageIndex{2}$

简化每个表达式：

1. $b^9·b^8$
2. $4^{2x}·4^x$
3. $3p^5·4p$
4. $x^6·x^4·x^8$。

回答

ⓐ$b^{17}$ ⓑ$4^{3x}$ ⓒ$12p^6$
ⓓ$x^{18}$

示例$\PageIndex{3}$

简化每个表达式：

1. $x^{12}·x4$
2. $10·10^x$
3. $2z·6z^7$
4. $b^5·b^9·b^5$。

回答 a

$x^{16}$

答案 b

$10^{x+1}$

答案 c

$12z^8$

回答 d

$b^{19}$

现在我们来看看除法的指数属性。 和以前一样，我们将尝试通过查看一些示例来发现房产。

考虑一下	$\dfrac{x^5}{x^2}$	和	$\dfrac{x^2}{x^3}$
他们是什么意思？	$\dfrac{x·x·x·x·x}{x·x}$		$\dfrac{x·x}{x·x·x}$
使用等效分数属性。	$\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}$		$\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}$
简化。	$x^3$		$\dfrac{1}{x}$

注意，在每种情况下，基数都是一样的，我们减去了指数。 我们看到$\dfrac{x^5}{x^2}$的是$x^{5−2}$或$x^3$。 我们看到$\dfrac{x^2}{x^3}$的是或$\dfrac{1}{x}$。 当分子中出现较大的指数时，分子中就剩下了因子。 当分母中出现较大的指数时，我们在分母中就剩下了因子——注意 1 的分子。 当分子中的所有因子都被移除后，请记住这实际上是将因子除以 1，所以我们在分子中需要一个 1。 $\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1$。 这就产生了指数的商属性。

定义：指数的商属性

如果$a$是实数$a \neq 0$，$m$和$n$是整数，那么

$$\begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m} \\ \nonumber \end{array}$$

示例$\PageIndex{4}$

简化每个表达式：

1. $\dfrac{x^9}{x^7}$
2. $\dfrac{3^{10}}{3^2}$
3. $\dfrac{b^8}{b^{12}}$
4. $\dfrac{7^3}{7^5}$。

回答

为了简化带商的表达式，我们需要首先比较分子和分母中的指数。

ⓐ

因为$9>7$，分子中有更多的因子。$x$
使用商数属性，$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$。
简化。

ⓑ

因为$10>2$，分子中有更多的因子。$3$
使用商数属性，$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$。
简化。

请注意，当分子中存在较大的指数时，分子中就剩下了因子。

ⓒ

因为$12>8$，分母中有更多的 bb 因子。
使用商数属性，$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$。
简化。

ⓓ

因为$5>3$，分母中有更多的因子。$3$
使用商数属性，$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$。
简化。
简化。

请注意，当分母中存在较大的指数时，分母中就剩下了因子。

示例$\PageIndex{5}$

简化每个表达式：

1. $\dfrac{x^{15}}{x^{10}}$
2. $\dfrac{6^{14}}{6^5}$
3. $\dfrac{x^{18}}{x^{22}}$
4. $\dfrac{12^{15}}{12^{30}}$。

回答

ⓐ$x^5$

ⓑ$6^9$

ⓒ$\dfrac{1}{x^4}$
ⓓ$\dfrac{1}{12^{15}}$

示例$\PageIndex{6}$

简化每个表达式：

1. $\dfrac{y^{43}}{y^{37}}$
2. $\dfrac{10^{15}}{10^{7}}$
3. $\dfrac{m^7}{m^{15}}$
4. $\dfrac{9^8}{9^{19}}$。

回答

ⓐ$y_6$

ⓑ$108$

ⓒ$1m8$
ⓓ$\dfrac{1}{9^{11}}$

Quotient Propert y 的一个特例是分子和分母的指数相等，例如像这样的表达式$\dfrac{a^m}{a^m}$。 我们知道，$\dfrac{x}{x}=1$，因为任何数字除以$x(x\neq 0)$自身都是 1。

指数的商属性向我们展示了如何通过减去指数来简化$\dfrac{a^m}{a^m}$。n<mn<m 的时间$m>n$和时间。 如果呢$m=n$？ 我们将通过两种$\dfrac{a^m}{a^m}$方式进行简化，引导我们了解零指数属性的定义。 一般来说，用于$a \neq 0$：

我们看到$\dfrac{a^m}{a^m}$简化为 1$a^0$ 和 1。 所以$a^0=1$。 任何非零基数提高到零的次方等于$1$。

定义：零指数属性

如果$a$是非零数字，那么$a^0=1$。

如果$a$是非零数，则零$a$的次方等于$1$。

任何提高到零次方数的非零数都是$1$。

在本文中，我们假设我们提高到零次方的任何变量都不是零。

示例$\PageIndex{7}$

简化每个表达式：ⓐ$9^0$ ⓑ$n^0$。

回答

定义表明，任何提高到零幂的非零数都是$1$。

ⓐ 使用零指数的定义。 $9^0 = 1$

ⓑ 使用零指数的定义。 $n^0 = 1$

为了简化将表达式$n$提高到零次方，我们只使用零指数的定义。 结果是$1$。

示例$\PageIndex{8}$

简化每个表达式：ⓐ$11^0$ ⓑ$q^0$。

回答

ⓐ 1

ⓑ 1

示例$\PageIndex{9}$

简化每个表达式：ⓐ$23^0$ ⓑ$r^0$。

回答

ⓐ 1

ⓑ 1

使用负指数的定义

我们看到，指数的商属性有两种形式，具体取决于指数在分子还是分母中较大。 如果不管哪个指数更大，我们都只减去指数怎么办？

让我们考虑一下$\dfrac{x^2}{x^5}$。 我们从分子中的指数中减去分母中的指数。 我们看到$\dfrac{x^2}{x^5}$的是$x^{2−5}$或$x^{−3}$。

我们还可以$\dfrac{x^2}{x^5}$通过划分常见因素来进行简化：

这意味着这一点$x^{−3}=\dfrac{1}{x^3}$，它使我们得出了负指数的定义。 如果 n 是一个整数$a\neq 0$，那么$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$。

现在让我们来看看分子为一且分母为整数的分数会发生什么。

$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{a^{-n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}= \dfrac{1}{a^n}} &{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{1·\dfrac{a^n}{1}} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply.}} &{a^n} \\ \end{array}$

这意味着$\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n$并且是负指数属性定义的另一种形式。

定义：负指数的属性

如果$n$是整数 and$a\neq 0$，则$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$或$\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n$。

负指数告诉我们，我们可以通过取基数的倒数然后更改指数的符号来重写表达式。

任何具有负指数的表达式都不被视为最简单的形式。 我们将使用负指数的定义和指数的其他属性来编写仅包含正指数的表达式。

例如，如果在简化了一个表达式之后我们最终得到了一个表达式$x^{−3}$，那么我们将再走一步来编写$\dfrac{1}{x^3}$。 当答案只有正指数时，它被认为是最简单的形式。

示例$\PageIndex{10}$

简化每个表达式：ⓐ$x^{−5}$ ⓑ$10^{−3}$ ⓒ$\dfrac{1}{y^{−4}}$ ⓓ$13^{−2}$。

回答

ⓐ

$\begin{array} {ll} {} &{x^{−5}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{x^5}} \\ \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {ll} {} &{10^{-3}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{10^3}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{1000}} \\ \end{array}$

ⓒ

$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{y^{-4}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{y^4} \\ \end{array}$

ⓓ

$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{3^{-2}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{3^2} \\ {\text{Simplify.}} &{9} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{11}$

简化每个表达式：ⓐ$z^{−3}$ ⓑ$10^{−7}$ ⓒ$\dfrac{1}{p^{−8}}$ ⓓ$\dfrac{1}{4^{−3}}$。

回答

ⓐ$\dfrac{1}{z^3}$ ⓑ$\dfrac{1}{10^7}$ ⓒ$p^8$ ⓓ$64$

示例$\PageIndex{12}$

简化每个表达式：ⓐ$n^{−2}$ ⓑ$10^{−4}$ ⓒ$\dfrac{1}{q^{−7}}$ ⓓ$\dfrac{1}{2^{−4}}$。

回答

ⓐ$\dfrac{1}{n^2}$ ⓑ$\dfrac{1}{10,000}$ ⓒ$q^7$
ⓓ$16$

假设现在我们有一个分数提高到负指数。 让我们使用负指数的定义来引导我们找到一个新的属性。

$\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{2}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the denominator.}} &{\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}} \\{} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{\dfrac{16}{9}} \\ {} &{} \\ {\text{But we know that }\dfrac{16}{9}\text{ is } \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}.} &{} \\ {\text{This tells us that}} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}} \\ \end{array}$

为了从原始分数上升到负指数到最终结果，我们取了基数的倒数（分数），然后更改了指数的符号。

这使我们得出了商到负幂属性。

商到负幂属性

如果$a$和$b$是实数$a\neq 0$，$b\neq 0$并且$n$是整数，那么

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n \nonumber$$ 。

示例$\PageIndex{13}$

简化每个表达式：ⓐ$\left( \dfrac{5}{7} \right)^{−2}$ ⓑ$\left( −\dfrac{x}{y} \right)^{−3}$。

回答

ⓐ

$\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{5}{7}\right)^{-2}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{49}{25}} \\ \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {ll} {} &{\left( -\dfrac{x}{y}\right)^{-3}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( -\dfrac{y}{x}\right)^3} \\ {\text{Simplify.}} &{-\dfrac{y^3}{x^3}} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{14}$

简化每个表达式：ⓐ$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{−4}$ ⓑ$\left(−\dfrac{m}{n}\right)^{−2}$。

回答

ⓐ$\dfrac{81}{16}$ ⓑ$\dfrac{n^2}{m^2}$

示例$\PageIndex{15}$

简化每个表达式：ⓐ$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{−3}$ ⓑ$\left(−\dfrac{a}{b}\right)^{−4}$。

回答

ⓐ$\dfrac{125}{27}$ ⓑ$\dfrac{b^4}{a^4}$

现在我们有了负指数，我们将在具有负指数的表达式中使用 Product 属性。

示例$\PageIndex{16}$

简化每个表达式：ⓐ$z^{−5}·z^{−3}$ ⓑ$(m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})$ ⓒ$(2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})$。

回答

ⓐ

$\begin{array} {ll} {} &{z^{−5}·z^{−3}} \\ {\text{Add the exponents, since the bases are the same.}} &{z^{−5−3}} \\ {\text{Simplify.}} &{z^{−8}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent.}} &{\dfrac{1}{z^8}} \\ \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {ll} {} &{(m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})} \\ {\text{Use the Commutative Property to get like}} &{} \\ {\text{bases together.}} &{m^4m^{−5}·n^{−2}n^{−3}} \\ {\text{Add the exponents for each base.}} &{m^{−1}·n^{−5}} \\ {\text{Take reciprocals and change the signs of the exponents.}} &{\dfrac{1}{m^1}·\dfrac{1}{n^5}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{mn^5}} \\ \end{array}$

ⓒ

$\begin{array} {ll} {} &{(2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})} \\ {\text{Rewrite with the like bases together.}} &{2(−5)·(x^{−6}x^5)·(y^8y^{−3})} \\ {\text{Multiply the coefficients and add the exponents}} &{} \\ {\text{of each variable.}} &{−10·x^{−1}·y5} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent,} a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{−10·\dfrac{1}{x}·y^5} \\ {\text{Simplify.}} &{−10y^5x} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{17}$

简化每个表达式：

ⓐ$z^{−4}·z^{−5}$ ⓑ$(p^6q^{−2})(p^{−9}q^{−1})$ ⓒ$(3u^{−5}v^7)(−4u^4v^{−2})$。

回答

ⓐ$\dfrac{1}{z^9}$ ⓑ$\dfrac{1}{p^3q^3}$ ⓒ$−\dfrac{12v^5}{u}$

示例$\PageIndex{18}$

简化每个表达式：

ⓐ$c^{−8}·c^{−7}$ ⓑ$(r^5s^{−3})(r^{−7}s^{−5})$ ⓒ$(−6c^{−6}d^4)(−5c^{−2}d^{−1})$。

回答

ⓐ$\dfrac{1}{c^15}$ ⓑ$\dfrac{1}{r^2s^8}$ ⓒ$\dfrac{30d^3}{c^8}$

现在让我们来看一个指数表达式，它包含一个上升为幂的乘方。 看看你能不能找到一般财产。

$\begin{array} {ll} {} &{(x^2)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{x^2·x^2·x^2} \\ \end{array}$

总共有多少因素？
所以我们有

注意 6 是指数 2 和 3 的乘积。 我们看到那$(x^2)^3$是$x^{2·3}$或$x^6$。

我们将指数相乘。 这就产生了指数的幂属性。

定义：指数的幂属性

如果$a$是实数并且$m$和$n$是整数，那么

$$(a^m)^n=a^{m·n} \nonumber$$

要将乘方提高到乘方，请将指数相乘。

示例$\PageIndex{19}$

简化每个表达式：ⓐ$(y^5)^9$ ⓑ$(4^4)^7$ ⓒ$(y^3)^6(y^5)^4$。

回答

ⓐ

使用电源属性，$(a^m)^n=a^{m·n}$。
简化。

ⓑ

使用电源属性。
简化。

ⓒ

$\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Use the Power Property.}} &{y^{18}·y^{20}} \\ {\text{Add the exponents.}} &{y^{38}} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{20}$

简化每个表达式：ⓐ$(b^7)^5$ ⓑ$(5^4)^3$ ⓒ$(a^4)^5(a^7)^4$。

回答

ⓐ$b^{35}$ ⓑ$5^{12}$ ⓒ$a^{48}$

示例$\PageIndex{21}$

简化每个表达式：ⓐ$(z^6)^9$ ⓑ$(3^7)^7$ ⓒ$(q^4)^5(q^3)^3$。

回答

ⓐ$z^{54}$ ⓑ$3^{49}$ ⓒ$q^{29}$

现在，我们将看一个包含乘积的表达式，该表达式被提升为幂的乘积。 你能找到这个图案吗？

$\begin{array} {ll} {} &{(2x)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{2x·2x·2x} \\ {\text{We group the like factors together.}} &{2·2·2·x·x·x} \\ {\text{How many factors of 2 and of }}x &{2^3·x^3} \\ \end{array}$

请注意，每个因子都被提高到幂次方，并且$(2x)^3$是$2^3·x^3$。

指数适用于每个因子！ 这导致乘积为指数的幂属性。

定义：指数的乘积与幂属性

如果$a$和$b$是实数并且$m$是整数，那么

$$(ab)^m=a^mb^m \nonumber$$

要将乘积提高到一个功率，请将每个因子提高到该功率。

示例$\PageIndex{22}$

简化每个表达式：ⓐ$(−3mn)^3$ ⓑ$(−4a^2b)^0$ ⓒ$(6k^3)^{−2}$ ⓓ$(5x^{−3})^2$。

回答

ⓐ

使用产品属性的力量，$(ab)^m=a^mb^m$。
简化。

ⓑ

$\begin{array} {ll} {} &{(−4a^2b)^0} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(−4)^0(a^2)^0(b)^0} \\ {\text{Simplify.}} &{1·1·1} \\ {\text{Multiply.}} &{1} \\ \end{array}$

ⓒ

$\begin{array} {ll} {} &{(6k^3)^{−2}} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(6)^{−2}(k^3)^{−2}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{6^{−2}k^{−6}} \\ {\text{Use the Definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{6^2}·\dfrac{1}{k^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{36k^6}} \\ \end{array}$

ⓓ

$\begin{array} {ll} {} &{(5x^{−3})^2} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{5^2(x^{−3})^2} \\ {\text{Simplify.}} &{25·x^{−6}} \\ {\text{Rewrite }x−6 \text{using, }a^{−n}=\text{1}{a^n}.} &{25·\dfrac{1}{x^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{25}{x^6}} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{23}$

简化每个表达式：ⓐ$(2wx)^5$ ⓑ$(−11pq3)^0$ ⓒ$(2b^3)^{−4}$ ⓓ$(8a^{−4})^2$。

回答

ⓐ$32w^5x^5$ ⓑ 1 ⓒ$\dfrac{1}{16b^{12}}$
ⓓ$\dfrac{64}{a^8}$

示例$\PageIndex{24}$

简化每个表达式：ⓐ$(−3y)^3$ ⓑ$(−8m^2n^3)^0$ ⓒ$(−4x^4)^{−2}$ ⓓ$(2c^{−4})^3$。

回答

ⓐ$−27y^3$ ⓑ 1 ⓒ$\dfrac{1}{16x^8}$
ⓓ$8c^{12}$

现在我们来看一个例子，它将引导我们找到权属性的商。

$\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{x}{y}\right)^3} \\ {\text{This means}} &{\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}} \\ {\text{Multiply the fractions.}} &{\dfrac{x·x·x}{y·y·y}} \\ {\text{Write with exponents.}} &{\dfrac{x^3}{y^3}} \\ \end{array}$

请注意，指数既适用于分子，也适用于分母。

我们明白$\left(\dfrac{x}{y}\right)^3$是这样$\dfrac{x^3}{y^3}$。

这会导致指数的商变为幂属性。

定义：指数的商到幂属性

如果$a$和$b$是实数$b\neq 0$，并且$m$是整数，那么

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber$$

要将分数提高到乘方，请将分子和分母提高到该次方。

示例$\PageIndex{25}$

简化每个表达式：

ⓐ$\left(\dfrac{b}{3}\right)^4$ ⓑ$\left(\dfrac{k}{j}\right)^{−3}$ ⓒ$\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3$ ⓓ$\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2$。

回答

ⓐ

使用商来表示功率属性，$(ab)^m=a^mb^m$。
简化。

ⓑ

将分子和分母提高到幂次方。
使用负指数的定义。
乘。

ⓒ

$\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2xy^2)^3}{z^3}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{8x^3y^6}{z^3}} \\ \end{array}$

ⓓ

$\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(4p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4^2(p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Simplify using the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{\dfrac{16p^{−6}}{q^4}} \\ {\text{Use the definition of negative exponent.}} &{\dfrac{16}{q^4}·\dfrac{1}{p^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{16}{p^6q^4}} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{26}$

简化每个表达式：

ⓐ$\left(\dfrac{p}{10}\right)^4$ ⓑ$\left(\dfrac{m}{n}\right)^{−7}$ ⓒ$\left(\dfrac{3ab^3}{c^2}\right)^4$ ⓓ$\left(\dfrac{3x^{−2}}{y^3}\right)^3$。

回答

ⓐ$\dfrac{p^4}{10000}$ ⓑ$\dfrac{n^7}{m^7}$
ⓒ$\dfrac{81a^4b^{12}}{c^8}$ ⓓ$\dfrac{27}{x^6y^9}$

示例$\PageIndex{27}$

简化每个表达式：

ⓐ$\left(\dfrac{−2}{q}\right)^3$ ⓑ$\left(\dfrac{w}{x}\right)^{−4}$ ⓒ$\left(\dfrac{xy^3}{3z^2}\right)^2$ ⓓ$\left(\dfrac{2m^{−2}}{n^{−2}}\right)^3$。

回答

ⓐ$\dfrac{−8}{q^3}$ ⓑ$\dfrac{x^4}{w^4}$ ⓒ$\dfrac{x^2y^6}{9z^4}$
ⓓ$\dfrac{8n^6}{m^6}$

我们现在有几个指数的属性。 让我们总结一下，然后再做一些使用多个属性的示例。

定义：指数属性的摘要

如果$a$和$b$是实数，并且$m$和$n$是整数，那么

财产	描述
产品属性	$a^m·a^n=a^{m+n}$
功率财产	$(a^m)^n=a^{m·n}$
从产品到力量	$(ab)^n=a^nb^n$
商数属性	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},a\neq 0$
零指数属性	$a^0=1,a \neq 0$
商到幂属性	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m},b \neq 0$
负指数的属性	$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$和$\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n$
商到负指数	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$

示例$\PageIndex{28}$

通过应用多个属性来简化每个表达式：

ⓐ$(3x^2y)^4(2xy^2)^3$ ⓑ$\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}$ ⓒ$\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}$。

回答

ⓐ

$\begin{array} {ll} {} &{(3x^2y)^4(2xy^2)^3} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(3^4x^8y^4)(2^3x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{(81x^8y^4)(8x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Commutative Property.}} &{81·8·x^8·x^3·y^4·y^6} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply the constants and add the exponents.}} &{648x^{11}y^{10}} \\ \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{(x^{12})(x^{−10})(x^{30})} \\ {\text{Add the exponents in the numerator.}} &{\dfrac{x^2}{x^{30}}} \\ {\text{Use the Quotient Property, }\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}}.} &{\dfrac{1}{x^{28}}} \\ \end{array}$

ⓒ

$\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}} \\ {\text{Simplify inside the parentheses first.}} &{\left(\dfrac{2y^4}{x^2}\right)^2\left(\dfrac{12y^4}{x^2}\right)^{−1}} \\ {\text{Use the Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2y^4)^2}{(x^2)^2}\dfrac{(12y^4)^{−1}}{(x^2)^{−1}}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4y^8}{x^4}·\dfrac{12^{−1}y^{−4}}{x^{−2}}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{4y^4}{12x^2}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{y^4}{3x^2}} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{29}$

简化每个表达式：

ⓐ$(c^4d^2)^5(3cd^5)^4$ ⓑ$\dfrac{(a^{−2})^3(a^2)^4}{(a^4)^5}$ ⓒ$\left(\dfrac{3xy^2}{x^2y^{−3}}\right)^2$

回答

ⓐ$81c^{24}d^{30}$ ⓑ$\dfrac{1}{a^{18}}$
ⓒ$\dfrac{9y^{10}}{x^2}$

示例$\PageIndex{30}$

简化每个表达式：

ⓐ$(a^3b^2)^6(4ab^3)^4$ ⓑ$\dfrac{(p^{−3})^4(p^5)^3}{(p^7)^6}$ ⓒ$\left(\dfrac{4x^3y^2}{x^2y^{−1}}\right)^2\left(\dfrac{8xy^{−3}}{x^2y}\right)^{−1}$。

回答

ⓐ$256a^{22}b^{24}$ ⓑ$\dfrac{1}{p^{39}}$
ⓒ$2x^3y^{10}$

使用科学记数法

处理非常大或非常小的数字可能会很尴尬。 由于我们的数字系统以十为基数，我们可以使用十的幂来重写非常大或非常小的数字，以使它们更易于使用。 以数字 4,000 和 0.004 为例。

使用位值，我们可以重写数字 4,000 和 0.004。 我们知道 4,000 表示$4\times1,000$，0.004 表示$4\times\dfrac{1}{1,000}$。

如果我们以指数形式将 1,000 写成十的幂次方，我们可以用这种方式重写这些数字：

4,000	$4\times1,000$	$4\times103$
0.004	$4\times\dfrac{1}{1,000}$	$4\times\dfrac{1}{103}$	$4\times10^{−3}$

当一个数字写成两个数字的乘积时，其中第一个因子是大于或等于一但小于十的数字，第二个因子是以指数形式书写的 10 的幂时，据说它是用科学记数法写的。

定义：科学记数法

数字的形式是用科学记数法表示的

$$\begin{array} {llllllllllll} {a} &{\times} &{10^n} &{\text{where}} &{1} &{\leq} &{a} &{<} &{10} &{\text{and}} &{n} &{\text{is an integer.}} \\ \nonumber \end{array}$$

在科学记数法中，习惯上使用$\times$乘法符号作为乘法符号，尽管我们避免在代数的其他地方使用这个符号。

如果我们看看小数点发生了什么，我们可以看到一种可以轻松地从十进制记数法转换为科学记数法的方法。

在这两种情况下，将小数点移动 3 位，得出介于 1 和 10 之间的第一个因子。

当数字大于时 10 的幂为正$1: 4,000=4\times10^3$

当数字介于 0 和 1 之间时，10 的幂为负：$0.004=4\times10^{−3}$

定义：将十进制转换为科学记数法。

1. 移动小数点，使第一个因子大于或等于 1 但小于 10。
2. 计算小数点移动的小数位数。$n$
3. 将数字写成 10 的乘积。 如果原始数字是.
   • 大于 1，10 的次方将为$10^n$。
   • 在 0 和 1 之间，10 的幂将为$10^{−n}$。
4. 查看。

示例$\PageIndex{31}$

用科学记数法书写：ⓐ$37,000$ ⓑ$0.0052$。

回答

ⓐ

原始数字 37,000 大于 1， 因此我们的正次方为 10。	37,000
移动小数点得到 3.7，一个 介于 1 和 10 之间的数字。
计算该点 移动的小数位数。
以 10 的幂数写成 produce。
$\begin{array} {ll} {} &{3.7\times 10^4 } \\ {\text{Check:}} &{3.7 \times 10,000 } \\ {} &{37,000} \\ \end{array}$

ⓑ

原始数字 0.0052 介于 0 和 1 之间，因此我们的负乘方为 10。	0.0052
移动小数点得到 5.2，一个 介于 1 和 10 之间的数字。
计算该点 移动的小数位数。
以 10 的幂数写成 produce。
$\begin{array} {ll} {\text{Check:}} &{5.2\times10^{−3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{10^3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{1000}} \\ {} &{5.2\times 0.001} \\ {} &{0.0052} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{32}$

用科学记数法书写：ⓐ 96,000 ⓑ 0.0078。

回答

ⓐ$9.6\times 10^4$ ⓑ$7.8\times 10^{−3}$

示例$\PageIndex{33}$

用科学记数法书写：ⓐ 48,300 ⓑ 0.0129。

回答

ⓐ$4.83\times10^4$
ⓑ$1.29\times10^{−2}$

我们怎样才能从科学记数法转换为十进制形式？ 让我们来看看用科学记数法书写的两个数字，然后看看。

$$\begin{array} {lll} {9.12\times10^4} &{} &{9.12\times10^{−4}} \\ {9.12\times10,000} &{} &{9.12\times0.0001} \\ {91,200} &{} &{0.000912} \\ \nonumber \end{array}$$

如果我们看一下小数点的位置，我们可以看到一种简单的方法可以将数字从科学记数法转换为十进制形式。

在这两种情况下，小数点都移动了 4 位。 当指数为正数时，小数向右移动。 当指数为负数时，小数点向左移动。

定义：将科学记数法转换为十进制形式。

1. 确定因子 10 的指数。$n$
2. 移动小数$n$位，必要时添加零。
   • 如果指数为正，则将小$n$数点向右移动。
   • 如果指数为负数，则将小$|n|$数点向左移动。
3. 查看。

示例$\PageIndex{34}$

转换为十进制格式：ⓐ$6.2\times10^3$ ⓑ$−8.9\times 10^{−2}$。

回答

ⓐ

确定因子 10 的指数。$n$
	指数为 3。
由于指数为正，因此将 小数点向右移动 3 位。
根据需要为占位符添加零。

ⓑ

确定因子 10 的指数。$n$	指数为 −2.−2。
由于指数为负，因此将 小数点向左移动 2 位。
根据需要为占位符添加零。

示例$\PageIndex{35}$

转换为十进制格式：ⓐ$1.3\times 10^3$ ⓑ$−1.2\times 10^{−4}$。

回答

ⓐ 1,300 ⓑ$−0.00012$

示例$\PageIndex{36}$

转换为十进制格式：ⓐ$−9.5\times 10^4$ ⓑ$7.5\times 10^{−2}$。

回答

ⓐ$−950,000$ ⓑ 0.075

当科学家用非常大或非常小的数字进行计算时，他们使用科学记数法。 科学记数法提供了一种无需写大量零即可完成计算的方法。 我们将看到如何使用指数的属性来乘以和除以科学计数法中的数字。

示例$\PageIndex{37}$

按指示进行乘法或除法。 以十进制形式写出答案：ⓐ$(−4\times10^5)(2\times10^{−7})$ ⓑ$\dfrac{9\times10^3}{3\times10^{−2}}$。

回答

ⓐ

$\begin{array} {ll} {} &{(−4\times10^5)(2\times10^{−7})} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the factors.}} &{−4·2·10^5·10^{−7}} \\ {\text{Multiply.}} &{−8\times10^{−2}} \\ {} &{} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal two}} &{} \\ {\text{places left.}} &{−0.08} \\ \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{9\times10^3}{9\times10^{−2}}} \\ {\text{Separate the factors, rewriting as the product of two}} &{} \\ {\text{fractions.}} &{\dfrac{9}{3}\times\dfrac{10^3}{10^{−2}}} \\ {\text{Divide.}} &{3\times10^5} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal five}} &{} \\ {\text{places right.}} &{300,000} \\ \end{array}$

示例$\PageIndex{38}$

按指示进行乘法或除法。 以十进制形式写出答案：

ⓐ$(−3\times10^5)(2\times10^{−8})$ ⓑ$\dfrac{8\times10^2}{4\times10^{−2}}$。

回答

ⓐ$−0.006$ ⓑ 20,000

示例$\PageIndex{39}$

按指示进行乘法或除法。 以十进制形式写出答案：

ⓐ$(−3\times10^{−2})(3\times10^{−1})$ ⓑ$\dfrac{8\times10^4}{2\times10^{−1}}$。

回答

ⓐ$−0.009$ ⓑ 400,000

访问这些在线资源以获取更多指导，并练习使用指数的乘法属性。

• 指数的属性
• 负指数
• 科学记数法

关键概念

• 指数表示法
  
  这是以$m^{th}$幂$a$为单位读取的。
  在表达式中$a^m$，指数$m$告诉我们使用基数$a$作为因子的次数。
• 指数的乘积属性
  如果$a$是实数$m$并且$n$是整数，那么

  $$a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber$$

  
  要用相似的基数相乘，请将指数相加。
• 指数的商属性
  如果$a$是实数$a\neq 0$，$m$和$n$是整数，那么

  $$\begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m}\\ \nonumber \end{array}$$

• 零指数
  • 如果$a$是非零数字，那么$a^0=1$。
  • 如果$a$是非零数，则零$a$的次方等于$1$。
  • 任何提高到零幂的非零数都是$1$。
• 负指数
  • 如果$n$是整数 and$a\neq 0$，则$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$或$\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n$。
• 商到负指数属性
  如果$a$和$b$是实数$a\neq 0$，$b\neq 0$并且$n$是一个整数，那么

  $$(ab)^{−n}=(ba)^n\nonumber$$

• 指数的幂属性
  如果$a$是实数$m$并且$n$是整数，那么

  $$(a^m)^n=a^{m·n}\nonumber$$

  
  要将乘方提高到乘方，请将指数相乘。
• 指数@@ 的乘积与幂属性
  如果$a$和$b$是实数并且$m$是整数，那么

  $$(ab)^m=a^mb^m \nonumber$$

  
  要将乘积提高到一个功率，请将每个因子提高到该功率。
• 指数@@ 的商到幂属性
  如果$a$和$b$是实数$b\neq0$，并且$m$是整数，那么

  $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber$$

  
  要将分数提高到乘方，请将分子和分母提高到该次方。
• 指数属性摘要
  如果$a$和$b$是实数，并且$m$和$n$是整数，那么

  财产	描述
  产品属性	$a^m·a^n=a^{m+n}$
  功率财产	$(a^m)^n=a^{m·n}$
  从产品到力量	$(ab)^n=a^nb^n$
  商数属性	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}, a\neq 0$
  零指数属性	$a^0=1,a\neq 0$
  乘方属性的商：	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}, b\neq 0$
  负指数的属性	$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$和$\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n$
  商到负指数	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$

• 科学记
  数法当数字为以下形式时，以科学记数法表示

  $$a\space\times\space10^n \text{ where }1\leq a<10\text{ and } n \text{ is an integer.} \nonumber$$

• 如何将十进制转换为科学记数法。
  1. 移动小数点，使第一个因子大于或等于 1 但小于 10。
  2. 计算小数点移动的小数位数。$n$
  3. 将数字写成 10 的乘积。 如果原始数字是.
     • 大于 1，10 的次方将为$10^n$。
     • 在 0 和 1 之间，10 的幂将为$10^{−n}$。
  4. 查看。
• 如何将科学记数法转换为十进制形式。
  1. 确定因子 10 的指数。$n$
  2. 移动小数$n$位，必要时添加零。
     • 如果指数为正，则将小$n$数点向右移动。
     • 如果指数为负数，则将小$|n|$数点向左移动。
  3. 查看。

词汇表

产品属性

根据产品属性，$m$乘$a$$a$$a$以$a$等于$m$加号$n$。

功率财产

根据 Power Propert$a$ y，to t$n$ o 等$a$于$m$次数$n$。$m$

从产品到力量

根据 Product to a Power Property$a$，括号$b$中的$a$$m$时间$m$$b$等于$m$。

商数属性

根据 Quotient P$a$ roperty$a$，$n$只要不为零，$m$除$a$以$n$等于$m$负数。$a$

零指数属性

根据零指数属性，$1$只要不$a$为零，变为零$a$即可。

商到幂属性

根据乘方属性的商，$b$在括号中$a$除以等于除$a$以等$m$于$m$除以 to the，$m$只要不$b$为零。$b$

负指数的属性

根据负指数的属性，$a$负$n$等于$1$除以$n$，$a$再$1$除$a$以负$n$数等于$a$$n$。

商到负指数

当在括号中除以负$n$等于的次方$a$除以括号$b$中的幂时，会将商提升$b$为负指数$n$。$a$