Skip to main content
Global

10.5E: تمارين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200188

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الممارسة تجعل من الكمال

    تعرف على التمثيل البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين

    في التمارين التالية، رسم بياني:

    مثال\(\PageIndex{37}\)

    \(y=x^2+3\)

    إجابة

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. الشكل المكافئ له قمة عند (0، 3) ويمر عبر النقطة (1، 4).

    مثال\(\PageIndex{38}\):

    \(y=−x^2+1\)

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل.

    مثال\(\PageIndex{39}\)

    \(y=−2x^2−6x−7\)

    إجابة

    سقط

    مثال\(\PageIndex{40}\):

    \(y=6x^2+2x+3\)

    مثال\(\PageIndex{41}\)

    ص = 4 × ^ 2+x−4

    إجابة

    أعلى

    مثال\(\PageIndex{42}\):

    \(y=−9x^2−24x−16\)

    أوجد محور التماثل ورأس المكافئ

    في التمارين التالية، ابحث عن ⓐ محور التماثل و ⓑ قمة الرأس.

    مثال\(\PageIndex{43}\)

    \(y=x^2+8x−1\)

    إجابة

    ⓐ x=−4 ⓑ (−4، −17)

    مثال\(\PageIndex{44}\):

    \(y=x^2+10x+25\)

    مثال\(\PageIndex{45}\)

    \(y=−x^2+2x+5\)

    إجابة

    ⓐ x=1 ⓑ (1,6)

    مثال\(\PageIndex{46}\):

    \(y=−2x^2−8x−3\)

    ابحث عن الأجسام المعترضة لبارابولا

    في التمارين التالية، ابحث عن نقاط التقاطع x - و y.

    مثال\(\PageIndex{47}\)

    \(y=x^2+7x+6\)

    إجابة

    ص: (0,6)؛ س: (−1,0)، (−6,0)

    مثال\(\PageIndex{48}\):

    \(y=x^2+10x−11\)

    مثال\(\PageIndex{49}\)

    \(y=−x^2+8x−19\)

    إجابة

    ص: (0، −19)؛ x: لا شيء

    مثال\(\PageIndex{50}\):

    \(y=x^2+6x+13\)

    مثال\(\PageIndex{51}\)

    \(y=4x^2−20x+25\)

    إجابة

    من قبل: (0,25)؛ x: (52,0)

    مثال\(\PageIndex{52}\):

    \(y=−x^2−14x−49\)

    رسم بياني للمعادلات التربيعية في متغير

    في التمارين التالية، قم بالرسم البياني باستخدام الأجزاء المقطوعة والرأس ومحور التماثل.

    مثال\(\PageIndex{53}\)

    \(y=x^2+6x+5\)

    إجابة

    y: (0,5)؛ x: (−1,0)، (−5,0)؛
    المحور: x=−3؛ الرأس: (−3، −4)

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (-3، -4) والأجزاء المقطوعة (-5، 0)، (-1، 0) و (0، 5). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي -3.

    مثال\(\PageIndex{54}\):

    \(y=x^2+4x−12\)

    مثال\(\PageIndex{55}\)

    \(y=x^2+4x+3\)

    إجابة

    y: (0,3)؛ x: (−1,0)، (−3,0)؛
    المحور: x=−2؛ الرأس: (−2، −1)

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (-2، -1) والأجزاء المقطوعة (-1، 0)، (-3، 0) و (0، 3). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي -2.

    مثال\(\PageIndex{56}\):

    \(y=x^2−6x+8\)

    مثال\(\PageIndex{57}\)

    \(y=9x^2+12x+4\)

    إجابة

    y: (0,4)؛ x:\((−\frac{2}{3},0)\)؛
    المحور:\((−\frac{2}{3}\)؛ قمة الرأس:\((−\frac{2}{3},0)\)

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -5 إلى 5. يمتد المحور y للطائرة من -5 إلى 5. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (-2 ثلثي، 0) والجزء المقطوع (0، 4). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط عبر قمة الرأس عند x يساوي -2 ثلثي.

    مثال\(\PageIndex{58}\):

    \(y=−x^2+8x−16\)

    مثال\(\PageIndex{59}\)

    \(y=−x^2+2x−7\)

    إجابة

    y: (0، −7)؛ x: لا شيء؛
    المحور: x=1؛ الرأس: (1، −6)

    يوضِّح هذا الشكل القطع المكافئ المتجه نحو الأسفل مُبيَّنًا بيانيًّا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -15 إلى 5. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (1، -6) والجزء المقطوع (0، -7). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي 1.

    مثال\(\PageIndex{60}\):

    \(y=5x^2+2\)

    مثال\(\PageIndex{61}\)

    \(y=2x^2−4x+1\)

    إجابة

    y: (0,1)؛ x: (1.7,0)، (0.3,0)؛
    المحور: x=1؛ الرأس: (1، −1)

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (1، -1) والأجزاء المقطوعة (1.7، 0)، (0.3، 0) و (0، 1). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي 1.
    مثال\(\PageIndex{62}\):

    \(y=−4x^2−6x−2\)

    مثال\(\PageIndex{63}\)

    \(y=−x^2−4x+2\)

    إجابة

    y: (0,2)؛ x: (−4.4,0)، (0.4,0)؛
    المحور: x=−2؛ الرأس: (−2,6)

    يوضِّح هذا الشكل القطع المكافئ المتجه نحو الأسفل مُبيَّنًا بيانيًّا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (-2، 6) والأجزاء المقطوعة (-4.4، 0)، (0.4، 0) و (0، 2). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي -2.

    مثال\(\PageIndex{64}\):

    \(y=x^2+6x+8\)

    مثال\(\PageIndex{65}\)

    \(y=5x^2−10x+8\)

    إجابة

    y: (0,8)؛ x: لا شيء؛
    المحور: x=1؛ قمة الرأس: (1,3)

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. يحتوي القطع المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (1، 3) والجزء المقطوع (0، 8). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي 1.

    مثال\(\PageIndex{66}\):

    \(y=−16x^2+24x−9\)

    مثال\(\PageIndex{67}\)

    \(y=3x^2+18x+20\)

    إجابة

    y: (0,20)؛ x: (−4.5,0)، (−1.5,0)
    المحور: x=−3؛ الرأس: (−3، −7)

    يوضِّح هذا الشكل المكافئ ذو الفتحة الصاعدة بيانيًّا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 10. يمتد المحور y للطائرة من -10 إلى 10. يحتوي المكافئ على نقاط مرسومة عند قمة الرأس (-3، -7) والأجزاء المقطوعة (-4.5، 0) و (-1.5، 0). يوجد أيضًا على الرسم البياني خط عمودي متقطع يمثل محور التماثل. يمر الخط بالرأس عند x يساوي -3.

    مثال\(\PageIndex{68}\):

    \(y=−2x^2+8x−10\)

    حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات

    في التمارين التالية، ابحث عن القيمة القصوى أو الدنيا.

    مثال\(\PageIndex{69}\)

    \(y=2x^2+x−1\)

    إجابة

    الحد الأدنى للقيمة هو\(−\frac{9}{8}\) متى\(x=−\frac{1}{4}\).

    مثال\(\PageIndex{70}\):

    \(y=−4x^2+12x−5\)

    مثال\(\PageIndex{71}\)

    \(y=x^2−6x+15\)

    إجابة

    الحد الأدنى للقيمة هو 6 عندما x=3.

    مثال\(\PageIndex{72}\):

    \(y=−x^2+4x−5\)

    مثال\(\PageIndex{73}\)

    \(y=−9x^2+16\)

    إجابة

    القيمة القصوى هي 16 عندما x=0.

    مثال\(\PageIndex{74}\):

    \(y=4x^2−49\)

    في التمارين التالية، قم بحل. قرِّب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.

    مثال\(\PageIndex{75}\)

    تم إطلاق سهم رأسيًا لأعلى من منصة بارتفاع 45 قدمًا بمعدل 168 قدم/ثانية. استخدم المعادلة التربيعية\(h=−16t^2+168t+45\) لإيجاد المدة التي سيستغرقها السهم للوصول إلى أقصى ارتفاع له، ثم ابحث عن الحد الأقصى للارتفاع.

    إجابة

    في غضون 5.3 ثانية، سيصل السهم إلى أقصى ارتفاع يبلغ 486 قدمًا.

    مثال\(\PageIndex{76}\):

    يُلقى حجر رأسيًّا لأعلى من منصة ارتفاعها ٢٠ قدمًا بمعدل ١٦٠ قدمًا في الثانية. استخدم المعادلة التربيعية\(h=−16t^2+160t+20\) لإيجاد المدة التي سيستغرقها الحجر للوصول إلى أقصى ارتفاع له، ثم ابحث عن أقصى ارتفاع.

    مثال\(\PageIndex{77}\)

    يقدر مالك متجر كمبيوتر أنه من خلال فرض رسوم x دولار لكل جهاز كمبيوتر معين، يمكنه بيع\(40−x\) أجهزة الكمبيوتر كل أسبوع. تُستخدم المعادلة\(R=−x^2+40x\) التربيعية لإيجاد الإيراد، R، المستلم عندما يكون سعر بيع الكمبيوتر هو x. ابحث عن سعر البيع الذي سيعطيه الحد الأقصى للإيرادات، ثم ابحث عن مبلغ الحد الأقصى للإيرادات.

    إجابة

    سيعطي 20 جهاز كمبيوتر بحد أقصى 400 دولار عند الاستلام.

    مثال\(\PageIndex{78}\):

    يقدر بائع التجزئة الذي يبيع حقائب الظهر أنه من خلال بيعها مقابل x دولار لكل منها، سيكون قادرًا على بيع\(100−x\) حقائب الظهر شهريًا. تُستخدم المعادلة\(R=−x^2+100x\) التربيعية لإيجاد R الذي تم استلامه عندما يكون سعر بيع حقيبة الظهر هو x. ابحث عن سعر البيع الذي سيعطيه الحد الأقصى للإيرادات، ثم ابحث عن مبلغ الحد الأقصى للإيرادات.

    مثال\(\PageIndex{79}\)

    سيقوم مربي الماشية بتسييج ثلاثة جوانب من حظيرة بجوار النهر. يحتاج إلى تعظيم مساحة الحظيرة باستخدام 240 قدمًا من السياج. المعادلة التربيعية A=x (240−2x) تعطي مساحة الحظيرة، A، للطول، x، للحظيرة على طول النهر. ابحث عن طول الحظيرة على طول النهر الذي سيعطي المساحة القصوى، ثم ابحث عن أقصى مساحة للحظيرة.

    إجابة

    يبلغ طول الجانب على طول نهر الحظيرة 120 قدمًا وتبلغ المساحة القصوى 7200 قدم مربع.

    مثال\(\PageIndex{80}\):

    يقوم طبيب بيطري بإرفاق منطقة الجري الخارجية المستطيلة بمبناه للكلاب التي يعتني بها. يحتاج إلى تعظيم المساحة باستخدام 100 قدم من السياج. \(A=x(100−2x)\)تعطي المعادلة التربيعية مساحة A التي ركض بها الكلب بالنسبة لطول x للمبنى الذي سيحيط مسار الكلب. ابحث عن طول المبنى الذي يجب أن يحد مسار الكلب لإعطاء المساحة القصوى، ثم ابحث عن المساحة القصوى لمسار الكلب.

    الرياضيات اليومية

    مثال\(\PageIndex{81}\)

    في المجموعة السابقة من التمارين، عملت مع المعادلة التربيعية\(R=−x^2+40x\) التي صممت الإيرادات المتلقاة من بيع أجهزة الكمبيوتر بسعر x دولار. لقد وجدت سعر البيع الذي سيعطي الحد الأقصى للإيرادات وحسبت الحد الأقصى للإيرادات. الآن سوف تنظر إلى المزيد من خصائص هذا النموذج.
    1. رسم المعادلة بيانيًا\(R=−x^2+40x\).

    2. ابحث عن قيم x -Intercepts.

    إجابة

    1.
    يوضِّح هذا الشكل القطع المكافئ المتجه نحو الأسفل مُبيَّنًا بيانيًّا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من -10 إلى 60. يمتد المحور y للطائرة من -50 إلى 500. يحتوي المكافئ على قمة عند (20،400) ويمر أيضًا بالنقاط (0، 0) و (40، 0).

    2. (0,0), (40,0)

    مثال\(\PageIndex{82}\):

    في المجموعة السابقة من التمارين، عملت بالمعادلة التربيعية\(R=−x^2+100x\) التي صممت الإيرادات المستلمة من بيع حقائب الظهر بسعر x دولار. لقد وجدت سعر البيع الذي سيعطي الحد الأقصى للإيرادات وحسبت الحد الأقصى للإيرادات. الآن سوف تنظر إلى المزيد من خصائص هذا النموذج.

    1. رسم المعادلة بيانيًا\(R=−x^2+100x\).

    2. ابحث عن قيم نقاط العبور x.

    تمارين الكتابة

    مثال\(\PageIndex{83}\)

    بالنسبة لنموذج الإيرادات في التمرين والتمرين، اشرح ما تعنيه عمليات الاعتراض x لمالك متجر الكمبيوتر.

    إجابة

    سوف تتنوع الإجابات.

    مثال\(\PageIndex{84}\):

    بالنسبة لنموذج الإيرادات في التمرين والتمرين، اشرح ما تعنيه x -Intercepts لمتاجر التجزئة في حقائب الظهر.

    فحص ذاتي

    أ- بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم مدى إتقانك لأهداف هذا القسم.

    يحتوي هذا الجدول على ستة صفوف وأربعة أعمدة. الصف الأول عبارة عن صف العنوان ويقوم بتسمية كل عمود. العمود الأول بعنوان «يمكنني...»، والثاني «بثقة»، والثالث «مع بعض المساعدة» والأخير «لا - لا أفهم ذلك». في عمود «يمكنني...»، يقرأ الصف الثاني «حل المعادلات التربيعية باستخدام التربيعية للتعرف على الرسم البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين». يقرأ الصف الثالث «أوجد محور التماثل ورأس المكافئ». يقرأ الصف الرابع «ابحث عن تقاطعات القطع المكافئ». يقرأ الصف الخامس «المعادلات التربيعية البيانية في متغيرين». والصف الأخير يقرأ «حل التطبيقات القصوى والدنيا». الأعمدة المتبقية فارغة.

    ب- ماذا تخبرك قائمة التحقق هذه عن إتقانك لهذا القسم؟ ما الخطوات التي ستتخذها للتحسين؟