الفصل 10 تمارين المراجعة
- Page ID
- 200211
الفصل 10 تمارين المراجعة
10.1 حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي
في التمارين التالية، قم بالحل باستخدام خاصية الجذر التربيعي.
\(x^2=100\)
- إجابة
-
\(x=\pm10\)
\(y^2=144\)
\(m^2−40=0\)
- إجابة
-
\(m=\pm2\sqrt{10}\)
\(n^2−80=0\)
\(4a^2=100\)
- إجابة
-
\(a=\pm5\)
\(2b^2=72\)
\(r^2+32=0\)
- إجابة
-
لا يوجد حل
\(t^2+18=0\)
\(\frac{4}{3}v^2+4=28\)
- إجابة
-
\(v=\pm3\sqrt{2}\)
\(\frac{2}{3}w^2−20=30\)
\(5c^2+3=19\)
- إجابة
-
\(c=\pm\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
\(3d^2−6=43\)
في التمارين التالية، قم بالحل باستخدام خاصية الجذر التربيعي.
\((p−5)^2+3=19\)
- إجابة
-
p=1، 9
\((q+4)^2=9\)
\((u+1)^2=45\)
- إجابة
-
\(u=−1\pm3\sqrt{5}\)
\((z−5)^2=50\)
\((x−\frac{1}{4})^2=\frac{3}{16}\)
- إجابة
-
\(x=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\((y−\frac{2}{3})^2=\frac{2}{9}\)
\((m−7)^2+6=30\)
- إجابة
-
\(m=7\pm2\sqrt{6}\)
\((n−4)^2−50=150\)
\((5c+3)^2=−20\)
- إجابة
-
لا يوجد حل
\((4c−1)^2=−18\)
\(m^2−6m+9=48\)
- إجابة
-
\(m=3\pm4\sqrt{3}\)
\(n^2+10n+25=12\)
\(64a^2+48a+9=81\)
- إجابة
-
a=−32، 34
\(4b^2−28b+49=25\)
10.2 حل المعادلات التربيعية باستخدام إكمال المربع
في التمارين التالية، أكمل المربع لتكوين مربع ثلاثي الحدود مثالي. ثم اكتب النتيجة في صورة مربع ذو حدين.
\(x^2+22x\)
- إجابة
-
\((x+11)^2\)
\(y^2+6y\)
\(m^2−8m\)
- إجابة
-
\((m−4)^2\)
\(n^2−10n\)
\(a^2−3a\)
- إجابة
-
\((a−\frac{3}{2})^2\)
\(b^2+13b\)
\(p^2+\frac{4}{5}p\)
- إجابة
-
\((p+\frac{2}{5})^2\)
\(q^2−13q\)
في التمارين التالية، قم بحل المشكلة بإكمال المربع.
\(c^2+20c=21\)
- إجابة
-
c=1, −21
\(d^2+14d=−13\)
\(x^2−4x=32\)
- إجابة
-
x=−4، 8
\(y^2−16y=36\)
\(r^2+6r=−100\)
- إجابة
-
لا يوجد حل
\(t^2−12t=−40\)
\(v^2−14v=−31\)
- إجابة
-
\(v=7\pm3\sqrt{2}\)
\(w^2−20w=100\)
\(m^2+10m−4=−13\)
- إجابة
-
\(m=−9,−1\)
\(n^2−6n+11=34\)
\(a^2=3a+8\)
- إجابة
-
\(a=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{41}}{2}\)
\(b^2=11b−5\)
\((u+8)(u+4)=14\)
- إجابة
-
\(u=−6\pm2\sqrt{2}\)
\((z−10)(z+2)=28\)
\(3p^2−18p+15=15\)
- إجابة
-
p=0، 6
\(5q^2+70q+20=0\)
\(4y^2−6y=4\)
- إجابة
-
\(y=−\frac{1}{2}, 2\)
\(2x^2+2x=4\)
\(3c^2+2c=9\)
- إجابة
-
\(c=−\frac{1}{3}\pm\frac{2\sqrt{7}}{3}\)
\(4d^2−2d=8\)
10.3 حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية
في التمارين التالية، قم بالحل باستخدام الصيغة التربيعية.
\(4x^2−5x+1=0\)
- إجابة
-
\(x=14, 1\)
\(7y^2+4y−3=0\)
\(r^2−r−42=0\)
- إجابة
-
\(r=−6, 7\)
\(t^2+13t+22=0\)
\(4v^2+v−5=0\)
- إجابة
-
\(v=−\frac{5}{4}, 1\)
\(2w^2+9w+2=0\)
\(3m^2+8m+2=0\)
- إجابة
-
\(m=\frac{−4\pm\sqrt{10}}{3}\)
\(5n^2+2n−1=0\)
\(6a^2−5a+2=0\)
- إجابة
-
لا يوجد حل حقيقي
\(4b^2−b+8=0\)
\(u(u−10)+3=0\)
- إجابة
-
\(u=5\pm2\sqrt{2}\)
\(5z(z−2)=3\)
\(\frac{1}{8}p^2−\frac{1}{5}p=−\frac{1}{20}\)
- إجابة
-
\(p=\frac{4\pm\sqrt{6}}{5}\)
\(\frac{2}{5}q^2+\frac{3}{10}q=\frac{1}{10}\)
\(4c^2+4c+1=0\)
- إجابة
-
\(c=−\frac{1}{2}\)
\(9d^2−12d=−4\)
في التمارين التالية، حدد عدد الحلول لكل معادلة تربيعية.
- \(9x^2−6x+1=0\)
- \(3y^2−8y+1=0\)
- \(7m^2+12m+4=0\)
- \(5n^2−n+1=0\)
- إجابة
-
- 1
- 2
- 2
- لا شيء
- \(5x^2−7x−8=0\)
- \(7x^2−10x+5=0\)
- \(25x^2−90x+81=0\)
- \(15x^2−8x+4=0\)
في التمارين التالية، حدد الطريقة الأنسب (التحليل أو الجذر التربيعي أو الصيغة التربيعية) لاستخدامها في حل كل معادلة تربيعية.
- \(16r^2−8r+1=0\)
- \(5t^2−8t+3=9\)\(3(c+2)^2=15\)
- إجابة
-
- عامل
- صيغة تربيعية
- الجذر التربيعي
- \(4d^2+10d−5=21\)
- \(25x^2−60x+36=0\)
- \(6(5v−7)^2=150\)
١٠.٤ حل تطبيقات تم تمثيلها بواسطة المعادلات التربيعية
في التمارين التالية، يتم الحل باستخدام طرق التحليل أو مبدأ الجذر التربيعي أو الصيغة التربيعية.
ابحث عن رقمين فرديين متتاليين منتجهما 323.
- إجابة
-
العددان الفرديان المتتابعان الناتج لهما 323 هما 17 و19 و−17 و−19.
ابحث عن رقمين زوجيين متتاليين منتجهما 624.
تبلغ مساحة البانر الثلاثي 351 سنتيمترًا مربعًا. يبلغ طول القاعدة سنتيمترين أطول من أربعة أضعاف الارتفاع. أوجد ارتفاع القاعدة وطولها.
- إجابة
-
يبلغ ارتفاع اللافتة 13 سم وطول الجانب 54 سم.
قام جوليوس ببناء علبة عرض مثلثة لمجموعة العملات الخاصة به. يقل ارتفاع علبة العرض بست بوصات عن ضعف عرض القاعدة. تبلغ مساحة الجزء الخلفي من العلبة 70 بوصة مربعة. ابحث عن ارتفاع وعرض العلبة.
يتم استخدام فسيفساء البلاط على شكل مثلث قائم الزاوية كزاوية لمسار مستطيل. يبلغ طول وتر الفسيفساء 5 أقدام. يبلغ طول أحد جانبي الفسيفساء ضعف طول الجانب الآخر. ما أطوال الأضلاع؟ قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.
- إجابة
-
أطوال جوانب الفسيفساء هي 2.2 و 4.4 قدم.
قطعة مستطيلة من الخشب الرقائقي لها قطر يزيد بمقدار قدمين عن العرض. طول الخشب الرقائقي هو ضعف العرض. ما طول قطر الخشب الرقائقي؟ قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.
تبلغ مساحة المشي الأمامي من الشارع إلى منزل بام 250 قدمًا مربعًا. طوله أقل مرتين من أربعة أضعاف عرضه. أوجد طول الرصيف وعرضه. قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.
- إجابة
-
يبلغ عرض الجدار الأمامي 8.1 قدمًا وطوله 30.8 قدمًا.
بالنسبة لحفل تخرج صوفيا، سيتم ترتيب عدة طاولات من نفس العرض من البداية إلى النهاية لتوفير طاولة تقديم بمساحة إجمالية تبلغ 75 قدمًا مربعًا. سيكون الطول الإجمالي للجداول أكثر من ثلاثة أضعاف العرض. ابحث عن طول وعرض طاولة التقديم حتى تتمكن صوفيا من شراء مفرش المائدة بالحجم الصحيح. قرِّب الإجابة لأقرب جزء من عشرة.
تُلقى كرة رأسيًّا في الهواء بسرعة ١٦٠ قدم/ثانية. استخدم الصيغة\(h=−16t^2+v_{0}t\) لتحديد متى ستكون الكرة على بعد 384 قدمًا من الأرض. قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.
- إجابة
-
ستصل الكرة إلى 384 قدمًا في طريقها لأعلى في 4 ثوانٍ وفي طريقها لأسفل في 6 ثوانٍ.
تُطلق رصاصة مباشرة من الأرض بسرعة 320 قدمًا/ثانية. استخدم الصيغة\(h=−16t^2+v_{0}t\) لتحديد متى ستصل الرصاصة إلى 800 قدم. قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.
10.5 تمثيل المعادلات التربيعية في متغيرين بيانيًا
في التمارين التالية، قم بالرسم البياني باستخدام نقطة التخطيط.
رسم بياني\(y=x^2−2\)
- إجابة
-
رسم بياني\(y=−x^2+3\)
في التمارين التالية، حدد ما إذا كانت الأشكال المظللة التالية تنفتح لأعلى أم لأسفل.
\(y=−3x^2+3x−1\)
- إجابة
-
سقط
\(y=5x^2+6x+3\)
\(y=x^2+8x−1\)
- إجابة
-
أعلى
أ\(y=−4x^2−7x+1\)
في التمارين التالية، ابحث
- محور التماثل و،
- قمة الرأس.
\(y=−x^2+6x+8\)
- إجابة
-
- س = 3
- (3,17)
\(y=2x^2−8x+1\)
في التمارين التالية، ابحث عن نقاط التقاطع x - و y.
\(y=x^2−4x+5\)
- إجابة
-
ص: (0,5); x: (5,0), (−1,0)
\(y=x^2−8x+15\)
\(y=x^2−4x+10\)
- إجابة
-
بواسطة: (0,10); x: لا شيء
\(y=−5x^2−30x−46\)
\(y=16x^2−8x+1\)
- إجابة
-
ص: (0,1); x: (14,0)
\(y=x^2+16x+64\)
في التمارين التالية، قم بالرسم البياني باستخدام الأجزاء المقطوعة والرأس ومحور التماثل.
\(y=x^2+8x+15\)
- إجابة
-
y: (0,15)؛ x: (−3,0)، (−5,0)؛
المحور: x=−4؛ الرأس: (−4، −1)
\(y=x^2−2x−3\)
\(y=−x^2+8x−16\)
- إجابة
-
Y: (0، −16)؛ x: (4,0)؛
المحور: x=4؛ الرأس: (4,0)
\(y=4x^2−4x+1\)
\(y=x^2+6x+13\)
- إجابة
-
y: (0,13)؛ x: لا شيء؛
المحور: x=−3؛ الرأس: (−3,4)
\(y=−2x^2−8x−12\)
\(y=−4x^2+16x−11\)
- إجابة
-
y: (0، −11)؛ x: (3.1,0)، (0.9,0)؛
المحور: x=2؛ الرأس: (2,5)
\(y=x^2+8x+10\)
في التمارين التالية، ابحث عن القيمة الدنيا أو القصوى.
\(y=7x^2+14x+6\)
- إجابة
-
القيمة الدنيا هي −1 عندما\(x=−1\).
\(y=−3x^2+12x−10\)
في التمارين التالية، قم بحل. تقريب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.
تُلقى كرة لأعلى من الأرض بسرعة أولية تبلغ 112 قدم/ثانية. استخدم المعادلة التربيعية\(h=−16t^2+112t\) لإيجاد المدة التي ستستغرقها الكرة للوصول إلى أقصى ارتفاع، ثم ابحث عن الحد الأقصى للارتفاع.
- إجابة
-
في غضون 3.5 ثانية، تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع لها وهو 196 قدمًا.
يضم مرفق الرعاية النهارية منطقة مستطيلة على طول جانب المبنى للأطفال للعب في الهواء الطلق. إنهم بحاجة إلى زيادة المساحة باستخدام 180 قدمًا من السياج على ثلاثة جوانب من الفناء. المعادلة التربيعية\(A=−2x^2+180x\) تعطي مساحة A من الفناء للطول x للمبنى الذي سيحيط الفناء. ابحث عن طول المبنى الذي يجب أن يحد الفناء لزيادة المساحة، ثم ابحث عن المساحة القصوى.
اختبار الممارسة
استخدم خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة التربيعية:\(3(w+5)^2=27\).
- إجابة
-
ث=−2، −8
استخدم إكمال المربع لحل المعادلة التربيعية:\(a^2−8a+7=23\)
استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلة التربيعية:\(2m^2−5m+3=0\).
- إجابة
-
م = 1، 32
حل المعادلات التربيعية التالية. استخدم أي طريقة.
\(8v^2+3=35\)
\(3n^2+8n+3=0\)
- إجابة
-
\(n=\frac{−4\pm\sqrt{7}}{3}\)
\(2b^2+6b−8=0\)
\(x(x+3)+12=0\)
- إجابة
-
لا يوجد حل حقيقي
\(\frac{4}{3}y^2−4y+3=0\)
استخدم التمييز لتحديد عدد حلول كل معادلة تربيعية.
\(6p^2−13p+7=0\)
- إجابة
-
2
\(3q^2−10q+12=0\)
حل عن طريق التحليل، أو خاصية الجذر التربيعي، أو الصيغة التربيعية.
ابحث عن رقمين زوجيين متتاليين منتجهما 360.
- إجابة
-
عددان زوجيان متتاليان هما −20 و−18 و18 و20.
يزيد طول قطر المستطيل عن العرض بثلاثة أضعاف. طول المستطيل يساوي ثلاثة أضعاف العرض. أوجد طول القطر. (قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.)
ابحث عن كل نوع مكافئ
- ما هي الطرق التي تفتح بها،
- محور التماثل،
- قمة الرأس،
- عمليات الاعتراض x و y، و
- القيمة القصوى أو الدنيا.
\(y=3x^2+6x+8\)
- إجابة
-
- أعلى
- \(x=−1\)
- (−1,5)
- بواسطة: (0,8)؛ x: لا شيء؛: (0,8)
- قيمة لا تقل عن 5 عندما\(x=−1\).
\(y=x^2−4\)
\(y=x^2+10x+24\)
- إجابة
-
- أعلى
- \(x=−5\)
- (−5، −1)
- ص: (0,24); س: (−6,0), (−4,0)
- قيمة لا تقل عن −5 عندما\(x=−1\)
\(y=−3x^2+12x−8\)
\(y=−x^2−8x+16\)
- إجابة
-
- سقط
- \(x=−4\)
- (−4,32)
- ص؛ (0,16)؛ س: (−9.7,0)، (1.7,0)
- قيمة قصوى تبلغ 32 عندما\(x=−4\)
ارسم بيانيًا للأشكال المتشابهة التالية باستخدام الأجزاء المقطوعة ورأس المنحنى ومحور التماثل.
\(y=2x^2+6x+2\)
\(y=16x^2+24x+9\)
- إجابة
-
y: (0,9)؛ x: (−34.0)
المحور:\( x=−\frac{3}{4}\)؛ قمة الرأس:\((−\frac{3}{4},0)\)
حل.
يتم إطلاق منطاد الماء لأعلى بمعدل 86 قدم/ثانية. باستخدام الصيغة h=−16t^2+86t، أوجد المدة التي سيستغرقها البالون للوصول إلى أقصى ارتفاع، ثم ابحث عن أقصى ارتفاع. قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.