10.5: تمثيل المعادلات التربيعية بيانيًّا
- Page ID
- 200180
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- تعرف على الرسم البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين
- أوجد محور التماثل ورأس المكافئ
- ابحث عن الأجزاء المقطوعة من المكافئ
- رسم بياني للمعادلات التربيعية في متغير
- حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات
تعرف على التمثيل البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين
لقد قمنا برسم معادلات الشكل\(Ax+By=C\). أطلقنا على المعادلات مثل هذه المعادلات الخطية لأن رسوماتها البيانية عبارة عن خطوط مستقيمة.
الآن، سنقوم برسم معادلات النموذج\(y=ax^2+bx+c\). نسمي هذا النوع من المعادلات معادلة تربيعية في متغيرين.
معادلة تربيعية في متغيرين، حيث a و b و c هي أعداد حقيقية\(a\neq 0\)، وهي معادلة للنموذج\[y=ax^2+bx+c \nonumber\]
تمامًا مثلما بدأنا في رسم المعادلات الخطية برسم النقاط، سنفعل الشيء نفسه بالنسبة للمعادلات التربيعية.
دعونا ننظر أولاً إلى تمثيل المعادلة التربيعية بيانيًّا\(y=x^2\). سنختار قيمًا عددية لـ x بين −2 و 2 ونجد قيم y الخاصة بها. انظر الجدول.
| \(y=x^2\) | |
| س | ص |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| \(−1\) | 1 |
| 2 | 4 |
| \(−2\) | 4 |
لاحظ عندما سمحنا بذلك\(x=1\)\(x=−1\) وحصلنا على نفس القيمة لـ y.
\[\begin{array} {ll} {y=x^2} &{y=x^2} \\ {y=1^2} &{y=(−1)^2} \\ {y=1} &{y=1} \\ \nonumber \end{array}\]
حدث نفس الشيء عندما سمحنا\(x=2\) و\(x=−2\).
الآن، سنقوم برسم النقاط لإظهار الرسم البياني لـ\(y=x^2\). انظر الشكل.
الرسم البياني ليس خطًا. هذا الرقم يسمى المكافئ. تحتوي كل معادلة تربيعية على رسم بياني يشبه هذا.
على سبيل المثال، سوف تتدرب على رسم المكافئ برسم بضع نقاط.
\(y=x^2-1\)
- إجابة
-
سنرسم المعادلة برسم النقاط.
اختر قيم الأعداد الصحيحة لـ x، واستبدلها بالمعادلة وقم بحلها لـ y.سجل قيم الأزواج المرتبة في المخطط. 
ارسم النقاط، ثم قم بتوصيلها بمنحنى سلس. ستكون النتيجة هي الرسم البياني للمعادلة\(y=x^2−1\) 
رسم بياني\(y=−x^2\).
- إجابة
-
رسم بياني\(y=x^2+1\).
- إجابة
-
كيف تفعل المعادلات\(y=x^2\) و\(y=x^2−1\) differ? What is the difference between their graphs? How are their graphs the same?
جميع أشكال النموذج\(y=ax^2+bx+c\) تفتح لأعلى أو لأسفل. انظر الشكل.
لاحظ أن الاختلاف الوحيد في المعادلتين هو العلامة السالبة قبل معادلة الرسم البياني الثاني في الشكل.\(x^2\) عندما يكون\(x^2\) المصطلح موجبًا، يفتح المكافئ صعودًا، وعندما يكون\(x^2\) المصطلح سالبًا، يفتح المكافئ لأسفل.
بالنسبة للمعادلة التربيعية\(y=ax^2+bx+c\)، إذا:
حدِّد ما إذا كان كل شكل مكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل:
- \(y=−3x^2+2x−4\)
- \( y=6x^2+7x−9\)
- إجابة
-
نظرًا لأن الحرف «a» سالب، فسوف يفتح المكافئ لأسفل.
نظرًا لأن الحرف «a» إيجابي، فسوف يفتح المكافئ صعودًا.
حدِّد ما إذا كان كل شكل مكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل:
- \(y=2x^2+5x−2\)
- \(y=−3x^2−4x+7\)
- إجابة
-
- أعلى
- سقط
حدِّد ما إذا كان كل شكل مكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل:
- \(y=−2x^2−2x−3\)
- \(y=5x^2−2x−1\)
- إجابة
-
- سقط
- أعلى
أوجد محور التماثل ورأس المكافئ
انظر مرة أخرى إلى الشكل. هل ترى أنه يمكننا طي كل قطعة مكافئة إلى نصفين وأن أحد الجانبين سيقع فوق الآخر؟ «خط الطي» هو خط التماثل. نحن نسميها محور التماثل في المكافئ.
نعرض نفس الرسمين البيانيين مرة أخرى مع محور التماثل باللون الأحمر. انظر الشكل.
يمكن اشتقاق معادلة محور التماثل باستخدام الصيغة التربيعية. سنحذف الاشتقاق هنا وننتقل مباشرة إلى استخدام النتيجة. معادلة محور التماثل في الرسم البياني\(y=ax^2+bx+c\) هي x=\(−\frac{b}{2a}\).
لذلك، لإيجاد معادلة التماثل لكل من البارابولاس التي رسمناها أعلاه، سنستبدل الصيغة x=\(−\frac{b}{2a}\).
النقطة الموجودة على المكافئ الموجودة على محور التماثل هي أدنى أو أعلى نقطة في المكافئ، اعتمادًا على ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل. هذه النقطة تسمى قمة المكافئ.
يمكننا بسهولة العثور على إحداثيات قمة الرأس، لأننا نعلم أنها تقع على محور التماثل. هذا يعني أن الإحداثي x الخاص به هو\(−\frac{b}{2a}\). لإيجاد الإحداثي y للرأس، نستبدل قيمة الإحداثي x في المعادلة التربيعية.
للحصول على المكافئ مع المعادلة\(y=ax^2+bx+c\):
- محور التماثل في المكافئ هو الخط x=\(−\frac{b}{2a}\).
- تقع قمة الرأس على محور التماثل، لذا فإن إحداثتها x هي\(−\frac{b}{2a}\).
لإيجاد الإحداثي y للرأس، نستبدل x=\(−\frac{b}{2a}\) في المعادلة التربيعية.
بالنسبة إلى المكافئ،\(y=3x^2−6x+2\) ابحث عن:
- محور التماثل و
- قمة الرأس.
- إجابة
-
1. 
محور التماثل هو الخط x=\(−\frac{b}{2a}\) 
استبدل قيم a, b في المعادلة. 
تبسيط س = 1 محور التماثل هو الخط x=1 2. 
تقع قمة الرأس على خط التماثل، لذا فإن إحداثياتها x ستكون x=1 استبدل x=1 في المعادلة وقم بحل y. 
تبسيط 
هذا هو الإحداثي y. y=−1 قمة
الرأس هي (1، −1).
بالنسبة إلى المكافئ،\(y=2x^2−8x+1\) ابحث عن:
- محور التماثل و
- قمة الرأس.
- إجابة
-
- س = 2
- (2، −7)
بالنسبة إلى المكافئ،\(y=2x^2−4x−3\) ابحث عن:
- محور التماثل و
- قمة الرأس.
- إجابة
-
- س = 1
- (1، −5)
ابحث عن القطع المعترضة لبارابولا
عندما رسمنا المعادلات الخطية بيانيًا، غالبًا ما استخدمنا مقادير x - و y لمساعدتنا في رسم الخطوط. سيساعدنا العثور على إحداثيات عمليات الاعتراض على رسم البارابولاس أيضًا.
تذكر أن قيمة x عند التقاطع y هي صفر. لذلك، لإيجاد التقاطع y، نستبدل x=0 في المعادلة.
دعونا نجد الأجزاء المتقاطعة y للبارابولاس الموضحة في الشكل أدناه.
عند التقاطع x، تكون قيمة y هي صفر. لإيجاد نقطة تقاطع x، نستبدل\(y=0\) المعادلة. بمعنى آخر، سنحتاج إلى حل معادلة\(0=ax^2+bx+c\) x.
\[\begin{array} {ll} {y=ax^2+bx+c} \\ {0=ax^2+bx+c} \\ \nonumber \end{array}\]
لكن حل المعادلات التربيعية مثل هذه هو بالضبط ما قمنا به سابقًا في هذا الفصل.
يمكننا الآن العثور على الأجزاء المقطوعة x من الشكلين الموضحين في الشكل.
أولاً، سنجد الأجزاء المقطوعة x من المكافئ باستخدام المعادلة\(y=x^2+4x+3\).
 |
||
| اسمح لك = 0 |  |
|
| عامل. |  |
|
| استخدم خاصية المنتج الصفري. |  |
|
| حل. |  |
|
| عمليات الاعتراض x هي (−1,0) و (−3,0). | ||
الآن، سنجد الأجزاء المقطوعة x من القطع المكافئ باستخدام المعادلة\(y=−x^2+4x+3\).
 |
||
| اسمح لك = 0 |  |
|
| لا تؤثر هذه الدرجة التربيعية، لذلك نستخدم الصيغة التربيعية. |  |
|
| أ=−1، ب = 4، ج=3. |  |
|
| قم بالتبسيط. |     |
|
| عمليات الاعتراض x هي\((2+\sqrt{7},0)\) و\((2−\sqrt{7},0)\) | ||
سنستخدم التقديرات العشرية للأجسام المتقاطعة x، حتى نتمكن من تحديد هذه النقاط على الرسم البياني.
\[\begin{array} {l} {(2+\sqrt{7},0) \approx (4.6,0)} & {(2−\sqrt{7},0) \approx (-0.6,0)}\\ \nonumber \end{array}\]
هل تتفق هذه النتائج مع الرسوم البيانية الخاصة بنا؟ انظر الشكل.
للعثور على الأجزاء المقطوعة من المكافئ باستخدام المعادلة\(y=ax^2+bx+c\):
\[\begin{array}{ll} {\textbf{y-intercept}}& {\textbf{x-intercept}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve the y}}& {\text{Let} y=0 \text{and solve the x}}\\ \nonumber \end{array}\]
ابحث عن القطع المقطوعة للقطع المكافئ\(y=x^2−2x−8\).
- إجابة
-
للعثور على التقاطع y، دع x=0 وقم بحل لـ y. 
عندما تكون x=0، ثم y=−8.
التقاطع y هو النقطة (0، −8).
للعثور على التقاطع x، دع y=0 وقم بحل x. 
حل عن طريق التخصيم 
- عندما تكون y=0، ثم x=4 أو x=−2. تقاطعات x هي النقاط (4,0) و (−2,0).
ابحث عن القطع المقطوعة للقطع المكافئ\(y=x^2+2x−8\).
- إجابة
-
ص: (0، −8)؛ x: (−4,0)، (2,0)
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=x^2−4x−12\).
- إجابة
-
ص: (0، −12)؛ x: (6,0)، (−2,0)
في هذا الفصل، قمنا بحل المعادلات التربيعية للنموذج\(ax^2+bx+c=0\). لقد حللنا xx وكانت النتائج هي الحلول للمعادلة.
نحن نبحث الآن في المعادلات التربيعية في متغيرين من الشكل\(y=ax^2+bx+c\). الرسوم البيانية لهذه المعادلات هي بارابولاس. تحدث التقاطعات x في البارابولاس حيث y=0.
على سبيل المثال:
\[\begin{array}{cc} {\textbf{Quadratic equation}}&{\textbf{Quadratic equation in two variable}}\\ {}&{y=x^2−2x−15}\\ {x^2−2x−15}&{\text{Let} y=0, 0=x^2−2x−15}\\ {(x−5)(x+3)=0}&{0=(x−5)(x+3)}\\ {x−5=0, x+3=0}&{x−5=0, x+3=0}\\ {x=5, x=−3}&{x=5, x=−3}\\ {}&{(5,0) \text{and} (−3,0)}\\ {}&{\text{x-intercepts}}\\ \end{array}\]
حلول المعادلة التربيعية هي القيم x للأقواس x.
في وقت سابق، رأينا أن المعادلات التربيعية لها حلول 2 أو 1 أو 0. توضح الرسوم البيانية أدناه أمثلة للبارابولاس لهذه الحالات الثلاث. نظرًا لأن حلول المعادلات تعطي الأجزاء المقطوعة x من الرسوم البيانية، فإن عدد التقاطعات x هو نفس عدد الحلول.
في السابق، استخدمنا التمييز لتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية للنموذج\(ax^2+bx+c=0\). الآن، يمكننا استخدام التمييز لإخبارنا بعدد نقاط التقاطع x الموجودة على الرسم البياني.
قبل البدء في حل المعادلة التربيعية للعثور على قيم x -circepts، قد ترغب في تقييم التمييز حتى تعرف عدد الحلول المتوقعة.
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=5x^2+x+4\).
- إجابة
-
للعثور على التقاطع y، دع x=0 وقم بحل لـ y. 
عندما x=0، ثم y=4.
التقاطع y هو النقطة (0,4).
للعثور على التقاطع x، دع y=0 وقم بحل x. 
ابحث عن قيمة التمييز للتنبؤ بعدد الحلول وبالتالي x -Intercepts. ب ^ 2−4ac
1^2−454
1-80
−79
نظرًا لأن قيمة التمييز سالبة، فلا يوجد حل حقيقي للمعادلة. لا توجد عمليات اعتراض x.
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=3x^2+4x+4\).
- إجابة
-
بواسطة: (0,4); x: لا شيء
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=x^2−4x−5\).
- إجابة
-
ص: (0، −5)؛ س: (5,0) (−1,0)
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=4x^2−12x+9\).
- إجابة
-
للعثور على التقاطع y، دع x=0 وقم بحل لـ y. 
عندما تكون x=0، ثم y=9.
التقاطع y هو النقطة (0,9).
للعثور على التقاطع x، دع y=0 وقم بحل x. 
ابحث عن قيمة التمييز للتنبؤ بعدد الحلول وبالتالي x -Intercepts. ب ^ 2−4ac
12^2−449
144-144
0
نظرًا لأن قيمة التمييز هي 0، فلا يوجد حل حقيقي للمعادلة. لذلك هناك نقطة تقاطع x واحدة. قم بحل المعادلة عن طريق تحليل مربع ثلاثي الحدود المثالي. 
استخدم خاصية المنتج الصفري. 
حل لـ x. 
عندما y=0، ثم\(\frac{3}{2}\) =x. التقاطع x هو النقطة\((\frac{3}{2},0)\).
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=−x^2−12x−36.\).
- إجابة
-
ص: (0، −36)؛ x: (−6,0)
ابحث عن الأجزاء المقطوعة من القطع المكافئ\(y=9x^2+12x+4\).
- إجابة
-
ص: (0,4); x:\((−\frac{2}{3},0)\)
رسم بياني للمعادلات التربيعية في متغير
الآن، لدينا كل القطع التي نحتاجها لرسم معادلة تربيعية في متغيرين. نحن فقط بحاجة إلى تجميعها معًا. في المثال التالي، سنرى كيفية القيام بذلك.
كيفية رسم معادلة تربيعية في متغيرين
رسم بياني\(y=x2−6x+8\).
- إجابة
-
رسم بياني المكافئ\(y=x^2+2x−8\).
- إجابة
-
y: (0، −8)؛ x: (2,0)، (−4,0)؛
المحور: x=−1؛ الرأس: (−1، −9)؛
رسم بياني القطع المكافئ\(y=x^2−8x+12\).
- إجابة
-
y: (0,12)؛ x: (2,0)، (6,0)؛
المحور: x=4؛ قمة الرأس: (4، −4)؛
- اكتب المعادلة التربيعية التي تتضمَّن yy على أحد طرفيها.
- حدِّد ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أم لأسفل.
- أوجد محور التماثل.
- ابحث عن قمة الرأس.
- ابحث عن التقاطع y. ابحث عن النقطة المتماثلة للجزء الصادي عبر محور التماثل.
- ابحث عن نقاط التقاطع x.
- رسم بياني القطع المكافئ.
تمكنا من العثور على x -incepts في المثال الأخير عن طريق التخصيم. نجد x -circepts في المثال التالي عن طريق العوملة أيضًا.
رسم بياني\(y=−x^2+6x−9\).
- إجابة
-
تحتوي المعادلة y على جانب واحد. 
بما أن a هي −1، فإن القطع المكافئ يفتح لأسفل.
لإيجاد محور التماثل، ابحث\(x=−\frac{b}{2a}\).
محور التماثل هو x=3. تقع قمة الرأس على الخط x=3.
ابحث عن y عندما x = 3.
قمة الرأس هي (3,0).
يحدث التقاطع y عند x=0.
البديل x=0.
قم بالتبسيط.
تقع النقطة (0، −9) على يسار خط التماثل بثلاث وحدات.
النقطة التي تقع على يمين خط التماثل بثلاث وحدات هي (٦، −٩).
النقطة المتماثلة في التقاطع الصادي هي (6، −9)
(0، −9).
يحدث التقاطع x عند y=0. 
البديل y=0. 
عامل GCF. 
عامل الثلاثي. 
حل لـ x. 
قم بتوصيل النقاط لرسم القطع المكافئ. 
رسم بياني القطع المكافئ\(y=−3x^2+12x−12\).
- إجابة
-
y: (0، −12)؛ x: (2,0)؛
المحور: x=2؛ الرأس: (2,0)؛
رسم بياني القطع المكافئ\(y=25x^2+10x+1\).
- إجابة
-
y: (0,1)؛ x: (−15,0)؛
المحور: x=−15؛ قمة الرأس: (−15,0)؛
بالنسبة للرسم البياني لـ\(y=−x^2+6x−9\) the vertex and the x -Intercept كانت نفس النقطة. تذكر كيف يحدد التمييز عدد حلول المعادلة التربيعية؟ علامة التمييز في المعادلة\(0=−x^2+6x−9\) is 0, so there is only one solution. That means there is only one x -Intercept، وهي قمة القطع المكافئ.
كم عدد مقاطع الفيديو المتقاطعة التي تتوقع رؤيتها على الرسم البياني\(y=x^2+4x+5\)؟
رسم بياني\(y=x^2+4x+5\).
- إجابة
-
تحتوي المعادلة على y على جانب واحد. 
نظرًا لأن a هو 1، فإن المكافئ يفتح لأعلى. 
\(x=−\frac{b}{2a}\). 
x=−2.
تقع قمة الرأس على الخط x=−2. ابحث عن y عند x=−2. 
(−2,1).
يحدث التقاطع y عند x=0.
البديل x=0.
قم بالتبسيط.
النقطة (0,5) هي وحدتان على يمين خط التماثل.
النقطة التي تقع على يسار خط التماثل بوحدتين هي (−4,5).
(0,5).
(−4,5)يحدث التقاطع x عندما y=0. البديل y=0.
اختبر التمييز.
\(b^2−4ac\)
\(42−4⋅15\)
\(16−20\)
\(−4\)نظرًا لأن قيمة التمييز سلبية، فلا يوجد حل وبالتالي لا يوجد اعتراض.
قم بتوصيل النقاط لرسم القطع المكافئ. قد ترغب في اختيار نقطتين إضافيتين للحصول على دقة أكبر.
رسم بياني القطع المكافئ\(y=2x^2−6x+5\).
- إجابة
-
y: (0,5); x: لا شيء;
المحور:\(x=\frac{3}{2}\); قمة الرأس:\((\frac{3}{2},\frac{1}{2})\);
رسم بياني القطع المكافئ\(y=−2x^2−1\).
- إجابة
-
y: (0، −1)؛ x: لا شيء؛
المحور: x=0؛ الرأس: (0، −1)؛
من السهل العثور على التقاطع y عن طريق استبدال x=0 في المعادلة، أليس كذلك؟ لكننا كنا بحاجة إلى استخدام الصيغة التربيعية للعثور على نقاط التقاطع x في المثال. سنستخدم الصيغة التربيعية مرة أخرى في المثال التالي.
رسم بياني\(y=2x^2−4x−3\).
- إجابة
-
تحتوي المعادلة y على جانب واحد.
نظرًا لأن a هو 2، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى.
للعثور على محور التماثل، ابحث\(x=−\frac{b}{2a}\) 
قمة الرأس هي x=1قمة الرأس على الخط x=1. 
ابحث عن y عندما x = 1 
(1، −5)يحدث التقاطع y عند x=0. 
البديل x=0. 
قم بالتبسيط. 
التقاطع y هو (0، −3)
النقطة (0، −3) هي وحدة واحدة على يسار خط التماثل.
النقطة التي تقع الوحدة الأولى على يمين خط التماثل هي (2، −3)النقطة المتماثلة في التقاطع y هي (2، −3). يحدث التقاطع x عندما y=0 
البديل y=0 
استخدم الصيغة التربيعية. 
استبدل قيم أ، ب، ج. 
قم بالتبسيط. 
قم بالتبسيط داخل الراديكالي. 
قم بتبسيط الراديكالية. 
عامل GCF. 
قم بإزالة العوامل المشتركة. 
اكتب كمعادلتين. 
قم بتقريب القيم. 
القيم التقريبية للفاصلة x هي (2.5,0) و (−0.6,0). قم برسم القطع المكافئ باستخدام النقاط التي تم العثور عليها. 
رسم بياني القطع المكافئ\(y=5x^2+10x+3\).
- إجابة
-
y: (0,3)؛ x: (−1.6,0)، (−0.4,0)؛
المحور: x=−1؛ الرأس: (−1، −2)؛
رسم بياني القطع المكافئ\(y=−3x^2−6x+5\).
- إجابة
-
y: (0,5)؛ x: (0.6,0)، (−2.6,0)؛
المحور: x=−1؛ قمة الرأس: (−1,8)؛
حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات
إن معرفة أن رأس المكافئ هو أدنى أو أعلى نقطة في المكافئ يمنحنا طريقة سهلة لتحديد القيمة الدنيا أو القصوى للمعادلة التربيعية. الإحداثي y في قمة الرأس هو الحد الأدنى لقيمة y -من المكافئ الذي يفتح لأعلى. إنها القيمة y -القصوى للقطع المكافئ الذي يفتح لأسفل. انظر الشكل.
الإحداثي y لرأس الرسم البياني للمعادلة التربيعية هو
- الحد الأدنى لقيمة المعادلة التربيعية في حالة فتح المكافئ لأعلى.
- القيمة القصوى للمعادلة التربيعية إذا تم فتح القطع المكافئ لأسفل.
أوجد القيمة الدنيا للمعادلة التربيعية\(y=x^2+2x−8\).
- إجابة
-
نظرًا لأن a إيجابي، فإن المكافئ يفتح لأعلى. المعادلة التربيعية لها حد أدنى. أوجد محور التماثل. 
x=−1تقع قمة الرأس على الخط x=−1. 
ابحث عن y عند x=−1. 
(−1، −9)بما أن المكافئ له حد أدنى، فإن الإحداثي y للرأس هو القيمة y- الدنيا للمعادلة التربيعية. القيمة الدنيا للتربيعية هي −9 وتحدث عند x=−1. اعرض الرسم البياني للتحقق من النتيجة. 
ابحث عن القيمة القصوى أو الدنيا للمعادلة التربيعية\(y=x^2−8x+12\).
- إجابة
-
القيمة الدنيا هي −4 عندما x=4.
ابحث عن القيمة القصوى أو الدنيا للمعادلة التربيعية\(y=−4x^2+16x−11\).
- إجابة
-
القيمة القصوى هي 5 عندما x=2.
لقد استخدمنا الصيغة
\[\begin{array} {l} {h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}}\\ \nonumber \end{array}\]
لحساب الارتفاع بالأقدام، ح، لجسم أُطلِق صعودًا في الهواء بسرعة أولية\(v_{0}\)، بعد 3 ثوانٍ.
هذه الصيغة هي معادلة تربيعية في المتغير tt، لذا فإن الرسم البياني الخاص بها هو مكافئ. من خلال حل إحداثيات قمة الرأس، يمكننا العثور على المدة التي سيستغرقها الكائن للوصول إلى أقصى ارتفاع له. ثم يمكننا حساب الحد الأقصى للارتفاع.
تُمثِّل المعادلة\(h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}\) التربيعية ارتفاع كرة الطائرة التي تُضرب بشكل مستقيم لأعلى بسرعة ١٧٦ قدمًا في الثانية من ارتفاع ٤ أقدام.
- كم ثانية ستستغرق الكرة الطائرة للوصول إلى أقصى ارتفاع لها؟
- ابحث عن أقصى ارتفاع للكرة الطائرة.
- إجابة
-
\(h=−16t^2+176t+4\)
نظرًا لأن a سالب، فإن المكافئ يفتح لأسفل.
المعادلة التربيعية لها حد أقصى.
1.
\[\begin{array} {ll} {}&{t=−\frac{b}{2a}}\\ {\text{Find the axis of symmetry.}}& {t=−\frac{176}{2(−16)}}\\ {}&{t=5.5}\\ {}&{\text{The axis of symmetry is} t = 5.5}\\ {\text{The vertex is on the line} t=5.5}& {\text{The maximum occurs when} t =5.5 \text{seconds.}}\\ \nonumber \end{array}\]2.
ابحث عن h عندما t=5.5. 
استخدم الآلة الحاسبة للتبسيط. 
قمة الرأس هي (5.5,488) نظرًا لأن القطع المكافئ له حد أقصى، فإن الإحداثي h للرأس هو الحد الأقصى لقيمة y للمعادلة التربيعية. القيمة القصوى للتربيعية هي 488 قدمًا وتحدث عندما تكون t=5.5 ثانية.
تُستخدم المعادلة\(h=−16t^2+128t+32\) التربيعية لإيجاد ارتفاع حجر يُلقى لأعلى من ارتفاع ٣٢ قدمًا بمعدل ١٢٨ قدم/ثانية. كم من الوقت سيستغرق الحجر للوصول إلى أقصى ارتفاع له؟ ما هو الحد الأقصى للارتفاع؟ قرِّب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.
- إجابة
-
سوف يستغرق الأمر 4 ثوانٍ للوصول إلى أقصى ارتفاع يبلغ 288 قدمًا.
تساوي المعادلة التربيعية لصاروخ لعبة أُطلِق لأعلى من الأرض بمعدل 208 قدم/ثانية\(h=−16t^2+208t\). متى سيصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له؟ ماذا سيكون الحد الأقصى للارتفاع؟ قرِّب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.
- إجابة
-
سوف يستغرق الأمر 6.5 ثانية للوصول إلى أقصى ارتفاع يبلغ 676 قدمًا.
- تمثيل الدوال التربيعية بيانيًا
- كيف ترسم دالة تربيعية بيانيًا؟
- تمثيل المعادلات التربيعية بيانيًّا
المفاهيم الرئيسية
- الرسم البياني لكل معادلة تربيعية هو المكافئ.
- اتجاه المكافئ للمعادلة التربيعية\(y=ax^2+bx+c\)، إذا
- a> 0، يفتح المكافئ لأعلى.
- a<0، يفتح المكافئ لأسفل.
- محور التماثل ورأس المكافئ بالنسبة للقطع المكافئ مع المعادلة\(y=ax^2+bx+c\):
- محور التماثل في المكافئ هو الخط\(x=−\frac{b}{2a}\).
- تقع قمة الرأس على محور التماثل، لذا فإن إحداثتها x هي\(−\frac{b}{2a}\).
- لإيجاد الإحداثي y للرأس، نستبدل\(x=−\frac{b}{2a}\) المعادلة التربيعية.
- أوجد الأجزاء المقطوعة لبارابولا لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المكافئ باستخدام المعادلة\(y=ax^2+bx+c\):
\[\begin{array} {ll} {\textbf{y-intercept}}&{\textbf{x-intercepts}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve for y}}&{\text{Let} y=0 \text{and solve for x}}\\ \nonumber \end{array}\] - تمثيل معادلة تربيعية في متغيرين
- اكتب المعادلة التربيعية التي تتضمَّن yy على أحد طرفيها.
- حدِّد ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أم لأسفل.
- أوجد محور التماثل.
- ابحث عن قمة الرأس.
- ابحث عن التقاطع y. ابحث عن النقطة المتماثلة للجزء الصادي عبر محور التماثل.
- ابحث عن نقاط التقاطع x.
- رسم بياني القطع المكافئ.
- القيم الدنيا أو القصوى للمعادلة التربيعية
- الإحداثي y لرأس الرسم البياني للمعادلة التربيعية هو
- الحد الأدنى لقيمة المعادلة التربيعية في حالة فتح المكافئ لأعلى.
- القيمة القصوى للمعادلة التربيعية إذا تم فتح القطع المكافئ لأسفل.
مسرد المصطلحات
- محور التناظر
- محور التماثل هو الخط العمودي الذي يمر عبر منتصف القطع المكافئ\(y=ax^2+bx+c\).
- المكافئ
- الرسم البياني للمعادلة التربيعية في متغيرين هو المكافئ.
- المعادلة التربيعية في متغيرين
- معادلة تربيعية في متغيرين، حيث a و b و c\(a \ge 0\) هي أعداد حقيقية وهي معادلة للنموذج\(y=ax^2+bx+c\).
- قمة الرأس
- تسمى النقطة الموجودة على المكافئ الموجودة على محور التماثل برأس المكافئ؛ وهي أدنى أو أعلى نقطة في المكافئ، اعتمادًا على ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل.
- تقاطعات س من المكافئ
- نقاط التقاطع x هي النقاط الموجودة على الجزء المكافئ حيث\(y=0\).
- عن طريق قطع المكافئ
- التقاطع y هو النقطة الموجودة على القطع المكافئ حيث\(x=0\).