Skip to main content
Global

10.4: حل تطبيقات تم تمثيلها بواسطة المعادلات التربيعية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200179

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • حل تطبيقات نموذجية باستخدام المعادلات التربيعية
    كن مستعدًا

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. مجموع عددين فرديين متتاليين هو −100. ابحث عن الأرقام.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
    2. تبلغ مساحة اللوحة الجدارية المثلثة 64 قدمًا مربعًا. القاعدة هي 16 قدمًا. ابحث عن الارتفاع.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
    3. أوجد طول وتر مثلث قائم الزاوية بأرجله ٥ بوصات و١٢ بوصة.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

    حل تطبيقات الصيغة التربيعية

    لقد قمنا بحل بعض التطبيقات التي تم تصميمها بواسطة المعادلات التربيعية في وقت سابق، عندما كانت الطريقة الوحيدة لحلها هي التحليل. الآن لدينا المزيد من الطرق لحل المعادلات التربيعية، سنلقي نظرة أخرى على التطبيقات. للبدء، سنقوم بنسخ إستراتيجية حل المشكلات المعتادة هنا حتى نتمكن من اتباع الخطوات.

    التعريف: استخدم استراتيجية حل المشكلات
    1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
    2. حدد ما نبحث عنه.
    3. اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
    4. ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
    5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
    6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. أجب على السؤال بجملة كاملة.

    لقد قمنا بحل تطبيقات الأرقام التي تتضمن أعدادًا صحيحة زوجية متتالية وأعداد صحيحة فردية متتالية من خلال نمذجة الموقف باستخدام المعادلات الخطية. تذكر أننا لاحظنا أن كل عدد صحيح زوجي يزيد بمقدار 2 عن الرقم الذي يسبقه. إذا أطلقنا على الرقم الأول n، فسيكون التالي هو\(n+2\). The next one would be \(n+2+2\) or \(n+4\). This is also true when we use odd integers. One set of even integers and one set of odd integers are shown below.

    \[\begin{array}{cccc} {}&{\textbf{Consecutive even integers}}&{}&{\textbf{Consecutive odd integers}}\\ {}&{64, 66, 68}&{}&{77, 79, 81}\\ {n}&{1^{st} \text{even number}}&{n}&{1^{st} \text{odd number}}\\ {n+2}&{2^{nd} \text{even number}} &{n+2}&{2^{nd} \text{odd number}}\\ {n+4}&{3^{rd} \text{even number}}&{n+4}&{3^{rd} \text{odd number}}\\ \end{array}\]

    يتم تصميم بعض تطبيقات الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية أو الأعداد الصحيحة الزوجية المتتالية بواسطة المعادلات التربيعية. سيكون الترميز أعلاه مفيدًا عند تسمية المتغيرات.

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 195. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

    إجابة
    الخطوة 1. اقرأ المشكلة.  
    الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عددين صحيحين متتابعين.
    الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. دع\(n=\) أول عدد صحيح فردي.
    \(n+2=\)العدد الصحيح الفردي التالي
    الخطوة 4. ترجم إلى معادلة. اذكر المشكلة في جملة واحدة. «حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 195". حاصل ضرب العدد الصحيح الفردي الأول والعدد الفردي الثاني هو 195.
    ترجم إلى معادلة. .
    الخطوة 5. حل المعادلة. قم بالتوزيع. .
    اطرح 195 للحصول على المعادلة في الصورة القياسية. .
    حدد قيم a و b و c. .
    اكتب المعادلة التربيعية. .
    ثم استبدل قيم أ، ب، ج. .
    قم بالتبسيط. .
    .
    قم بتبسيط الراديكالية. .
    أعد الكتابة لإظهار حلين. .
    حل كل معادلة. .
    .
    هناك قيمتان لـ n وهما الحلول. سيعطينا هذا زوجين من الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية للحل الخاص بنا.

    أول عدد صحيح فردي n=13

    العدد الصحيح الفردي التالي n+2
    13+2
    15
     

    أول عدد صحيح فردي n=−15

    العدد الصحيح الفردي التالي ن+2
    −15+2
    −13
    الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
    هل تعمل هذه الأزواج؟
    هل هي أعداد صحيحة فردية متتالية؟
    هل منتجهم 195؟

    13، 15، نعم −13، −15، نعم

    1315=195، نعم −13 (−15) = 195، نعم
    الخطوة 7. أجب على السؤال. العددان الصحيحان الفردان المتعاقدان اللذان يبلغ منتجهما 195 هما 13 و15 و−13 و−15.
    مثال\(\PageIndex{2}\)

    حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 99. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

    إجابة

    العددان الفرديان المتتابعان الناتج لهما 99 هما 9 و11، و−9 و−11.

    مثال\(\PageIndex{3}\)

    حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين هو 168. ابحث عن الأعداد الصحيحة.

    إجابة

    هناك عددان زوجيان متتاليان حاصل ضربهما 168 هما 12 و14 و−12 و−14.

    سنستخدم صيغة منطقة المثلث لحل المثال التالي.

    تعريف: مساحة المثلث

    بالنسبة للمثلث ذو القاعدة b والارتفاع h، تُعطى المساحة A بواسطة الصيغة\(A=\frac{1}{2}bh\).

    تُظهر الصورة مثلثًا مع جانب أفقي في الجزء السفلي المسمى b وخط عمودي قادم من الضلع b إلى قمة جانبي المثلث الآخرين. هذا الخط العمودي يسمى h.

    تذكر أنه عندما نحل تطبيقات الهندسة، من المفيد رسم الشكل.

    مثال\(\PageIndex{4}\)

    يقوم مهندس معماري بتصميم مدخل مطعم. إنها تريد وضع نافذة مثلثة فوق المدخل. نظرًا لقيود الطاقة، يمكن أن تبلغ مساحة النافذة 120 قدمًا مربعًا ويريد المهندس المعماري أن يكون العرض أكثر بـ 4 أقدام من ضعف الارتفاع. ابحث عن ارتفاع وعرض النافذة.

    إجابة
    الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
    ارسم صورة.    		 .
    الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن الارتفاع والعرض.
    الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. \(h=\)دع ارتفاع المثلث.
    \(2h+4=\)عرض المثلث
    الخطوة 4. ترجم. نحن نعرف المنطقة. اكتب صيغة مساحة المثلث.
    .
    الخطوة 5. حل المعادلة. استبدل القيم. .
    قم بالتوزيع. .
    هذه معادلة تربيعية، أعد كتابتها بالشكل القياسي. .
    حل المعادلة باستخدام الصيغة التربيعية. حدد قيم a و b و c. .
    اكتب المعادلة التربيعية. .
    ثم استبدل قيم أ، ب، ج. .
    قم بالتبسيط. .
    .
    قم بتبسيط الراديكالية. .
    أعد الكتابة لإظهار حلين. .
    قم بالتبسيط. .
    نظرًا لأن h هو ارتفاع النافذة، فإن قيمة f\(h=−12\) لا معنى لها. .
      ارتفاع المثلث:\(h=10\)

    عرض المثلث:\(2h+4\)
    \(2⋅10+4\)
    \(24\)
    الخطوة 6. تحقق من الإجابة. هل مساحة المثلث الذي يبلغ ارتفاعه ١٠ وعرضه ٢٤ ١٢٠؟ نعم.  
    الخطوة 7. أجب على السؤال. يبلغ ارتفاع النافذة المثلثة 10 أقدام وعرضها 24 قدمًا.

    لاحظ أن الحلول كانت أعدادًا صحيحة. هذا يخبرنا أنه كان بإمكاننا حل المعادلة عن طريق العوملة.

    عندما كتبنا المعادلة في الشكل القياسي\(h^2+2h−120=0\)، كان بإمكاننا أخذها في الاعتبار. إذا فعلنا ذلك، لكنا قد حللنا المعادلة\((h+12)(h−10)=0\).

    مثال\(\PageIndex{5}\)

    أوجد أبعاد مثلث يزيد عرضه بمقدار أربعة أضعاف عن ستة أضعاف ارتفاعه، ومساحته ٢٠٨ بوصة مربعة.

    إجابة

    يبلغ ارتفاع المثلث 8 بوصات والعرض 52 بوصة.

    مثال\(\PageIndex{6}\)

    إذا كان المثلث الذي تبلغ مساحته ١١٠ قدمًا مربعًا يقل ارتفاعه بمقدار قدمين عن ضعف العرض، فما أبعاده؟

    إجابة

    ارتفاع المثلث 20 قدمًا والعرض 11 قدمًا.

    في المثالين السابقين، كان الرقم في الجذر في الصيغة التربيعية مربعًا مثاليًا وبالتالي كانت الحلول عبارة عن أرقام منطقية. إذا حصلنا على رقم غير منطقي كحل لمشكلة التطبيق، فسنستخدم الآلة الحاسبة للحصول على قيمة تقريبية.

    توضح نظرية فيثاغورس العلاقة بين الساقين والوتر في مثلث قائم الزاوية. سنستخدم نظرية فيثاغورس لحل المثال التالي.

    تعريف: نظرية فيثاغورس

    في أي مثلث قائم الزاوية، حيث a و b هما أطوال الساقين و c هو طول الوتر،\(a^2+b^2=c^2\)

    تُظهر الصورة مثلثًا قائمًا مع جانب أفقي في الجزء السفلي المسمى b، وجانبًا رأسيًا على اليسار يحمل علامة a والوتر الذي يربط بين الاثنين يسمى c.

    مثال\(\PageIndex{7}\)

    يقوم رينيه بإعداد شاشة عرض ضوء العطلات. يريد أن يصنع «شجرة» على شكل مثلثين قائمين، كما هو موضح أدناه، ولديه خيوطان من الأضواء بطول 10 أقدام لاستخدامها في الجوانب. سوف يعلق الأضواء على الجزء العلوي من العمود وعلى ورقتين على الأرض. يريد أن يكون ارتفاع القطب هو نفس المسافة من قاعدة القطب إلى كل حصة. كم يجب أن يكون طول القطب؟

    إجابة
    الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم صورة .
    الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن ارتفاع القطب.
    الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. المسافة من قاعدة القطب إلى أي من الوتد هي نفس ارتفاع القطب. \(x=\)دع ارتفاع القطب.
    \(x=\)المسافة من القطب إلى الحصة
    كل جانب هو مثلث قائم. نرسم صورة لأحدهم. .
    الخطوة 4. ترجم إلى معادلة. يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحل المشكلة x.  
    اكتب نظرية فيثاغورس. \(a^2+b^2=c^2\)
    الخطوة 5. حل المعادلة. بديل. \(x^2+x^2=10^2\)
    قم بالتبسيط. \(2x^2=100\)
    اقسم على 2 لعزل المتغير. \(\frac{2x^2}{2}=\frac{100}{2}\)
    قم بالتبسيط. \(x^2=50\)
    استخدم خاصية الجذر التربيعي. \(x=\pm\sqrt{50}\)
    قم بتبسيط الراديكالية. \(x=\pm5\sqrt{2}\)
    أعد الكتابة لإظهار حلين. \(x=5\sqrt{2}\)
    \(\not{x=−5\sqrt{2}}\)
    قم بتقريب هذا الرقم لأقرب جزء من عشرة باستخدام الآلة الحاسبة. \(x \approx 7.1\)
    الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
    تحقق بنفسك في نظرية فيثاغورس.    		  
    الخطوة 7. أجب على السؤال. يجب أن يكون طول القطب حوالي 7.1 قدم.
    مثال\(\PageIndex{8}\)

    تلقي الشمس بظلالها من عمود العلم. يبلغ ارتفاع عمود العلم ثلاثة أضعاف طول ظله. المسافة بين نهاية الظل وأعلى عمود العلم هي 20 قدمًا. أوجد طول الظل وطول عمود العلم. قرِّب حتى أقرب عُشر قدم.

    إجابة

    يبلغ طول الظل 6.3 قدم وطول عمود العلم 18.9 قدمًا.

    مثال\(\PageIndex{9}\)

    تزيد المسافة بين الزوايا المتقابلة لحقل مستطيل بمقدار أربعة أضعاف عن عرض الحقل. يبلغ طول الحقل ضعف عرضه. أوجد المسافة بين الزوايا المقابلة. قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.

    إجابة

    المسافة إلى الزاوية المقابلة هي 3.2.

    مثال\(\PageIndex{10}\)

    يريد مايك وضع 150 قدمًا مربعًا من العشب الصناعي في فناء منزله الأمامي. هذه هي المساحة القصوى للعشب الصناعي التي تسمح بها جمعية أصحاب المنازل. يريد أن تكون له مساحة مستطيلة من العشب بطول قدم أقل من ثلاثة أضعاف العرض. ابحث عن الطول والعرض. قرِّب حتى أقرب عُشر قدم.

    إجابة
    الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم صورة. .
    الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض.
    الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. \(w=\)دع عرض المستطيل.
    \(3w−1=\)طول المستطيل

    الخطوة 4. ترجم إلى معادلة.

    نحن نعرف المنطقة. اكتب صيغة مساحة المستطيل.

    		 .
    الخطوة 5. حل المعادلة. استبدل القيم. .
    قم بالتوزيع. .
    هذه معادلة تربيعية، أعد كتابتها بالشكل القياسي. .
    حل المعادلة باستخدام الصيغة التربيعية.  
    حدد قيم a و b و c. .
    اكتب الصيغة التربيعية. .
    ثم استبدل قيم أ، ب، ج. .
    قم بالتبسيط. .
    .
    أعد الكتابة لإظهار حلين. .
    قم بتقريب الإجابات باستخدام الآلة الحاسبة.
    نحن نزيل الحل السلبي للعرض.    		 .
    الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
    تأكد من أن الإجابات منطقية.    		  
    الخطوة 7. أجب على السؤال. يبلغ عرض المستطيل 7.2 قدمًا تقريبًا وطوله 20.6 قدمًا.
    مثال\(\PageIndex{11}\)

    يبلغ طول حديقة الخضروات المستطيلة التي تبلغ مساحتها 200 قدم مربع أقل بأربعة أقدام من ضعف العرض. ابحث عن طول وعرض الحديقة. قرِّب إلى أقرب عُشر قدم..

    إجابة

    يبلغ عرض الحديقة 11 قدمًا والطول 18 قدمًا.

    مثال\(\PageIndex{12}\)

    مفرش طاولة مستطيل بمساحة 80 قدم مربع. العرض أقصر بـ 5 أقدام من الطول. ما هو طول وعرض مفرش المائدة؟ قرِّب حتى أقرب عُشر قدم.

    إجابة

    عرض مفرش المائدة هو 6.8 قدم والطول 11.8 قدم.

    تم تصميم ارتفاع القذيفة التي يتم إطلاقها لأعلى من خلال معادلة تربيعية. السرعة الأولية\(v_{0}\)، تدفع الجسم لأعلى حتى تتسبب الجاذبية في تراجع الجسم إلى الأسفل.

    تعريف: حركة القذيفة

    تُحدد الصيغة التالية ارتفاع جسم مُطلَق لأعلى في الهواء بالأقدام\(v_{0}\) أو الساعة بسرعة أولية بعد t ثانية:

    \(h=−16t^2+v_{0}t\)

    يمكننا استخدام صيغة حركة المقذوفات للعثور على عدد الثواني التي ستستغرقها الألعاب النارية للوصول إلى ارتفاع معين.

    مثال\(\PageIndex{13}\)

    يتم إطلاق الألعاب النارية لأعلى بسرعة أولية 130 قدمًا في الثانية. ما عدد الثواني التي سيستغرقها الوصول إلى ارتفاع 260 قدمًا؟ قرِّب لأقرب جزء من عُشر من الثانية.

    إجابة
    الخطوة 1. اقرأ المشكلة.  
    الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عدد الثواني، وهو الوقت.
    الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. \(t=\)دع عدد الثواني.
    الخطوة 4. ترجم إلى معادلة. استخدم الصيغة.
      \(h=−16t^2+v_{0}t\)
    الخطوة 5. حل المعادلة.
    نحن نعلم أن السرعة\(v_{0}\) هي 130 قدمًا في الثانية.    		  
    الارتفاع هو 260 قدمًا. استبدل القيم. .
    هذه معادلة تربيعية، أعد كتابتها بالشكل القياسي. .
    حل المعادلة باستخدام الصيغة التربيعية.  
    حدد قيم a و b و c. .
    اكتب الصيغة التربيعية. .
    ثم استبدل قيم أ، ب، ج. .
    قم بالتبسيط. .
    .
    أعد الكتابة لإظهار حلين. .
    قم بتقريب الإجابات باستخدام الآلة الحاسبة. \(t \approx 4.6\)ثواني،\(t \approx 3.6\)
    الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
    الشيك متروك لك.    		  
    الخطوة 7. أجب على السؤال. سوف ترتفع الألعاب النارية ثم تسقط مرة أخرى.
    عندما ترتفع الألعاب النارية، ستصل إلى 260 قدمًا بعد
    حوالي 3.6 ثانية. سيتجاوز هذا
    الارتفاع أيضًا في طريقه إلى الأسفل عند 4.6 ثانية.
    .
    مثال\(\PageIndex{14}\)

    يتم إطلاق سهم من الأرض إلى الهواء بسرعة أولية تبلغ 108 قدم/ثانية. استخدم الصيغة\(h=−16t^2+v_{0}t\) لتحديد متى سيكون السهم على بعد 180 قدمًا من الأرض. قرِّب أقرب عُشر من الثانية.

    إجابة

    سيصل السهم إلى 180 في طريقه لأعلى في 3 ثوانٍ، وفي طريقه لأسفل في 3.8 ثانية.

    مثال\(\PageIndex{15}\)

    رجل يرمي كرة في الهواء بسرعة ٩٦ قدم/ثانية. استخدم الصيغة\(h=−16t^2+v_{0}t\) لتحديد متى سيكون ارتفاع الكرة 48 قدمًا. قرِّب لأقرب جزء من عُشر من الثانية.

    إجابة

    ستصل الكرة إلى 48 قدمًا في طريقها لأعلى في 0.6 ثانية وفي طريقها إلى الأسفل في 5.5 ثانية.

    يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة حل المسائل الكلامية باستخدام المعادلة التربيعية:

    المفاهيم الرئيسية

    • مساحة المثلث بالنسبة للمثلث ذي القاعدة، ب، والارتفاع، h، المنطقة، A، تُعطى بالصيغة التالية:\(A=\frac{1}{2}bh\)
      بديل
    • نظرية فيثاغورس في أي مثلث قائم الزاوية، حيث يمثل a و b أطوال الأرجل، و c هو طول الفرضية،\(a^2+b^2=c^2\)
      بديل
    • حركة المقذوفات: يمكن نمذجة الارتفاع بالأقدام أو الساعة لجسم أُطلق صعودًا في الهواء بسرعة أولية\(v_{0}\)، بعد مرور 10 ثوانٍ، باستخدام الصيغة

      \(h=−16t^2+v_{0}t\)

    مسرد المصطلحات

    الأعداد الصحيحة السبعة المتتالية
    الأعداد الصحيحة المتتالية هي حتى الأعداد الصحيحة التي تتبع بعضها البعض مباشرة. إذا تم تمثيل عدد صحيح زوجي بـ n، فإن العدد الصحيح الزوجي التالي هو\(n+2\)، والعدد التالي بعد ذلك هو\(n+4\).
    الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية
    الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية هي أعداد صحيحة فردية تتبع بعضها البعض مباشرة. إذا تم تمثيل عدد صحيح فردي بـ n، فإن العدد الصحيح الفردي التالي على التوالي هو\(n+2\)، والعدد التالي بعد ذلك هو\(n+4\).

    ​​​​​​​