9.7: جذور أعلى
- Page ID
- 200163
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- قم بتبسيط التعبيرات ذات الجذور الأعلى
- استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات ذات الجذور الأعلى
- استخدم خاصية حاصل القسمة لتبسيط التعبيرات ذات الجذور الأعلى
- جمع وطرح جذور أعلى
- قم بالتبسيط:\(y^{5}y^{4}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.2.7. - قم بالتبسيط:\((n^2)^6\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.2.19. - قم بالتبسيط:\(\frac{x^8}{x^3}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.5.1.
قم بتبسيط التعبيرات ذات الجذور العليا
حتى الآن، عملنا في هذا الفصل مع المربعات والجذور التربيعية. سنقوم الآن بتوسيع عملنا ليشمل القوى العليا والجذور العليا.
دعونا نراجع بعض المفردات أولاً.
\[\begin{array}{cc} {}&{}\\ {\textbf{We write:}}&{\textbf{We say:}}\\ {n^2}&{\text{n squared}}\\ {n^3}&{\text{n cubed}}\\ {n^4}&{\text{n to the fourth}}\\ {n^5}&{\text{n to the fifth}}\\ \nonumber \end{array}\]
يأتي المصطلحان «مربع» و «مكعب» من معادلات مساحة المربع وحجم المكعب.
سيكون من المفيد الحصول على جدول لقوى الأعداد الصحيحة من −5to5. انظر الشكل\(\PageIdnex{1}\).
لاحظ العلامات في الشكل\(\PageIndex{1}\). جميع قوى الأرقام الموجبة إيجابية بالطبع. ولكن عندما يكون لدينا رقم سالب، تكون القوى الزوجية إيجابية والقوى الفردية سلبية. سنقوم بنسخ الصف الذي يحتوي على صلاحيات −2 أدناه لمساعدتك على رؤية ذلك.
في وقت سابق من هذا الفصل، حددنا الجذر التربيعي لعدد.
إذا كان\(n^2=m\) n هو الجذر التربيعي لـ m.
وقد استخدمنا الترميز للدلالة\(\sqrt{m}\) على الجذر التربيعي الرئيسي. لذلك\(\sqrt{m} \ge 0\) دائمًا.
سنقوم الآن بتوسيع التعريف ليشمل الجذور العليا.
إذا كان\(b^n=a\)، ثم b هو رمز في جذر الرقم a.
يتم كتابة المبدأ الأساسي في جذر a.\(\sqrt[n]{a}=b\)
n يسمى مؤشر الراديكالي.
نحن لا نكتب الفهرس للجذر التربيعي. تمامًا مثلما نستخدم كلمة «مكعبة» لـ\(b^3\)، نستخدم مصطلح «الجذر المكعب» لـ\(\sqrt[3]{a}\).
نشير إلى الشكل\(\PageIndex{1}\) لمساعدتنا في العثور على جذور أعلى.
\[\begin{array}{cc} {4^3=64}&{\sqrt[3]{64}=4}\\ {3^4=81}&{\sqrt[4]{81}=3}\\ {(−2)^5=−32}&{\sqrt[5]{−32}=−2}\\ \nonumber \end{array}\]
هل يمكن أن يكون لدينا جذر زوجي لرقم سالب؟ لا. نحن نعلم أن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس رقمًا حقيقيًا. وينطبق الشيء نفسه على أي جذر متساوٍ. حتى جذور الأرقام السالبة ليست أرقامًا حقيقية. الجذور الفردية للأرقام السالبة هي أرقام حقيقية.
عندما يكون n رقمًا زوجيًا و
- \(a\ge 0\)، إذن\(\sqrt[n]{a}\) هو رقم حقيقي
- \(a < 0\)، إذن\(\sqrt[n]{a}\) ليس رقمًا حقيقيًا
عندما يكون n رقمًا فرديًا،\(\sqrt[n]{a}\) يكون رقمًا حقيقيًا لجميع قيم a.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{8}\)
- \(\sqrt[4]{81}\)
- \(\sqrt[5]{32}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{8}\) منذ\((2)^3=8\). 2 2. \(\sqrt[4]{81}\) منذ\((3)^4=81\). 3 3. \(\sqrt[5]{32}\) منذ\((2)^5=32\). 2
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{27}\)
- \(\sqrt[4]{256}\)
- \(\sqrt[5]{243}\).
- إجابة
-
- 3
- 4
- 3
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{1000}\)
- \(\sqrt[4]{16}\)
- \(\sqrt[5]{32}\).
- إجابة
-
- 10
- 2
- 2
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{−64}\)
- \(\sqrt[4]{−16}\)
- \(\sqrt[5]{−243}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{−64}\) منذ\((−4)^3=−64\). −4 2. \(\sqrt[4]{−16}\) فكر،\((?)^4=−16\) لا يوجد رقم حقيقي يتم رفعه إلى القوة الرابعة إيجابي. ليس رقمًا حقيقيًا. 3. \(\sqrt[5]{−243}\) منذ\((−3)^5=−243\). −3
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{−125}\)
- \(\sqrt[4]{−16}\)
- \(\sqrt[5]{−32}\).
- إجابة
-
- −5
- غير حقيقي
- −2
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{−216}\)
- \(\sqrt[4]{−81}\)
- \(\sqrt[5]{−1024}\).
- إجابة
-
- −6
- غير حقيقي
- −4
يمكن أن يكون الجذر الفردي للرقم موجبًا أو سلبيًا. لقد رأينا ذلك\(\sqrt[3]{−64}=−4\).
لكن الجذر الزوجي للرقم غير السالب دائمًا ما يكون غير سالب، لأننا نأخذ الأساس في الجذر.
لنفترض أننا نبدأ بـ a=−5.
\[\begin{array}{cc} {(−5)^4=625}&{\sqrt[4]{625}=5}\\ \nonumber \end{array}\]
كيف يمكننا التأكد من أن الجذر الرابع لـ −5 الذي تم رفعه إلى القوة الرابعة\((−5)^4\) هو 5؟ سنرى في الخاصية التالية.
لأي عدد صحيح\(n \ge 2\)،
\[\begin{array}{cc} {\text{when n is odd}}&{\sqrt[n]{a^n}=a}\\ {\text{when n is even}}&{\sqrt[n]{a^n}=|a|}\\ \nonumber \end{array}\]
يجب أن نستخدم علامات القيمة المطلقة عندما نأخذ جذرًا متساويًا للتعبير مع متغير في الجذر.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt{x^2}\)
- \(\sqrt[3]{n^3}\)
- \(\sqrt[4]{p^4}\)
- \(\sqrt[5]{y^5}\).
- إجابة
-
نحن نستخدم القيمة المطلقة للتأكد من الحصول على الجذر الإيجابي.
1. \(\sqrt{x^2}\) منذ ذلك الحين\((x)^2=x^2\) ونريد الجذر الإيجابي. |x| 2. \(\sqrt[3]{n^3}\) منذ\((n)^3=n^3\). إنه جذر فردي لذا ليست هناك حاجة لعلامة القيمة المطلقة. ن 3. \(\sqrt[4]{p^4}\) منذ ذلك الحين\((p)^4=p^4\) ونريد الجذر الإيجابي. |ص| 4. \(\sqrt[5]{y^5}\) منذ\((y)^5=y^5\). إنه جذر فردي لذا ليست هناك حاجة لعلامة القيمة المطلقة. ص
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt{b^2}\)
- \(\sqrt[3]{w^3}\)
- \(\sqrt[4]{m^4}\)
- \(\sqrt[5]{q^5}\).
- إجابة
-
- |b|
- ث
- |م|
- ف
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt{y^2}\)
- \(\sqrt[3]{p^3}\)
- \(\sqrt[4]{z^4}\)
- \(\sqrt[5]{q^5}\)
- إجابة
-
- |y|
- ص
- |z|
- ف
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{y^{18}}\)
- \(\sqrt[4]{z^8}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{y^{18}}\) منذ\((y^6)^3=y^18\). \(\sqrt[3]{(y^6)^3}\) \(y^6\) 2. \(\sqrt[4]{z^8}\) منذ\((z^2)^4=z^8\). \(\sqrt[4]{(z^2)^4}\) نظرًا\(z^2\) لأنه إيجابي، فإننا لا نحتاج إلى علامة القيمة المطلقة. \(z^2\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[4]{u^{12}}\)
- \(\sqrt[3]{v^{15}}\).
- إجابة
-
- \(u^3\)
- \(v^5\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[5]{c^{20}}\)
- \(\sqrt[6]{d^{24}}\).
- إجابة
-
- \(c^4\)
- \(d^4\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{64p^6}\)
- \(\sqrt[4]{16q^{12}}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{64p^6}\) أعد الكتابة\(64p^6\) باسم\((4p^2)^3\). \(\sqrt[3]{(4p^2)^3}\) خذ الجذر التكعيبي. \(4p^2\) 2. \(\sqrt[4]{16q^{12}}\) أعد كتابة الراديكاند كقوة رابعة. \(\sqrt[4]{(2q^3)^4}\) خذ الجذر الرابع. \(2|q^3|\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{27x^{27}}\)
- \(\sqrt[4]{81q^{28}}\).
- إجابة
-
- \(3x^9\)
- \(3∣q^7∣\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{125p^9}\)
- \(\sqrt[5]{243q^{25}}\)
- إجابة
-
- \(5p^3\)
- \(3q^5\)
استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات ذات الجذور العليا
سنقوم بتبسيط التعبيرات ذات الجذور العليا بنفس الطريقة التي قمنا بتبسيط التعبيرات ذات الجذور التربيعية. وفي الجذر يعتبر مبسطًا إذا لم يكن يحتوي على عوامل\(m^n\).
\(\sqrt[n]{a}\)يعتبر مبسطًا إذا لم يكن هناك أي عوامل\(m^n\).
سنقوم بتعميم خاصية المنتج لـ Square Roots لتضمين أي جذر صحيح\(n \ge 2\).
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}\)و\(\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
متى\(\sqrt[n]{a}\)\(\sqrt[n]{b}\) تكون أرقامًا حقيقية ولأي عدد صحيح\(n \ge 2\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{x^4}\)
- \(\sqrt[4]{x^7}\).
- إجابة
-
1.
\(\sqrt[3]{x^4}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب مثالي. \(\sqrt[3]{x^3·x}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[3]{x^3}·\sqrt[3]{x}\) قم بالتبسيط. \(x\sqrt[3]{x}\) 2. \(\sqrt[4]{x^7}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل طاقة رابع مثالي. \(\sqrt[4]{x^4·x^3}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[4]{x^4}·\sqrt[4]{x^3}\) قم بالتبسيط. \(|x|\sqrt[4]{x^3}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[4]{y^6}\)
- \(\sqrt[3]{z^5}\).
- إجابة
-
- \(|y∣\sqrt[4]{y^2}\)
- \(z\sqrt[3]{z^2}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[5]{p^8}\)
- \(\sqrt[6]{q^{13}}\).
- إجابة
-
- \(p\sqrt[5]{p^3}\)
- \( q^2\sqrt[6]{q}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{16}\)
- \(\sqrt[4]{243}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{16}\) \(\sqrt[3]{2^4}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب مثالي. \(\sqrt[3]{2^3·2}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[3]{2^3}·\sqrt[3]{2}\) قم بالتبسيط. \(2\sqrt[3]{2}\) 2. \(\sqrt[4]{243}\) \(\sqrt[4]{3^5}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل طاقة رابع مثالي. \(\sqrt[4]{3^4·3}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[4]{3^4}·\sqrt[4]{3}\) قم بالتبسيط. \(3\sqrt[4]{3}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{81}\)
- \(\sqrt[4]{64}\).
- إجابة
-
- \(3\sqrt[3]{3}\)
- \(2\sqrt[4]{4}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{625}\)
- \(\sqrt[4]{729}\).
- إجابة
-
- \(5\sqrt[3]{5}\)
- \(3\sqrt[4]{9}\)
لا تنس استخدام علامات القيمة المطلقة عند أخذ الجذر المتساوي للتعبير الذي يحتوي على متغير في الجذر.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{24x^7}\)
- \(\sqrt[4]{80y^{14}}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{24x^7}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[3]{2^{3}x^{6}·3x}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[3]{2^{3}x^{6}}·\sqrt[3]{3x}\) أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\((2x^2)^3\) \(\sqrt[3]{(2x^{2})^3}·\sqrt[3]{3x}\) قم بالتبسيط. \(2x^2\sqrt[3]{3x}\) 2. \(\sqrt[4]{80y^{14}}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية. \(\sqrt[4]{2^{4}y^{12}·5y^2}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[4]{2^{4}y^{12}}·\sqrt[4]{5y^2}\) أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\((2y^3)^4\) \(\sqrt[4]{(2y^3)^4}·\sqrt[4]{5y^2}\) قم بالتبسيط. \(2|y^3|\sqrt[4]{5y^2}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{54p^[10}]\)
- \(\sqrt[4]{64q^{10}}\).
- إجابة
-
- \(3p^3\sqrt[3]{2p}\)
- \(2q^2\sqrt[4]{4q^2}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{128m^{11}}\)
- \(\sqrt[4]{162n^7}\).
- إجابة
-
- \(4m^3\sqrt[3]{2m^2}\)
- \(3|n|\sqrt[4]{2n^3}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{−27}\)
- \(\sqrt[4]{−16}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{−27}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[3]{(−3)^3}\) خذ الجذر التكعيبي. −3 2. \(\sqrt[4]{−16}\) لا يوجد رقم حقيقي في المكان\(n^4=−16\). ليس رقمًا حقيقيًا.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{−108}\)
- \(\sqrt[4]{−48}\).
- إجابة
-
- \(−3\sqrt[3]{4}\)
- غير حقيقي
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{−625}\)
- \(\sqrt[4]{−324}\).
- إجابة
-
- \(−5\sqrt[3]{5}\)
- غير حقيقي
استخدم خاصية حاصل القسمة لتبسيط التعبيرات ذات الجذور العليا
يمكننا تبسيط الجذور الأعلى باستخدام القسمة بنفس الطريقة التي قمنا بها بتبسيط الجذور التربيعية. أولاً نقوم بتبسيط أي كسور داخل الجذر.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}\).
- إجابة
-
1.
\(\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}\) قم بتبسيط الكسر تحت الجذر أولاً. \(\sqrt[3]{a^3}\) قم بالتبسيط. أ 2. \(\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}\) قم بتبسيط الكسر تحت الجذر أولاً. \(\sqrt[4]{a^8}\) أعد كتابة الجذر باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية. \(\sqrt[4]{(a^2)^4}\) قم بالتبسيط. \(a^2\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[4]{\frac{x^7}{x^3}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{y^{17}}{y^5}}\).
- إجابة
-
- |x|
- \(y^3\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{\frac{m^{13}}{m^7}}\)
- \(\sqrt[5]{\frac{n^{12}}{n^2}}\).
- إجابة
-
- \(m^2\)
- \(n^2\)
في السابق، استخدمنا خاصية Quotient «في الاتجاه المعاكس» لتبسيط الجذور التربيعية. الآن سنقوم بتعميم الصيغة لتشمل جذور أعلى.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)و\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
عندما\(\sqrt[n]{a}\) and \(\sqrt[n]{b}\) are real numbers, \(b \ne 0\), and for any integer \(n \ge 2\)
قم بالتبسيط:
- \(\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}\)
- إجابة
-
1. \(\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}\) لا يعتبر الراديكاند مكعبًا مثاليًا، لذا استخدم خاصية Quotient للكتابة كجذر واحد. \(\sqrt[3]{\frac{−108}{2}}\) قم بتبسيط الكسر تحت الجذر. \(\sqrt[3]{−54}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[3]{(−3)^3·2}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[3]{(−3)^3}·\sqrt[3]{2}\) قم بالتبسيط. \(−3\sqrt[3]{2}\) 2. \(\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}\) لا يمثل أي من الراديكوند قوة رابعة مثالية، لذا استخدم خاصية Quotient للكتابة كمتطرف واحد \(\sqrt[4]{\frac{96x^7}{3x^2}}\) قم بتبسيط الكسر تحت الجذر. \(\sqrt[4]{32x^5}\) أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية. \(\sqrt[4]{2^{4}x^4·2x}\) أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين. \(\sqrt[4]{(2x)^4}·\sqrt[4]{2x}\) قم بالتبسيط. \(2|x|\sqrt[4]{2x}\)
قم بالتبسيط:
- \(\frac{\sqrt[3]{−532}}{\sqrt[3]{2}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{486m^{11}}}{\sqrt[4]{3m^5}}\)
- إجابة
-
- غير حقيقي
- \(3|m|\sqrt[4]{2m^2}\)
قم بالتبسيط:
- \(\frac{\sqrt[3]{−192}}{\sqrt[3]{3}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{324n^7}}{\sqrt[4]{2n^3}}\).
- إجابة
-
- −4
- \(3|n|\sqrt[4]{2}\)
إذا كان الكسر الموجود داخل الجذر لا يمكن تبسيطه، فإننا نستخدم الشكل الأول لخاصية حاصل القسمة لإعادة كتابة التعبير في صورة حاصل قسمة جذرين.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}\) لا يمكن تبسيط الكسر في الراديكوند. استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذريين. \(\frac{\sqrt[3]{24x^7}}{\sqrt[3]{y^3}}\) أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\frac{\sqrt[3]{8x^6·3x}}{\sqrt[3]{y^3}}\) أعد كتابة البسط باعتباره نتاج جذريين. \(\frac{\sqrt[3]{(2x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}}{\sqrt[3]{y^3}}\) قم بالتبسيط. \(\frac{2x^2\sqrt[3]{3x}}{y}\) 2. \(\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}\) لا يمكن تبسيط الكسر في الراديكوند. استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذريين. \(\frac{\sqrt[4]{48x^{10}}}{\sqrt[4]{y^8}}\) أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\frac{\sqrt[4]{16x^8·3x^2}}{\sqrt[4]{y^8}}\) أعد كتابة البسط باعتباره نتاج جذريين. \(\frac{\sqrt[4]{(2x^2)^4}·\sqrt[4]{3x^2}}{\sqrt[4]{(y^2)^4}}\) قم بالتبسيط. \(\frac{2x^2\sqrt[4]{3x^2}}{y^2}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{\frac{108c^{10}}{d^6}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{80x^{10}}{y^5}}\).
- إجابة
-
- \(\frac{3c^3\sqrt[3]{4c}}{d^2}\)
- \(\frac{x^2}{∣y∣}\sqrt[4]{\frac{80x^2}{y}}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{\frac{40r^3}{s}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{162m^{14}}{n^{12}}}\)
- إجابة
-
- \(r\sqrt[3]{\frac{40}{s}}\)
- \(\frac{3m^3\sqrt[4]{2m^2}}{∣n^3∣}\)
جمع وطرح جذور أعلى
يمكننا جمع وطرح جذور أعلى كما قمنا بإضافة وطرح الجذور التربيعية. أولاً نقدم تعريفًا رسميًا للمتطرفين المتشابهين.
تسمى الجذور التي لها نفس المؤشر ونفس الجذور مثل الجذور.
مثل الراديكاليين لديهم نفس المؤشر ونفس الجذور.
- \(9\sqrt[4]{42x}\)\(−2\sqrt[4]{42x}\)وهم مثل الراديكاليين.
- \(5\sqrt[3]{125x}\)\(6\sqrt[3]{125y}\)وليسوا مثل الراديكاليين. الراديكاليون مختلفون.
- \(2\sqrt[5]{1000q}\)\(−4\sqrt[4]{1000q}\)وليسوا مثل الراديكاليين. المؤشرات مختلفة.
نجمع ونطرح الجذور المتشابهة بنفس الطريقة التي نجمع بها ونطرح المصطلحات المتشابهة. يمكننا الإضافة\(9\sqrt[4]{42x}+(−2\sqrt[4]{42x})\) والنتيجة هي\(7\sqrt[4]{42x}\).
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}\)
- \(4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}\)
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}\) تتشابه الجذور، لذلك نضيف المعاملات \(2\sqrt[3]{4x}\) 2. \(4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}\) تتشابه الجذور، لذا نطرح المعاملات. \(2\sqrt[4]{8}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[5]{3x}+\sqrt[5]{3x}\)
- \(3\sqrt[3]{9}−\sqrt[3]{9}\)
- إجابة
-
- \(2\sqrt[5]{3x}\)
- \(2\sqrt[3]{9}\)
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[4]{10y}+\sqrt[4]{10y}\)
- \(5\sqrt[6]{32}−3\sqrt[6]{32}\).
- إجابة
-
- \(2\sqrt[4]{10y}\)
- \(2\sqrt[6]{32}\)
عندما لا يبدو أن التعبير يشبه الجذور، سنقوم بتبسيط كل جذر أولاً. يؤدي هذا أحيانًا إلى تعبير متشابه مع الراديكاليين.
قم بالتبسيط:
- \(\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}\)
- \(\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}\) أعد كتابة كل جذر باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[3]{27}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{8}·\sqrt[3]{2}\) أعد كتابة المكعبات المثالية. \(\sqrt[3]{(3)^3}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{(2)^3}·\sqrt[3]{2}\) قم بتبسيط الجذور حيثما أمكن ذلك. \(3\sqrt[3]{2}−2\sqrt[3]{2}\) اجمع مثل الراديكاليين. \(\sqrt[3]{2}\) 2. \(\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}\) أعد الكتابة باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية. \(\sqrt[4]{16}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{81}·\sqrt[4]{3}\) أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[4]{(2)^4}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{(3)^4}·\sqrt[4]{3}\) أعد كتابة البسط باعتباره نتاج جذريين. \(2\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{3}\) قم بالتبسيط. \(5\sqrt[4]{3}\)
قم بتبسيط:
- \(\sqrt[3]{192}−\sqrt[3]{81}\)
- \(\sqrt[4]{32}+\sqrt[4]{512}\).
- إجابة
-
- \(\sqrt[3]{3}\)
- \(6\sqrt[4]{2}\)
قم بتبسيط:
- \(\sqrt[3]{108}−\sqrt[3]{250}\)
- \(\sqrt[5]{64}+\sqrt[5]{486}\).
- إجابة
-
- \(−\sqrt[3]{2}\)
- \(5\sqrt[5]{2}\)
قم بتبسيط:
- \(\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}\)
- \(\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{512y^5}\).
- إجابة
-
1. \(\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}\) أعد كتابة كل جذر باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[3]{8x^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{−27x^6}·\sqrt[3]{3x}\) أعد كتابة المكعبات المثالية. \(\sqrt[3]{(2x)^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{(−3x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}\) قم بتبسيط الجذور حيثما أمكن ذلك. \(2x\sqrt[3]{3x}−(−3x^2\sqrt[3]{3x})\) 2. \(\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{516y^5}\) أعد الكتابة باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية. \(\sqrt[4]{81y^8}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{256y^4}·\sqrt[4]{2y}\) أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية. \(\sqrt[4]{(3y^2)^4}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{(4y)^4}·\sqrt[4]{2y}\) أعد كتابة البسط باعتباره نتاج جذريين. \(3y^2\sqrt[4]{2y}+4|y|\sqrt[4]{2y}\)
قم بتبسيط:
- \(\sqrt[3]{32y^5}−\sqrt[3]{−108y^8}\)
- \(\sqrt[4]{243r^{11}}+\sqrt[4]{768r^{10}}\).
- إجابة
-
- \(2y\sqrt[3]{4y^2}+3y^2\sqrt[3]{4y^2}\)
- \(3r^2\sqrt[4]{3r^3}+4r^2\sqrt[4]{3r^2}\)
قم بتبسيط:
- \(\sqrt[3]{40z^7}−\sqrt[3]{−135z^4}\)
- \(\sqrt[4]{80s^{13}}+\sqrt[4]{1280s^6}\).
- إجابة
-
- \(2z^2\sqrt[3]{5z}+3z^5\sqrt[3]{5z}\)
- \(2∣s^3∣\sqrt[4]{5s}+4|s|\sqrt[4]{5s}\)
- تبسيط الجذور العليا
- إضافة/طرح الجذور باستخدام مؤشرات أعلى
المفاهيم الرئيسية
- خصائص لـ
- \(\sqrt[n]{a}\)عندما يكون n رقمًا زوجيًا و
- \(a \ge 0\)، إذن\(\sqrt[n]{a}\) هو رقم حقيقي
- \(a < 0\)، إذن\(\sqrt[n]{a}\) ليس رقمًا حقيقيًا
- عندما يكون n رقمًا فرديًا،\(\sqrt[n]{a}\) يكون رقمًا حقيقيًا لجميع قيم a.
- لأي عدد صحيح\(n \ge 2\)، عندما يكون n غريبًا\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
- لأي عدد صحيح\(n \ge 2\)، عندما يكون n زوجيًا\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\)
- \(\sqrt[n]{a}\)يعتبر مبسطًا إذا لم يكن هناك أي عوامل\(m^n\).
- \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}\)و\(\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
- \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)و\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
- للجمع بين الجذور المتشابهة، ما عليك سوى إضافة المعاملات أو طرحها مع الحفاظ على الجذور نفسها.
مسرد المصطلحات
- في جذر رقم
- إذا كان\(b^n=a\)، ثم b هو رجل في جذر a.
- مبدأ على الجذر
- يتم كتابة المبدأ الأساسي في جذر a\(\sqrt[n]{a}\).
- فهرس
- \(\sqrt[n]{a}\)n يسمى مؤشر الراديكالي.
- مثل الراديكاليين
- تسمى الجذور التي لها نفس المؤشر ونفس الجذور مثل الجذور.