8.9E: تمارين

الممارسة تجعل من الكمال

حل مشاكل التباين المباشر

في التمارين التالية، قم بحل.

مثال$\PageIndex{22}$

إذا كانت y تتغير بشكل مباشر كـ x و y=14، عندما تكون x=3، ابحث عن المعادلة التي تربط بين x و y.

إجابة

$y=\frac{14}{3}x$

مثال$\PageIndex{23}$

إذا تغيرت p بشكل مباشر كـ q وp=5، عندما تكون q=2، فأوجد المعادلة التي تربط p وq.

مثال$\PageIndex{24}$

إذا تغيّرت v بشكل مباشر كـ w وv=24، عند w=8، فأوجد المعادلة التي تربط بين v وw.

إجابة

v=3w

مثال$\PageIndex{25}$

إذا كانت a تتغير بشكل مباشر كـ b وa=16، عندما b=4، فأوجد المعادلة التي تربط بين a وb.

مثال$\PageIndex{26}$

إذا تغيرت p بشكل مباشر كـ q وp=9.6، عندما تكون q=3، فأوجد المعادلة التي تربط p وq.

إجابة

p=3.2q

مثال$\PageIndex{27}$

إذا كانت y تتغير بشكل مباشر كـ x وy=12.4، عندما تكون x=4، فأوجد المعادلة التي تربط بين x وy.

مثال$\PageIndex{28}$

إذا تغيّرت a بشكل مباشر كـ b وa=6، فمتى$b=\frac{1}{3}$، أوجد المعادلة التي تربط بين a وb.

إجابة

أ = 18 مليار

مثال$\PageIndex{29}$

إذا تغيّرت v بشكل مباشر كـ w وv=8، فمتى$w=\frac{1}{2}$، أوجد المعادلة التي تربط بين v وw.

التمارين الرياضية$\PageIndex{30}$

مبلغ المال الذي تكسبه سالي، P، يختلف بشكل مباشر مع عدد، n، من القلائد التي تبيعها. عندما تبيع سالي 15 قلادة تكسب 150 دولارًا.

1. اكتب المعادلة التي تربط بين P و n.
2. كم من المال ستكسب إذا باعت 4 قلادات؟

إجابة

1. P=10 نيوتن
2. 40 دولارًا

مثال$\PageIndex{31}$

السعر، P، الذي يدفعه إريك مقابل الغاز يختلف بشكل مباشر مع عدد الجالونات، g، التي يشتريها. يكلفه 50 دولارًا لشراء 20 جالونًا من الغاز.

1. اكتب المعادلة التي تربط بين P و g.
2. كم سيكلف 33 غالون إريك؟

مثال$\PageIndex{32}$

يحتاج تيري إلى صنع بعض الفطائر لجمع التبرعات. يختلف عدد التفاح، أ، بشكل مباشر مع عدد الفطائر، ص. يتطلب الأمر تسعة تفاحات لصنع فطائرتين.

1. اكتب المعادلة التي تربط بين a و p.
2. كم عدد التفاح الذي سيحتاجه تيري لستة فطائر؟

إجابة

1. أ = 4.5 بكسل
2. 27 تفاحة

مثال$\PageIndex{33}$

جوزيف يسافر في رحلة برية. المسافة، d، يسافر قبل التوقف لتناول طعام الغداء تختلف بشكل مباشر مع السرعة، v، يسافر. يمكنه السفر 120 ميلاً بسرعة 60 ميلاً في الساعة.

1. اكتب المعادلة التي تربط بين d و v.
2. إلى أي مدى سيسافر قبل التوقف لتناول طعام الغداء بمعدل 65 ميلاً في الساعة؟

مثال$\PageIndex{34}$

يختلف سعر الغاز الذي اشتراه جيسي بشكل مباشر عن عدد الجالونات التي اشتراها. اشترى 10 غالونات من الغاز مقابل 39.80 دولارًا.

1. اكتب المعادلة التي تربط السعر بعدد الجالونات.
2. كم سيكلف جيسي 15 غالون من الغاز؟

إجابة

1. p=3.98 جرام
2. 59.70 دولارًا

مثال$\PageIndex{35}$

تختلف المسافة التي تقطعها سارة بشكل مباشر عن المدة التي تقطعها فيها. إنها تسافر 440 ميلاً في 8 ساعات.

1. اكتب المعادلة التي تربط المسافة بعدد الساعات.
2. إلى أي مدى يمكن أن تسافر سالي في 6 ساعات؟

مثال$\PageIndex{36}$

تختلف كتلة السائل بشكل مباشر مع حجمه. يبلغ حجم السائل الذي كتلته ١٦ كيلوجرامًا ٢ لتر.

1. اكتب المعادلة التي تربط الكتلة بالحجم.
2. ما حجم هذا السائل إذا كانت كتلته ١٢٨ كيلوجرامًا؟

إجابة

1. م = 8 فولت
2. 16 لترًا

مثال$\PageIndex{37}$

يختلف الطول الذي يمتد فيه الزنبرك بشكل مباشر مع الوزن الذي يتم وضعه في نهاية الربيع. عندما وضعت سارة بطيخًا وزنه 10 أرطال على مقياس معلق، امتد الزنبرك بمقدار 5 بوصات.

1. اكتب المعادلة التي تربط طول الزنبرك بالوزن.
2. ما وزن البطيخ الذي سيمتد الربيع بمقدار 6 بوصات؟

مثال$\PageIndex{38}$

تختلف المسافة التي يسقطها الجسم بشكل مباشر إلى مربع الوقت الذي يسقط فيه. تسقط كرة بمقدار ٤٥ قدمًا في ٣ ثوانٍ.

1. اكتب المعادلة التي تربط المسافة بالوقت.
2. إلى أي مدى ستسقط الكرة في 7 ثوانٍ؟

إجابة

1. $d=5t^2$
2. 245 قدمًا

مثال$\PageIndex{39}$

يختلف الحد الأقصى للحمل الذي ستدعمه الحزمة بشكل مباشر مع مربع قطر المقطع العرضي للشعاع. شعاع بقطر 6 بوصات سيدعم حمولة قصوى تبلغ 108 رطلاً.

1. اكتب المعادلة التي تربط الحمل بقطر المقطع العرضي.
2. ما الحمل الذي سيدعمه شعاع بقطر 10 بوصات؟

مثال$\PageIndex{40}$

تختلف مساحة الدائرة بشكل مباشر كمربع نصف القطر. تبلغ مساحة البيتزا الدائرية التي يبلغ قطرها 6 بوصات 113.04 بوصة مربعة.

1. اكتب المعادلة التي تربط المنطقة بنصف القطر.
2. ما مساحة البيتزا الشخصية التي يبلغ قطرها 4 بوصات؟

إجابة

1. $A=3.14r^2$
2. 50.24 متر مربع.

مثال$\PageIndex{41}$

تختلف المسافة التي يسقطها الجسم بشكل مباشر إلى مربع الوقت الذي يسقط فيه. تسقط كرة 72 قدمًا في 3 ثوانٍ،

1. اكتب المعادلة التي تربط المسافة بالوقت.
2. إلى أي مدى ستسقط الكرة في ٨ ثوانٍ؟

حل مسائل التباين العكسي

في التمارين التالية، قم بحل.

مثال$\PageIndex{42}$

إذا تغيّرت y عكسياً مع x وy=5 عندما تكون x=4، فأوجد المعادلة التي تربط بين x وy.

إجابة

$y=\frac{20}{x}$

مثال$\PageIndex{43}$

إذا تغيّرت p عكسيًّا مع q وp=2 عند q=1، فأوجد المعادلة التي تربط p وq.

مثال$\PageIndex{44}$

إذا تغيّرت v عكسيًّا مع w وv=6 متى$w=\frac{1}{2}$، فأوجد المعادلة التي تربط بين v وw.

إجابة

$v=\frac{3}{w}$

مثال$\PageIndex{45}$

إذا تغيّرت a عكسيًّا مع b وa=12 متى$b=\frac{1}{3}$، فأوجد المعادلة التي تربط بين a وb.

اكتب معادلة التباين العكسي لحل المسائل التالية.

مثال$\PageIndex{46}$

يختلف استهلاك الوقود (mpg) للسيارة بشكل عكسي مع وزنها. تزن تويوتا كورولا 2800 رطلاً وتحصل على 33 ميلاً في الغالون على الطريق السريع.

1. اكتب المعادلة التي تربط mpg بوزن السيارة.
2. ماذا سيكون استهلاك الوقود لسيارة تويوتا سيكويا التي تزن 5500 رطل؟

إجابة

1. $g=\frac{92,400}{w}$
2. 16.8 ميلا في الغالون

مثال$\PageIndex{47}$

تختلف قيمة السيارة عكسيًا مع عمرها. اشترت جاكي سيارة عمرها 10 سنوات مقابل 2,400 دولار.

1. اكتب المعادلة التي تربط قيمة السيارة بعمرها.
2. ماذا ستكون قيمة سيارة جاكي عندما يبلغ عمرها 15 عامًا؟

مثال$\PageIndex{48}$

يختلف الوقت المطلوب لتفريغ الخزان عكسيًا مثل معدل الضخ. استغرقت جانيت 5 ساعات لضخ قبوها المغمور بالمياه باستخدام مضخة تم تصنيفها بـ 200 جالون في الدقيقة (جالون في الدقيقة)،

1. اكتب المعادلة التي تربط عدد الساعات بمعدل المضخة.
2. كم من الوقت ستستغرق جانيت لضخ الطابق السفلي إذا استخدمت مضخة بمعدل 400 جالون في الدقيقة؟

إجابة

1. $t=\frac{1000}{r}$
2. 2.5 ساعة

مثال$\PageIndex{49}$

يختلف حجم الغاز في الحاوية عكسيًا حسب الضغط على الغاز. يبلغ حجم حاوية الهيليوم 370 بوصة مكعبة تحت ضغط 15 رطل/بوصة مربعة.

1. اكتب المعادلة التي تربط الحجم بالضغط.
2. ماذا سيكون حجم هذا الغاز إذا زاد الضغط إلى 20 رطل/بوصة مربعة؟

مثال$\PageIndex{50}$

في الآلة الوترية، يختلف طول الخيط عكسيًا حسب تردد اهتزازاته. يبلغ تردد خيط مقاس 11 بوصة على الكمان 400 دورة في الثانية.

1. اكتب المعادلة التي تربط طول الخيط بالتردد.
2. ما تردد الخيط الذي يبلغ طوله ١٠ بوصات؟

إجابة

1. $L=\frac{4,400}{f}$
2. 440 دورة في الثانية

مثال$\PageIndex{51}$

قرر بول، وهو طبيب أسنان، أن عدد التجاويف التي تظهر في فم مريضه كل عام يختلف عكسيًا عن عدد الدقائق التي يقضيها في تنظيف الأسنان بالفرشاة كل ليلة. كانت مريضته، لوري، تعاني من 4 تجاويف عند تنظيف أسنانها بالفرشاة لمدة 30 ثانية (0.5 دقيقة) كل ليلة.

1. اكتب المعادلة التي تربط عدد التجاويف بالوقت المستغرق في تنظيف الأسنان بالفرشاة.
2. كم عدد التجاويف التي يتوقع بول أن تعاني منها لوري إذا قامت بتنظيف أسنانها لمدة دقيقتين كل ليلة؟

مثال$\PageIndex{52}$

يختلف عدد تذاكر حملة جمع التبرعات الرياضية عكسيًا عن سعر كل تذكرة. يمكن لبريانا شراء 25 تذكرة بسعر 5 دولارات لكل منها.

1. اكتب المعادلة التي تربط عدد التذاكر بسعر كل تذكرة.
2. كم عدد التذاكر التي يمكن أن تشتريها بريانا إذا كان سعر كل تذكرة 2.50 دولارًا؟

إجابة

1. $t=\frac{125}{p}$
2. 50 تذاكر

مثال$\PageIndex{53}$

ينص قانون بويل على أنه إذا ظلت درجة حرارة الغاز ثابتة، فإن الضغط يختلف عكسيًا عن حجم الغاز. يمتلك Braydon، وهو غواص سكوبا، خزانًا يستوعب 6 لترات من الهواء تحت ضغط 220 رطل/بوصة مربعة.

1. اكتب المعادلة التي تربط الضغط بالحجم.
2. إذا زاد الضغط إلى 330 رطل لكل بوصة مربعة، فما مقدار الهواء الذي يمكن أن يحمله خزان بريدون؟

ممارسة مختلطة

مثال$\PageIndex{54}$

إذا كانت y تتغير بشكل مباشر كـ x و y=5، عندما تكون x=3، ابحث عن المعادلة التي تربط بين x و y.

إجابة

$y=\frac{5}{3}x$

مثال$\PageIndex{55}$

إذا كانت v تتغير بشكل مباشر كـ w وv=21، عندما تكون w=8، فأوجد المعادلة التي تربط بين v وw.

مثال$\PageIndex{56}$

إذا تغيّرت p عكسيًّا مع q وp=5 عند q=6، فأوجد المعادلة التي تربط بين q وp.

إجابة

$p=\frac{30}{q}$

مثال$\PageIndex{57}$

إذا تغيّرت y عكسياً مع x وy=11 عندما تكون x=3، فأوجد المعادلة التي تربط بين x وy.

مثال$\PageIndex{58}$

إذا تغيرت p بشكل مباشر كـ q وp=10، عندما تكون q=2، فأوجد المعادلة التي تربط p وq.

إجابة

p=5q

مثال$\PageIndex{59}$

إذا تغيّرت v عكسيًّا مع w وv=18 متى$w=\frac{1}{3}$، فأوجد المعادلة التي تربط بين v وw.

مثال$\PageIndex{60}$

تختلف القوة اللازمة لكسر اللوح عكسيًا مع طوله. إذا استخدم توم 20 رطلاً من الضغط لكسر لوح طوله 1.5 قدم، فكم رطل من الضغط سيحتاج إلى استخدامه لكسر لوح طوله 6 أقدام؟

إجابة

5 جنيهات

مثال$\PageIndex{61}$

يختلف عدد الساعات التي يستغرقها ذوبان الثلج عكسيًا مع درجة حرارة الهواء. تذوب كتلة من الثلج في 2.5 ساعة عندما تكون درجة الحرارة 54 درجة. كم من الوقت سيستغرق ذوبان نفس كتلة الجليد إذا كانت درجة الحرارة 45 درجة؟

مثال$\PageIndex{62}$

يختلف طول الزنبرك بشكل مباشر مع الوزن الذي يتم وضعه في نهاية الربيع. عندما وضعت ميريديث شمام وزنه 6 أرطال على مقياس معلق، امتد الزنبرك 2 بوصة. إلى أي مدى سيمتد الربيع إذا كان الشمام يزن 9 أرطال؟

إجابة

3 بوصات

مثال$\PageIndex{63}$

يختلف المبلغ الذي يتم دفعه لشهر يونيو بشكل مباشر عن عدد ساعات عملها. عندما عملت لمدة 15 ساعة، حصلت على 111 دولارًا. كم ستدفع مقابل العمل لمدة 18 ساعة؟

مثال$\PageIndex{64}$

يختلف استهلاك الوقود (mpg) للسيارة بشكل عكسي مع وزنها. تزن سيارة فورد فوكس 3000 رطل وتحصل على 28.7 ميلا في الغالون على الطريق السريع. ماذا سيكون استهلاك الوقود لسيارة فورد إكسبيديشن التي تزن 5500 رطل؟ قرِّب إلى أقرب جزء من عشرة.

إجابة

15.6 ميلا في الغالون

مثال$\PageIndex{65}$

يختلف حجم الغاز في الحاوية عكسيًا مثل الضغط على الغاز. إذا كان حجم حاوية الأرجون 336 بوصة مكعبة تحت ضغط 2,500 رطل/بوصة مربعة، فماذا سيكون حجمها إذا انخفض الضغط إلى 2,000 رطل لكل بوصة مربعة؟

مثال$\PageIndex{66}$

تختلف المسافة التي يسقطها الجسم بشكل مباشر إلى مربع الوقت الذي يسقط فيه. إذا سقط جسم مسافة ٥٢٫٨ قدمًا في ٤ ثوانٍ، فما المسافة التي سيسقط منها في ٩ ثوانٍ؟

إجابة

267.3 قدم

مثال$\PageIndex{67}$

تختلف مساحة وجه عجلة فيريس بشكل مباشر مع مربع نصف قطرها. إذا كانت مساحة أحد وجوه عجلة فيريس بقطر ١٥٠ قدمًا تساوي ٧٠٦٥٠ قدمًا مربعًا، فما مساحة وجه واحد لعجلة فيريس بقطر ١٦ قدمًا؟

الرياضيات اليومية

مثال$\PageIndex{68}$

خدمة الركوب تبلغ تكلفة الرحلة 35 دولارًا من وسط المدينة إلى المطار، على بعد 14 ميلاً.

1. اكتب المعادلة التي تربط التكلفة، c، بعدد الأميال، m.
2. ما هي تكلفة السفر لمسافة 22 ميلاً مع هذه الخدمة؟

إجابة

1. ج = 2.5 متر
2. 55 دولارًا

مثال$\PageIndex{69}$

رحلة على الطريق عدد الساعات التي يستغرقها جاك للقيادة من بوسطن إلى بانجور يتناسب عكسياً مع متوسط سرعة قيادته. عندما يقود بسرعة متوسطة تبلغ 40 ميلاً في الساعة، تستغرق الرحلة 6 ساعات.

1. اكتب المعادلة التي تربط بين عدد الساعات، h، والسرعة، s.
2. ما المدة التي ستستغرقها الرحلة إذا كان متوسط سرعته 75 ميلاً في الساعة؟

تمارين الكتابة

مثال$\PageIndex{70}$

اشرح بكلماتك الخاصة الفرق بين التباين المباشر والتغير العكسي.

إجابة

سوف تتنوع الإجابات.

مثال$\PageIndex{71}$

اصنع مثالاً من تجربة حياتك للتغير العكسي.

فحص ذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد الاطلاع على قائمة المراجعة، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للفصل التالي؟ لماذا أو لماذا لا؟