Skip to main content
Global

4.2: رسم بياني للمعادلات الخطية في متغيرين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200288

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • تعرف على العلاقة بين حلول المعادلة ورسمها البياني.
    • قم برسم معادلة خطية برسم النقاط.
    • رسم الخطوط الرأسية والأفقية.
    ملاحظة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. قم بتقييم\(3x+2\) متى\(x=−1\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.5.34.
    2. حل\(3x+2y=12\) من أجلك بشكل عام.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.6.16.

    تعرف على العلاقة بين حلول المعادلة وتمثيلها البياني

    في القسم السابق، وجدنا العديد من الحلول للمعادلة\(3x+2y=6\). يتم سردها في الجدول\(\PageIndex{1}\). إذن، الأزواج المرتبة (0,3)، (2,0)،\((1,\frac{3}{2})\) وهي بعض الحلول للمعادلة\(3x+2y=6\). يمكننا رسم هذه الحلول في نظام الإحداثيات المستطيل كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\).

    طاولة\(\PageIndex{1}\)
    3 × × 2 سنة = 6
    س ص (س، ص)
    0 3 (0,3)
    2 0 (2,0)
    1 \(\frac{3}{2}\) \((1, \frac{3}{2})\)
    يوضِّح الشكل أربع نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الأربع عند (0، 3)، (1، ثلاثة أنصاف)، (2، 0)، و (4، سالب 3). يبدو أن النقاط الأربع تصطف على طول خط مستقيم.
    الشكل\(\PageIndex{1}\)

    لاحظ كيف تصطف النقاط بشكل مثالي؟ نقوم بتوصيل النقاط بخط للحصول على الرسم البياني للمعادلة 3x+2y=6. انظر الشكل\(\PageIndex{2}\). لاحظ الأسهم الموجودة على طرفي كل جانب من الخط. تشير هذه الأسهم إلى استمرار الخط.

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا بأربع نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الأربع عند (0، 3)، (1، ثلاثة أنصاف)، (2، 0)، و (4، سالب 3). يمر خط مستقيم بمنحدر سالب عبر جميع النقاط الأربع. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى حافة الشكل. يسمى الخط بالمعادلة 3x زائد 2y يساوي 6.
    الشكل\(\PageIndex{2}\)

    كل نقطة على الخط هي حل المعادلة. أيضًا، كل حل لهذه المعادلة هو نقطة على هذا الخط. النقاط غير الموجودة على الخط ليست حلولًا.

    لاحظ أن النقطة التي إحداثياتها (−2,6) تقع على الخط الموضح في الشكل\(\PageIndex{3}\). إذا قمت باستبدال x=−2 و y=6 في المعادلة، ستجد أنها حل للمعادلة.

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا ونقطتين وعلى المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقطتين ويتم تصنيفها بالإحداثيات «(سالب 2، 6)» و «(4، 1)». يمر الخط المستقيم بالنقطة (سالب 2، 6) ولكنه لا يمر بالنقطة (4، 1).
    الشكل\(\PageIndex{3}\)

    يوضح الشكل سلسلة من المعادلات للتحقق مما إذا كان الزوج المرتب (سالب 2، 6) هو حل للمعادلة 3x زائد 2y يساوي 6. ينص السطر الأول على «اختبار (سلبي 2، 6)». السالب 2 ملون باللون الأزرق و 6 ملون باللون الأحمر. يوضح السطر الثاني المعادلة ذات المتغيرين 3x زائد 2y تساوي 6. يُظهر السطر الثالث الزوج المُرتب الذي تم استبداله في المعادلة ذات المتغيرين الناتج عن 3 (سالب 2) زائد 2 (6) يساوي 6 حيث يكون السالب 2 ملونًا باللون الأزرق لإظهار أنه المكون الأول في الزوج المطلوب و 6 باللون الأحمر لإظهار أنه المكون الثاني في الزوج المطلوب. السطر الرابع هو المعادلة المبسطة سالب 6 زائد 12 يساوي 6. السطر الخامس هو المعادلة المبسطة الإضافية 6equals6. تتم كتابة علامة الاختيار بجوار المعادلة الأخيرة للإشارة إلى أنها عبارة حقيقية وإظهار أن (سالب 2، 6) هو حل للمعادلة 3x زائد 2y يساوي 6.

    لذا فإن النقطة (−2,6) هي حل المعادلة\(3x+2y=6\). (غالبًا ما يتم اختصار عبارة «النقطة التي إحداثياتها (−2,6)» إلى «النقطة (−2,6)».)

    يوضح الشكل سلسلة من المعادلات للتحقق مما إذا كان الزوج المرتب (4، 1) هو حل للمعادلة 3x زائد 2y يساوي 6. ينص السطر الأول على «ماذا عن (4، 1)؟». الرقم 4 ملون باللون الأزرق و 1 ملون باللون الأحمر. يوضح السطر الثاني المعادلة ذات المتغيرين 3x زائد 2y تساوي 6. يُظهر السطر الثالث الزوج المُرتب الذي تم استبداله في المعادلة ذات المتغيرين الناتج عن 3 (4) زائد 2 (1) يساوي 6 حيث يكون الرقم 4 ملونًا باللون الأزرق لإظهار أنه المكون الأول في الزوج المُرتب و1 باللون الأحمر لإظهار أنه المكون الثاني في الزوج المُرتب. السطر الرابع هو المعادلة المبسطة 12 زائد 2 يساوي 6. يتم وضع علامة استفهام فوق علامة التساوي للإشارة إلى أنه من غير المعروف ما إذا كانت المعادلة صحيحة أم خاطئة. السطر الخامس هو البيان المبسط 14 الذي لا يساوي 6. تتم كتابة علامة «لا يساوي» بين الرقمين وتبدو وكأنها علامة تساوي بخط مائل للأمام من خلالها.
    الشكل\(\PageIndex{3}\). هذا مثال على مقولة «الصورة تساوي ألف كلمة». يعرض لك الخط جميع الحلول للمعادلة. كل نقطة على الخط هي حل المعادلة. وكل حل لهذه المعادلة موجود على هذا الخط. هذا الخط يسمى الرسم البياني للمعادلة\(3x+2y=6\).
    رسم بياني لمعادلة خطية
    الرسم البياني للمعادلة الخطية Ax+By=C هو خط.
    • كل نقطة على الخط هي حل المعادلة.
    • كل حل لهذه المعادلة هو نقطة على هذا الخط.
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{1}\)

    يظهر الرسم البياني لـ y=2x−3.

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. الخط المستقيم له ميل إيجابي ويمر عبر المحور y عند (0، سالب 3). يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي 2x سالب 3.

    بالنسبة لكل زوج تم طلبه، قرر:

    1. هل يمثل الزوج المرتب حلاً للمعادلة؟
    2. هل النقطة على الخط؟

    (0، −3) (ب 3، 3) (ج) (2، −3) (−1، −5)

    إجابة

    استبدل قيم x - و y - في المعادلة للتحقق مما إذا كان الزوج المرتب حلاً للمعادلة.

    1.
    يوضح الشكل سلسلة من المعادلات للتحقق مما إذا كانت الأزواج المرتبة (0، سالب 3)، (3، 3)، (2، سالب 3)، و (سالب 1، سالب 5) هي حلول للمعادلة y يساوي 2x سالب 3. يوضح السطر الأول الأزواج المرتبة مع التسميات A: (0، السالب 3)، B: (3، 3)، C: (2، السالب 3)، D: (السالب 1، السالب 5). المكونات الأولى ملونة باللون الأزرق والمكونات الثانية ملونة باللون الأحمر. يوضح السطر الثاني المعادلة ثنائية المتغير y تساوي 2x ناقص 3. يُظهر السطر الثالث الأزواج الأربعة المرتبة التي تم استبدالها في المعادلة ذات المتغيرين الناتجة عن أربع معادلات. المعادلة الأولى هي سالب 3 يساوي 2 (0) ناقص 3 حيث يكون 0 ملونًا باللون الأخضر والسالب 3 على الجانب الأيسر من المعادلة ملونًا باللون الأحمر. المعادلة الثانية هي 3 تساوي 2 (3) ناقص 3 حيث تكون 3 بين قوسين هي دليل ملون و3 على الجانب الأيسر من المعادلة ملونة باللون الأحمر. المعادلة الثالثة هي سالب 3 يساوي 2 (2) ناقص 3 حيث يكون الرقم 2 بين القوسين هو دليل ملون والسالب 3 على الجانب الأيسر من المعادلة ملون باللون الأحمر. المعادلة الرابعة هي سالب 5 يساوي 2 (سالب 1) ناقص 3 حيث يكون السالب 1 ملونًا للدليل والسالب 5 ملون باللون الأحمر. يتم وضع علامات الاستفهام فوق كل علامات المساواة للإشارة إلى أنه من غير المعروف ما إذا كانت المعادلات صحيحة أم خاطئة. يعرض السطر الرابع الإصدارات المبسطة من المعادلات الأربعة. الأول هو سالب 3 يساوي سالب 3 مع علامة اختيار تشير إلى أن (0، سالب 3) هو الحل. والثاني هو 3 يساوي 3 مع وجود علامة اختيار تشير إلى أن (3، 3) هو الحل. والثالث هو سالب 3 ولا يساوي 1 مما يشير إلى أن (2، سالب 3) ليس حلاً. الرابع هو سالب 5 يساوي سالب 5 مع وجود علامة اختيار تشير إلى أن (سالب 1، سالب 5) هو الحل.
    2. ارسم النقاط A (0,3)، B (3,3)، C (2، −3)، وD (−1، −5).
    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا وأربع نقاط وعلى المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقطتين ويتم تصنيفها بالإحداثيات (سالب 1، سالب 5)، (0، سالب 3)، (2، سالب 3)، (3، 3). الخط المستقيم، المسمى بالمعادلة y يساوي 2x سالب 3، يمر بالنقاط الثلاث (سالب 1، سالب 5)، (0، سالب 3)، (3، 3) ولكنه لا يمر بالنقطة (2، سالب 3).

    النقاط التي تمثل حلًا لـ y=2x−3 موجودة على الخط، لكن النقطة التي لا تمثل حلًا ليست على الخط.

    تقع النقاط (0,3) و (3,3) و (−1, −5) على الخط y=2x−3، والنقطة (2، −3) ليست على الخط.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{2}\)

    استخدم الرسم البياني لـ y=3x−1 لتحديد ما إذا كان كل زوج مرتب هو:

    • حل للمعادلة.
    • على الخط.
    1. (0، −1)
    2. (2,5)

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمر الخط المستقيم بالنقطة (سالب 2، سالب 7) ولكل 3 وحدات يرتفع، يذهب بوحدة واحدة إلى اليمين. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي 3x ناقص 1.

    إجابة
    1. نعم، نعم
    2. نعم، نعم
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{3}\)

    استخدم الرسم البياني لـ y=3x−1 لتحديد ما إذا كان كل زوج مرتب هو:

    • حل للمعادلة
    • على الخط
    1. (3، −1)
    2. (−1، −4)

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمر الخط المستقيم بالنقطة (سالب 2، سالب 7) ولكل 3 وحدات يرتفع، يذهب بوحدة واحدة إلى اليمين. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي 3x ناقص 1.

    إجابة
    1. لا، لا
    2. نعم، نعم

    رسم معادلة خطية بيانيًا عن طريق رسم النقاط

    هناك العديد من الطرق التي يمكن استخدامها لرسم معادلة خطية. تُسمى الطريقة التي استخدمناها للرسم البياني 3x+2y=6 نقاط الرسم، أو طريقة الرسم بالنقاط.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{4}\): How To Graph an Equation By Plotting Points

    قم برسم المعادلة y=2x+1 برسم النقاط.

    إجابة

    يوضح الشكل الإجراء المكون من ثلاث خطوات لرسم خط من المعادلة باستخدام المعادلة النموذجية y تساوي 2x ناقص 1. الخطوة الأولى هي «البحث عن ثلاث نقاط تمثل إحداثياتها حلولًا للمعادلة. تنظيم الحلول في جدول». تشير الملاحظة إلى أنه «يمكنك اختيار أي قيم لـ x أو y. في هذه الحالة، نظرًا لأن y معزول على الجانب الأيسر من المعادلة، فمن الأسهل اختيار قيم لـ x». يتم عرض العمل الخاص بالخطوة الأولى من المثال من خلال سلسلة من المعادلات المحاذية رأسيًا. من الأعلى إلى الأسفل، المعادلات هي y يساوي 2x زائد 1، x يساوي 0 (حيث يكون 0 أزرق)، y يساوي 2x زائد 1، y يساوي 2 (0) زائد 1 (حيث يكون 0 أزرق)، y يساوي 0 زائد 1، y يساوي 1، x يساوي 1 (حيث 1 أزرق)، y يساوي 2x زائد 1، y يساوي 2 (1) زائد 1 (حيث 1 أزرق)، y يساوي 2 زائد 1، y يساوي 3، x يساوي سالب 2 (حيث يكون السالب 2 أزرق)، y يساوي 2x زائد 1، y يساوي 2 (سالب 2) زائد 1 (حيث يكون السالب 2 أزرق)، y يساوي سالب 4 زائد 1، y يساوي سالب 3. ثم يتم تنظيم العمل في جدول. يحتوي الجدول على 5 صفوف و 3 أعمدة. الصف الأول هو صف العنوان بالمعادلة y تساوي 2x زائد 1. الصف الثاني عبارة عن صف العنوان ويقوم بتسمية كل عمود. عنوان العمود الأول هو «x»، والثاني هو «y» والثالث هو «(x، y)». تحت العمود الأول توجد الأرقام 0 و 1 و سالب 2. تحت العمود الثاني توجد الأرقام 1 و 3 و السالب 3. تحت العمود الثالث توجد الأزواج المرتبة (0، 1)، (1، 3)، و (السالب 2، السالب 3).الخطوة الثانية هي «رسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل. تحقق من أن النقاط تصطف. إذا لم يفعلوا ذلك، تحقق بعناية من عملك!» على سبيل المثال، النقاط هي (0، 1)، (1، 3)، و (سالب 2، سالب 3). يوضِّح الرسم البياني النقاط الثلاث على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث عند (0، 1)، (1، 3)، و (سالب 2، سالب 3). السؤال «هل تصطف النقاط؟» يتم ذكرها وتتبعها بالإجابة «نعم، تصطف النقاط».الخطوة الثالثة من الإجراء هي «ارسم الخط من خلال النقاط الثلاث. قم بتوسيع الخط لملء الشبكة ووضع الأسهم على طرفي الخط.» يوضِّح التمثيل البياني خطًا مستقيمًا مرسومًا عبر ثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث عند (0، 1)، (1، 3)، و (سالب 2، سالب 3). يمر خط مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى حافة الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي 2x زائد 1. تم تضمين العبارة «هذا الخط هو الرسم البياني لـ y يساوي 2x زائد 1" بجوار الرسم البياني.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{5}\)

    رسم المعادلة بيانيًا عن طريق رسم النقاط: y=2x−3.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 2، سالب 7)، (سالب 1، سالب 5)، (0، سالب 3)، (1، سالب 1)، (2، 1)، (3، 3)، (4، 5)، و (5، 7). توجد أسهم في طرفي الخط تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{6}\)

    رسم المعادلة بيانيًا عن طريق رسم النقاط: y=−2x+4.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا على مستوى الإحداثيات x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 1، 6)، (0، 4)، (1، 2)، (2، 0)، (3، سالب 2)، (4، سالب 4)، و (5، سالب 6). توجد أسهم في طرفي الخط تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    فيما يلي ملخص للخطوات التي يجب اتخاذها عند رسم معادلة خطية برسم النقاط.

    رسم معادلة خطية بيانيًا عن طريق رسم النقاط
    1. ابحث عن ثلاث نقاط تمثل إحداثياتها حلولًا للمعادلة. قم بتنظيمها في جدول.
    2. ارسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل. تحقق من أن النقاط تصطف. إذا لم يفعلوا ذلك، تحقق بعناية من عملك.
    3. ارسم الخط من خلال النقاط الثلاث. قم بتوسيع الخط لملء الشبكة ووضع الأسهم على طرفي الخط.

    صحيح أن تحديد الخط يتطلب نقطتين فقط، ولكن من الجيد استخدام ثلاث نقاط. إذا قمت برسم نقطتين فقط وكانت إحداهما غير صحيحة، فلا يزال بإمكانك رسم خط ولكنه لن يمثل حلول المعادلة. سيكون الخط الخطأ.

    إذا استخدمت ثلاث نقاط، وكانت واحدة غير صحيحة، فلن تصطف النقاط. هذا يخبرك بوجود خطأ ما وتحتاج إلى التحقق من عملك. انظر إلى الفرق بين الجزء (أ) والجزء (ب) في الشكل\(\PageIndex{4}\).

    يوضح الشكل (أ) ثلاث نقاط يمر عبرها خط مستقيم. يوضح الشكل (ب) ثلاث نقاط لا تقع على نفس السطر.
    الشكل\(\PageIndex{4}\)

    دعونا نفعل مثالاً آخر. هذه المرة، سنعرض الخطوتين الأخيرتين كلها على شبكة واحدة.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{7}\)

    رسم بياني للمعادلة y=−3x.

    إجابة

    ابحث عن ثلاث نقاط تمثل حلولًا للمعادلة. هنا، مرة أخرى، من الأسهل اختيار قيم لـ x. هل ترى السبب؟

    يوضِّح الشكل ثلاث مجموعات من المعادلات المستخدمة لتحديد الأزواج المرتبة من المعادلة y يساوي سالب 3x. تحتوي المجموعة الأولى على المعادلات: x يساوي 0 (حيث يكون 0 أزرق)، y يساوي سالب 3x، y يساوي سالب 3 (0) (حيث 0 أزرق)، y يساوي 0. تحتوي المجموعة الثانية على المعادلات: x يساوي 1 (حيث يكون 1 أزرق)، y يساوي سالب 3x، y يساوي سالب 3 (1) (حيث 1 أزرق)، y يساوي سالب 3. تحتوي المجموعة الثالثة على المعادلات: x يساوي سالب 2 (حيث يكون السالب 2 أزرق)، y يساوي سالب 3x، y يساوي سالب 3 (سالب 2) (حيث يكون السالب 2 أزرق)، y يساوي 6.

    نسرد النقاط في الجدول\(\PageIndex{2}\).

    طاولة\(\PageIndex{2}\)
    ص = −3x
    س ص (س، ص)
    0 0 (0,0)
    1 −3 (1، −3)
    −2 6 (−2,6)

    ارسم النقاط وتحقق من أنها تصطف وارسم الخط.

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا عبر ثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (السالبة 2، 6)، (0، 0)، (1، السالب 3). يمر خط مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي سالب 3x.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{8}\)

    رسم المعادلة بيانيًا عن طريق رسم النقاط: y=−4x.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 2، 8)، (0، 0)، و (2، سالب 8). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{9}\)

    رسم المعادلة برسم النقاط: y=x.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 8، سالب 8)، (سالب 6، سالب 6)، (سالب 4، سالب 4)، (سالب 2، سالب 2)، (0، 0)، (2، 2)، (4، 4)، (6، 6)، و (8، 8). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    عندما تتضمن المعادلة كسرًا كمعامل x، يظل بإمكاننا استبدال أي أرقام بـ x. لكن الرياضيات تصبح أسهل إذا قمنا باختيارات 'جيدة' لقيم x. بهذه الطريقة سوف نتجنب إجابات الكسور، التي يصعب رسمها بيانيًا بدقة.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{10}\)

    رسم المعادلة بيانيًا\(y = \frac{1}{2}x + 3\).

    إجابة

    ابحث عن ثلاث نقاط تمثل حلولًا للمعادلة. نظرًا لأن هذه المعادلة تحتوي على الكسر\(\frac{1}{2}\) كمعامل x، فسنختار قيم x بعناية. سنستخدم الصفر كخيار واحد ومضاعفات 2 للاختيارات الأخرى. لماذا تعتبر مضاعفات 2 اختيارًا جيدًا لقيم x؟

    يوضِّح الشكل ثلاث مجموعات من المعادلات المستخدمة لتحديد الأزواج المرتبة من المعادلة y يساوي (النصف) x زائد 3. تحتوي المجموعة الأولى على المعادلات: x يساوي 0 (حيث يكون 0 أزرق)، y يساوي (نصف واحد) x زائد 3، y يساوي (نصف واحد) (0) زائد 3 (حيث 0 أزرق)، y يساوي 0 زائد 3، y يساوي 3. تحتوي المجموعة الثانية على المعادلات: x يساوي 2 (حيث يكون 2 أزرق)، y يساوي (نصف واحد) x زائد 3، y يساوي (نصف واحد) (2) زائد 3 (حيث 2 أزرق)، y يساوي 1 زائد 3، y يساوي 4. تحتوي المجموعة الثالثة على المعادلات: x يساوي 4 (حيث يكون 4 أزرق)، y يساوي (نصف واحد) x زائد 3، y يساوي (نصف واحد) (4) زائد 3 (حيث 4 أزرق)، y يساوي 2 زائد 3، y يساوي 5.

    يتم عرض النقاط في الجدول\(\PageIndex{3}\).

    طاولة\(\PageIndex{3}\)
    ص = 12 × +3
    س ص (س، ص)
    0 3 (0,3)
    2 4 (2,4)
    4 5 (4,5)

    ارسم النقاط وتحقق من أنها تصطف وارسم الخط.

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا عبر ثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (0، 3)، (2، 4)، (4، 5). يمر خط مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي (نصف واحد) x زائد 3.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{11}\)

    رسم المعادلة بيانيًا\(y = \frac{1}{3}x - 1\).

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 9، سالب 4)، (سالب 6، سالب 3)، (سالب 3، سالب 2)، (0، سالب 1)، (3، 0)، (6، 1)، و (9، 2). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{12}\)

    رسم المعادلة بيانيًا\(y = \frac{1}{4}x + 2\).

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 12، سالب 1)، (سالب 8، 0)، (سالب 4، 1)، (0، 2)، (4، 3)، (8، 4)، و (12، 5). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    حتى الآن، جميع المعادلات التي قمنا بتمثيلها بيانيًا تحتوي على y بدلالة x، والآن سنرسم معادلة بـ x و y على نفس الجانب. دعونا نرى ما يحدث في المعادلة 2x+y=3. إذا كانت y=0 فما قيمة x؟

    يوضِّح الشكل مجموعة من المعادلات المستخدمة لتحديد زوج مرتب من المعادلة 2x زائد y يساوي 3. المعادلة الأولى هي y تساوي 0 (حيث يكون 0 أحمر). المعادلة الثانية هي المعادلة ثنائية المتغير 2x زائد y تساوي 3. المعادلة الثالثة هي معادلة المتغير السالب 2x زائد 0 تساوي 3 (حيث يكون 0 أحمر). المعادلة الرابعة هي 2x تساوي 3. المعادلة الخامسة هي x تساوي ثلاثة أنصاف. السطر الأخير هو الزوج المطلوب (ثلاثة أنصاف، 0).

    تحتوي هذه النقطة على كسر للإحداثيات x، وبينما يمكننا رسم هذه النقطة بيانيًا، فمن الصعب رسم الكسور بيانيًا بدقة. تذكر في المثال y=12x+3 أننا اخترنا بعناية قيم x حتى لا نرسم الكسور بيانيًا على الإطلاق. إذا قمنا بحل المعادلة 2x+y=3 لـ y، فسيكون من الأسهل إيجاد ثلاثة حلول للمعادلة.

    \[\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\ y &=-2 x+3 \end{aligned}\]

    تظهر حلول x=0 وx=1 وx=−1 في الجدول\(\PageIndex{4}\). يظهر الرسم البياني في الشكل\(\PageIndex{5}\).

    طاولة\(\PageIndex{4}\)
    2x+y = 3
    س ص (س، ص)
    0 3 (0,3)
    1 1 (1,1)
    −1−1 5 (−1,5)
    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا عبر ثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (السالبة 1، 5)، (0، 3)، (1، 1). يمر خط مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة 2x زائد y يساوي 3.
    الشكل\(\PageIndex{5}\)

    هل يمكنك تحديد النقطة\((\frac{3}{2}, 0)\) التي وجدناها عن طريق ترك y=0، على الخط؟

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{13}\)

    رسم بياني للمعادلة 3x+y=−1.

    إجابة

    \(\begin{array}{lrll} { \text { Find three points that are solutions to the equation. } } & {3 x+y} &{=} &{-1} \\ {\text { First solve the equation for } y.} &{y} &{=} &{-3 x-1} \end{array}\)

    سنترك x هي 0 و1 و−1 لإيجاد 3 نقاط. يتم عرض الأزواج المرتبة في الجدول\(\PageIndex{5}\). ارسم النقاط وتحقق من أنها تصطف وارسم الخط. انظر الشكل\(\PageIndex{6}\).

    طاولة\(\PageIndex{5}\)
    3x+y=−1
    س ص (س، ص)
    0 −1 (0، −1)
    1 −4 (1، −4)
    −1 2 (−1,2)
    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا عبر ثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (السالب 1، 2)، (0، السالب 1)، (1، السالب 4). يمر خط مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يسمى الخط بالمعادلة 3x زائد y يساوي سالب 1.
    الشكل\(\PageIndex{6}\)
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{14}\)

    رسم بياني للمعادلة 2x+y=2.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 4، 10)، (سالب 2، 6)، (0، 2)، (2، سالب 2)، (4، سالب 6)، و (6، سالب 10). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{15}\)

    رسم بياني للمعادلة 4x+y=−3.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 3، 9)، (سالب 2، 5)، (سالب 1، 1)، (0، سالب 3)، (1، سالب 7)، و (2، سالب 10). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    إذا كان بإمكانك اختيار أي ثلاث نقاط لرسم خط، فكيف ستعرف ما إذا كان الرسم البياني الخاص بك يطابق الرسم البياني الموضح في الإجابات في الكتاب؟ إذا كانت النقاط التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية مع محور x - و y - هي نفسها، فإن الرسوم البيانية تتطابق!

    \(\PageIndex{13}\)تمت كتابة المعادلة في التمرين في شكل قياسي، مع وجود كل من x و y على نفس الجانب. لقد حللنا هذه المعادلة لـ y في خطوة واحدة فقط. ولكن بالنسبة للمعادلات الأخرى في الشكل القياسي، ليس من السهل حلها لـ y، لذلك سنتركها في شكل قياسي. لا يزال بإمكاننا إيجاد نقطة أولى لرسمها عن طريق ترك x=0 وحل y. يمكننا رسم نقطة ثانية بترك y=0 ثم حلها لـ x. ثم سنقوم برسم نقطة ثالثة باستخدام قيمة أخرى لـ x أو y.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{16}\)

    رسم المعادلة بيانيًا\(2x−3y=6\).

    إجابة

    \(\begin{array}{lrll} \text { Find three points that are solutions to the } & 2 x-3 y &= &6 \\ \text { equation. } & 2 x-3 y&=&6 \\ \text { First let } x=0 . & 2(0)-3 y&=&6 \\ \text { Solve for } y . &-3 y&=&6 \\ & y&=&-2 \\\\ \text { Now let } y=0 . & 2 x-3(0)&=&6 \\ \text { Solve for } x . & 2 x&=&6 \\ & x&=& 3 \\ \\ \text{ We need a third point. Remember, we can}&2(6)-3 y &=&6 \\ \text{ choose any value for x or y. We’ll let x = 6.}&12-3 y &=&6 \\ \text{ Solve fory.}&-3 y &=&-6 \\ &y &=&2\end{array}\)

    نسرد الأزواج المرتبة في الجدول\(\PageIndex{6}\). ارسم النقاط وتحقق من أنها تصطف وارسم الخط. انظر الشكل\(\PageIndex{7}\).

    طاولة\(\PageIndex{6}\)
    2x−3y=6
    س Ty (س، ص)
    0 −2 (0، −2)
    3 0 (3,0)
    6 2 (6,2)
    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا عبر ثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (0، سالب 2)، (3، 0)، (6، 2). يمر خط مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة 2x ناقص 3y تساوي 6.
    الشكل\(\PageIndex{7}\)
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{17}\)

    رسم المعادلة بيانيًا\(4x+2y=8\).

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 1، 6)، (0، 4)، (1، 2)، (2، 0)، (3، سالب 2)، و (4، سالب 4). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{18}\)

    رسم المعادلة بيانيًا\(2x−4y=8\).

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 6، سالب 5)، (سالب 4، سالب 4)، (سالب 2، سالب 3)، (0، سالب 2)، (2، سالب 1)، (4، 0)، و (6، 1). يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    رسم بياني للخطوط الرأسية والأفقية

    هل يمكننا رسم معادلة بمتغير واحد فقط؟ فقط x وليس y، أو y فقط بدون x؟ كيف سنصنع جدول القيم للحصول على النقاط المراد رسمها؟

    لننظر في المعادلة x=−3. تحتوي هذه المعادلة على متغير واحد فقط، x. تقول المعادلة أن x تساوي دائمًا −3، وبالتالي فإن قيمتها لا تعتمد على y، وبغض النظر عن y، فإن قيمة x هي دائمًا −3.

    لإنشاء جدول قيم، اكتب −3 لكل قيم x. ثم اختر أية قيم لـ y. بما أن x لا تعتمد على y، يمكنك اختيار أي أرقام تريدها. ولكن لملاءمة النقاط على الرسم البياني الإحداثي الخاص بنا، سنستخدم 1 و 2 و 3 للإحداثيات y. راجع الجدول\(\PageIndex{7}\)

    طاولة\(\PageIndex{7}\)
    x=−3
    س ص (س، ص)
    −3 1 (−3,1)
    −3 2 (−3,2)
    −3 3 (−3,3)

    ارسم النقاط من الجدول\(\PageIndex{7}\) وقم بتوصيلها بخط مستقيم. لاحظ في الشكل\(\PageIndex{8}\) أننا رسمنا خطًا رأسيًا.

    يوضِّح الشكل خطًا مستقيمًا رأسيًا مرسومًا بثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (السالبة 3، 1)، (السالبة 3، 2)، (السالبة 3، 3). يمر خط مستقيم عمودي عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يسمى الخط بالمعادلة x يساوي سالب 3.
    الشكل\(\PageIndex{8}\)
    خط عمودي

    الخط العمودي هو رسم بياني لمعادلة من النموذج x=a.

    يمر الخط عبر المحور x عند (a، 0).

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{19}\)

    رسم بياني للمعادلة x=2.

    إجابة

    تحتوي المعادلة على متغير واحد فقط، x، و x يساوي دائمًا 2. نقوم بإنشاء جدول\(\PageIndex{8}\) حيث x دائمًا 2 ثم نضع أي قيم لـ y. الرسم البياني عبارة عن خط عمودي يمر عبر المحور x عند 2. انظر الشكل\(\PageIndex{9}\).

    طاولة\(\PageIndex{8}\)
    س = 2
    س ص (س، ص)
    2 1 (2,1)
    2 2 (2,2)
    2 3 (2,3)
    يوضِّح الشكل خطًا رأسيًا مستقيمًا مرسومًا بثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (2، 1)، (2، 2)، و (2، 3). يمر خط مستقيم عمودي عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة x يساوي 2.
    الشكل\(\PageIndex{9}\)
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{20}\)

    رسم المعادلة x=5 بيانيًا.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا رأسيًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (5، 1)، (5، 2)، (5، 3)، وجميع النقاط الأخرى ذات الإحداثيات الأولى 5. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{21}\)

    رسم بياني للمعادلة x=−2.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا رأسيًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 2، 1)، (سالب 2، 2)، (سالب 2، 3)، وجميع النقاط الأخرى ذات الإحداثيات الأولى سالبة 2. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    ماذا لو كانت المعادلة تحتوي على y ولكن لا تحتوي على x؟ دعونا نرسم المعادلة y=4. هذه المرة تكون القيمة y - ثابتة، لذلك في هذه المعادلة، لا تعتمد y على xx. املأ 4 لكل حرف y في الجدول\(\PageIndex{9}\) ثم اختر أي قيم لـ x. سنستخدم 0 و 2 و 4 للإحداثيات x.

    طاولة\(\PageIndex{9}\)
    ص = 4
    س ص (س، ص)
    0 4 (0,4)
    2 4 (2,4)
    4 4 (4,4)

    الرسم البياني هو خط أفقي يمر عبر المحور y عند 4. انظر الشكل\(\PageIndex{10}\).

    يوضِّح الشكل خطًا أفقيًا مستقيمًا مرسومًا بثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (0، 4)، (2، 4)، (4، 4). يمر خط أفقي مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي 4.
    الشكل\(\PageIndex{10}\)
    خط أفقي
    الخط الأفقي هو الرسم البياني لمعادلة من النموذج y=b.

    يمر الخط عبر المحور y عند (0، b).

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{22}\)

    رسم بياني للمعادلة y=−1.

    إجابة

    تحتوي المعادلة y=−1y=−1 على متغير واحد فقط، y. قيمة y ثابتة. جميع الأزواج المرتبة في الجدول\(\PageIndex{10}\) لها نفس الإحداثيات y. الرسم البياني عبارة عن خط أفقي يمر عبر المحور y عند −1−1، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{11}\).

    طاولة\(\PageIndex{10}\)
    y=−1
    س ص (س، ص)
      الطاقة−1 (0، −1)
      −1 (3، −1)
    −3 −1 (−3، −1)
    يوضِّح الشكل خطًا أفقيًا مستقيمًا مرسومًا بثلاث نقاط على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. تحدد النقاط النقاط الثلاث التي يتم تصنيفها بواسطة أزواجها المرتبة (السالب 3، السالب 1)، (0، السالب 1)، (3، السالب 1). يمر خط أفقي مستقيم عبر جميع النقاط الثلاث. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل. يتم تسمية الخط بالمعادلة y يساوي سالب 1.
    الشكل\(\PageIndex{11}\)
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{23}\)

    ارسم المعادلة y=−4 بيانيًا.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا أفقيًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 4، سالب 4)، (0، سالب 4)، (4، سالب 4)، وجميع النقاط الأخرى ذات الإحداثيات الثانية سالبة 4. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{24}\)

    رسم المعادلة y=3 بيانيًا.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطًا أفقيًا مستقيمًا مرسومًا على المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمر الخط المستقيم بالنقاط (سالب 4، 3)، (0، 3)، (4، 3)، وجميع النقاط الأخرى ذات الإحداثيات الثانية 3. يحتوي الخط على أسهم على كلا الطرفين تشير إلى الجزء الخارجي من الشكل.

    تبدو معادلات الخطوط الرأسية والأفقية مشابهة جدًا لمعادلات مثل y=4x. ما الفرق بين المعادلات y=4x و y=4؟

    تحتوي المعادلة y=4x على كل من x و y. تعتمد قيمة y على قيمة x. تتغير الإحداثيات y وفقًا لقيمة x. تحتوي المعادلة y=4 على متغير واحد فقط. قيمة y ثابتة. يكون الإحداثي y دائمًا 4. لا تعتمد على قيمة x. انظر الجدول\(\PageIndex{11}\).

    طاولة\(\PageIndex{11}\)
    ص = 4x   ص = 4
    س ص (س، ص) س ص (س، ص)
    0 0 (0,0) 0 4 (0,4)
    1 4 (1,4) 1 4 (1,4)
    2 8 (2,8) 2 4 (2,4)
    يوضِّح الشكل خطين مستقيمين مرسومين على نفس المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. الخط الواحد هو خط أفقي مستقيم يسمى بالمعادلة y يساوي 4. السطر الآخر هو خط مائل يسمى بالمعادلة y يساوي 4x.
    الشكل\(\PageIndex{12}\)

    لاحظ، في الشكل\(\PageIndex{12}\)، المعادلة y=4x تعطي خطًا مائلًا، بينما y=4 تعطي خطًا أفقيًا.

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{25}\)

    الرسم البياني y=−3x و y=−3 في نفس نظام الإحداثيات المستطيل.

    إجابة

    لاحظ أن المعادلة الأولى تحتوي على المتغير x، بينما الثانية لا تحتوي على المتغير. انظر الجدول\(\PageIndex{12}\). يظهر الرسمان البيانيان في الشكل\(\PageIndex{13}\).

    طاولة\(\PageIndex{12}\)
    ص = −3x   y=−3
    س ص (س، ص) س ص (س، ص)
        (0,0)   −3 (0، −3)
      −3 (1، −3)   −3 (1، −3)
      −6 (2، −6)   −3 (2، −3)
    يوضِّح الشكل خطين مستقيمين مرسومين على نفس المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 7 إلى 7. يمتد المحور y للطائرة من سالب 7 إلى 7. الخط الواحد هو خط أفقي مستقيم يسمى بالمعادلة y يساوي سالب 3. السطر الآخر هو خط مائل يسمى بالمعادلة y يساوي سالب 3x.
    الشكل\(\PageIndex{13}\)
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{26}\)

    الرسم البياني y=−4x وy=−4 في نفس نظام الإحداثيات المستطيلة.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطين مستقيمين مرسومين على نفس المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. الخط الواحد هو خط أفقي مستقيم يمر بالنقاط (سالب 4، سالب 4)، (0، سالب 4)، (4، سالب 4)، وجميع النقاط الأخرى ذات الإحداثيات الثانية سالبة 4. الخط الآخر هو خط مائل يمر بالنقاط (سالب 2، 8)، (سالب 1، 4)، (0، 0)، (1، سالب 4)، و (2، سالب 8).

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{27}\)

    الرسم البياني y=3 و y=3x في نفس نظام الإحداثيات المستطيل.

    إجابة

    يوضِّح الشكل خطين مستقيمين مرسومين على نفس المستوى الإحداثي x y. يمتد المحور السيني للطائرة من سالب 12 إلى 12. يمتد المحور y للطائرة من سالب 12 إلى 12. الخط الواحد هو خط أفقي مستقيم يمر بالنقاط (سالب 4، 3) (0، 3)، (4، 3)، وجميع النقاط الأخرى ذات الإحداثيات الثانية 3. الخط الآخر هو خط مائل يمر بالنقاط (سالب 2، سالب 6)، (سالب 1، سالب 3)، (0، 0)، (1، 3)، و (2، 6).

    المفاهيم الرئيسية

    • رسم معادلة خطية بيانيًا عن طريق رسم النقاط
      1. ابحث عن ثلاث نقاط تمثل إحداثياتها حلولًا للمعادلة. قم بتنظيمها في جدول.
      2. ارسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل. تحقق من أن النقاط تصطف. إذا لم يفعلوا ذلك، تحقق بعناية من عملك!
      3. ارسم الخط من خلال النقاط الثلاث. قم بتوسيع الخط لملء الشبكة ووضع الأسهم على طرفي الخط.

    مسرد المصطلحات

    رسم بياني لمعادلة خطية
    الرسم البياني للمعادلة الخطية Ax+By=C هو خط مستقيم. كل نقطة على الخط هي حل المعادلة. كل حل لهذه المعادلة هو نقطة على هذا الخط.
    خط أفقي
    الخط الأفقي هو رسم بياني لمعادلة من الشكل y=b، ويمر الخط عبر المحور y عند (0، b).
    خط عمودي
    الخط العمودي هو رسم بياني لمعادلة من النموذج x=a، ويمر الخط عبر المحور x عند (a,0).