Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.5: ضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • ضرب الأعداد الصحيحة
  • تقسيم الأعداد الصحيحة
  • قم بتبسيط التعبيرات باستخدام الأعداد الصحيحة
  • تقييم التعبيرات المتغيرة بالأعداد الصحيحة
  • ترجمة العبارات الإنجليزية إلى التعبيرات الجبرية
  • استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في فصل Prealgebra، الأعداد الصحيحة.

ضرب الأعداد الصحيحة

نظرًا لأن الضرب هو اختصار رياضي للإضافة المتكررة، يمكن تطبيق نموذجنا بسهولة لإظهار ضرب الأعداد الصحيحة. دعونا ننظر إلى هذا النموذج الملموس لنرى الأنماط التي نلاحظها. سنستخدم نفس الأمثلة التي استخدمناها للجمع والطرح. هنا، سنستخدم النموذج فقط لمساعدتنا على اكتشاف النمط.

نتذكر أن هذاab يعني إضافةa,b أوقات. هنا، نستخدم النموذج فقط لمساعدتنا على اكتشاف النمط.

يتم عرض صورتين جنبًا إلى جنب. تحتوي الصورة الموجودة على اليسار على المعادلة خمسة في ثلاثة في الجزء العلوي. أسفل هذا تقرأ «أضف 5، 3 مرات». يوضح هذا أدناه ثلاثة صفوف من العدادات الزرقاء، مع خمسة عدادات في كل صف. تحت هذا، تقول «15 إيجابيًا». تحت هذه المعادلة «5 في 3 يساوي 15". الصورة على اليمين تقرأ «سلبي» 5 مرات ثلاث. الثلاثة بين قوسين. أسفل هذا تقرأ، «أضف سالب خمس أو ثلاث مرات». يوجد تحت هذا خمسة عشر عدادًا أحمر في ثلاثة صفوف من خمسة. أسفل هذا تقرأ «» 15 سلبيًا». وفي أسفل هذه المعادلة سالب خمسة في ٣ يساوي سالب ١٥.»
الشكل1.5.1

المثالان التاليان أكثر إثارة للاهتمام.

ماذا يعني الضرب5 بـ3؟ يعني طرح5,3 الأوقات. النظر إلى الطرح على أنه «سحب»، فهذا يعني التخلص من5,3 الأوقات. ولكن لا يوجد شيء يمكن أخذه، لذلك نبدأ بإضافة أزواج محايدة على مساحة العمل. ثم نأخذ5 ثلاث مرات.

يحتوي هذا الشكل على عمودين. في الصف العلوي، يحتوي العمود الأيسر على التعبير 5 مرات سالب 3. هذا يعني التخلص من 5 أو ثلاث مرات. أسفل هذا، توجد ثلاث مجموعات من خمسة عدادات سالبة حمراء، وأسفل كل مجموعة من العدادات الحمراء توجد مجموعة متطابقة من خمسة عدادات موجبة زرقاء. ما تبقى هو خمسة عشر صورة سلبية، ممثلة بـ 15 عدادًا أحمر. تحت العدادات توجد المعادلة 5 في سالب 3 تساوي سالب 15. في الصف العلوي، يحتوي العمود الأيمن على التعبير السالب 5 مرات السالب 3. هذا يعني إزالة السلبية 5 أو ثلاث مرات. أسفل هذا، توجد ثلاث مجموعات من خمسة عدادات إيجابية زرقاء، وأسفل كل مجموعة من العدادات الزرقاء توجد مجموعة متطابقة من خمسة عدادات سالبة حمراء. ما تبقى هو خمسة عشر إيجابيًا، ممثلة بـ 15 عدادًا أزرقًا. تحت العدادات الزرقاء توجد المعادلة السالبة 5 في سالب 3 تساوي 15.
الشكل1.5.2

باختصار:

53=155(3)=155(3)=15(5)(3)=15

لاحظ أنه عند ضرب رقمين موقعين، عندما:

  • العلامات هي نفسها، المنتج إيجابي.
  • العلامات مختلفة، المنتج سلبي.

سنضع كل هذا معًا في الرسم البياني أدناه.

ضرب الأرقام الموقعة

لضرب رقمين موقّعين:

نفس العلامات المنتج مثال
اثنان من الإيجابيات إيجابية 74=28
اثنين من السلبيات إيجابية 8(6)=48
طاولة1.5.1
علامات مختلفة المنتج مثال
الإيجابيات السلبية سلبي 7(9)=63
الإيجابيات السلبية سلبي 510=50
طاولة1.5.2
التمارين1.5.1

اضرب:

  1. 93
  2. 2(5)
  3. 4(8)
  4. 76
إجابة
  1. 93Multiply, noting that the signs are different, so the product is negative.27
  2. 2(5)Multiply, noting that the signs are same, so the product is positive.10
  3. 4(8)Multiply, with different signs.32
  4. 76Multiply, with different signs.42
التمارين1.5.2

اضرب:

  1. 68
  2. 4(7)
  3. 9(7)
  4. 512
إجابة
  1. 48
  2. 28
  3. 63
  4. 60
التمارين1.5.3

اضرب:

  1. 87
  2. 6(9)
  3. 7(4)
  4. 313
إجابة
  1. 56
  2. 54
  3. 28
  4. 39

عندما نضرب عددًا في1، تكون النتيجة هي نفس الرقم. ماذا يحدث عندما نضرب عددًا في1؟ دعونا نضرب عددًا موجبًا ثم عددًا سالبًا1 لنرى ما نحصل عليه.

141(3)Multiply.434 is the opposite of 4.3 is the opposite of 3


في كل مرة نضرب فيها1 رقمًا، نحصل على العكس!

الضرب بنسبة −1

1a=a

ضرب عدد في إعطاء1 نقيضه.

التمارين1.5.4

اضرب:

  1. 17
  2. 1(11)
إجابة
  1. 17Multiply, noting that the signs are different7so the product is negative.7 is the opposite of 7.
  2. 1(11)Multiply, noting that the signs are different11so the product is positive.11 is the opposite of -11.
التمارين1.5.5

اضرب:

  1. 19
  2. 1(17)
إجابة
  1. 9
  2. 17
التمارين1.5.6

اضرب:

  1. 18
  2. 1(16)
إجابة
  1. 8
  2. 16

تقسيم الأعداد الصحيحة

ماذا عن الشعبة؟ القسمة هي العملية العكسية للضرب. لذلك،15÷3=5 بسبب53=15. في الكلمات، يقول هذا التعبير أنه15 يمكن تقسيمه إلى ثلاث مجموعات كل منها خمسة لأن إضافة خمس مرات ثلاث يعطي15. انظر إلى بعض الأمثلة على ضرب الأعداد الصحيحة، لمعرفة قواعد تقسيم الأعداد الصحيحة.

53=15 so 15÷3=55(3)=15 so 15÷3=5(5)(3)=15 so 15÷(3)=55(3)=15 so 15÷(3)=5

تتبع القسمة نفس قواعد الضرب!

لتقسيم رقمين موقعين، عندما:

  • العلامات هي نفسها، حاصل القسمة إيجابي.
  • العلامات مختلفة، حاصل القسمة سلبي.

وتذكر أنه يمكننا دائمًا التحقق من إجابة مشكلة القسمة بالضرب.

الضرب وقسمة الأرقام الموقعة

لضرب وتقسيم رقمين موقعين:

  • إذا كانت العلامات هي نفسها، تكون النتيجة إيجابية.
  • إذا كانت العلامات مختلفة، تكون النتيجة سلبية.
نفس العلامات النتيجة
اثنان من الإيجابيات إيجابية
اثنين من السلبيات إيجابية
إذا كانت العلامات هي نفسها، تكون النتيجة إيجابية.
طاولة1.5.3
علامات مختلفة النتيجة
إيجابية وسلبية سلبي
سلبي وإيجابي سلبي
إذا كانت العلامات مختلفة، تكون النتيجة سلبية.
طاولة1.5.4
التمارين1.5.7
  1. 27÷3
  2. 100÷(4)
إجابة
  1. 27÷3Divide, with different signs, the quotient is9negative.
  2. 100÷(4)Divide, with signs that are the same the25 quotient is negative.
التمارين1.5.8

قسّم:

  1. 42÷6
  2. 117÷(3)
إجابة
  1. 7
  2. 39
التمارين1.5.9

قسّم:

  1. 63÷7
  2. 115÷(5)
إجابة
  1. 9
  2. 23

تبسيط التعبيرات باستخدام الأعداد الصحيحة

ماذا يحدث عندما يكون هناك أكثر من رقمين في التعبير؟ لا يزال ترتيب العمليات ساريًا عند تضمين السلبيات. هل تتذكر عمتي العزيزة سالي؟

دعونا نجرب بعض الأمثلة. سنقوم بتبسيط التعبيرات التي تستخدم جميع العمليات الأربع مع الأعداد الصحيحة - الجمع والطرح والضرب والقسمة. تذكر اتباع ترتيب العمليات.

التمارين1.5.10

قم بالتبسيط:

7(2)+4(7)6

إجابة

7(2)+4(7)6Multiply first.14+(28)6Add.426Subtract48

التمارين1.5.11

قم بالتبسيط:

8(3)+5(7)4

إجابة

63

التمارين1.5.12

قم بالتبسيط:

9(3)+7(8)1

إجابة

84

التمارين1.5.13

قم بالتبسيط:

  1. (2)4
  2. 24
إجابة
  1. (2)4Write in expanded form.(2)(2)(2)(2)Multiply4(2)(2)Multiply8(2)Multiply16
  2. 24Write in expanded form. We are asked to find the opposite of 24.(2222)Multiply(422)Multiply(82)Multiply16

لاحظ الفرق في الأجزاء (1) و (2). في الجزء (1)، يعني الأس رفع ما هو بين الأقواس،(2) إلى4th القوة. في الجزء (2)، يعني الأس رفع4th القوة فقط ثم أخذ العكس.2

التمارين1.5.14

قم بالتبسيط:

  1. (3)4
  2. 34
إجابة
  1. 81
  2. 81
التمارين1.5.15

قم بالتبسيط:

  1. (7)2
  2. 72
إجابة
  1. 49
  2. 49

يذكرنا المثال التالي بالتبسيط داخل الأقواس أولاً.

التمارين1.5.16

قم بالتبسيط:

123(912)

إجابة

123(912)Subtract parentheses first123(3)Multiply.12(9)Multiply(82)Subtract21

التمارين1.5.17

قم بالتبسيط:

174(811)

إجابة

29

التمارين1.5.18

قم بالتبسيط:

166(713)

إجابة

52

التمارين1.5.19

قم بالتبسيط:

8(9)÷(2)3

إجابة

8(9)÷(2)3Exponents first8(9)÷(8)Multiply.72÷(8)Divide9

التمارين1.5.20

قم بالتبسيط:

12(9)÷(3)3

إجابة

4

التمارين1.5.21

قم بالتبسيط:

18(4)÷(2)3

إجابة

9

التمارين1.5.22

قم بالتبسيط:

30÷2+(3)(7)

إجابة

30÷2+(3)(7)Multiply and divide left to right, so divide first.15+(3)(7)Multiply.15+21Add6

التمارين1.5.23

قم بالتبسيط:

27÷3+(5)(6)

إجابة

21

التمارين1.5.24

قم بالتبسيط:

32÷4+(2)(7)

إجابة

6

إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة باستخدام الأعداد الصحيحة

تذكر أن تقييم التعبير يعني استبدال رقم للمتغير في التعبير. الآن يمكننا استخدام الأرقام السالبة وكذلك الأرقام الإيجابية.

التمارين1.5.25

متىn=5، قم بتقييم:

  1. n+1
  2. n+1.
إجابة
  1. \[\begin{array} {ll} {} &{n+ 1} \\ {\text{Substitute}-5\text{ for } n} &{-5+1} \\ {\text{Simplify.}} &{-4} \end{array}\]
  2. \[\begin{array} {ll} {} &{-n+ 1} \\ {\text{Substitute}-5\text{ for } n} &{-(-5)+1} \\ {\text{Simplify.}} &{-4} \\{\text{Add.}} &{6} \end{array}\]
التمارين1.5.26

متىn=8، قم بتقييم:

  1. n+2
  2. n+2.
إجابة
  1. 6
  2. 10
التمارين1.5.27

متىy=9، قم بتقييم:

  1. y+8
  2. y+8.
إجابة
  1. 1
  2. 17
التمارين1.5.28

قم بتقييم(x+y)2 متىx=18 وy=24.

إجابة

(x+y)2Substitute 18 for x and 24 for y(18+24)2Add inside parentheses(6)2Simplify.36

التمارين1.5.29

قم بتقييم(x+y)2 متىx=15 وy=29.

إجابة

196

التمارين1.5.30

قم بتقييم(x+y)3 متىx=8 وy=10.

إجابة

8

التمارين1.5.31

قم بالتقييم20z عندما

  1. z=12
  2. z=12
إجابة
  1. 20zSubstitute 12 for z.2012Subtract8
  2. 20zSubstitute 12 for z.20(12)Subtract32
التمارين1.5.32

قم بالتقييم17k عندما

  1. k=19
  2. k=19
إجابة
  1. 2
  2. 36
التمارين1.5.33

قم بالتقييم5b عندما

  1. b=14
  2. b=14
إجابة
  1. 19
  2. 9
التمارين1.5.34

تقييم:

2x2+3x+8عندماx=4.

إجابة

بديل4 عنx. استخدم الأقواس لإظهار الضرب.

2x2+3x+8Substitute 2(4)2+3(4)+8Evaluate exponents.2(16)+3(4)+8Multiply.32+12+8Add.52

التمارين1.5.35

تقييم:

3x22x+6عندماx=3.

إجابة

39

التمارين1.5.36

تقييم:

4x2x5عندماx=2.

إجابة

13

ترجمة العبارات إلى التعبيرات مع الأعداد الصحيحة

ينطبق عملنا السابق الذي يترجم الإنجليزية إلى الجبر أيضًا على العبارات التي تتضمن الأرقام الإيجابية والسلبية.

التمارين1.5.37

الترجمة والتبسيط: مجموع812 و زيادة بمقدار3.

إجابة

the sumof 8 and -12, increased by 3Translate.[8+(12)]+3Simplify. Be careful not to confuse the(4)+3brackets with an absolute value sign.Add.1

التمارين1.5.38

الترجمة والتبسيط: مجموع916 و زيادة بمقدار4.

إجابة

(9+(16))+43

التمارين1.5.39

الترجمة والتبسيط: مجموع812 و زيادة بمقدار7.

إجابة

(8+(12))+713

عندما قدمنا رموز العملية لأول مرة، رأينا أنه يمكن قراءة التعبير بعدة طرق. تم سردها في الرسم البياني أدناه.

ab
\ (a−b\)» data-valign= «top">a ناقصb
الفرق بينb
ba
b أقل منa وخصم منهa
طاولة1.5.5

احرص على الحصول على a و b بالترتيب الصحيح!

التمارين1.5.40

ترجم ثم قم بالتبسيط

  1. الفرق بين13 و21
  2. اطرح24 من19.
إجابة
  1. the difference of 13 and -21Translate.13(21)Simplify.34
  2. subtract 24 from 19Translate.1924Remember, subtract b from a means abSimplify.43
التمارين1.5.41

ترجمة وتبسيط

  1. الفرق بين14 و23
  2. اطرح21 من17.
إجابة
  1. 14(23);37
  2. 1721;38
التمارين1.5.42

ترجمة وتبسيط

  1. الفرق بين11 و19
  2. اطرح18 من11.
إجابة
  1. 11(19);30
  2. 1118;29

مرة أخرى، ينتقل عملنا السابق في ترجمة الإنجليزية إلى الجبر إلى عبارات تتضمن ضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها. تذكر أن الكلمة الرئيسية للضرب هي «المنتج» والقسمة هي «حاصل القسمة».

التمارين1.5.43

ترجم إلى تعبير جبري وقم بتبسيطه إن أمكن: ناتج2 و14.

إجابة

the product of 2 and 14Translate.(2)(14)Simplify.28

التمارين1.5.44

ترجم إلى تعبير جبري وقم بتبسيطه إن أمكن: ناتج5 و12.

إجابة

5(12);60

التمارين1.5.45

ترجم إلى تعبير جبري وقم بتبسيطه إن أمكن: ناتج8 و13.

إجابة

8(13);104

التمارين1.5.46

ترجم إلى تعبير جبري وقم بتبسيطه إن أمكن: حاصل القسمة لـ56 و7.

إجابة

the quotient of 56 and 7Translate.56÷(7)Simplify.8

التمارين1.5.47

ترجم إلى تعبير جبري وقم بتبسيطه إن أمكن: حاصل القسمة لـ63 و9.

إجابة

63÷(9);7

التمارين1.5.48

ترجم إلى تعبير جبري وقم بتبسيطه إن أمكن: حاصل القسمة لـ72 و9.

إجابة

72÷(9);8

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

سنحدد خطة لحل التطبيقات. من الصعب العثور على شيء ما إذا كنا لا نعرف ما نبحث عنه أو ما نسميه! لذلك عندما نحل أحد التطبيقات، نحتاج أولاً إلى تحديد المشكلة التي تطلب منا العثور عليها. ثم سنكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها. سنترجم العبارة إلى تعبير ثم نبسط التعبير للحصول على الإجابة. أخيرًا، نلخص الإجابة في جملة للتأكد من أنها منطقية.

كيفية تطبيق استراتيجية لحل التطبيقات بالأعداد الصحيحة

التمارين1.5.49

كانت درجة الحرارة في أوربانا بولاية إلينوي ذات صباح11 درجات. بحلول منتصف بعد الظهر، انخفضت درجة الحرارة إلى9 درجات. ما هو الفرق بين درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر؟

إجابة
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.  
الخطوة 2. حدد ما يُطلب منا العثور عليه. الفرق بين درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر
الخطوة 3. اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها. الفرق بين11 و9
الخطوة 4. ترجم العبارة إلى تعبير. 11(9)
الخطوة 5. قم بتبسيط التعبير. 20
الخطوة 6. اكتب جملة كاملة تجيب على السؤال. كان الفرق في درجات الحرارة 20 درجة.
التمارين1.5.50

كانت درجة الحرارة في أنكوراج بألاسكا ذات صباح15 درجات. بحلول منتصف فترة ما بعد الظهر، انخفضت درجة الحرارة إلى30 درجات أقل من الصفر. ما الفرق بين درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر؟

إجابة

كان الفرق في درجات الحرارة هو45 الدرجات.

التمارين1.5.51

كانت درجة الحرارة في دنفر6 درجات في وقت الغداء. عند غروب الشمس، انخفضت درجة الحرارة إلى15 درجات. ما هو الفرق بين درجات حرارة وقت الغداء وغروب الشمس؟

إجابة

كان الفرق في درجات الحرارة هو9 الدرجات.

قم بتطبيق استراتيجية لحل التطبيقات ذات الأعداد الصحيحة.
  1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار
  2. حدد ما يُطلب منا العثور عليه.
  3. اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها.
  4. ترجم العبارة إلى تعبير.
  5. قم بتبسيط التعبير.
  6. أجب على السؤال بجملة كاملة.
التمارين1.5.52

تلقى فريق Mustangs لكرة القدم ثلاث ضربات جزاء في الربع الثالث. كل ركلة جزاء أعطتهم خسارة قدرها خمسة عشر ياردة. ما عدد الياردات المفقودة؟

إجابة
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.  
الخطوة 2. حدد ما يُطلب منا العثور عليه. عدد الساحات المفقودة
الخطوة 3. اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها. ثلاث مرات ركلة جزاء15 بــ ياردة
الخطوة 4. ترجم العبارة إلى تعبير. 3(15)
الخطوة 5. قم بتبسيط التعبير. 45
الخطوة 6. اكتب جملة كاملة تجيب على السؤال. خسر الفريق45 ساحات.
التمارين1.5.53

لعب البيرز بشكل سيء وخاضوا سبع ركلات جزاء في اللعبة. أدت كل ركلة جزاء إلى خسارة15 الساحات. ما عدد الياردات المفقودة بسبب العقوبات؟

إجابة

فقدت الدببة105 الساحات.

التمارين1.5.54

يستخدم بيل أجهزة الصراف الآلي في الحرم الجامعي لأنها مريحة. ومع ذلك، في كل مرة يستخدمها، يتم تحصيل رسوم قدرها 2 دولار. في الشهر الماضي استخدم أجهزة الصراف الآلي ثماني مرات. كم كان إجمالي رسومه مقابل استخدام أجهزة الصراف الآلي؟

إجابة

تم خصم رسوم قدرها 16 دولارًا من حسابه الجاري.

المفاهيم الرئيسية

  • ضرب وقسمة عددين موقَّعين
    • نفس العلامات - المنتج إيجابي
    • علامات مختلفة - المنتج سلبي
  • إستراتيجية التطبيقات
    1. حدد ما يُطلب منك العثور عليه.
    2. اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها.
    3. ترجم العبارة إلى تعبير.
    4. قم بتبسيط التعبير.
    5. أجب على السؤال بجملة كاملة.