Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.3: استخدم لغة الجبر

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • استخدم المتغيرات والرموز الجبرية
  • قم بتبسيط التعبيرات باستخدام ترتيب العمليات
  • تقييم تعبير
  • تحديد المصطلحات المتشابهة ودمجها
  • ترجمة عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري

استخدم المتغيرات والرموز الجبرية

لنفترض أن جريج هذا العام يبلغ من العمر20 عامًا وأليكس كذلك23. أنت تعلم أن أليكس أكبر من جريج3 بسنوات. عندما كان جريج12، كان أليكس15. عندما يكون جريج35، سيكون أليكس38. بغض النظر عن عمر جريج، سيكون عمر أليكس دائمًا أكثر من 3 سنوات، أليس كذلك؟ في لغة الجبر، نقول أن عمر جريج وعمر أليكس متغيران3 وثابت. تتغير الأعمار («تختلف») ولكن3 السنوات بينهما تظل دائمًا كما هي («ثابتة»). نظرًا لأن عمر جريج وعمر أليكس سيختلفان دائمًا حسب3 السنوات،3 فهو ثابت. في الجبر، نستخدم حروف الأبجدية لتمثيل المتغيرات. لذلك إذا اتصلنا بعمر جريجg، فيمكننا استخدامهg+3g+3 لتمثيل عمر أليكس. انظر الجدول1.3.1.

طاولة1.3.1
عمر جريج عمر أليكس
12 15
20 23
35 38
g g+3

تسمى الحروف المستخدمة لتمثيل هذه الأعمار المتغيرة المتغيرات. الحروف الأكثر استخدامًا للمتغيرات هيx,y,a,b, وc.

تعريف: متغير

المتغير هو حرف يمثل رقمًا قد تتغير قيمته.

التعريف: ثابت

الثابت هو رقم تظل قيمته دائمًا كما هي.

للكتابة جبريًا، نحتاج إلى بعض رموز العمليات بالإضافة إلى الأرقام والمتغيرات. هناك عدة أنواع من الرموز التي سنستخدمها.

هناك أربع عمليات حسابية أساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة. سنقوم بإدراج الرموز المستخدمة للإشارة إلى هذه العمليات أدناه (الجدول1.3.2). ربما ستتعرف على بعضها.

طاولة1.3.2
عملية الترميز قل: النتيجة هي...
إضافة a+b aزائدb مجموعa وb
الطرح ab aناقصb الفرق بينa وb
عملية الضرب a·b,ab,(a)(b),(a)b,a(b) aمراتb منتج منa وb
توزيع a÷b,a/b,ab,ba aمقسومًا علىb حاصلa القسمةb،a ويسمى العائد،b ويسمى المقسوم

نقوم بإجراء هذه العمليات على رقمين. عند الترجمة من الشكل الرمزي إلى اللغة الإنجليزية، أو من الإنجليزية إلى الشكل الرمزي، انتبه إلى الكلمتين «of» و «and».

  • الفرق بين الطرح929 ومعناه2، وبعبارة أخرى،9 الطرح2، الذي نكتبه رمزيًا بالشكل92.
  • يتضاعف 4الناتج48 والوسيلة8، وبعبارة أخرى8،4 الأوقات التي نكتبها رمزيًا كـ48.

في الجبر، لا يُستخدم الرمز المتقاطع لإظهار الضرب لأن هذا الرمز قد يسبب الارتباك.× هل3xy يعني3×y («ثلاث مراتy») أو3xy (ثلاثx مراتy)؟ لتوضيح ذلك، استخدم الأقواس أو الأقواس للضرب.

عندما تكون الكميتان لهما نفس القيمة، نقول أنهما متساويان ونربطهما بعلامة متساوية.

رمز المساواة

a=bيُقرأ «aيساويb»

“=”يسمى الرمز علامة المساواة.

في خط الأعداد، تصبح الأرقام أكبر عندما تنتقل من اليسار إلى اليمين. يمكن استخدام خط الأرقام لشرح الرموز“<” و“>".

عدم المساواة

a<bيُقرأ «aأقل منb»

abعلى يسار خط الأعداد

لا يوجد نص بديل
الشكل\PageIndex{1}

a>bتمت قراءة "aأكبر منb»

aعلى اليمين أوb على خط الأعداد

لا يوجد نص بديل
الشكل\PageIndex{2}

a > bيمكن قراءة التعبيراتa < b من اليسار إلى اليمين أو من اليمين إلى اليسار، على الرغم من أننا في اللغة الإنجليزية نقرأ عادة من اليسار إلى اليمين الجدول\PageIndex{3}. بشكل عام،a < b يعادلb > a. على سبيل المثال7 < 11 يعادل11 > 7. a > bوهو ما يعادلb < a. على سبيل المثال17 > 4 يعادل4 < 17.

طاولة\PageIndex{3}
رموز عدم المساواة كلمات
a \neq b aلا يساويb
a < b aأقل منb
a \leq b aأقل من أو يساويb
a > b aأكبر منb
a \geq b aأكبر من أو لا يساويb
التمارين\PageIndex{1}

ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:

  1. 17 \leq 26
  2. 8 \neq 17 - 3
  3. 12 > 27 \div 3
  4. y + 7 < 19
إجابة
  1. 17 \leq 26،17 أقل من أو يساوي26
  2. 8 \neq 17 - 3، لا8 يساوي17 السالب3
  3. 12 > 27 \div 3،12 أكبر من27 القسمة على3
  4. y + 7 < 19،y زائد7 أقل من19
التمارين\PageIndex{2}

ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:

  1. 14 \leq 27
  2. 19 - 2 \neq 8
  3. 12 > 4 \div 2
  4. x - 7 < 1
إجابة
  1. 14أقل من أو يساوي27
  2. 192ناقص لا يساوي8
  3. 12أكبر من4 القسمة على2
  4. x7ناقص أقل من1
التمارين\PageIndex{3}

ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:

  1. 19 \leq 15
  2. 7 = 12 - 5
  3. 15 \div 3 < 8
  4. y + 3 < 6
إجابة
  1. 19أكبر من أو يساوي15
  2. 7يساوي12 السالب5
  3. 15القسمة3 على أقل من8
  4. yزائد3 أكبر من6

رموز التجميع في الجبر تشبه إلى حد كبير الفواصل والنقطتين وعلامات الترقيم الأخرى في اللغة الإنجليزية. فهي تساعد على توضيح التعبيرات التي يجب الاحتفاظ بها معًا وفصلها عن التعبيرات الأخرى. سنقدم ثلاثة أنواع الآن.

رموز التجميع

\begin{align*} & \text{Parentheses} & & ( ) \\ & \text{Brackets} & & [ ] \\ & \text{Braces} & & \{ \} \end{align*}

فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات التي تتضمن رموز التجميع. سنقوم بتبسيط التعبيرات مثل هذه لاحقًا في هذا القسم.

8(14−8) \qquad 21−3[2 + 4(9−8)] \qquad 24\div \{ 13−2[1(6−5)+4] \nonumber\}

ما الفرق في اللغة الإنجليزية بين العبارة والجملة؟ تعبر العبارة عن فكرة واحدة غير مكتملة في حد ذاتها، لكن الجملة تقدم بيانًا كاملاً. «الجري بسرعة كبيرة» هي عبارة، لكن «لاعب كرة القدم كان يركض بسرعة كبيرة» هي جملة. تحتوي الجملة على موضوع وفعل. في الجبر، لدينا تعبيرات ومعادلات.

التعبير

التعبير هو رقم أو متغير أو مزيج من الأرقام والمتغيرات باستخدام رموز التشغيل.

التعبير يشبه العبارة الإنجليزية. فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات:

طاولة\PageIndex{4}
التعبير كلمات عبارة إنجليزية
3 + 5 3زائد5 مجموع ثلاثة وخمسة
n − 1 nناقص واحد الفرقn بين الواحد
6\cdot 7 6مرات7 نتاج ستة وسبعة
\dfrac{x}{y} xمقسومًا علىy حاصل القسمة منx وy

لاحظ أن العبارات الإنجليزية لا تشكل جملة كاملة لأن العبارة لا تحتوي على فعل. المعادلة هي تعبيران مرتبطان بعلامة المساواة. عندما تقرأ الكلمات التي تمثلها الرموز في المعادلة، يكون لديك جملة كاملة باللغة الإنجليزية. تعطي علامة المساواة الفعل.

التعريف: المعادلة

المعادلة عبارة عن تعبيرين متصلين بعلامة تساوي.

فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات.

طاولة\PageIndex{5}
المعادلة الجملة الإنجليزية
3+5=8 مجموع ثلاثة وخمسة يساوي ثمانية
n−1=14 nناقص واحد يساوي أربعة عشر
6 \cdot 7=42 حاصل ضرب ستة وسبعة يساوي اثنين وأربعين
x=53 xيساوي ثلاثة وخمسون
y+9=2y−3 yزائد تسعة يساوي اثنينy ناقص ثلاثة
التمارين\PageIndex{4}

حدد ما إذا كان كل منها تعبيرًا أم معادلة:

  1. 2(x + 3) = 10
  2. 4(y - 1) + 1
  3. x \div 25
  4. y + 8 = 40
إجابة
  1. 2(x + 3) = 10. هذه معادلة - هناك تعبيران مرتبطان بعلامة تساوي.
  2. 4(y - 1) + 1. هذا تعبير - لا توجد علامة مساواة.
  3. x \div 25. هذا تعبير - لا توجد علامة مساواة.
  4. y + 8 = 40. هذه معادلة - هناك تعبيران مرتبطان بعلامة تساوي.
التمارين\PageIndex{5}

حدد ما إذا كان كل منها تعبيرًا أم معادلة:

  1. 3(x - 7) = 27
  2. 5(4y - 2) - 7
إجابة
  1. معادلة
  2. التعبير
التمارين\PageIndex{6}

حدد ما إذا كان كل منها تعبيرًا أم معادلة:

  1. y^{3} \div 14
  2. 4x - 6 = 22
إجابة
  1. التعبير
  2. معادلة

لنفترض أننا بحاجة إلى ضرب تسعة عوامل من2. يمكننا كتابة هذا كـ2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2. هذا أمر شاق وقد يكون من الصعب تتبع كل هذه الثواني، لذلك نستخدم الأسس. نكتب2\cdot 2 \cdot 2 كما2^{3}2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 وباسم2^{9}. في تعبيرات مثل2^{3}،2 يُطلق على الحرف الأساس3 ويسمى الأس. يخبرنا الأس عن عدد المرات التي نحتاج فيها إلى ضرب القاعدة.

يظهر الرقم الثاني برقم ثلاثة فوق يمينه. يتم رسم سهم إلى الرقم 2 ويتم تسميته بـ «القاعدة» بينما يتم رسم سهم آخر إلى الرقم ثلاثة فوق الخط ويتم تسميته بـ «الأس». وهذا يعني ضرب ثلاثة عوامل من 2، كما هو الحال في 2 في 2 في 2 في 2.
الشكل\PageIndex{3}

نقرأ على2^{3} النحو التالي «اثنان للقوة الثالثة» أو «مكعبان».

نقول2^{3} هو بالرمز الأسي2\cdot 2 \cdot 2 وهو في تدوين موسع.

الترميز الأسي

a^{n}يعني نتاجn عواملa.

يظهر حرف A بخط مرتفع على يمينه. يتم رسم سهم إلى علامة «قاعدة» بينما يتم رسم سهم آخر إلى الحرف الموجود فوق الحرف المسمى «الأس». مكتوبة أدناه هي المعادلة: الحرف العلوي n يساوي مضروبًا في علامة الحذف مضروبًا في a، مما يعني وجود عدد غير محدد من «a» يتم ضربه. يتم رسم قوس أسفل الحرف «a» الذي يتم ضربه وتسميته بـ «n factors».
الشكل\PageIndex{4}

a^{n}يتم قراءة التعبيرa إلىn^{th} السلطة.

a^{n}بينما نقرأ عبارة «aإلىn^{th} القوة»، عادة ما نقرأ:

  • a^{2}«مربع»
  • a^{3}«مكعب»

سنرى لاحقًا لماذاa^{2}a^{3} ولدينا أسماء خاصة.

\PageIndex{6}يوضح الجدول كيف نقرأ بعض التعبيرات ذات الأسس.

طاولة\PageIndex{6}
التعبير في الكلمات
7^{2} 7إلى القوة الثانية أو7 المربعة
5^{3} 5إلى القوة الثالثة أو5 المكعبة
9^{4} 9إلى القوة الرابعة
12^{5} 12إلى القوة الخامسة
التمارين\PageIndex{7}

قم بالتبسيط:3^{4}

إجابة

\quad 3^{4}\nonumber
\ [\ ابدأ {align*} وقم بتوسيع التعبير & & 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ [5pt]\ [5pt]
و\ text {اضرب من اليسار إلى اليمين} & & & 9\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\

النص {اضرب} & & 81\ end {align*}\]

التمارين\PageIndex{8}

قم بالتبسيط:

  1. 5^{3}
  2. 1^{7}
إجابة
  1. 125
  2. 1
التمارين\PageIndex{9}
  1. 7^{2}
  2. 0^{5}
إجابة
  1. 49
  2. 0

تبسيط التعبيرات باستخدام ترتيب العمليات

إن تبسيط التعبير يعني القيام بكل العمليات الحسابية الممكنة. على سبيل المثال، للتبسيط،4\cdot 2 + 1 سنضرب أولاً4\cdot 2 للحصول على8 الرقم ثم نضيفه1 للحصول عليه9. من العادات الجيدة التي يجب تطويرها العمل على الصفحة وكتابة كل خطوة من العملية أسفل الخطوة السابقة. سيبدو المثال الموصوف للتو كما يلي:

4\cdot 2 + 1\nonumber

8 + 1\nonumber

9\nonumber

من خلال عدم استخدام علامة المساواة عند تبسيط التعبير، يمكنك تجنب الخلط بين التعبيرات والمعادلات.

تبسيط تعبير

لتبسيط التعبير، قم بإجراء جميع العمليات في التعبير.

لقد قدمنا معظم الرموز والرموز المستخدمة في الجبر، ولكننا الآن بحاجة إلى توضيح ترتيب العمليات. وإلا، قد يكون للتعبيرات معاني مختلفة، وقد تؤدي إلى قيم مختلفة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التعبير:

4 + 3\cdot 7\nonumber

إذا قمت بتبسيط هذا التعبير، فما الذي ستحصل عليه؟

يقول بعض الطلاب49،

4 + 3\cdot 7\nonumber

منذ4+3 يعطي7.

7 \cdot 7\nonumber

7\cdot 7وهو4949\nonumber

يقول آخرون25،

4 + 3\cdot 7\nonumber

منذ3\cdot 7 ذلك الحين21.

4 + 21\nonumber

21 + 4ويجعل25.

25\nonumber

تخيل الارتباك في نظامنا المصرفي إذا كانت لكل مشكلة عدة إجابات صحيحة مختلفة!

يجب أن يعطي نفس التعبير نفس النتيجة. لذلك وضع علماء الرياضيات في وقت مبكر بعض الإرشادات التي تسمى ترتيب العمليات.

نفذ ترتيب العمليات.
  1. الأقواس ورموز التجميع الأخرى
    • قم بتبسيط جميع التعبيرات داخل الأقواس أو رموز التجميع الأخرى، مع العمل على الأقواس الداخلية أولاً.
  2. أسس
    • قم بتبسيط جميع التعبيرات باستخدام الأسس.
  3. الضرب والقسمة
    • قم بإجراء جميع عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
  4. الجمع والطرح
    • قم بإجراء جميع عمليات الجمع والطرح بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
ملاحظة

سيمنحك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «Game of 24" التدريب على استخدام ترتيب العمليات.

غالبًا ما يسأل الطلاب، «كيف سأتذكر الطلب؟» إليك طريقة لمساعدتك على التذكر: خذ الحرف الأول من كل كلمة رئيسية واستبدل العبارة السخيفة: «يرجى المعذرة عمتي العزيزة سالي».

\ [\ ابدأ {المحاذاة}\\ textbf {P}\ النص {الأقواس} &\ textbf {P}\ النص {التأجير}\\ [5pt]
\\ textbf {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ textbf {E}\ textbf {E}\ textbf {E}\ textbf textbf {D}\ النص {ivision} &\ textbf {M}\ النص {y}\ الفضاء\ textbf {D}\ النص
{عام}\\ [5pt]
&\ textbf {A}\ textbf {A}\ textbf {S}\ textbf {A}\ textbf {A}\ textbf {S}\ textbf {S}\ text {ALLY}\ End {A}\ textbf {A}\\ textbf

من الجيد أن تتوافق\textbf{M}\text{y}\space\textbf{D}\text{ear} كلمة «» معًا، لأن هذا يذكرنا بأن الضرب وتقسيم الإعلانات الخاص بي لهما أولوية متساوية. لا نقوم دائمًا بالضرب قبل القسمة أو نقوم دائمًا بالقسمة قبل الضرب. نقوم بها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

وبالمثل، فإن «\textbf{A}\text{unt}\space\textbf{S}\text{ally}» تتوافق معًا وتذكرنا بأن الإصدار والطرح لهما أيضًا أولوية متساوية ونقوم بهما بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

دعونا نجرب مثالاً.

التمارين\PageIndex{10}

قم بالتبسيط:

  1. 4 + 3\cdot 7
  2. (4 + 3)\cdot 7
إجابة
1.
  4 + 3 \cdot 7
هل هناك أي أقواس p؟ لا.  
هل هناك أي مكونات إلكترونية؟ لا.  
هل هناك أي ضرب أو قسم الإعلانات الخاص بي؟ نعم.  
اضرب أولاً. 4 + {\color{red}{3 \cdot 7}}
أضف. 4+21
  25

2.

  (4 + 3)\cdot 7
هل هناك أي أقواس p؟ نعم. {\color{red}{(4 + 3)}}\cdot 7
قم بالتبسيط داخل الأقواس. ({\color{red}{7}})7
هل هناك أي مكونات إلكترونية؟ لا.  
هل هناك أي ضرب أو قسم الإعلانات الخاص بي؟ نعم.  
اضرب. 49
التمارين\PageIndex{11}

قم بالتبسيط:

  1. 12 - 5\cdot 2
  2. (12 - 5)\cdot 2
إجابة
  1. 2
  2. 14
التمارين\PageIndex{12}

قم بالتبسيط:

  1. 8 + 3\cdot 9
  2. (8 + 3)\cdot 9
إجابة
  1. 35
  2. 99
التمارين\PageIndex{13}

قم بالتبسيط:18\div 6 + 4(5 - 2)

إجابة
أقواس؟ نعم، اطرح أولاً.

18\div 6 + 4(5 - 2)
18\div 6 + 4(3)

أسس؟ لا.  
الضرب أو القسمة؟ نعم. {\color{red}{18\div 6}} + {\color{red}{4(3)}}
قسّم أولاً لأننا نضرب ونقسم من اليسار إلى اليمين. 3+{\color{red}{4(3)}}
أي ضرب أو تقسيم آخر؟ نعم.  
اضرب. 3 + 12
أي ضرب أو تقسيم آخر؟ لا.  
أي إضافة أو طرح؟ نعم. 15
التمارين\PageIndex{14}

قم بالتبسيط:30\div 5 + 10(3 - 2)

إجابة

16

التمارين\PageIndex{15}

قم بالتبسيط:70\div 10 + 4(6 - 2)

إجابة

23

عندما تكون هناك رموز تجميع متعددة، نقوم بتبسيط الأقواس الداخلية أولاً ونعمل للخارج.

التمارين\PageIndex{16}

قم بالتبسيط:5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)].

إجابة
  5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]
هل هناك أي أقواس (أو رمز تجميع آخر)؟ نعم.  
ركز على الأقواس الموجودة داخل الأقواس. 5 + 2^{3} + 3[6 - 3{\color{red}{(4 - 2)}}]
اطرح. 5 + 2^{3} + 3[6 - {\color{red}{3(2)}}]
استمر داخل الأقواس واضرب. 5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{6 - 6}}]
استمر داخل الأقواس واسحب. 5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{0}}]
لا يتطلب التعبير الموجود داخل الأقواس مزيدًا من التبسيط.  
هل هناك أي أسس؟ نعم. 5 + {\color{red}{2^{3}}}+ 3[0]
قم بتبسيط الأسس. 5 + 8 + {\color{red}{3[0]}}
هل هناك أي ضرب أو قسمة؟ نعم.  
اضرب. {\color{red}{5 + 8}}+0
هل هناك أي إضافة أو طرح؟ نعم.  
أضف. {\color{red}{13 + 0}}
أضف. 13
التمارين\PageIndex{17}

قم بالتبسيط:9 + 5^{3} - [4(9 + 3)].

إجابة

86

التمارين\PageIndex{18}

قم بالتبسيط:7^{2} - 2[4(5 + 1)].

إجابة

1

تقييم تعبير

في الأمثلة القليلة الأخيرة، قمنا بتبسيط التعبيرات باستخدام ترتيب العمليات. سنقوم الآن بتقييم بعض التعبيرات - مرة أخرى باتباع ترتيب العمليات. تقييم التعبير يعني العثور على قيمة التعبير عندما يتم استبدال المتغير برقم معين.

تقييم تعبير

تقييم التعبير يعني العثور على قيمة التعبير عندما يتم استبدال المتغير برقم معين.

لتقييم تعبير، استبدل هذا الرقم بالمتغير في التعبير ثم قم بتبسيط التعبير.

التمارين\PageIndex{19}

قم بالتقييم7x - 4، متى

  1. x = 5
  2. x = 1
إجابة

1.

عندماx = {\color{red}{5}} 7x - 4
  7({\color{red}{5}}) - 4
اضرب. 35 - 4
اطرح. 31

2.

عندماx = {\color{red}{1}} 7x - 4
  7({\color{red}{1}}) - 4
اضرب. 7 - 4
اطرح. 3
التمارين\PageIndex{20}

قم بالتقييم8x - 3، متى

  1. x = 2
  2. x = 1
إجابة
  1. 13
  2. 5
التمارين\PageIndex{21}

قم بالتقييم4y - 4، متى

  1. y = 3
  2. y = 5
إجابة
  1. 8
  2. 16
التمارين\PageIndex{22}

قم بالتقييمx = 4، متى

  1. x^{2}
  2. 3^{x}
إجابة

1.

  x^{2}
استبدلx بـ{\color{red}{4}}. ({\color{red}{4}})^{2}
استخدم تعريف الأس. 4\cdot 4
قم بالتبسيط. 16

2.

  3^{x}
استبدلx بـ{\color{red}{4}}. \(3^
ParseError: invalid DekiScript (click for details)
Callstack:
    at (اللغة_العربية/كتاب:_الجبر_الابتدائي_(OpenStax)/01:/1.03:_استخدم_لغة_الجبر), /content/body/div[4]/div[5]/div/dl/dd/table[2]/tbody/tr[2]/td[2]/span/span, line 1, column 1
\)
استخدم تعريف الأس. 3\cdot3\cdot3\cdot3
قم بالتبسيط. 81
التمارين\PageIndex{23}

قم بالتقييمx = 3، متى

  1. x^{2}
  2. 4^{x}
إجابة
  1. 9
  2. 64
التمارين\PageIndex{24}

قم بالتقييمx = 6، متى

  1. x^{3}
  2. 2^{x}
إجابة
  1. 216
  2. 64
التمارين الرياضية\PageIndex{25}

قم بتقييم2x^{2} + 3x + 8 متىx = 4.

إجابة
  2x^{2} + 3x + 8
بديلx = {\color{red}{4}}. \small{2x^{2} + 3x + 8}
2({\color{red}{4}})^{2} + 3({\color{red}{4}}) + 8
اتبع ترتيب العمليات. 2(16)+3(4)+8
  32+12+8
  52
التمارين الرياضية\PageIndex{26}

قم بتقييم3x^{2} + 4x + 1 متىx = 3.

إجابة

40

التمارين الرياضية\PageIndex{27}

قم بتقييم6x^{2} - 4x - 7 متىx = 2.

إجابة

9

تحديد المصطلحات المتشابهة ودمجها

تتكون التعبيرات الجبرية من مصطلحات. المصطلح هو ثابت، أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر.

مصطلح

المصطلح هو ثابت، أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر.

أمثلة المصطلحات هي7, y, 5x^{2}, 9a، وb^{5}.

يسمى الثابت الذي يضرب المتغير المعامل.

المعامل

معامل المصطلح هو الثابت الذي يضرب المتغير في المصطلح.

فكر في المعامل كرقم أمام المتغير. معامل المصطلح3x هو3. عندما نكتبx، يكون المعامل هو1، منذ ذلك الحينx=1\cdot x.

التمارين الرياضية\PageIndex{28}

حدد معامل كل مصطلح:

  1. 14y
  2. 15x^{2}
  3. a
إجابة
  1. معامل14y هو14
  2. معامل15x^{2} هو15
  3. معاملa هو1 منذ ذلك الحينa=1a.
التمارين الرياضية\PageIndex{29}

حدد معامل كل مصطلح:

  1. 17x
  2. 41b^{2}
  3. z
إجابة
  1. 14
  2. 41
  3. 1
التمارين الرياضية\PageIndex{30}

حدد معامل كل مصطلح:

  1. 9p
  2. 13a^{2}
  3. y^{3}
إجابة
  1. 9
  2. 13
  3. 1

تشترك بعض المصطلحات في سمات مشتركة. انظر إلى المصطلحات الستة التالية. أي منها يبدو أن لديها سمات مشتركة؟

5x \qquad 7 \qquad n^{2} \qquad 4 \qquad 3x \qquad 9n^{2}\nonumber

كلاهما4 مصطلحات ثابتة.7

3xكلاهما مصطلحان معx.5x

9n^{2}كلاهما مصطلحان معn^{2}.n^{2}

عندما يكون المصطلحان ثوابت أو لهما نفس المتغير والأس، فإننا نقول أنهما يشبهان المصطلحات.

  • 74وهي مثل المصطلحات.
  • 5x3xوهي مثل المصطلحات.
  • x^{2}9x^{2}وهي مثل المصطلحات.
شروط الإعجاب

المصطلحات التي تكون إما ثوابت أو لها نفس المتغيرات المرفوعة إلى نفس القوى تسمى المصطلحات المتشابهة.

التمارين الرياضية\PageIndex{31}

حدد المصطلحات المشابهة:y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}.

إجابة

y^{3}4y^{3}وتشبه المصطلحات لأن كلاهماy^{3} يتطابقان مع المتغير والأس.

7x^{2}5x^{2}وتشبه المصطلحات لأن كلاهماx^{2} يتطابقان مع المتغير والأس.

1423وتشبه المصطلحات لأن كلاهما ثوابت.

لا يوجد مصطلح آخر مثل9x.

التمارين الرياضية\PageIndex{32}

حدد المصطلحات المشابهة:9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}.

إجابة

9و15،y^{2} و11y^{2}،2x^{3} و8x^{3}

التمارين الرياضية\PageIndex{33}

حدد المصطلحات المشابهة:4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}.

إجابة

19و24،8x^{2} و3x^{2}،4x^{3} و6x^{3}

تشكل إضافة المصطلحات أو طرحها تعبيرًا. في التعبير2x^{2} + 3x + 8، من المثال، المصطلحات الثلاثة هي2x^{2}، و3x، و8.
التمارين الرياضية\PageIndex{34}

حدد المصطلحات في كل تعبير.

  1. 9x^{2}+7x+12
  2. 8x+3y
إجابة
  1. شروط9x^{2}+7x+12 هي9x^{2}, 7x، و12.
  2. شروط8x+3y هي8x و3y.
التمارين الرياضية\PageIndex{35}

حدد المصطلحات في التعبير4x^{2}+5x+17.

إجابة

4x^{2}, 5x, 17

التمارين الرياضية\PageIndex{36}

حدد المصطلحات في التعبير5x+2y.

إجابة

5x, 2y

إذا كانت هناك مصطلحات متشابهة في التعبير، يمكنك تبسيط التعبير من خلال دمج المصطلحات المتشابهة. ما الذي تعتقد أنه4x+7x+x سيتم تبسيطه؟ إذا فكرت12x، فستكون على حق!

\begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \\ { x + x + x + x \quad + x + x + x + x + x + x + x \quad+ x } \\ { 12 x } \end{array}

أضف المعاملات واحتفظ بنفس المتغير. لا يهم ما هو x - إذا كان لديك 4 من شيء ما وأضفت 7 آخرين من نفس الشيء ثم أضفت 1 آخر، فستكون النتيجة 12 منها. على سبيل المثال، 4 حبات برتقال بالإضافة إلى 7 برتقالة واحدة هي 12 برتقالة. سنناقش الخصائص الرياضية وراء ذلك لاحقًا.

قم بالتبسيط:4x+7x+x

أضف المعاملات. 12x

التمارين الرياضية\PageIndex{37}: How To Combine Like Terms

قم بالتبسيط:2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5

إجابة

يتم سرد ثلاثة أسطر من التعليمات في عمود على الجانب الأيسر من الصورة بينما يتم سرد أربعة تعبيرات جبرية على اليمين. يقول السطر الأول من التعليمات على اليسار: «الخطوة 1. حدد المصطلحات المشابهة.» على الجانب الآخر من الخطوة 1 في العمود الأيمن يوجد التعبير الجبري: 2x مربع زائد 3x زائد 7 زائد x squared زائد 4x plus 5. سطر واحد على اليمين، يتكرر نفس التعبير الجبري، باستثناء أن كل مصطلح يظهر بواحد من ثلاثة ألوان لتوضيح أن هذه المصطلحات متشابهة: 2x مربع و x squared يظهران باللون الأحمر، مما يوضح أن هذه المصطلحات متشابهة؛ 3x و 4x يظهران باللون الأزرق، مما يوضح أن هذه المصطلحات تشبه أيضًا المصطلحات؛ تظهر 7 و 5 باللون الأخضر، مما يوضح أن هذه المصطلحات تشبه المصطلحات أيضًا.
يقول السطر الثاني من التعليمات على اليسار: «الخطوة 2. أعد ترتيب التعبير بحيث تكون المصطلحات المتشابهة معًا. على الجانب الآخر من الخطوة 2 في العمود الأيمن يوجد التعبير الجبري الأصلي مع إعادة ترتيب المصطلحات بحيث تظهر المصطلحات المتشابهة جنبًا إلى جنب: 2x squared plus x2، كلاهما مكتوب باللون الأحمر، بالإضافة إلى 3x زائد 4x، وكلاهما مكتوب باللون الأزرق، زائد 7 زائد 5، وكلاهما مكتوب باللون الأخضر.
يقول السطر الثالث من التعليمات على اليسار: «الخطوة 3. اجمع بين المصطلحات المتشابهة.» على الجانب الآخر من الخطوة 3 في العمود الأيمن يوجد التعبير الجبري مع المصطلحات المتشابهة معًا: 3x مربع باللون الأحمر، زائد 7x باللون الأزرق، زائد 12 باللون الأخضر.

التمارين الرياضية\PageIndex{38}

قم بالتبسيط:3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8.

إجابة

10x^{2}+16x+17

التمارين الرياضية\PageIndex{39}

قم بالتبسيط:4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5.

إجابة

12y^{2}+9y+7

اجمع بين المصطلحات المتشابهة.
  1. حدد المصطلحات المشابهة.
  2. أعد ترتيب التعبير بحيث تكون المصطلحات معًا.
  3. قم بإضافة المعاملات أو طرحها واحتفظ بنفس المتغير لكل مجموعة من المصطلحات المتشابهة.

ترجمة عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري

في القسم الأخير، قمنا بإدراج العديد من رموز العمليات المستخدمة في الجبر، ثم قمنا بترجمة التعبيرات والمعادلات إلى عبارات وجمل إنجليزية. الآن سنقوم بعكس العملية. سنترجم العبارات الإنجليزية إلى تعبيرات جبرية. ستساعدنا الرموز والمتغيرات التي تحدثنا عنها في القيام بذلك. \PageIndex{7}يلخص الجدول هذه العناصر.

عملية عبارة التعبير
إضافة aبالإضافةb
إلى مجموعab
a وزيادةb
b بأكثرa
من إجماليa وb
bأضيف إلىa
a+b
الطرح aناقصb
الفرقa والنقصb
a بمقدارb
b أقل مماa
b يُطرح منa
a−b
عملية الضرب aأضعافb
المنتجab
ومرتينa
a\cdot b, ab, a(b), (a)(b)
2a
توزيع aمقسومًاb
علىa حاصلb
b القسمةa والنسبة إلىb
a
a\div b, a/b, \frac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}
طاولة\PageIndex{7}

انظر عن كثب إلى هذه العبارات باستخدام العمليات الأربع:

يتم عرض أربع عبارات. يقرأ الأول «مجموع a و b»، حيث تتم كتابة الكلمتين «of» و «و» باللون الأحمر. يقرأ الثاني «الفرق بين a و b»، حيث تتم كتابة الكلمتين «of» و «and» باللون الأحمر. يقرأ الثالث «منتج a و b»، حيث تتم كتابة الكلمتين «of» و «and» باللون الأحمر. يقرأ الرابع «حاصل قسمة a و b»، حيث تتم كتابة الكلمتين «of» و «و» باللون الأحمر.
الشكل\PageIndex{5}

تخبرنا كل عبارة بالعمل على رقمين. ابحث عن كلمات و للعثور على الأرقام.

التمارين الرياضية\PageIndex{40}

ترجم كل عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. الفرق بين17x و5
  2. حاصل القسمة من10x^{2} الأرض7.
إجابة
  1. الكلمة الرئيسية هي الاختلاف، الذي يخبرنا أن العملية هي الطرح. ابحث عن كلمات and and t للعثور على الأرقام المراد طرحها.
    تتم كتابة عبارة «الفرق بين 17x و 5"، حيث تتم كتابة الكلمتين «of» و «و» باللون الأحمر، فوق عبارة «17 x ناقص 5". العبارة الأخيرة المكتوبة أدناه تقرأ «17 x، علامة الطرح، 5".
  2. الكلمة الرئيسية هي «حاصل القسمة»، والتي تخبرنا أن العملية هي القسمة.

تتم كتابة عبارة «حاصل القسمة 10x مربعًا و 7"، حيث تتم كتابة الكلمتين «of» و «و» باللون الأحمر، فوق عبارة «قسّم 10x مربعًا على 7". يقول التعبير المكتوب أدناه «10x squared، علامة القسمة، v7".

يمكن أيضًا كتابة هذا10x^{2}/7 أو\dfrac{10x^{2}}{7}.

التمارين الرياضية\PageIndex{41}

ترجم كل عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. الفرق بين14x^{2} و13
  2. حاصل القسمة من12x الأرض2.
إجابة
  1. 14x^{2} - 13
  2. 12x \div 2
التمارين الرياضية\PageIndex{42}

ترجم كل عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. مجموع17y^{2} و19
  2. منتج من7 وy.
إجابة
  1. 17y^{2} + 19
  2. 7y

كم سيكون عمرك في ثماني سنوات؟ ما هو العمر الذي يزيد بثماني سنوات عن عمرك الآن؟ هل أضفت 8 إلى عمرك الحالي؟ ثمانية «أكثر من» تعني إضافة 8 إلى عمرك الحالي. كم كان عمرك قبل سبع سنوات؟ هذا أقل بـ 7 سنوات من عمرك الآن. تقوم بطرح 7 من عمرك الحالي. سبعة «أقل من» تعني 7 مخصومًا من عمرك الحالي.

التمارين الرياضية\PageIndex{43}

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. أكثر من سبعة عشرy
  2. تسعة أقل من9x^{2}.
إجابة
  1. الكلمات الرئيسية هي أكثر من. يخبروننا أن العملية هي إضافة. أكثر من عبارة «تمت الإضافة إلى».

    \begin{array} { c } { \text { Seventeen more than } y } \\ { \text { Seventeen added to } y } \\ { y + 17 } \end{array}

  2. الكلمات الرئيسية أقل من. يقولون لنا أن نطرح. أقل من يعني «مخصوم من».

    \begin{array} { c } { \text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \\ { \text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \\ { 9 x ^ { 2 } - 9 } \end{array}

التمارين الرياضية\PageIndex{44}

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. أكثر من x بأحد عشر
  2. أقل بأربعة عشر من11a.
إجابة
  1. x+11
  2. 11a−14
التمارين الرياضية\PageIndex{45}

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. 13أكثر منz
  2. 18أقل من8x.
إجابة

1. z+13
2. 8x−18

التمارين الرياضية\PageIndex{46}

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. خمسة أضعاف مجموعm وn
  2. مجموع خمس مراتm وn.
إجابة

هناك كلمتان عمليتان - تخبرنا الأوقات بالضرب والمجموع يخبرنا بالجمع.
1. نظرًا لأننا5 نضرب في المجموع، نحتاج إلى أقواس حول مجموعm وn،(m+n). هذا يجبرنا على تحديد المبلغ أولاً. (تذكر ترتيب العمليات.)

\begin{array} { c } { \text { five times the sum of } m \text { and } n } \\ { 5 ( m + n ) } \end{array}

2. لأخذ المبلغ، نبحث عن الكلمتين «of» و «و» لمعرفة ما تتم إضافته. نحن هنا نأخذ مجموع خمس مراتm و\ (n\.)

\begin{array} { c } { \text { the sum of five times } m \text { and } n } \\ { 5 m + n } \end{array}

التمارين الرياضية\PageIndex{47}

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. أربعة أضعاف مجموعp وq
  2. مجموع أربع مراتp وq.
إجابة
  1. 4(p+q)
  2. 4p+q
التمارين الرياضية\PageIndex{48}

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

  1. الفرق بين مرتين x و8،
  2. ضعف الفرق بين x و8.
إجابة
  1. 2x−8
  2. 2(x−8)

في وقت لاحق من هذه الدورة، سنقوم بتطبيق مهاراتنا في الجبر لحل التطبيقات. ستكون الخطوة الأولى هي ترجمة عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري. سنرى كيفية القيام بذلك في المثالين التاليين.

التمارين الرياضية\PageIndex{49}

طول المستطيل6 أقل من العرض. دعوناw نمثل عرض المستطيل. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن طول المستطيل.

إجابة

\begin{array} { l l } { \text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 \text { less than the width } } \\ { \text { Substitute } w \text { for "the width." } } &{\text{6 less then w}} \\ { \text { Rewrite "less than" as "subtracted from." } } &{\text{6 subtracted from w}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{w - 6} \end{array}

التمارين الرياضية\PageIndex{50}

طول المستطيل7 أقل من العرض. دعوناw نمثل عرض المستطيل. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن طول المستطيل.

إجابة

w - 7

التمارين الرياضية\PageIndex{51}

عرض المستطيل6 أقل من الطول. دعوناl نمثل طول المستطيل. اكتب تعبيرًا لعرض المستطيل.

إجابة

l - 6

التمارين الرياضية\PageIndex{52}

يونيو لديها الدايمات والأرباع في حقيبتها. يقل عدد الدايمات بثلاثة أضعاف عن أربعة أضعاف عدد الأرباع. دعوناq نمثل عدد الأرباع. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن عدد الدايمات.

إجابة

\begin{array} { ll } { \text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{\text{three less than four times the number of quarters}} \\ { \text { Substitute } q \text { for the number of quarters. } } &{\text{3 less than 4 times q}} \\ { \text { Translate "4 times } q \text { ." } } &{\text{3 less than 4q}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{\text{4q - 3}} \end{array}

التمارين الرياضية\PageIndex{53}

جيفري لديه الدايمات والأرباع في جيبه. يقل عدد الدايمات بثمانية أضعاف عن أربعة أضعاف عدد الأرباع. دعوناq نمثل عدد الأرباع. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن عدد الدايمات.

إجابة

4q - 8

التمارين الرياضية\PageIndex{54}

لورين لديها الدايمات والنيكل في حقيبتها. يزيد عدد الدايمات بثلاثة أضعاف عن سبعة أضعاف عدد النيكل. دعوناn نمثل عدد النيكل. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن عدد الدايمات.

إجابة

7n + 3

المفاهيم الرئيسية

  • الترميز النتيجة هي...
    \begin{array} { l l } {\bullet \space a + b } &{ \text { the sum of } a \text { and } b } \\ { \bullet \space a - b } &{ \text { the difference of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ \text { the product of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \div b , a / b , \frac { a } { b } , b ) \overline{a} } &{ \text { the quotient of } a \text { and } b } \end{array}
  • عدم المساواة
    \begin{array} { l l } { \bullet \space a < b \text { is read "a is less than } b ^ { \prime \prime } } &{a \text { is to the left of } b \text { on the number line } } \\ { \bullet \space a > b \text { is read "a is greater than } b ^ { \prime \prime } } & { a \text { is to the right of } b \text { on the number line } } \end{array}
  • كلمات رموز عدم المساواة
    \begin{array} {ll} { \bullet a \neq b } &{ a \text { is not equal to } b } \\ { \bullet a < b } &{ a \text { is less than } b } \\ { \bullet a \leq b } &{ a \text { is less than or equal to } b } \\ { \bullet a > b } & { a \text { is greater than } b } \\ { \bullet a \geq b } & { a \text { is greater than or equal to } b } \end{array}
  • رموز التجميع
    • أقواس ()
    • أقواس []
    • تقويم الأسنان {}
  • الترميز الأسي
    • a^{n}يعني نتاجn عواملa. a^{n}يتم قراءة التعبيرa إلىn^{th} السلطة.
  • ترتيب العمليات: عند تبسيط التعبيرات الرياضية، قم بإجراء العمليات بالترتيب التالي:
    1. الأقواس ورموز التجميع الأخرى: قم بتبسيط جميع التعبيرات داخل الأقواس أو رموز التجميع الأخرى، مع العمل على الأقواس الداخلية أولاً.
    2. الأسس: قم بتبسيط جميع التعبيرات باستخدام الأسس.
    3. الضرب والقسمة: قم بإجراء جميع عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
    4. الجمع والطرح: قم بإجراء كل عمليات الجمع والطرح بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
  • اجمع بين مصطلحات الإعجاب
    1. حدد المصطلحات المشابهة.
    2. أعد ترتيب التعبير بحيث تكون المصطلحات معًا.
    3. قم بإضافة المعاملات أو طرحها واحتفظ بنفس المتغير لكل مجموعة من المصطلحات المتشابهة.

مسرد المصطلحات

معامل
معامل المصطلح هو الثابت الذي يضرب المتغير في المصطلح.
ثابت
الثابت هو الرقم الذي تظل قيمته دائمًا كما هي.
رمز المساواة
الرمز «=» يسمى علامة المساواة. نقرأa=b على النحو التالي «aيساوي»b.
معادلة
المعادلة عبارة عن تعبيرين متصلين بعلامة تساوي.
تقييم تعبير
تقييم التعبير يعني العثور على قيمة التعبير عندما يتم استبدال المتغير برقم معين.
تعبير
التعبير هو رقم أو متغير أو مزيج من الأرقام والمتغيرات باستخدام رموز التشغيل.
مثل المصطلحات
المصطلحات التي تكون إما ثوابت أو لها نفس المتغيرات المرفوعة إلى نفس القوى تسمى المصطلحات المتشابهة.
تبسيط التعبير
لتبسيط التعبير، قم بإجراء جميع العمليات في التعبير.
مصطلح
المصطلح هو ثابت أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر.
متغير
المتغير هو حرف يمثل رقمًا قد تتغير قيمته.