1.3: استخدم لغة الجبر

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• استخدم المتغيرات والرموز الجبرية
• قم بتبسيط التعبيرات باستخدام ترتيب العمليات
• تقييم تعبير
• تحديد المصطلحات المتشابهة ودمجها
• ترجمة عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري

استخدم المتغيرات والرموز الجبرية

لنفترض أن جريج هذا العام يبلغ من العمر$20$ عامًا وأليكس كذلك$23$. أنت تعلم أن أليكس أكبر من جريج$3$ بسنوات. عندما كان جريج$12$، كان أليكس$15$. عندما يكون جريج$35$، سيكون أليكس$38$. بغض النظر عن عمر جريج، سيكون عمر أليكس دائمًا أكثر من 3 سنوات، أليس كذلك؟ في لغة الجبر، نقول أن عمر جريج وعمر أليكس متغيران$3$ وثابت. تتغير الأعمار («تختلف») ولكن$3$ السنوات بينهما تظل دائمًا كما هي («ثابتة»). نظرًا لأن عمر جريج وعمر أليكس سيختلفان دائمًا حسب$3$ السنوات،$3$ فهو ثابت. في الجبر، نستخدم حروف الأبجدية لتمثيل المتغيرات. لذلك إذا اتصلنا بعمر جريج$g$، فيمكننا استخدامه$g + 3g + 3$ لتمثيل عمر أليكس. انظر الجدول$\PageIndex{1}$.

طاولة$\PageIndex{1}$

عمر جريج	عمر أليكس
$12$	$15$
$20$	$23$
$35$	$38$
$g$	$g+3$

تسمى الحروف المستخدمة لتمثيل هذه الأعمار المتغيرة المتغيرات. الحروف الأكثر استخدامًا للمتغيرات هي$x, y, a, b,$ و$c$.

تعريف: متغير

المتغير هو حرف يمثل رقمًا قد تتغير قيمته.

التعريف: ثابت

الثابت هو رقم تظل قيمته دائمًا كما هي.

للكتابة جبريًا، نحتاج إلى بعض رموز العمليات بالإضافة إلى الأرقام والمتغيرات. هناك عدة أنواع من الرموز التي سنستخدمها.

هناك أربع عمليات حسابية أساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة. سنقوم بإدراج الرموز المستخدمة للإشارة إلى هذه العمليات أدناه (الجدول$\PageIndex{2}$). ربما ستتعرف على بعضها. $\require{enclose}$

طاولة$\PageIndex{2}$

عملية	الترميز	قل:	النتيجة هي...
إضافة	$a+b$	$a$زائد$b$	مجموع$a$ و$b$
الطرح	$a−b$	$a$ناقص$b$	الفرق بين$a$ و$b$
عملية الضرب	$a·b,ab,(a)(b),(a)b,a(b)$	$a$مرات$b$	منتج من$a$ و$b$
توزيع	$a\div{b}, a/b,\dfrac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}$	$a$مقسومًا على$b$	حاصل$a$ القسمة$b$،$a$ ويسمى العائد،$b$ ويسمى المقسوم

نقوم بإجراء هذه العمليات على رقمين. عند الترجمة من الشكل الرمزي إلى اللغة الإنجليزية، أو من الإنجليزية إلى الشكل الرمزي، انتبه إلى الكلمتين «of» و «and».

• الفرق بين الطرح$9$$2$$9$ ومعناه$2$، وبعبارة أخرى،$9$ الطرح$2$، الذي نكتبه رمزيًا بالشكل$9−2$.
• يتضاعف $4$الناتج$4$$8$ والوسيلة$8$، وبعبارة أخرى$8$،$4$ الأوقات التي نكتبها رمزيًا كـ$4\cdot 8$.

في الجبر، لا يُستخدم الرمز المتقاطع لإظهار الضرب لأن هذا الرمز قد يسبب الارتباك.$\times$ هل$3xy$ يعني$3\times y$ («ثلاث مرات$y$») أو$3\cdot x \cdot y$ (ثلاث$x$ مرات$y$)؟ لتوضيح ذلك، استخدم الأقواس$\cdot$ أو الأقواس للضرب.

عندما تكون الكميتان لهما نفس القيمة، نقول أنهما متساويان ونربطهما بعلامة متساوية.

رمز المساواة

$a = b$يُقرأ «$a$يساوي$b$»

$“=”$يسمى الرمز علامة المساواة.

في خط الأعداد، تصبح الأرقام أكبر عندما تنتقل من اليسار إلى اليمين. يمكن استخدام خط الأرقام لشرح الرموز$“<”$ و$“>"$.

عدم المساواة

$a<b$يُقرأ «$a$أقل من$b$»

$a$$b$على يسار خط الأعداد

الشكل$\PageIndex{1}$

$a>b$تمت قراءة "$a$أكبر من$b$»

$a$على اليمين أو$b$ على خط الأعداد

الشكل$\PageIndex{2}$

$a > b$يمكن قراءة التعبيرات$a < b$ من اليسار إلى اليمين أو من اليمين إلى اليسار، على الرغم من أننا في اللغة الإنجليزية نقرأ عادة من اليسار إلى اليمين الجدول$\PageIndex{3}$. بشكل عام،$a < b$ يعادل$b > a$. على سبيل المثال$7 < 11$ يعادل$11 > 7$. $a > b$وهو ما يعادل$b < a$. على سبيل المثال$17 > 4$ يعادل$4 < 17$.

طاولة$\PageIndex{3}$

رموز عدم المساواة	كلمات
$a \neq b$	$a$لا يساوي$b$
$a < b$	$a$أقل من$b$
$a \leq b$	$a$أقل من أو يساوي$b$
$a > b$	$a$أكبر من$b$
$a \geq b$	$a$أكبر من أو لا يساوي$b$

التمارين$\PageIndex{1}$

ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:

1. $17 \leq 26$
2. $8 \neq 17 - 3$
3. $12 > 27 \div 3$
4. $y + 7 < 19$

إجابة

1. $17 \leq 26$،$17$ أقل من أو يساوي$26$
2. $8 \neq 17 - 3$، لا$8$ يساوي$17$ السالب$3$
3. $12 > 27 \div 3$،$12$ أكبر من$27$ القسمة على$3$
4. $y + 7 < 19$،$y$ زائد$7$ أقل من$19$

التمارين$\PageIndex{2}$

ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:

1. $14 \leq 27$
2. $19 - 2 \neq 8$
3. $12 > 4 \div 2$
4. $x - 7 < 1$

إجابة

1. $14$أقل من أو يساوي$27$
2. $19$$2$ناقص لا يساوي$8$
3. $12$أكبر من$4$ القسمة على$2$
4. $x$$7$ناقص أقل من$1$

التمارين$\PageIndex{3}$

ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:

1. $19 \leq 15$
2. $7 = 12 - 5$
3. $15 \div 3 < 8$
4. $y + 3 < 6$

إجابة

1. $19$أكبر من أو يساوي$15$
2. $7$يساوي$12$ السالب$5$
3. $15$القسمة$3$ على أقل من$8$
4. $y$زائد$3$ أكبر من$6$

رموز التجميع في الجبر تشبه إلى حد كبير الفواصل والنقطتين وعلامات الترقيم الأخرى في اللغة الإنجليزية. فهي تساعد على توضيح التعبيرات التي يجب الاحتفاظ بها معًا وفصلها عن التعبيرات الأخرى. سنقدم ثلاثة أنواع الآن.

رموز التجميع

$$\begin{align*} & \text{Parentheses} & & ( ) \\ & \text{Brackets} & & [ ] \\ & \text{Braces} & & \{ \} \end{align*}$$

فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات التي تتضمن رموز التجميع. سنقوم بتبسيط التعبيرات مثل هذه لاحقًا في هذا القسم.

$$8(14−8) \qquad 21−3[2 + 4(9−8)] \qquad 24\div \{ 13−2[1(6−5)+4] \nonumber\}$$

ما الفرق في اللغة الإنجليزية بين العبارة والجملة؟ تعبر العبارة عن فكرة واحدة غير مكتملة في حد ذاتها، لكن الجملة تقدم بيانًا كاملاً. «الجري بسرعة كبيرة» هي عبارة، لكن «لاعب كرة القدم كان يركض بسرعة كبيرة» هي جملة. تحتوي الجملة على موضوع وفعل. في الجبر، لدينا تعبيرات ومعادلات.

التعبير

التعبير هو رقم أو متغير أو مزيج من الأرقام والمتغيرات باستخدام رموز التشغيل.

التعبير يشبه العبارة الإنجليزية. فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات:

طاولة$\PageIndex{4}$

التعبير	كلمات	عبارة إنجليزية
$3 + 5$	$3$زائد$5$	مجموع ثلاثة وخمسة
$n − 1$	$n$ناقص واحد	الفرق$n$ بين الواحد
$6\cdot 7$	$6$مرات$7$	نتاج ستة وسبعة
$\dfrac{x}{y}$	$x$مقسومًا على$y$	حاصل القسمة من$x$ و$y$

لاحظ أن العبارات الإنجليزية لا تشكل جملة كاملة لأن العبارة لا تحتوي على فعل. المعادلة هي تعبيران مرتبطان بعلامة المساواة. عندما تقرأ الكلمات التي تمثلها الرموز في المعادلة، يكون لديك جملة كاملة باللغة الإنجليزية. تعطي علامة المساواة الفعل.

التعريف: المعادلة

المعادلة عبارة عن تعبيرين متصلين بعلامة تساوي.

فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات.

طاولة$\PageIndex{5}$

المعادلة	الجملة الإنجليزية
$3+5=8$	مجموع ثلاثة وخمسة يساوي ثمانية
$n−1=14$	$n$ناقص واحد يساوي أربعة عشر
$6 \cdot 7=42$	حاصل ضرب ستة وسبعة يساوي اثنين وأربعين
$x=53$	$x$يساوي ثلاثة وخمسون
$y+9=2y−3$	$y$زائد تسعة يساوي اثنين$y$ ناقص ثلاثة

التمارين$\PageIndex{4}$

حدد ما إذا كان كل منها تعبيرًا أم معادلة:

1. $2(x + 3) = 10$
2. $4(y - 1) + 1$
3. $x \div 25$
4. $y + 8 = 40$

إجابة

1. $2(x + 3) = 10$. هذه معادلة - هناك تعبيران مرتبطان بعلامة تساوي.
2. $4(y - 1) + 1$. هذا تعبير - لا توجد علامة مساواة.
3. $x \div 25$. هذا تعبير - لا توجد علامة مساواة.
4. $y + 8 = 40$. هذه معادلة - هناك تعبيران مرتبطان بعلامة تساوي.

التمارين$\PageIndex{5}$

حدد ما إذا كان كل منها تعبيرًا أم معادلة:

1. $3(x - 7) = 27$
2. $5(4y - 2) - 7$

إجابة

1. معادلة
2. التعبير

التمارين$\PageIndex{6}$

حدد ما إذا كان كل منها تعبيرًا أم معادلة:

1. $y^{3} \div 14$
2. $4x - 6 = 22$

إجابة

1. التعبير
2. معادلة

لنفترض أننا بحاجة إلى ضرب تسعة عوامل من$2$. يمكننا كتابة هذا كـ$2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. هذا أمر شاق وقد يكون من الصعب تتبع كل هذه الثواني، لذلك نستخدم الأسس. نكتب$2\cdot 2 \cdot 2$ كما$2^{3}$$2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ وباسم$2^{9}$. في تعبيرات مثل$2^{3}$،$2$ يُطلق على الحرف الأساس$3$ ويسمى الأس. يخبرنا الأس عن عدد المرات التي نحتاج فيها إلى ضرب القاعدة.

الشكل$\PageIndex{3}$

نقرأ على$2^{3}$ النحو التالي «اثنان للقوة الثالثة» أو «مكعبان».

نقول$2^{3}$ هو بالرمز الأسي$2\cdot 2 \cdot 2$ وهو في تدوين موسع.

الترميز الأسي

$a^{n}$يعني نتاج$n$ عوامل$a$.

الشكل$\PageIndex{4}$

$a^{n}$يتم قراءة التعبير$a$ إلى$n^{th}$ السلطة.

$a^{n}$بينما نقرأ عبارة «$a$إلى$n^{th}$ القوة»، عادة ما نقرأ:

• $a^{2}$«مربع»
• $a^{3}$«مكعب»

سنرى لاحقًا لماذا$a^{2}$$a^{3}$ ولدينا أسماء خاصة.

$\PageIndex{6}$يوضح الجدول كيف نقرأ بعض التعبيرات ذات الأسس.

طاولة$\PageIndex{6}$

التعبير	في الكلمات
$7^{2}$	$7$إلى القوة الثانية أو$7$ المربعة
$5^{3}$	$5$إلى القوة الثالثة أو$5$ المكعبة
$9^{4}$	$9$إلى القوة الرابعة
$12^{5}$	$12$إلى القوة الخامسة

التمارين$\PageIndex{7}$

قم بالتبسيط:$3^{4}$

إجابة

$$\quad 3^{4}\nonumber$$
\ [\ ابدأ {align*} وقم بتوسيع التعبير & & 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ [5pt]\ [5pt]
و\ text {اضرب من اليسار إلى اليمين} & & & 9\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\

النص {اضرب} & & 81\ end {align*}\]

التمارين$\PageIndex{8}$

قم بالتبسيط:

1. $5^{3}$
2. $1^{7}$

إجابة

1. $125$
2. $1$

التمارين$\PageIndex{9}$

1. $7^{2}$
2. $0^{5}$

إجابة

1. $49$
2. $0$

تبسيط التعبيرات باستخدام ترتيب العمليات

إن تبسيط التعبير يعني القيام بكل العمليات الحسابية الممكنة. على سبيل المثال، للتبسيط،$4\cdot 2 + 1$ سنضرب أولاً$4\cdot 2$ للحصول على$8$ الرقم ثم نضيفه$1$ للحصول عليه$9$. من العادات الجيدة التي يجب تطويرها العمل على الصفحة وكتابة كل خطوة من العملية أسفل الخطوة السابقة. سيبدو المثال الموصوف للتو كما يلي:

$$4\cdot 2 + 1\nonumber$$

$$8 + 1\nonumber$$

$$9\nonumber$$

من خلال عدم استخدام علامة المساواة عند تبسيط التعبير، يمكنك تجنب الخلط بين التعبيرات والمعادلات.

تبسيط تعبير

لتبسيط التعبير، قم بإجراء جميع العمليات في التعبير.

لقد قدمنا معظم الرموز والرموز المستخدمة في الجبر، ولكننا الآن بحاجة إلى توضيح ترتيب العمليات. وإلا، قد يكون للتعبيرات معاني مختلفة، وقد تؤدي إلى قيم مختلفة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التعبير:

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

إذا قمت بتبسيط هذا التعبير، فما الذي ستحصل عليه؟

يقول بعض الطلاب$49$،

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

منذ$4+3$ يعطي$7$.

$$7 \cdot 7\nonumber$$

$7\cdot 7$وهو$49$ $$49\nonumber$$

يقول آخرون$25$،

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

منذ$3\cdot 7$ ذلك الحين$21$.

$$4 + 21\nonumber$$

$21 + 4$ويجعل$25$.

$$25\nonumber$$

تخيل الارتباك في نظامنا المصرفي إذا كانت لكل مشكلة عدة إجابات صحيحة مختلفة!

يجب أن يعطي نفس التعبير نفس النتيجة. لذلك وضع علماء الرياضيات في وقت مبكر بعض الإرشادات التي تسمى ترتيب العمليات.

نفذ ترتيب العمليات.

1. الأقواس ورموز التجميع الأخرى
   • قم بتبسيط جميع التعبيرات داخل الأقواس أو رموز التجميع الأخرى، مع العمل على الأقواس الداخلية أولاً.
2. أسس
   • قم بتبسيط جميع التعبيرات باستخدام الأسس.
3. الضرب والقسمة
   • قم بإجراء جميع عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
4. الجمع والطرح
   • قم بإجراء جميع عمليات الجمع والطرح بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.

ملاحظة

سيمنحك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «Game of 24" التدريب على استخدام ترتيب العمليات.

غالبًا ما يسأل الطلاب، «كيف سأتذكر الطلب؟» إليك طريقة لمساعدتك على التذكر: خذ الحرف الأول من كل كلمة رئيسية واستبدل العبارة السخيفة: «يرجى المعذرة عمتي العزيزة سالي».

\ [\ ابدأ {المحاذاة}\\ textbf {P}\ النص {الأقواس} &\ textbf {P}\ النص {التأجير}\\ [5pt]
\\ textbf {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ النص {E}\ textbf {E}\ textbf {E}\ textbf {E}\ textbf textbf {D}\ النص {ivision} &\ textbf {M}\ النص {y}\ الفضاء\ textbf {D}\ النص
{عام}\\ [5pt]
&\ textbf {A}\ textbf {A}\ textbf {S}\ textbf {A}\ textbf {A}\ textbf {S}\ textbf {S}\ text {ALLY}\ End {A}\ textbf {A}\\ textbf

من الجيد أن تتوافق$\textbf{M}\text{y}\space\textbf{D}\text{ear}$ كلمة «» معًا، لأن هذا يذكرنا بأن الضرب وتقسيم الإعلانات الخاص بي لهما أولوية متساوية. لا نقوم دائمًا بالضرب قبل القسمة أو نقوم دائمًا بالقسمة قبل الضرب. نقوم بها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

وبالمثل، فإن «$\textbf{A}\text{unt}\space\textbf{S}\text{ally}$» تتوافق معًا وتذكرنا بأن الإصدار والطرح لهما أيضًا أولوية متساوية ونقوم بهما بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

دعونا نجرب مثالاً.

التمارين$\PageIndex{10}$

قم بالتبسيط:

1. $4 + 3\cdot 7$
2. $(4 + 3)\cdot 7$

إجابة

1.

	$4 + 3 \cdot 7$
هل هناك أي أقواس p؟ لا.
هل هناك أي مكونات إلكترونية؟ لا.
هل هناك أي ضرب أو قسم الإعلانات الخاص بي؟ نعم.
اضرب أولاً.	$4 + {\color{red}{3 \cdot 7}}$
أضف.	$4+21$
	$25$

2.

	$(4 + 3)\cdot 7$
هل هناك أي أقواس p؟ نعم.	${\color{red}{(4 + 3)}}\cdot 7$
قم بالتبسيط داخل الأقواس.	$({\color{red}{7}})7$
هل هناك أي مكونات إلكترونية؟ لا.
هل هناك أي ضرب أو قسم الإعلانات الخاص بي؟ نعم.
اضرب.	$49$

التمارين$\PageIndex{11}$

قم بالتبسيط:

1. $12 - 5\cdot 2$
2. $(12 - 5)\cdot 2$

إجابة

1. $2$
2. $14$

التمارين$\PageIndex{12}$

قم بالتبسيط:

1. $8 + 3\cdot 9$
2. $(8 + 3)\cdot 9$

إجابة

1. $35$
2. $99$

التمارين$\PageIndex{13}$

قم بالتبسيط:$18\div 6 + 4(5 - 2)$

إجابة

أقواس؟ نعم، اطرح أولاً.	$18\div 6 + 4(5 - 2)$ $18\div 6 + 4(3)$
أسس؟ لا.
الضرب أو القسمة؟ نعم.	${\color{red}{18\div 6}} + {\color{red}{4(3)}}$
قسّم أولاً لأننا نضرب ونقسم من اليسار إلى اليمين.	$3+{\color{red}{4(3)}}$
أي ضرب أو تقسيم آخر؟ نعم.
اضرب.	$3 + 12$
أي ضرب أو تقسيم آخر؟ لا.
أي إضافة أو طرح؟ نعم.	$15$

التمارين$\PageIndex{14}$

قم بالتبسيط:$30\div 5 + 10(3 - 2)$

إجابة

$16$

التمارين$\PageIndex{15}$

قم بالتبسيط:$70\div 10 + 4(6 - 2)$

إجابة

$23$

عندما تكون هناك رموز تجميع متعددة، نقوم بتبسيط الأقواس الداخلية أولاً ونعمل للخارج.

التمارين$\PageIndex{16}$

قم بالتبسيط:$5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]$.

إجابة

	$5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]$
هل هناك أي أقواس (أو رمز تجميع آخر)؟ نعم.
ركز على الأقواس الموجودة داخل الأقواس.	$5 + 2^{3} + 3[6 - 3{\color{red}{(4 - 2)}}]$
اطرح.	$5 + 2^{3} + 3[6 - {\color{red}{3(2)}}]$
استمر داخل الأقواس واضرب.	$5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{6 - 6}}]$
استمر داخل الأقواس واسحب.	$5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{0}}]$
لا يتطلب التعبير الموجود داخل الأقواس مزيدًا من التبسيط.
هل هناك أي أسس؟ نعم.	$5 + {\color{red}{2^{3}}}+ 3[0]$
قم بتبسيط الأسس.	$5 + 8 + {\color{red}{3[0]}}$
هل هناك أي ضرب أو قسمة؟ نعم.
اضرب.	${\color{red}{5 + 8}}+0$
هل هناك أي إضافة أو طرح؟ نعم.
أضف.	${\color{red}{13 + 0}}$
أضف.	$13$

التمارين$\PageIndex{17}$

قم بالتبسيط:$9 + 5^{3} - [4(9 + 3)]$.

إجابة

$86$

التمارين$\PageIndex{18}$

قم بالتبسيط:$7^{2} - 2[4(5 + 1)]$.

إجابة

$1$

تقييم تعبير

في الأمثلة القليلة الأخيرة، قمنا بتبسيط التعبيرات باستخدام ترتيب العمليات. سنقوم الآن بتقييم بعض التعبيرات - مرة أخرى باتباع ترتيب العمليات. تقييم التعبير يعني العثور على قيمة التعبير عندما يتم استبدال المتغير برقم معين.

تقييم تعبير

تقييم التعبير يعني العثور على قيمة التعبير عندما يتم استبدال المتغير برقم معين.

لتقييم تعبير، استبدل هذا الرقم بالمتغير في التعبير ثم قم بتبسيط التعبير.

التمارين$\PageIndex{19}$

قم بالتقييم$7x - 4$، متى

1. $x = 5$
2. $x = 1$

إجابة

1.

عندما$x = {\color{red}{5}}$	$7x - 4$
	$7({\color{red}{5}}) - 4$
اضرب.	$35 - 4$
اطرح.	$31$

2.

عندما$x = {\color{red}{1}}$	$7x - 4$
	$7({\color{red}{1}}) - 4$
اضرب.	$7 - 4$
اطرح.	$3$

التمارين$\PageIndex{20}$

قم بالتقييم$8x - 3$، متى

1. $x = 2$
2. $x = 1$

إجابة

1. $13$
2. $5$

التمارين$\PageIndex{21}$

قم بالتقييم$4y - 4$، متى

1. $y = 3$
2. $y = 5$

إجابة

1. $8$
2. $16$

التمارين$\PageIndex{22}$

قم بالتقييم$x = 4$، متى

1. $x^{2}$
2. $3^{x}$

إجابة

1.

	$x^{2}$
استبدل$x$ بـ${\color{red}{4}}$.	$({\color{red}{4}})^{2}$
استخدم تعريف الأس.	$4\cdot 4$
قم بالتبسيط.	$16$

2.

	$3^{x}$
استبدل$x$ بـ${\color{red}{4}}$.	\(3^ ParseError: invalid DekiScript (click for details) Callstack: at (اللغة_العربية/كتاب:_الجبر_الابتدائي_(OpenStax)/01:/1.03:_استخدم_لغة_الجبر), /content/body/div[4]/div[5]/div/dl/dd/table[2]/tbody/tr[2]/td[2]/span/span, line 1, column 1 \)
استخدم تعريف الأس.	$3\cdot3\cdot3\cdot3$
قم بالتبسيط.	$81$

التمارين$\PageIndex{23}$

قم بالتقييم$x = 3$، متى

1. $x^{2}$
2. $4^{x}$

إجابة

1. $9$
2. $64$

التمارين$\PageIndex{24}$

قم بالتقييم$x = 6$، متى

1. $x^{3}$
2. $2^{x}$

إجابة

1. $216$
2. $64$

التمارين الرياضية$\PageIndex{25}$

قم بتقييم$2x^{2} + 3x + 8$ متى$x = 4$.

إجابة

	$2x^{2} + 3x + 8$
بديل$x = {\color{red}{4}}$.	$\small{2x^{2} + 3x + 8}$ $2({\color{red}{4}})^{2} + 3({\color{red}{4}}) + 8$
اتبع ترتيب العمليات.	$2(16)+3(4)+8$
	$32+12+8$
	$52$

التمارين الرياضية$\PageIndex{26}$

قم بتقييم$3x^{2} + 4x + 1$ متى$x = 3$.

إجابة

$40$

التمارين الرياضية$\PageIndex{27}$

قم بتقييم$6x^{2} - 4x - 7$ متى$x = 2$.

إجابة

$9$

تحديد المصطلحات المتشابهة ودمجها

تتكون التعبيرات الجبرية من مصطلحات. المصطلح هو ثابت، أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر.

مصطلح

المصطلح هو ثابت، أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر.

أمثلة المصطلحات هي$7, y, 5x^{2}, 9a$، و$b^{5}$.

يسمى الثابت الذي يضرب المتغير المعامل.

المعامل

معامل المصطلح هو الثابت الذي يضرب المتغير في المصطلح.

فكر في المعامل كرقم أمام المتغير. معامل المصطلح$3x$ هو$3$. عندما نكتب$x$، يكون المعامل هو$1$، منذ ذلك الحين$x=1\cdot x$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{28}$

حدد معامل كل مصطلح:

1. $14y$
2. $15x^{2}$
3. $a$

إجابة

1. معامل$14y$ هو$14$
2. معامل$15x^{2}$ هو$15$
3. معامل$a$ هو$1$ منذ ذلك الحين$a=1a$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{29}$

حدد معامل كل مصطلح:

1. $17x$
2. $41b^{2}$
3. $z$

إجابة

1. $14$
2. $41$
3. $1$

التمارين الرياضية$\PageIndex{30}$

حدد معامل كل مصطلح:

1. $9p$
2. $13a^{2}$
3. $y^{3}$

إجابة

1. $9$
2. $13$
3. $1$

تشترك بعض المصطلحات في سمات مشتركة. انظر إلى المصطلحات الستة التالية. أي منها يبدو أن لديها سمات مشتركة؟

$$5x \qquad 7 \qquad n^{2} \qquad 4 \qquad 3x \qquad 9n^{2}\nonumber$$

كلاهما$4$ مصطلحات ثابتة.$7$

$3x$كلاهما مصطلحان مع$x$.$5x$

$9n^{2}$كلاهما مصطلحان مع$n^{2}$.$n^{2}$

عندما يكون المصطلحان ثوابت أو لهما نفس المتغير والأس، فإننا نقول أنهما يشبهان المصطلحات.

• $7$$4$وهي مثل المصطلحات.
• $5x$$3x$وهي مثل المصطلحات.
• $x^{2}$$9x^{2}$وهي مثل المصطلحات.

شروط الإعجاب

المصطلحات التي تكون إما ثوابت أو لها نفس المتغيرات المرفوعة إلى نفس القوى تسمى المصطلحات المتشابهة.

التمارين الرياضية$\PageIndex{31}$

حدد المصطلحات المشابهة:$y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}$.

إجابة

$y^{3}$$4y^{3}$وتشبه المصطلحات لأن كلاهما$y^{3}$ يتطابقان مع المتغير والأس.

$7x^{2}$$5x^{2}$وتشبه المصطلحات لأن كلاهما$x^{2}$ يتطابقان مع المتغير والأس.

$14$$23$وتشبه المصطلحات لأن كلاهما ثوابت.

لا يوجد مصطلح آخر مثل$9x$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{32}$

حدد المصطلحات المشابهة:$9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}$.

إجابة

$9$و$15$،$y^{2}$ و$11y^{2}$،$2x^{3}$ و$8x^{3}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{33}$

حدد المصطلحات المشابهة:$4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}$.

إجابة

$19$و$24$،$8x^{2}$ و$3x^{2}$،$4x^{3}$ و$6x^{3}$

تشكل إضافة المصطلحات أو طرحها تعبيرًا. في التعبير$2x^{2} + 3x + 8$، من المثال، المصطلحات الثلاثة هي$2x^{2}$، و$3x$، و$8$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{34}$

حدد المصطلحات في كل تعبير.

1. $9x^{2}+7x+12$
2. $8x+3y$

إجابة

1. شروط$9x^{2}+7x+12$ هي$9x^{2}, 7x$، و$12$.
2. شروط$8x+3y$ هي$8x$ و$3y$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{35}$

حدد المصطلحات في التعبير$4x^{2}+5x+17$.

إجابة

$4x^{2}, 5x, 17$

التمارين الرياضية$\PageIndex{36}$

حدد المصطلحات في التعبير$5x+2y$.

إجابة

$5x, 2y$

إذا كانت هناك مصطلحات متشابهة في التعبير، يمكنك تبسيط التعبير من خلال دمج المصطلحات المتشابهة. ما الذي تعتقد أنه$4x+7x+x$ سيتم تبسيطه؟ إذا فكرت$12x$، فستكون على حق!

$$\begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \\ { x + x + x + x \quad + x + x + x + x + x + x + x \quad+ x } \\ { 12 x } \end{array}$$

أضف المعاملات واحتفظ بنفس المتغير. لا يهم ما هو x - إذا كان لديك 4 من شيء ما وأضفت 7 آخرين من نفس الشيء ثم أضفت 1 آخر، فستكون النتيجة 12 منها. على سبيل المثال، 4 حبات برتقال بالإضافة إلى 7 برتقالة واحدة هي 12 برتقالة. سنناقش الخصائص الرياضية وراء ذلك لاحقًا.

قم بالتبسيط:$4x+7x+x$

أضف المعاملات. $12x$

التمارين الرياضية$\PageIndex{37}$: How To Combine Like Terms

قم بالتبسيط:$2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5$

إجابة

التمارين الرياضية$\PageIndex{38}$

قم بالتبسيط:$3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8$.

إجابة

$10x^{2}+16x+17$

التمارين الرياضية$\PageIndex{39}$

قم بالتبسيط:$4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5$.

إجابة

$12y^{2}+9y+7$

اجمع بين المصطلحات المتشابهة.

1. حدد المصطلحات المشابهة.
2. أعد ترتيب التعبير بحيث تكون المصطلحات معًا.
3. قم بإضافة المعاملات أو طرحها واحتفظ بنفس المتغير لكل مجموعة من المصطلحات المتشابهة.

ترجمة عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري

في القسم الأخير، قمنا بإدراج العديد من رموز العمليات المستخدمة في الجبر، ثم قمنا بترجمة التعبيرات والمعادلات إلى عبارات وجمل إنجليزية. الآن سنقوم بعكس العملية. سنترجم العبارات الإنجليزية إلى تعبيرات جبرية. ستساعدنا الرموز والمتغيرات التي تحدثنا عنها في القيام بذلك. $\PageIndex{7}$يلخص الجدول هذه العناصر.

طاولة$\PageIndex{7}$

عملية	عبارة	التعبير
إضافة	$a$بالإضافة$b$ إلى مجموع$a$$b$ $a$ وزيادة$b$ $b$ بأكثر$a$ من إجمالي$a$ و$b$ $b$أضيف إلى$a$	$$a+b$$
الطرح	$a$ناقص$b$ الفرق$a$ والنقص$b$ $a$ بمقدار$b$ $b$ أقل مما$a$ $b$ يُطرح من$a$	$$a−b$$
عملية الضرب	$a$أضعاف$b$ المنتج$a$$b$ ومرتين$a$	$$a\cdot b, ab, a(b), (a)(b)$$ $$2a$$
توزيع	$a$مقسومًا$b$ على$a$ حاصل$b$ $b$ القسمة$a$ والنسبة إلى$b$ $a$	$$a\div b, a/b, \frac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}$$

انظر عن كثب إلى هذه العبارات باستخدام العمليات الأربع:

الشكل$\PageIndex{5}$

تخبرنا كل عبارة بالعمل على رقمين. ابحث عن كلمات و للعثور على الأرقام.

التمارين الرياضية$\PageIndex{40}$

ترجم كل عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري:

1. الفرق بين$17x$ و$5$
2. حاصل القسمة من$10x^{2}$ الأرض$7$.

إجابة

1. الكلمة الرئيسية هي الاختلاف، الذي يخبرنا أن العملية هي الطرح. ابحث عن كلمات and and t للعثور على الأرقام المراد طرحها.
   
2. الكلمة الرئيسية هي «حاصل القسمة»، والتي تخبرنا أن العملية هي القسمة.

يمكن أيضًا كتابة هذا$10x^{2}/7$ أو$\dfrac{10x^{2}}{7}$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{41}$

ترجم كل عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري:

1. الفرق بين$14x^{2}$ و$13$
2. حاصل القسمة من$12x$ الأرض$2$.

إجابة

1. $14x^{2} - 13$
2. $12x \div 2$

التمارين الرياضية$\PageIndex{42}$

ترجم كل عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري:

1. مجموع$17y^{2}$ و$19$
2. منتج من$7$ و$y$.

إجابة

1. $17y^{2} + 19$
2. $7y$

كم سيكون عمرك في ثماني سنوات؟ ما هو العمر الذي يزيد بثماني سنوات عن عمرك الآن؟ هل أضفت 8 إلى عمرك الحالي؟ ثمانية «أكثر من» تعني إضافة 8 إلى عمرك الحالي. كم كان عمرك قبل سبع سنوات؟ هذا أقل بـ 7 سنوات من عمرك الآن. تقوم بطرح 7 من عمرك الحالي. سبعة «أقل من» تعني 7 مخصومًا من عمرك الحالي.

التمارين الرياضية$\PageIndex{43}$

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

1. أكثر من سبعة عشر$y$
2. تسعة أقل من$9x^{2}$.

إجابة

1. الكلمات الرئيسية هي أكثر من. يخبروننا أن العملية هي إضافة. أكثر من عبارة «تمت الإضافة إلى».

   $\begin{array} { c } { \text { Seventeen more than } y } \\ { \text { Seventeen added to } y } \\ { y + 17 } \end{array}$

2. الكلمات الرئيسية أقل من. يقولون لنا أن نطرح. أقل من يعني «مخصوم من».

   $\begin{array} { c } { \text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \\ { \text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \\ { 9 x ^ { 2 } - 9 } \end{array}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{44}$

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

1. أكثر من x بأحد عشر
2. أقل بأربعة عشر من$11a$.

إجابة

1. $x+11$
2. $11a−14$

التمارين الرياضية$\PageIndex{45}$

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

1. $13$أكثر من$z$
2. $18$أقل من$8x$.

إجابة

1. $z+13$
2. $8x−18$

التمارين الرياضية$\PageIndex{46}$

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

1. خمسة أضعاف مجموع$m$ و$n$
2. مجموع خمس مرات$m$ و$n$.

إجابة

هناك كلمتان عمليتان - تخبرنا الأوقات بالضرب والمجموع يخبرنا بالجمع.
1. نظرًا لأننا$5$ نضرب في المجموع، نحتاج إلى أقواس حول مجموع$m$ و$n$،$(m+n)$. هذا يجبرنا على تحديد المبلغ أولاً. (تذكر ترتيب العمليات.)

$$\begin{array} { c } { \text { five times the sum of } m \text { and } n } \\ { 5 ( m + n ) } \end{array}$$

2. لأخذ المبلغ، نبحث عن الكلمتين «of» و «و» لمعرفة ما تتم إضافته. نحن هنا نأخذ مجموع خمس مرات$m$ و\ (n\.)

$$\begin{array} { c } { \text { the sum of five times } m \text { and } n } \\ { 5 m + n } \end{array}$$

التمارين الرياضية$\PageIndex{47}$

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

1. أربعة أضعاف مجموع$p$ و$q$
2. مجموع أربع مرات$p$ و$q$.

إجابة

1. $4(p+q)$
2. $4p+q$

التمارين الرياضية$\PageIndex{48}$

ترجم العبارة الإنجليزية إلى تعبير جبري:

1. الفرق بين مرتين x و$8$،
2. ضعف الفرق بين x و$8$.

إجابة

1. $2x−8$
2. $2(x−8)$

في وقت لاحق من هذه الدورة، سنقوم بتطبيق مهاراتنا في الجبر لحل التطبيقات. ستكون الخطوة الأولى هي ترجمة عبارة إنجليزية إلى تعبير جبري. سنرى كيفية القيام بذلك في المثالين التاليين.

التمارين الرياضية$\PageIndex{49}$

طول المستطيل$6$ أقل من العرض. دعونا$w$ نمثل عرض المستطيل. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن طول المستطيل.

إجابة

$$\begin{array} { l l } { \text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 \text { less than the width } } \\ { \text { Substitute } w \text { for "the width." } } &{\text{6 less then w}} \\ { \text { Rewrite "less than" as "subtracted from." } } &{\text{6 subtracted from w}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{w - 6} \end{array}$$

التمارين الرياضية$\PageIndex{50}$

طول المستطيل$7$ أقل من العرض. دعونا$w$ نمثل عرض المستطيل. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن طول المستطيل.

إجابة

$w - 7$

التمارين الرياضية$\PageIndex{51}$

عرض المستطيل$6$ أقل من الطول. دعونا$l$ نمثل طول المستطيل. اكتب تعبيرًا لعرض المستطيل.

إجابة

$l - 6$

التمارين الرياضية$\PageIndex{52}$

يونيو لديها الدايمات والأرباع في حقيبتها. يقل عدد الدايمات بثلاثة أضعاف عن أربعة أضعاف عدد الأرباع. دعونا$q$ نمثل عدد الأرباع. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن عدد الدايمات.

إجابة

$$\begin{array} { ll } { \text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{\text{three less than four times the number of quarters}} \\ { \text { Substitute } q \text { for the number of quarters. } } &{\text{3 less than 4 times q}} \\ { \text { Translate "4 times } q \text { ." } } &{\text{3 less than 4q}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{\text{4q - 3}} \end{array}$$

التمارين الرياضية$\PageIndex{53}$

جيفري لديه الدايمات والأرباع في جيبه. يقل عدد الدايمات بثمانية أضعاف عن أربعة أضعاف عدد الأرباع. دعونا$q$ نمثل عدد الأرباع. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن عدد الدايمات.

إجابة

$4q - 8$

التمارين الرياضية$\PageIndex{54}$

لورين لديها الدايمات والنيكل في حقيبتها. يزيد عدد الدايمات بثلاثة أضعاف عن سبعة أضعاف عدد النيكل. دعونا$n$ نمثل عدد النيكل. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن عدد الدايمات.

إجابة

$7n + 3$

المفاهيم الرئيسية

• الترميز النتيجة هي...
  $\begin{array} { l l } {\bullet \space a + b } &{ \text { the sum of } a \text { and } b } \\ { \bullet \space a - b } &{ \text { the difference of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ \text { the product of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \div b , a / b , \frac { a } { b } , b ) \overline{a} } &{ \text { the quotient of } a \text { and } b } \end{array}$
• عدم المساواة
  $\begin{array} { l l } { \bullet \space a < b \text { is read "a is less than } b ^ { \prime \prime } } &{a \text { is to the left of } b \text { on the number line } } \\ { \bullet \space a > b \text { is read "a is greater than } b ^ { \prime \prime } } & { a \text { is to the right of } b \text { on the number line } } \end{array}$
• كلمات رموز عدم المساواة
  $\begin{array} {ll} { \bullet a \neq b } &{ a \text { is not equal to } b } \\ { \bullet a < b } &{ a \text { is less than } b } \\ { \bullet a \leq b } &{ a \text { is less than or equal to } b } \\ { \bullet a > b } & { a \text { is greater than } b } \\ { \bullet a \geq b } & { a \text { is greater than or equal to } b } \end{array}$
• رموز التجميع
  • أقواس ()
  • أقواس []
  • تقويم الأسنان {}
• الترميز الأسي
  • $a^{n}$يعني نتاج$n$ عوامل$a$. $a^{n}$يتم قراءة التعبير$a$ إلى$n^{th}$ السلطة.
• ترتيب العمليات: عند تبسيط التعبيرات الرياضية، قم بإجراء العمليات بالترتيب التالي:
  1. الأقواس ورموز التجميع الأخرى: قم بتبسيط جميع التعبيرات داخل الأقواس أو رموز التجميع الأخرى، مع العمل على الأقواس الداخلية أولاً.
  2. الأسس: قم بتبسيط جميع التعبيرات باستخدام الأسس.
  3. الضرب والقسمة: قم بإجراء جميع عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
  4. الجمع والطرح: قم بإجراء كل عمليات الجمع والطرح بالترتيب من اليسار إلى اليمين. هذه العمليات لها أولوية متساوية.
• اجمع بين مصطلحات الإعجاب
  1. حدد المصطلحات المشابهة.
  2. أعد ترتيب التعبير بحيث تكون المصطلحات معًا.
  3. قم بإضافة المعاملات أو طرحها واحتفظ بنفس المتغير لكل مجموعة من المصطلحات المتشابهة.

مسرد المصطلحات

معامل

معامل المصطلح هو الثابت الذي يضرب المتغير في المصطلح.

ثابت

الثابت هو الرقم الذي تظل قيمته دائمًا كما هي.

رمز المساواة

الرمز «$=$» يسمى علامة المساواة. نقرأ$a=b$ على النحو التالي «$a$يساوي»$b$.

معادلة

المعادلة عبارة عن تعبيرين متصلين بعلامة تساوي.

تقييم تعبير

تقييم التعبير يعني العثور على قيمة التعبير عندما يتم استبدال المتغير برقم معين.

تعبير

التعبير هو رقم أو متغير أو مزيج من الأرقام والمتغيرات باستخدام رموز التشغيل.

مثل المصطلحات

المصطلحات التي تكون إما ثوابت أو لها نفس المتغيرات المرفوعة إلى نفس القوى تسمى المصطلحات المتشابهة.

تبسيط التعبير

لتبسيط التعبير، قم بإجراء جميع العمليات في التعبير.

مصطلح

المصطلح هو ثابت أو نتاج ثابت ومتغير واحد أو أكثر.

متغير

المتغير هو حرف يمثل رقمًا قد تتغير قيمته.