5.3: خصائص الأسس والرموز العلمية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• قم بتبسيط التعبيرات باستخدام خصائص الأسس
• استخدم تعريف الأس السالب
• استخدم الترميز العلمي

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. قم بالتبسيط:\((−2)(−2)(−2)\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
2. قم بالتبسيط:\(\dfrac{8x}{24y}\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
3. قم بتسمية الرقم العشري\((−2.6)(4.21)\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

قم بتبسيط التعبيرات باستخدام خصائص الأسس

تذكر أن الأس يشير إلى الضرب المتكرر لنفس الكمية. على سبيل المثال\(a^m\)، في التعبير، \(m\)يخبرنا الأس بعدد المرات التي نستخدم فيها القاعدة\(a\) كعامل.

\[a^{m}= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\color{cyan}{\text{m factors}}} \nonumber\]

على سبيل المثال

\[(-9)^{5}= \underbrace{ (-9)\cdot (-9)\cdot (-9)\cdot (-9) \cdot (-9)}_{\color{cyan}{\text{5 factors}}} \nonumber\]

دعونا نراجع مفردات التعبيرات ذات الأسس.

تعريف: الترميز الأسي

يتم قراءة\(a\) هذا\(m^{th}\) للسلطة.

في التعبير\(a^m\)،\(m\) يخبرنا الأس بعدد المرات التي نستخدم فيها القاعدة\(a\) كعامل.

عندما نجمع المصطلحات المتشابهة عن طريق الجمع والطرح، نحتاج إلى نفس القاعدة بنفس الأس. ولكن عندما تقوم بالضرب والقسمة، قد تكون الأسس مختلفة، وأحيانًا قد تكون القواعد مختلفة أيضًا.

أولاً، سننظر إلى مثال يؤدي إلى خاصية المنتج.

		\(x^{2} \cdot x^{3}\)
ماذا يعني هذا؟		\(\underbrace{x \cdot x}_{2 factors} \color{cyan}{\cdot} \underbrace{\color{black}{} x\cdot x \cdot x}_{3 factors}\)
		\(x^{5}\)

لاحظ أن 5 هو مجموع الأسس، 2 و3. نرى\(x_2 \cdot x_3\) هو\(x^{2+3}\) أو\(x^5\).

بقيت القاعدة كما هي وأضفنا الأسس. يؤدي هذا إلى خاصية المنتج الخاصة بالأسس.

التعريف: خاصية المنتج للأسس

إذا كان a رقمًا حقيقيًا\(m\) وكان عددًا\(n\) صحيحًا، فعندئذٍ

\[a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber\]

للضرب باستخدام القواعد المتشابهة، قم بإضافة الأسس.

مثال\(\PageIndex{1}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

1. \(y^5·y^6\)
2. \(2^x·2^{3x}\)
3. \(2a^7·3a\).

إجابة

ⓐ

استخدم خاصية المنتج،\(a^m·a^n=a^{m+n}\).
قم بالتبسيط.

ⓑ

استخدم خاصية المنتج،\(a^m·a^n=a^{m+n}\).
قم بالتبسيط.

ⓒ

أعد كتابة،\(a=a^1\).
استخدم الخاصية التبادلية واستخدم خاصية المنتج،\(a^m·a^n=a^{m+n}\).
قم بالتبسيط.

ⓓ

أضف الأسس، لأن القواعد هي نفسها.
قم بالتبسيط.

مثال\(\PageIndex{2}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

1. \(b^9·b^8\)
2. \(4^{2x}·4^x\)
3. \(3p^5·4p\)
4. \(x^6·x^4·x^8\).

إجابة

ⓐ\(b^{17}\) ⓑ\(4^{3x}\) ⓒ\(12p^6\)
ⓓ\(x^{18}\)

مثال\(\PageIndex{3}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

1. \(x^{12}·x4\)
2. \(10·10^x\)
3. \(2z·6z^7\)
4. \(b^5·b^9·b^5\).

الإجابة أ

\(x^{16}\)

الإجابة ب

\(10^{x+1}\)

الإجابة ج

\(12z^8\)

الإجابة د

\(b^{19}\)

الآن سننظر إلى خاصية الأس للقسمة. كما كان الحال من قبل، سنحاول اكتشاف عقار من خلال النظر في بعض الأمثلة.

فكر	\(\dfrac{x^5}{x^2}\)	و	\(\dfrac{x^2}{x^3}\)
ماذا يقصدون؟	\(\dfrac{x·x·x·x·x}{x·x}\)		\(\dfrac{x·x}{x·x·x}\)
استخدم خاصية الكسور المتكافئة.	\(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}\)		\(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}\)
قم بالتبسيط.	\(x^3\)		\(\dfrac{1}{x}\)

لاحظ أنه في كل حالة كانت القواعد هي نفسها وقمنا بطرح الأسس. نرى\(\dfrac{x^5}{x^2}\) هو\(x^{5−2}\) أو\(x^3\). نرى\(\dfrac{x^2}{x^3}\) هو أو\(\dfrac{1}{x}\). عندما كان الأس الأكبر في البسط، كانت هناك عوامل في البسط. عندما كان الأس الأكبر في المقام، تُركت لدينا عوامل في القاسم - لاحظ البسط 1. عندما تتم إزالة جميع العوامل الموجودة في البسط، تذكر أن هذا يؤدي حقًا إلى تقسيم العوامل إلى عامل واحد، وبالتالي نحتاج إلى 1 في البسط. \(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1\). يؤدي هذا إلى خاصية حاصل القسمة للأسس.

تعريف: خاصية حاصل القسمة للأسس

\(a\)إذا كان رقمًا حقيقيًا\(a \neq 0\)،\(m\) وكان\(n\) عددًا صحيحًا، إذن

\[ \begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m} \\ \nonumber \end{array} \]

مثال\(\PageIndex{4}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

1. \(\dfrac{x^9}{x^7}\)
2. \(\dfrac{3^{10}}{3^2}\)
3. \(\dfrac{b^8}{b^{12}}\)
4. \(\dfrac{7^3}{7^5}\).

إجابة

لتبسيط التعبير باستخدام حاصل القسمة، نحتاج أولاً إلى مقارنة الأسس في البسط والمقام.

ⓐ

نظرًا\(9>7\) لوجود المزيد من العوامل\(x\) في البسط.
استخدم خاصية حاصل القسمة،\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
قم بالتبسيط.

ⓑ

نظرًا\(10>2\) لوجود المزيد من العوامل\(3\) في البسط.
استخدم خاصية حاصل القسمة،\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
قم بالتبسيط.

لاحظ أنه عندما يكون الأس الأكبر في البسط، تُترك لنا العوامل في البسط.

ⓒ

نظرًا\(12>8\) لوجود المزيد من عوامل bb في المقام.
استخدم خاصية حاصل القسمة،\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
قم بالتبسيط.

ⓓ

نظرًا\(5>3\) لوجود المزيد من العوامل\(3\) في المقام.
استخدم خاصية حاصل القسمة،\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\).
قم بالتبسيط.
قم بالتبسيط.

لاحظ أنه عندما يكون الأس الأكبر في المقام، تُترك العوامل في المقام.

مثال\(\PageIndex{5}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

1. \(\dfrac{x^{15}}{x^{10}}\)
2. \(\dfrac{6^{14}}{6^5}\)
3. \(\dfrac{x^{18}}{x^{22}}\)
4. \(\dfrac{12^{15}}{12^{30}}\).

إجابة

ⓐ\(x^5\)

ⓑ\(6^9\)

ⓒ\(\dfrac{1}{x^4}\)
ⓓ\(\dfrac{1}{12^{15}}\)

مثال\(\PageIndex{6}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

1. \(\dfrac{y^{43}}{y^{37}}\)
2. \(\dfrac{10^{15}}{10^{7}}\)
3. \(\dfrac{m^7}{m^{15}}\)
4. \(\dfrac{9^8}{9^{19}}\).

إجابة

ⓐ\(y_6\)

ⓑ\(108\)

ⓒ\(1m8\)
ⓓ\(\dfrac{1}{9^{11}}\)

الحالة الخاصة لخاصية حاصل القسمة هي عندما تكون أسس البسط والمقام متساوية، مثل تعبير مثل\(\dfrac{a^m}{a^m}\). نحن نعلم\(\dfrac{x}{x}=1\)، لأي شخص\(x(x\neq 0)\) لأن أي رقم مقسومًا على نفسه هو 1.

توضح لنا خاصية حاصل القسمة للأسس كيفية التبسيط\(\dfrac{a^m}{a^m}\). متى\(m>n\) ومتى n<mn<m بطرح الأسس. ماذا لو\(m=n\)؟ سنقوم بالتبسيط\(\dfrac{a^m}{a^m}\) بطريقتين لتقودنا إلى تعريف خاصية Zero Exponent. بشكل عام، من أجل\(a \neq 0\):

نرى\(\dfrac{a^m}{a^m}\) التبسيط من\(a^0\) وإلى 1. لذا\(a^0=1\). أي قاعدة غير صفرية مرفوعة إلى قوة صفر تساوي\(1\).

التعريف: خاصية الأس الصفري

إذا كان رقمًا\(a\) غير صفري، إذن\(a^0=1\).

إذا كان رقمًا\(a\) غير صفري، فإن\(a\) قوة الصفر تساوي\(1\).

أي رقم غير صفري يتم رفعه إلى القوة الصفرية هو\(1\).

في هذا النص، نفترض أن أي متغير نرفعه إلى القوة الصفرية ليس صفرًا.

مثال\(\PageIndex{7}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(9^0\) ⓑ\(n^0\).

إجابة

يقول التعريف أن أي رقم غير صفري يتم رفعه إلى القوة الصفرية هو\(1\).

ⓐ استخدم تعريف الأس الصفري. \(9^0 = 1\)

ⓑ استخدم تعريف الأس الصفري. \(n^0 = 1\)

لتبسيط التعبير الذي تم\(n\) رفعه إلى القوة الصفرية، نستخدم فقط تعريف الأس الصفري. النتيجة هي\(1\).

مثال\(\PageIndex{8}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(11^0\) ⓑ\(q^0\).

إجابة

ⓐ 1

ⓑ 1

مثال\(\PageIndex{9}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(23^0\) ⓑ\(r^0\).

إجابة

ⓐ 1

ⓑ 1

استخدم تعريف الأس السالب

لقد رأينا أن خاصية خارج القسمة للأسس لها شكلان اعتمادًا على ما إذا كان الأس أكبر في البسط أو المقام. ماذا لو طرحنا الأسس فقط بغض النظر عن الأكبر منها؟

دعونا نفكر\(\dfrac{x^2}{x^5}\). نطرح الأس في المقام من الأس في البسط. نرى\(\dfrac{x^2}{x^5}\) هو\(x^{2−5}\) أو\(x^{−3}\).

يمكننا أيضًا التبسيط\(\dfrac{x^2}{x^5}\) من خلال تقسيم العوامل المشتركة:

هذا يعني ذلك\(x^{−3}=\dfrac{1}{x^3}\) ويقودنا إلى تعريف الأس السالب. إذا كان n عددًا صحيحًا\(a\neq 0\)، ثم\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\).

لننظر الآن إلى ما يحدث لكسر بسطه واحد ومقامه عدد صحيح مرفوع إلى أس سالب.

\( \begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{a^{-n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}= \dfrac{1}{a^n}} &{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{1·\dfrac{a^n}{1}} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply.}} &{a^n} \\ \end{array} \)

هذا يعني\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\) وهو شكل آخر من تعريف خصائص الأسس السالبة.

التعريف: خصائص الأسس السالبة

إذا كان\(n\) عددًا صحيحًا\(a\neq 0\)، ثم\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) أو\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\).

يخبرنا الأس السالب أنه يمكننا إعادة كتابة التعبير عن طريق أخذ مقلوب القاعدة ثم تغيير علامة الأس.

لا يعتبر أي تعبير يحتوي على أسس سالبة في أبسط صورة. سنستخدم تعريف الأس السالب والخصائص الأخرى للأسس لكتابة التعبير بالأسس الموجبة فقط.

على سبيل المثال، إذا انتهى الأمر بالتعبير بعد تبسيط التعبير\(x^{−3}\)، فسوف نتخذ خطوة أخرى ونكتب\(\dfrac{1}{x^3}\). تعتبر الإجابة في أبسط صورة عندما تحتوي على أسس موجبة فقط.

مثال\(\PageIndex{10}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(x^{−5}\) ⓑ\(10^{−3}\) ⓒ\(\dfrac{1}{y^{−4}}\) ⓓ\(13^{−2}\).

إجابة

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{x^{−5}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{x^5}} \\ \end{array}\)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{10^{-3}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{10^3}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{1000}} \\ \end{array}\)

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{y^{-4}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{y^4} \\ \end{array}\)

ⓓ

\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{3^{-2}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{3^2} \\ {\text{Simplify.}} &{9} \\ \end{array}\)

مثال\(\PageIndex{11}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(z^{−3}\) ⓑ\(10^{−7}\) ⓒ\(\dfrac{1}{p^{−8}}\) ⓓ\(\dfrac{1}{4^{−3}}\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{1}{z^3}\) ⓑ\(\dfrac{1}{10^7}\) ⓒ\(p^8\) ⓓ\(64\)

مثال\(\PageIndex{12}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(n^{−2}\) ⓑ\(10^{−4}\) ⓒ\(\dfrac{1}{q^{−7}}\) ⓓ\(\dfrac{1}{2^{−4}}\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{1}{n^2}\) ⓑ\(\dfrac{1}{10,000}\) ⓒ\(q^7\)
ⓓ\(16\)

لنفترض الآن أن لدينا كسرًا مرفوعًا إلى أس سالب. دعونا نستخدم تعريفنا للأسس السالبة لتقودنا إلى خاصية جديدة.

\(\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{2}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the denominator.}} &{\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}} \\{} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{\dfrac{16}{9}} \\ {} &{} \\ {\text{But we know that }\dfrac{16}{9}\text{ is } \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}.} &{} \\ {\text{This tells us that}} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}} \\ \end{array} \)

للانتقال من الكسر الأصلي المرفوع إلى الأس السالب إلى النتيجة النهائية، أخذنا مقلوب القاعدة - الكسر - وقمنا بتغيير علامة الأس.

هذا يقودنا إلى حاصل القسمة إلى خاصية القوة السالبة.

حاصل القسمة على خاصية القوة السالبة

إذا كانت\(a\) أعدادًا حقيقية\(a\neq 0\)،\(b\neq 0\) وكانت\(n\) عددًا صحيحًا، إذن\(b\)

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n \nonumber \].

مثال\(\PageIndex{13}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(\left( \dfrac{5}{7} \right)^{−2}\) ⓑ\(\left( −\dfrac{x}{y} \right)^{−3}\).

إجابة

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{5}{7}\right)^{-2}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{49}{25}} \\ \end{array} \)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left( -\dfrac{x}{y}\right)^{-3}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( -\dfrac{y}{x}\right)^3} \\ {\text{Simplify.}} &{-\dfrac{y^3}{x^3}} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{14}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{−4}\) ⓑ\(\left(−\dfrac{m}{n}\right)^{−2}\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{81}{16}\) ⓑ\(\dfrac{n^2}{m^2}\)

مثال\(\PageIndex{15}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{−3}\) ⓑ\(\left(−\dfrac{a}{b}\right)^{−4}\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{125}{27}\) ⓑ\(\dfrac{b^4}{a^4}\)

الآن وبعد أن أصبحت لدينا أسس سالبة، سنستخدم خاصية المنتج مع التعبيرات التي تحتوي على أسس سالبة.

مثال\(\PageIndex{16}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\(z^{−5}·z^{−3}\) ⓑ\((m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})\) ⓒ\((2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})\).

إجابة

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{z^{−5}·z^{−3}} \\ {\text{Add the exponents, since the bases are the same.}} &{z^{−5−3}} \\ {\text{Simplify.}} &{z^{−8}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent.}} &{\dfrac{1}{z^8}} \\ \end{array} \)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{(m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})} \\ {\text{Use the Commutative Property to get like}} &{} \\ {\text{bases together.}} &{m^4m^{−5}·n^{−2}n^{−3}} \\ {\text{Add the exponents for each base.}} &{m^{−1}·n^{−5}} \\ {\text{Take reciprocals and change the signs of the exponents.}} &{\dfrac{1}{m^1}·\dfrac{1}{n^5}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{mn^5}} \\ \end{array} \)

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{(2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})} \\ {\text{Rewrite with the like bases together.}} &{2(−5)·(x^{−6}x^5)·(y^8y^{−3})} \\ {\text{Multiply the coefficients and add the exponents}} &{} \\ {\text{of each variable.}} &{−10·x^{−1}·y5} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent,} a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{−10·\dfrac{1}{x}·y^5} \\ {\text{Simplify.}} &{−10y^5x} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{17}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\(z^{−4}·z^{−5}\) ⓑ\((p^6q^{−2})(p^{−9}q^{−1})\) ⓒ\((3u^{−5}v^7)(−4u^4v^{−2})\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{1}{z^9}\) ⓑ\(\dfrac{1}{p^3q^3}\) ⓒ\(−\dfrac{12v^5}{u}\)

مثال\(\PageIndex{18}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\(c^{−8}·c^{−7}\) ⓑ\((r^5s^{−3})(r^{−7}s^{−5})\) ⓒ\((−6c^{−6}d^4)(−5c^{−2}d^{−1})\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{1}{c^15}\) ⓑ\(\dfrac{1}{r^2s^8}\) ⓒ\(\dfrac{30d^3}{c^8}\)

لننظر الآن إلى تعبير أسي يحتوي على قوة مرفوعة إلى قوة. تحقق مما إذا كان بإمكانك اكتشاف عقار عام.

\(\begin{array} {ll} {} &{(x^2)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{x^2·x^2·x^2} \\ \end{array} \)

كم عدد العوامل إجمالاً؟
لذلك لدينا

لاحظ أن الرقم 6 هو حاصل ضرب الأسس، 2 و3. نرى أن هذا\((x^2)^3\) هو\(x^{2·3}\) أو\(x^6\).

لقد ضربنا الأسس. يؤدي هذا إلى خاصية الطاقة للأسس.

التعريف: خاصية الطاقة للأسس

\(a\)إذا كان رقمًا حقيقيًا\(m\)\(n\) وعددًا صحيحًا، إذن

\[(a^m)^n=a^{m·n} \nonumber \]

لرفع قوة إلى قوة، اضرب الأسس.

مثال\(\PageIndex{19}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\((y^5)^9\) ⓑ\((4^4)^7\) ⓒ\((y^3)^6(y^5)^4\).

إجابة

ⓐ

استخدم خاصية الطاقة،\((a^m)^n=a^{m·n}\).
قم بالتبسيط.

ⓑ

استخدم خاصية الطاقة.
قم بالتبسيط.

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Use the Power Property.}} &{y^{18}·y^{20}} \\ {\text{Add the exponents.}} &{y^{38}} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{20}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\((b^7)^5\) ⓑ\((5^4)^3\) ⓒ\((a^4)^5(a^7)^4\).

إجابة

ⓐ\(b^{35}\) ⓑ\(5^{12}\) ⓒ\(a^{48}\)

مثال\(\PageIndex{21}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\((z^6)^9\) ⓑ\((3^7)^7\) ⓒ\((q^4)^5(q^3)^3\).

إجابة

ⓐ\(z^{54}\) ⓑ\(3^{49}\) ⓒ\(q^{29}\)

سننظر الآن في تعبير يحتوي على منتج تم رفعه إلى قوة. هل يمكنك العثور على هذا النمط؟

\(\begin{array} {ll} {} &{(2x)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{2x·2x·2x} \\ {\text{We group the like factors together.}} &{2·2·2·x·x·x} \\ {\text{How many factors of 2 and of }}x &{2^3·x^3} \\ \end{array} \)

لاحظ أن كل عامل تم رفعه إلى مستوى القوة\((2x)^3\) وهو\(2^3·x^3\).

ينطبق الأس على كل عامل من العوامل! يؤدي هذا إلى تحويل المنتج إلى خاصية الطاقة للأسس.

التعريف: تحويل المنتج إلى خاصية الطاقة للأسس

إذا كانت\(a\)\(b\) الأرقام حقيقية وكانت\(m\) عبارة عن رقم صحيح، إذن

\[(ab)^m=a^mb^m \nonumber \]

لرفع المنتج إلى مستوى القوة، ارفع كل عامل إلى تلك القوة.

مثال\(\PageIndex{22}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\((−3mn)^3\) ⓑ\((−4a^2b)^0\) ⓒ\((6k^3)^{−2}\) ⓓ\((5x^{−3})^2\).

إجابة

ⓐ

استخدم قوة خاصية المنتج،\((ab)^m=a^mb^m\).
قم بالتبسيط.

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{(−4a^2b)^0} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(−4)^0(a^2)^0(b)^0} \\ {\text{Simplify.}} &{1·1·1} \\ {\text{Multiply.}} &{1} \\ \end{array} \)

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{(6k^3)^{−2}} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(6)^{−2}(k^3)^{−2}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{6^{−2}k^{−6}} \\ {\text{Use the Definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{6^2}·\dfrac{1}{k^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{36k^6}} \\ \end{array} \)

ⓓ

\(\begin{array} {ll} {} &{(5x^{−3})^2} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{5^2(x^{−3})^2} \\ {\text{Simplify.}} &{25·x^{−6}} \\ {\text{Rewrite }x−6 \text{using, }a^{−n}=\text{1}{a^n}.} &{25·\dfrac{1}{x^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{25}{x^6}} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{23}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\((2wx)^5\) ⓑ\((−11pq3)^0\) ⓒ\((2b^3)^{−4}\) ⓓ\((8a^{−4})^2\).

إجابة

ⓐ\(32w^5x^5\) ⓑ 1 ⓒ\(\dfrac{1}{16b^{12}}\)
ⓓ\(\dfrac{64}{a^8}\)

مثال\(\PageIndex{24}\)

قم بتبسيط كل تعبير: ⓐ\((−3y)^3\) ⓑ\((−8m^2n^3)^0\) ⓒ\((−4x^4)^{−2}\) ⓓ\((2c^{−4})^3\).

إجابة

ⓐ\(−27y^3\) ⓑ 1 ⓒ\(\dfrac{1}{16x^8}\)
ⓓ\(8c^{12}\)

الآن سننظر إلى مثال سيقودنا إلى حاصل القسمة إلى خاصية الطاقة.

\( \begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{x}{y}\right)^3} \\ {\text{This means}} &{\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}} \\ {\text{Multiply the fractions.}} &{\dfrac{x·x·x}{y·y·y}} \\ {\text{Write with exponents.}} &{\dfrac{x^3}{y^3}} \\ \end{array} \)

لاحظ أن الأس ينطبق على كل من البسط والمقام.

نرى\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^3\) ذلك\(\dfrac{x^3}{y^3}\).

يؤدي هذا إلى تحويل حاصل القسمة إلى خاصية القوة للأسس.

التعريف: حاصل قسمة خاصية القوة للأسس

إذا كانت\(a\) أعدادًا حقيقية\(b\neq 0\)، وكانت\(m\) عددًا صحيحًا، إذن\(b\)

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber \]

لرفع الكسر إلى قوة، ارفع البسط والمقام إلى تلك القوة.

مثال\(\PageIndex{25}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\(\left(\dfrac{b}{3}\right)^4\) ⓑ\(\left(\dfrac{k}{j}\right)^{−3}\) ⓒ\(\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3\) ⓓ\(\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2\).

إجابة

ⓐ

استخدم حاصل القسمة لخاصية الطاقة،\((ab)^m=a^mb^m\).
قم بالتبسيط.

ⓑ

ارفع البسط والمقام إلى القوة.
استخدم تعريف الأس السالب.
اضرب.

ⓒ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2xy^2)^3}{z^3}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{8x^3y^6}{z^3}} \\ \end{array} \)

ⓓ

\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(4p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4^2(p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Simplify using the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{\dfrac{16p^{−6}}{q^4}} \\ {\text{Use the definition of negative exponent.}} &{\dfrac{16}{q^4}·\dfrac{1}{p^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{16}{p^6q^4}} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{26}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\(\left(\dfrac{p}{10}\right)^4\) ⓑ\(\left(\dfrac{m}{n}\right)^{−7}\) ⓒ\(\left(\dfrac{3ab^3}{c^2}\right)^4\) ⓓ\(\left(\dfrac{3x^{−2}}{y^3}\right)^3\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{p^4}{10000}\) ⓑ\(\dfrac{n^7}{m^7}\)
ⓒ\(\dfrac{81a^4b^{12}}{c^8}\) ⓓ\(\dfrac{27}{x^6y^9}\)

مثال\(\PageIndex{27}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\(\left(\dfrac{−2}{q}\right)^3\) ⓑ\(\left(\dfrac{w}{x}\right)^{−4}\) ⓒ\(\left(\dfrac{xy^3}{3z^2}\right)^2\) ⓓ\(\left(\dfrac{2m^{−2}}{n^{−2}}\right)^3\).

إجابة

ⓐ\(\dfrac{−8}{q^3}\) ⓑ\(\dfrac{x^4}{w^4}\) ⓒ\(\dfrac{x^2y^6}{9z^4}\)
ⓓ\( \dfrac{8n^6}{m^6}\)

لدينا الآن العديد من الخصائص للأسس. دعونا نلخصها ثم سنقوم ببعض الأمثلة الأخرى التي تستخدم أكثر من واحدة من الخصائص.

التعريف: ملخص خصائص الأس

إذا كانت\(a\)\(b\) الأرقام حقيقية\(m\) وما زالت أعدادًا\(n\) صحيحة، إذن

الملكية	وصف
خاصية المنتج	\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
خاصية الطاقة	\((a^m)^n=a^{m·n}\)
تحويل المنتج إلى مصدر طاقة	\((ab)^n=a^nb^n\)
خاصية حاصل القسمة	\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},a\neq 0\)
خاصية الأس الصفري	\(a^0=1,a \neq 0\)
حاصل القسمة على خاصية الطاقة	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m},b \neq 0 \)
خصائص الأسس السالبة	\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\)و\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\)
حاصل القسمة على الأس السالب	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)

مثال\(\PageIndex{28}\)

قم بتبسيط كل تعبير من خلال تطبيق العديد من الخصائص:

ⓐ\((3x^2y)^4(2xy^2)^3\) ⓑ\(\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}\) ⓒ\(\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}\).

إجابة

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2y)^4(2xy^2)^3} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(3^4x^8y^4)(2^3x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{(81x^8y^4)(8x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Commutative Property.}} &{81·8·x^8·x^3·y^4·y^6} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply the constants and add the exponents.}} &{648x^{11}y^{10}} \\ \end{array} \)

ⓑ

\( \begin{array} {ll} {} &{\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{(x^{12})(x^{−10})(x^{30})} \\ {\text{Add the exponents in the numerator.}} &{\dfrac{x^2}{x^{30}}} \\ {\text{Use the Quotient Property, }\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}}.} &{\dfrac{1}{x^{28}}} \\ \end{array} \)

ⓒ

\( \begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}} \\ {\text{Simplify inside the parentheses first.}} &{\left(\dfrac{2y^4}{x^2}\right)^2\left(\dfrac{12y^4}{x^2}\right)^{−1}} \\ {\text{Use the Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2y^4)^2}{(x^2)^2}\dfrac{(12y^4)^{−1}}{(x^2)^{−1}}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4y^8}{x^4}·\dfrac{12^{−1}y^{−4}}{x^{−2}}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{4y^4}{12x^2}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{y^4}{3x^2}} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{29}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\((c^4d^2)^5(3cd^5)^4\) ⓑ\(\dfrac{(a^{−2})^3(a^2)^4}{(a^4)^5}\) ⓒ\(\left(\dfrac{3xy^2}{x^2y^{−3}}\right)^2\)

إجابة

ⓐ\(81c^{24}d^{30}\) ⓑ\(\dfrac{1}{a^{18}}\)
ⓒ\(\dfrac{9y^{10}}{x^2}\)

مثال\(\PageIndex{30}\)

قم بتبسيط كل تعبير:

ⓐ\((a^3b^2)^6(4ab^3)^4\) ⓑ\(\dfrac{(p^{−3})^4(p^5)^3}{(p^7)^6}\) ⓒ\(\left(\dfrac{4x^3y^2}{x^2y^{−1}}\right)^2\left(\dfrac{8xy^{−3}}{x^2y}\right)^{−1}\).

إجابة

ⓐ\(256a^{22}b^{24}\) ⓑ\(\dfrac{1}{p^{39}}\)
ⓒ\(2x^3y^{10}\)

استخدم الترميز العلمي

قد يكون العمل بأرقام كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا أمرًا محرجًا. نظرًا لأن نظام الأرقام لدينا هو القاعدة العاشرة، يمكننا استخدام قوى العشرة لإعادة كتابة الأرقام الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا لتسهيل التعامل معها. ضع في اعتبارك الأرقام 4,000 و 0.004.

باستخدام القيمة المكانية، يمكننا إعادة كتابة الأرقام 4,000 و 0.004. نحن نعلم أن 4000 تعني\(4\times1,000\) و 0.004 تعني\(4\times\dfrac{1}{1,000}\).

إذا كتبنا 1000 في صورة قوة عشرة في الصورة الأسية، يمكننا إعادة كتابة هذه الأعداد بهذه الطريقة:

4,000	\(4\times1,000\)	\(4\times103\)
0.004	\(4\times\dfrac{1}{1,000}\)	\(4\times\dfrac{1}{103}\)	\(4\times10^{−3}\)

عندما تتم كتابة رقم كناتج لعددين، حيث يكون العامل الأول عددًا أكبر من أو يساوي واحدًا ولكن أقل من عشرة، والعامل الثاني هو قوة 10 مكتوبة في الصورة الأسية، يُقال أنه في الترميز العلمي.

تعريف: الترميز العلمي

يتم التعبير عن الرقم بالتدوين العلمي عندما يكون بالشكل

\[\begin{array} {llllllllllll} {a} &{\times} &{10^n} &{\text{where}} &{1} &{\leq} &{a} &{<} &{10} &{\text{and}} &{n} &{\text{is an integer.}} \\ \nonumber \end{array}\]

من المعتاد في الترميز العلمي استخدام علامة\(\times\) الضرب، على الرغم من أننا نتجنب استخدام هذه العلامة في مكان آخر في الجبر.

إذا نظرنا إلى ما حدث للفاصلة العشرية، يمكننا أن نرى طريقة للتحويل بسهولة من الترميز العشري إلى الترميز العلمي.

في كلتا الحالتين، تم نقل الرقم العشري إلى 3 أماكن للحصول على العامل الأول بين 1 و10.

تكون قوة 10 موجبة عندما يكون الرقم أكبر من\(1: 4,000=4\times10^3\)

تكون قوة 10 سالبة عندما يكون الرقم بين 0 و 1:\(0.004=4\times10^{−3}\)

التعريف: لتحويل رقم عشري إلى ترميز علمي.

1. انقل الفاصلة العشرية بحيث يكون العامل الأول أكبر من أو يساوي 1 ولكن أقل من 10.
2. احسب عدد المنازل العشرية\(n\)، التي تم نقل العلامة العشرية فيها.
3. اكتب الرقم في صورة منتج بقوة ١٠. إذا كان الرقم الأصلي هو.
   • أكبر من 1، ستكون قوة 10\(10^n\).
   • بين 0 و 1، ستكون قوة 10\(10^{−n}\).
4. تحقق.

مثال\(\PageIndex{31}\)

اكتب بالتدوين العلمي: ⓐ\(37,000\) ⓑ\(0.0052\).

إجابة

ⓐ

الرقم الأصلي، 37000، أكبر من 1، لذا ستكون لدينا قوة موجبة قدرها 10.	37,000
انقل النقطة العشرية للحصول على 3.7، وهو رقم بين 1 و10.
احسب عدد المنازل العشرية التي تم نقل النقطة إليها.
اكتب كمنتج بقوة 10.
\(\begin{array} {ll} {} &{3.7\times 10^4 } \\ {\text{Check:}} &{3.7 \times 10,000 } \\ {} &{37,000} \\ \end{array} \)

ⓑ

الرقم الأصلي، 0.0052، يقع بين 0 و 1، لذا ستكون لدينا قوة سالبة قدرها 10.	0.0052
انقل النقطة العشرية للحصول على 5.2، وهو رقم بين 1 و10.
احسب عدد المنازل العشرية التي تم نقل النقطة إليها.
اكتب كمنتج بقوة 10.
\(\begin{array} {ll} {\text{Check:}} &{5.2\times10^{−3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{10^3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{1000}} \\ {} &{5.2\times 0.001} \\ {} &{0.0052} \\ \end{array} \)

مثال\(\PageIndex{32}\)

اكتب بالتدوين العلمي: ⓐ 96,000 ⓑ 0.0078.

إجابة

ⓐ\(9.6\times 10^4\) ⓑ\(7.8\times 10^{−3}\)

مثال\(\PageIndex{33}\)

اكتب بالتدوين العلمي: ⓐ 48,300 ⓑ 0.0129.

إجابة

ⓐ\(4.83\times10^4\)
ⓑ\(1.29\times10^{−2}\)

كيف يمكننا التحويل من الترميز العلمي إلى الشكل العشري؟ دعونا ننظر إلى رقمين مكتوبين بالتدوين العلمي ونرى.

\[\begin{array} {lll} {9.12\times10^4} &{} &{9.12\times10^{−4}} \\ {9.12\times10,000} &{} &{9.12\times0.0001} \\ {91,200} &{} &{0.000912} \\ \nonumber \end{array} \]

إذا نظرنا إلى موقع النقطة العشرية، يمكننا أن نرى طريقة سهلة لتحويل رقم من الترميز العلمي إلى الشكل العشري.

في كلتا الحالتين، انتقلت النقطة العشرية إلى 4 أماكن. عندما كان الأس موجبًا، انتقل الرقم العشري إلى اليمين. عندما كان الأس سالبًا، انتقلت العلامة العشرية إلى اليسار.

تعريف: تحويل الترميز العلمي إلى صورة عشرية.

1. أوجد الأس،\(n\)، على العامل ١٠.
2. انقل المنازل\(n\) العشرية مع إضافة الأصفار إذا لزم الأمر.
   • إذا كان الأس موجبًا، انقل منازل النقاط\(n\) العشرية إلى اليمين.
   • إذا كان الأس سالبًا، انقل منازل النقاط\(|n|\) العشرية إلى اليسار.
3. تحقق.

مثال\(\PageIndex{34}\)

تحويل إلى النموذج العشري: ⓐ\(6.2\times10^3\) ⓑ\(−8.9\times 10^{−2}\).

إجابة

ⓐ

أوجد الأس،\(n\)، على العامل ١٠.
	الأس هو 3.
بما أن الأس موجب، انقل العلامة العشرية 3 أماكن إلى اليمين.
أضف الأصفار حسب الحاجة للعناصر النائبة.

ⓑ

أوجد الأس،\(n\)، على العامل ١٠.	الأس هو −2.−2.
بما أن الأس سالب، انقل العلامة العشرية منزلتين إلى اليسار.
أضف الأصفار حسب الحاجة للعناصر النائبة.

مثال\(\PageIndex{35}\)

تحويل إلى النموذج العشري: ⓐ\(1.3\times 10^3\) ⓑ\(−1.2\times 10^{−4}\).

إجابة

ⓐ 1,300 ⓑ\(−0.00012\)

مثال\(\PageIndex{36}\)

تحويل إلى النموذج العشري: ⓐ\(−9.5\times 10^4\) ⓑ\(7.5\times 10^{−2}\).

إجابة

ⓐ\(−950,000\) ⓑ 0.075

عندما يقوم العلماء بإجراء حسابات بأعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا، فإنهم يستخدمون الترميز العلمي. يوفر الترميز العلمي طريقة لإجراء العمليات الحسابية دون كتابة الكثير من الأصفار. سنرى كيف يتم استخدام خصائص الأسس لضرب الأرقام وقسمتها في الترميز العلمي.

مثال\(\PageIndex{37}\)

اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب الإجابات في شكل عشري: ⓐ\((−4\times10^5)(2\times10^{−7})\) ⓑ\(\dfrac{9\times10^3}{3\times10^{−2}}\).

إجابة

ⓐ

\(\begin{array} {ll} {} &{(−4\times10^5)(2\times10^{−7})} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the factors.}} &{−4·2·10^5·10^{−7}} \\ {\text{Multiply.}} &{−8\times10^{−2}} \\ {} &{} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal two}} &{} \\ {\text{places left.}} &{−0.08} \\ \end{array}\)

ⓑ

\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{9\times10^3}{9\times10^{−2}}} \\ {\text{Separate the factors, rewriting as the product of two}} &{} \\ {\text{fractions.}} &{\dfrac{9}{3}\times\dfrac{10^3}{10^{−2}}} \\ {\text{Divide.}} &{3\times10^5} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal five}} &{} \\ {\text{places right.}} &{300,000} \\ \end{array}\)

مثال\(\PageIndex{38}\)

اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب الإجابات في شكل عشري:

ⓐ\((−3\times10^5)(2\times10^{−8})\) ⓑ\(\dfrac{8\times10^2}{4\times10^{−2}}\).

إجابة

ⓐ\(−0.006\) ⓑ 20,000

مثال\(\PageIndex{39}\)

اضرب أو اقسم كما هو محدد. اكتب الإجابات في شكل عشري:

ⓐ\((−3\times10^{−2})(3\times10^{−1})\) ⓑ\(\dfrac{8\times10^4}{2\times10^{−1}}\).

إجابة

ⓐ\(−0.009\) ⓑ 400,000

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة باستخدام خصائص الضرب الخاصة بالأسس.

• خصائص الأسس
• أسس سالبة
• الترميز العلمي

المفاهيم الرئيسية

• الترميز الأسي تتم قراءة
  
  \(a\) هذا\(m^{th}\) للقوة.
  في التعبير\(a^m\)،\(m\) يخبرنا الأس بعدد المرات التي نستخدم فيها القاعدة\(a\) كعامل.
• خاصية المنتج للدعائم
  \(a\) إذا كان رقمًا حقيقيًا\(m\)\(n\) وعددًا صحيحًا، إذن

  \[a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber \]

  
  للضرب باستخدام القواعد المتشابهة، قم بإضافة الأسس.
• خاصية حاصل القسمة\(a\) للأسس
  إذا كان عددًا حقيقيًا\(a\neq 0\)،\(m\) وكان\(n\) عددًا صحيحًا، إذن

  \[\begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m}\\ \nonumber \end{array}\]

• الأس الصفري
  • إذا كان رقمًا\(a\) غير صفري، إذن\(a^0=1\).
  • إذا كان رقمًا\(a\) غير صفري، فإن\(a\) قوة الصفر تساوي\(1\).
  • أي رقم غير صفري يتم رفعه إلى القوة الصفرية هو\(1\).
• الأس السالب
  • إذا كان\(n\) عددًا صحيحًا\(a\neq 0\)، ثم\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) أو\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\).
• حاصل القسمة على خاصية الأس السالب
  إذا كانت\(a\)\(b\) الأرقام حقيقية\(a\neq 0\)،\(b\neq 0\)\(n\) وكانت عددًا صحيحًا، إذن

  \[(ab)^{−n}=(ba)^n\nonumber \]

• خاصية القوة للأسس
  \(a\) إذا كان عددًا حقيقيًا\(m\) وكان\(n\) عددًا صحيحًا، إذن

  \[(a^m)^n=a^{m·n}\nonumber \]

  
  لرفع قوة إلى قوة، اضرب الأسس.
• تحويل المنتج إلى خاصية الطاقة للدعائم
  إذا كانت\(a\) الأرقام الحقيقية\(b\)\(m\) عبارة عن رقم صحيح، إذن

  \[(ab)^m=a^mb^m \nonumber \]

  
  لرفع المنتج إلى مستوى القوة، ارفع كل عامل إلى تلك القوة.
• حاصل القسمة على خاصية القدرة للأسس
  إذا كانت\(a\) أعدادًا حقيقية\(b\neq0\)، وكانت\(m\) عددًا صحيحًا، إذن\(b\)

  \[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber \]

  
  لرفع الكسر إلى قوة، ارفع البسط والمقام إلى تلك القوة.
• ملخص خصائص الأس
  إذا كانت\(a\) أعدادًا حقيقية\(m\)\(n\) وعددًا صحيحًا، ثم\(b\)

  الملكية	وصف
  خاصية المنتج	\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
  خاصية الطاقة	\((a^m)^n=a^{m·n}\)
  تحويل المنتج إلى مصدر طاقة	\((ab)^n=a^nb^n\)
  خاصية حاصل القسمة	\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}, a\neq 0\)
  خاصية الأس الصفري	\(a^0=1,a\neq 0\)
  حاصل القسمة على خاصية الطاقة:	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}, b\neq 0\)
  خصائص الأسس السالبة	\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\)و\(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\)
  حاصل القسمة على الأس السالب	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)

• الترميز
  العلمي يتم التعبير عن الرقم بالتدوين العلمي عندما يكون بالشكل

  \[a\space\times\space10^n \text{ where }1\leq a<10\text{ and } n \text{ is an integer.} \nonumber \]

• كيفية تحويل الرقم العشري إلى الترميز العلمي.
  1. انقل الفاصلة العشرية بحيث يكون العامل الأول أكبر من أو يساوي 1 ولكن أقل من 10.
  2. احسب عدد المنازل العشرية\(n\)، التي تم نقل العلامة العشرية فيها.
  3. اكتب الرقم في صورة منتج بقوة ١٠. إذا كان الرقم الأصلي هو.
     • أكبر من 1، ستكون قوة 10\(10^n\).
     • بين 0 و 1، ستكون قوة 10\(10^{−n}\).
  4. تحقق.
• كيفية تحويل الترميز العلمي إلى الشكل العشري.
  1. أوجد الأس،\(n\)، على العامل ١٠.
  2. انقل المنازل\(n\) العشرية مع إضافة الأصفار إذا لزم الأمر.
     • إذا كان الأس موجبًا، انقل منازل النقاط\(n\) العشرية إلى اليمين.
     • إذا كان الأس سالبًا، انقل منازل النقاط\(|n|\) العشرية إلى اليسار.
  3. تحقق.

مسرد المصطلحات

خاصية المنتج

وفقًا لخاصية المنتج،\(a\)\(a\) إلى\(m\) الأوقات التي\(a\) تساوي\(a\)\(m\) الزيادة\(n\).

خاصية الطاقة

وفقًا لخاصية الطاقة،\(a\) فإن النسبة\(m\)\(n\)\(a\) تساوي\(m\) العصر\(n\).

تحويل المنتج إلى مصدر طاقة

وفقًا لخاصية «المنتج إلى الطاقة»، تكون\(a\) الأوقات بين\(b\) قوسين\(m\)\(a\) مساوية\(m\) للأوقات\(b\) لـ\(m\).

خاصية حاصل القسمة

وفقًا لخاصية حاصل القسمة،\(a\) فإن\(m\) القسمة\(a\) على على\(n\)\(a\) تساوي\(m\) السالب\(n\) طالما أنها\(a\) ليست صفرًا.

خاصية الأس الصفري

وفقًا لخاصية Zero Exponent،\(a\) يساوي الصفر\(1\) طالما أنه\(a\) ليس صفرًا.

حاصل القسمة على خاصية الطاقة

وفقًا لخاصية حاصل القسمة على خاصية القوة، فإن\(a\) القسمة بين\(b\) قوسين على\(a\) قوة\(m\) يساوي\(m\) القسمة\(b\) على إلى\(m\) ما دام\(b\) ليس صفرًا.

خصائص الأسس السالبة

وفقًا لخصائص الأسس السالبة،\(a\)\(n\) يساوي السالب\(1\) مقسومًا\(a\) على السالب\(n\)\(1\) مقسومًا\(a\) على السالب\(n\)\(a\) يساوي يساوي\(n\).

حاصل القسمة على الأس السالب

يحدث رفع حاصل القسمة إلى الأس السالب عند\(a\) القسمة بين\(b\) قوسين على قوة السالب\(n\) يساوي\(b\) مقسومًا بين\(a\) قوسين على قوة\(n\).