5.2E: تمارين

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201522

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

الممارسة تجعل من الكمال

تحديد نوع كثيرات الحدود

في التمارين التالية، حدِّد ما إذا كان كثير الحدود عبارة عن معادلة أحادية أو ذات حدين أو ثلاثية الحدود أو غيرها من كثيرات الحدود. أعط أيضًا درجة كل كثير الحدود.

1. ⓐ$47x^5−17x^2y^3+y^2$
ⓑ$5c^3+11c^2−c−8$
ⓒ$59ab+13b$
ⓓ$4$
ⓔ$4pq+17$

إجابة: ⓐ ثلاثية الحدود، الدرجة 5
ⓑ كثيرة الحدود الأخرى، الدرجة 3
ⓒ ذات الحدين، الدرجة 2
ⓓ أحادية الحد، الدرجة 0
ⓔ ذات الحدين، الدرجة 2

2. ⓐ$x^2−y^2$
ⓑ$−13c^4$
ⓒ$a^2+2ab−7b^2$
ⓓ$4x^2y^2−3xy+8$
ⓔ$19$

3. ⓐ$8y−5x$
ⓑ$y^2−5yz−6z^2$
ⓒ$y^3−8y^2+2y−16$
ⓓ$81ab^4−24a^2b^2+3b$
ⓔ$−18$

إجابة: ⓐ معادلة ذات حدين، الدرجة 1
ⓑ ثلاثية الحدود، الدرجة 2
ⓒ كثيرة الحدود الأخرى، الدرجة 3
ⓓ ثلاثية الحدود، الدرجة 5
ⓔ أحادية الحد، الدرجة 0

4. ⓐ$11y^2$
ⓑ$−73$
ⓒ$6x^2−3xy+4x−2y+y^2$
ⓓ$4y^2+17z^2$
ⓔ$5c^3+11c^2−c−8$

5. ⓐ$5a^2+12ab−7b^2$
ⓑ$18xy^2z$
ⓒ$5x+2$
ⓓ$y^3−8y^2+2y−16$
ⓔ$−24$

إجابة: ⓐ ثلاثية الحدود، الدرجة 2
ⓑ أحادية الحد، الدرجة 4
ⓒ ذات الحدين، الدرجة 1
ⓓ كثير الحدود الأخرى، الدرجة 3
ⓔ أحادية الحد، الدرجة 0

6. ⓐ$9y^3−10y^2+2y−6$
ⓑ$−12p^3q$
ⓒ$a^2+9ab+18b^2$
ⓓ$20x^2y^2−10a^2b^2+30$
ⓔ$17$

7. ⓐ$14s−29t$
ⓑ$z^2−5z−6$
ⓒ$y^3−8y^2z+2yz^2−16z^3$
ⓓ$23ab^2−14$
ⓔ$−3$

إجابة: ⓐ معادلة ذات حدين، الدرجة 1
ⓑ ثلاثية الحدود، الدرجة 2
ⓒ كثيرة الحدود الأخرى، الدرجة 3
ⓓ ذات الحدين، الدرجة 3
ⓔ أحادية الحد، الدرجة 0

8. ⓐ$15xy$
ⓑ$15$
ⓒ$6x^2−3xy+4x−2y+y^2$
ⓓ$10p−9q$
ⓔ$m^4+4m^3+6m^2+4m+1$

جمع وطرح كثيرات الحدود

في التمارين التالية، قم بإضافة أو طرح وحيدات الحد.

9. ⓐ$7x^2+5x^2$
ⓑ$4a−9a$

إجابة: ⓐ$12x^2$ ⓑ$−5a$

10. ⓐ$4y^3+6y^3$
ⓑ$−y−5y$

11. ⓐ$−12w+18w$
ⓑ$7x^2y−(−12x^2y)$

إجابة: ⓐ$6w$
ⓑ$19x^2y$

12. ⓐ$−3m+9m$
ⓑ$15yz^2−(−8yz^2)$

13. $7x^2+5x^2+4a−9a$

إجابة: $12x^2−5a$

14. $4y^3+6y^3−y−5y$

15. $−12w+18w+7x^2y−(−12x^2y)$

إجابة: $6w+19x^2y$

16. $−3m+9m+15yz^2−(−8yz^2)$

17. ⓐ$−5b−17b$
ⓑ$3xy−(−8xy)+5xy$

إجابة: ⓐ$−22b$
ⓑ$16xy$

18. ⓐ$−10x−35x$
ⓑ$17mn^2−(−9mn^2)+3mn^2$

19. ⓐ$12a+5b−22a$
ⓑ$pq^2−4p−3q^2$

إجابة: ⓐ$−10a+5b$
ⓑ$pq^2−4p−3q^2$

20. ⓐ$14x−3y−13x$
ⓑ$a^2b−4a−5ab^2$

21. ⓐ$2a^2+b^2−6a^2$
ⓑ$x^2y−3x+7xy^2$

إجابة: ⓐ$−4a^2+b^2$
ⓑ$x^2y−3x+7xy^2$

22. ⓐ$5u^2+4v^2−6u^2$
ⓑ$12a+8b$

23. ⓐ$xy^2−5x−5y^2$
ⓑ$19y+5z$

إجابة: ⓐ$xy^2−5x−5y^2$
ⓑ$19y+5z$

24. $12a+5b−22a+pq^2−4p−3q^2$

25. $14x−3y−13x+a^2b−4a−5ab^2$

إجابة: $x−3y+a^2b−4a−5ab^2$

26. $2a^2+b^2−6a^2+x^2y−3x+7xy^2$

27. $5u^2+4v^2−6u^2+12a+8b$

إجابة: $−u^2+4v^2+12a+8b$

28. $xy^2−5x−5y^2+19y+5z$

29. إضافة:$4a,−3b,−8a$

إجابة: $−4a−3b$

30. إضافة:$4x,3y,−3x$

31. اطرح$5x^6$ من$−12x^6$

إجابة: $−7x^6$

32. اطرح$2p^4$ من$−7p^4$

في التمارين التالية، قم بإضافة كثيرات الحدود.

33. $(5y^2+12y+4)+(6y^2−8y+7)$

إجابة: $11y^2+4y+11$

34. $(4y^2+10y+3)+(8y^2−6y+5)$

35. $(x^2+6x+8)+(−4x^2+11x−9)$

إجابة: $−3x^2+17x−1$

36. $(y^2+9y+4)+(−2y^2−5y−1)$

37. $(8x^2−5x+2)+(3x^2+3)$

إجابة: $11x^2−5x+5$

38. $(7x^2−9x+2)+(6x^2−4)$

39. $(5a^2+8)+(a^2−4a−9)$

إجابة: $6a^2−4a−1$

40. $(p^2−6p−18)+(2p^2+11)$

في التمارين التالية، اطرح كثيرات الحدود.

41. $(4m^2−6m−3)−(2m^2+m−7)$

إجابة: $2m^2−7m+4$

42. $(3b^2−4b+1)−(5b^2−b−2)$

43. $(a^2+8a+5)−(a^2−3a+2)$

إجابة: $11a+3$

44. $(b^2−7b+5)−(b^2−2b+9)$

45. $(12s^2−15s)−(s−9)$

إجابة: $12s^2−14s+9$

46. $(10r^2−20r)−(r−8)$

في التمارين التالية، اطرح كثيرات الحدود.

47. اطرح$(9x^2+2)$ من$(12x^2−x+6)$

إجابة: $3x^2−x+4$

48. اطرح$(5y^2−y+12)$ من$(10y^2−8y−20)$

49. اطرح$(7w^2−4w+2)$ من$(8w^2−w+6)$

إجابة: $w^2+3w+4$

50. اطرح$(5x^2−x+12)$ من$(9x^2−6x−20)$

في التمارين التالية، ابحث عن الفرق بين كثيرات الحدود.

51. اكتشف الفرق بين$(w^2+w−42)$ و$(w^2−10w+24)$

إجابة: $11w−64$

52. اكتشف الفرق بين$(z^2−3z−18)$ و$(z^2+5z−20)$

في التمارين التالية، قم بإضافة كثيرات الحدود.

53. $(7x^2−2xy+6y^2)+(3x^2−5xy)$

إجابة: $10x^2−7xy+6y^2$

54. $(−5x^2−4xy−3y^2)+(2x^2−7xy)$

55. $(7m^2+mn−8n^2)+(3m^2+2mn)$

إجابة: $10m^2+3mn−8n^2$

56. $(2r^2−3rs−2s^2)+(5r^2−3rs)$

في التمارين التالية، قم بإضافة أو طرح كثيرات الحدود.

57. $(a^2−b^2)−(a^2+3ab−4b^2)$

إجابة: $−3ab+3b^2$

58. $(m^2+2n^2)−(m^2−8mn−n^2)$

59. $(p^3−3p^2q)+(2pq^2+4q^3)−(3p^2q+pq^2)$

إجابة: $p^3−6p^2q+pq^2+4q^3$

60. $(a^3−2a^2b)+(ab^2+b^3)−(3a^2b+4ab^2)$

61. $(x^3−x^2y)−(4xy^2−y^3)+(3x^2y−xy^2)$

إجابة: $x^3+2x^2y−5xy^2+y^3$

62. $(x^3−2x^2y)−(xy^2−3y^3)−(x^2y−4xy^2)$

إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود لقيمة مُعطاة

في التمارين التالية، ابحث عن قيم الدالة لكل دالة كثيرة الحدود.

في التمارين التالية، أوجد ارتفاع كل دالة كثيرة الحدود.

67. رسام يسقط فرشاة من ارتفاع$75$ قدم منصة. $h(t)=−16t^2+75$تعطي الدالة كثيرة الحدود ارتفاع الفرشاة بعد$t$ ثوانٍ من إسقاطها. أوجد الارتفاع بعد$t=2$ ثوانٍ.

إجابة: الارتفاع هو 11 قدمًا.

68. فتاة تسقط كرة من الجرف إلى المحيط. $h(t)=−16t^2+200$يعطي كثير الحدود ارتفاع الكرة بعد$t$ ثوانٍ من إسقاطها. أوجد الارتفاع بعد$t=3$ ثوانٍ.

69. وجدت إحدى الشركات المصنعة لمكبرات الصوت الاستريو أن الإيرادات المتأتية من بيع مكبرات الصوت بتكلفة$p$ دولار لكل منها تأتي من خلال الوظيفة متعددة الحدود$R(p)=−4p^2+420p$. ابحث عن الإيرادات المستلمة$p=60$ بالدولار.

إجابة: الإيرادات هي 10,800 دولار.

70. وجدت إحدى الشركات المصنعة لأحدث أحذية كرة السلة أن الإيرادات التي يتم الحصول عليها من بيع الأحذية بتكلفة$p$ الدولار لكل منها تأتي من خلال متعدد الحدود$R(p)=−4p^2+420p$. ابحث عن الإيرادات المستلمة$p=90$ بالدولار.

71. يُمثِّل$C(x)=6x^2+90x$ كثير الحدود التكلفة، بالدولار، لإنتاج حاوية مستطيلة الشكل قمتها وأسفلها مربعات ذات$x$ أقدام جانبية وأقدام ذات ارتفاع$6$. ابحث عن تكلفة إنتاج صندوق$x=4$ بأقدام.

إجابة: التكلفة هي 456 دولارًا.

72. يُمثِّل$C(x)=6x^2+90x$ كثير الحدود التكلفة، بالدولار، لإنتاج حاوية مستطيلة الشكل قمتها وأسفلها مربعات ذات$x$ أقدام جانبية وأقدام ذات ارتفاع$4$. ابحث عن تكلفة إنتاج صندوق$x=6$ بأقدام.

جمع وطرح دوال كثيرة الحدود

73. $f(x)=2x^2−4x+1$و$g(x)=5x^2+8x+3$

74. $f(x)=4x^2−7x+3$و$g(x)=4x^2+2x−1$

75. $f(x)=3x^3−x^2−2x+3$و$g(x)=3x^3−7x$

76. $f(x)=5x^3−x^2+3x+4$و$g(x)=8x^3−1$

تمارين الكتابة

77. باستخدام كلماتك الخاصة، اشرح الفرق بين المعادلة الأحادية وذات الحدين والثلاثية.

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

78. باستخدام كلماتك الخاصة، اشرح الفرق بين كثير الحدود الذي يحتوي على خمسة حدود وكثيرات الحدود بدرجة$5$.

79. أريانا تعتقد أن المبلغ$6y^2+5y^4$ هو$11y^6$. ما هو الخطأ في منطقها؟

إجابة: سوف تتنوع الإجابات.

80. هل كل رقم ثلاثي هو متعدد الحدود من الدرجة الثانية؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، أعط مثالاً.

فحص ذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

$يوضِّح الشكل جدولاً يحتوي على ستة صفوف وأربعة أعمدة. الصف الأول عبارة عن صف العنوان ويقوم بتسمية كل عمود. عنوان العمود الأول هو «يمكنني...»، والثاني هو «بثقة»، والثالث هو «مع بعض المساعدة»، «لا ناقص لا أفهم ذلك!». تحت العمود الأول توجد عبارات «تحديد كثيرات الحدود، وحيدات الحد، وثلثي الحدود»، و «تحديد درجة كثيرات الحدود»، و «جمع وطرح وحيدات الحدود»، و «جمع وطرح كثيرات الحدود»، و «تقييم كثير الحدود لقيمة معينة». تحت الأعمدة الثانية والثالثة والرابعة توجد مساحات فارغة حيث يمكن للمتعلم التحقق من مستوى الإتقان الذي حققه.$

ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

... بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على القيام بهذه الأشياء؟ كن محددًا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح ثقوبًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات، يعتمد كل موضوع على العمل السابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من الذي يمكنك طلب المساعدة؟ يعتبر زملائك في الفصل والمدرب موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي حيث يتوفر مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - أنا لا أفهم ذلك! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستصاب بالارتباك بسرعة. راجع مدرسك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. معًا يمكنك وضع خطة للحصول على المساعدة التي تحتاجها.