Skip to main content
Global

6.6: חלוקת פולינומים

  • Page ID
    205578
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה תוכל:

    • מחלקים פולינום על ידי מונומיום
    • מחלקים פולינום על ידי בינומי
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. הוסף: \(\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.7.1.
    2. פשט: \(\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 6.5.37.
    3. שלב מונחים דומים: \(8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.3.37.

    חלק פולינום על ידי מונומיאל

    בחלק האחרון למדת כיצד לחלק מונומיום על ידי מונומיום. ככל שאתה ממשיך לבנות את הידע שלך בפולינומים ההליך הבא הוא לחלק פולינום של שני מונחים או יותר במונומיום.

    השיטה בה נשתמש כדי לחלק פולינום במונומיום מבוססת על המאפיינים של תוספת שברים. אז נתחיל בדוגמה לבדיקת תוספת שברים.

    \(\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}\)

    כעת נעשה זאת הפוך כדי לפצל שבר בודד לשברים נפרדים.

    אנו נציין כאן את מאפיין תוספת השבר בדיוק כפי שלמדת אותו ובהפוך.

    תוספת שבריר

    אם a, b ו- c הם מספרים היכן\(c\neq 0\), אז

    \[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\]

    אנו משתמשים בטופס משמאל כדי להוסיף שברים ואנחנו משתמשים בטופס מימין כדי לחלק פולינום על ידי מונומיום.

    אנו משתמשים בצורה זו של תוספת שברים כדי לחלק פולינומים על ידי מונומיאלים.

    חלוקת פולינום על ידי מונומיום

    כדי לחלק פולינום במונומיום, חלק כל מונח של הפולינום לפי המונומיום.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{7 y^{2}+21}{7}\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{8 z^{2}+24}{4}\)

    תשובה

    \(2 z^{2}+6\)

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{18 z^{2}-27}{9}\)

    תשובה

    \(2 z^{2}-3\)

    זכור שניתן לייצג חלוקה כשבריר. כאשר אתה מתבקש לחלק פולינום על ידי מונומיום והוא כבר לא בצורת שבר, כתוב שבר עם הפולינום במונה והמונום במכנה.

    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    מצא את המנה: \(\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    מצא את המנה: \(\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b\)

    תשובה

    \(9 b^{2}-11 b\)

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    מצא את המנה: \(\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y\)

    תשובה

    \(5 y^{2}-11 y\)

    כאשר אנו מתחלקים בשלילה, עלינו להיות זהירים במיוחד עם הסימנים.

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}\)

    תשובה

    \(-5 y^{2}+3 y\)

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}\)

    תשובה

    \(-7 b^{2}+3 b\)

    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}\)

    תשובה

    \(15 d^{4}+6 d^{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}\)

    תשובה

    \(36 p^{4}-8 p^{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    מצא את המנה: \(\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    מצא את המנה: \(\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)\)

    תשובה

    \(-4 a+2 b\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    מצא את המנה: \(\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)\)

    תשובה

    \(8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}\)

    תשובה

    \(5 x y+3 y-2 y^{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}\)

    תשובה

    \(5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}\)

    תשובה

    \(3 c+1-\dfrac{3}{2 c}\)

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    מצא את המנה: \(\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}\)

    תשובה

    \(2 d-1-\dfrac{2}{5 d}\)

    חלק פולינום על ידי בינומי

    כדי לחלק פולינום בבינומי, אנו עוקבים אחר הליך הדומה מאוד לחלוקה ארוכה של מספרים. אז בואו נסתכל היטב את הצעדים שאנו נוקטים כאשר אנו מחלקים מספר בן 3 ספרות, 875, במספר דו ספרתי, 25.

    אנחנו כותבים את החלוקה הארוכה החלוקה הארוכה של 875 על ידי 25.
    אנו מחלקים את שתי הספרות הראשונות, 87, ב -25. 25 מתאים ל 87 שלוש פעמים. 3 כתוב מעל הספרה השנייה של 875 בסוגר החלוקה הארוכה.
    אנו מכפילים 3 פעמים 25 וכותבים את המוצר תחת 87. התוצר של 3 ו -25 הוא 75, שנכתב מתחת לשתי הספרות הראשונות של 875 בסוגר החלוקה הארוכה.
    כעת אנו מחסרים 75 מ- 87. 87 מינוס 75 הוא 12, שנכתב תחת 75.\ [\ להתחיל {מערך} {c}
    3\\
    2 5\ longdiv {8 7 5}\\
    -75\\ hline 125
    \ סוף {מערך}
    \]
    ואז אנו מורידים את הספרה השלישית של הדיבידנד, 5. ה -5 ב -875 מורד ליד ה -12, מה שהופך 125.
    חזור על התהליך, מחלק 25 ל 125. 25 מתאים ל 125 חמש פעמים. 5 כתוב מימין ל -3 על גבי סוגר החלוקה הארוך. 5 פעמים 25 זה 125. 125 מינוס 125 זה אפס. יש אפס שארית, אז 25 מתאים ל 125 בדיוק חמש פעמים. 875 חלקי 25 שווה 35.

    אנו בודקים חלוקה על ידי הכפלת המנה במחלק.

    אם עשינו את החלוקה בצורה נכונה, המוצר צריך להיות שווה לדיבידנד.

    \[\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}\]

    עכשיו נחלק טרינום על ידי בינומי. כשאתה קורא את הדוגמה, שים לב עד כמה השלבים דומים לדוגמא המספרית שלמעלה.

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)\)

    תשובה
      טרינום, x בריבוע פלוס 9 x פלוס 20, מחולק בבינומי, x פלוס 5.
    כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה.  
    ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית. החלוקה הארוכה של x בריבוע פלוס 9 x פלוס 20 על x פלוס 5
    מחלקים את x 2 על ידי x. זה עשוי לעזור לשאול את עצמך, "מה אני צריך להכפיל x על ידי כדי לקבל x 2?"  
    שים את התשובה, x, במנה מעל מונח ה- x. x מתאים ל- x בריבוע x פעמים. x כתוב מעל המונח השני של x בריבוע פלוס 9 x פלוס 20 בסוגר החלוקה הארוך.
    הכפל x פעמים x + 5. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד. המוצר של x ו- x פלוס 5 הוא x בריבוע פלוס 5 x, שנכתב מתחת לשני המונחים הראשונים של x בריבוע פלוס 9x פלוס 20 בסוגר החלוקה הארוכה.
    חיסור x 2 + 5 x מ - x 2 + 9 x.  
    יתכן שיהיה לך קל יותר לשנות את השלטים ואז להוסיף.
    ואז להפיל את הקדנציה האחרונה, 20.
    הסכום של x בריבוע פלוס 9 x ושלילי x בריבוע בתוספת שלילי 5 x הוא 4 x, אשר כתוב מתחת שלילי 5 x המונח השלישי בריבוע x בתוספת 9 x פלוס 20 הוא הוריד ליד 4 x, מה שהופך 4 x פלוס 20.
    מחלקים 4 x על ידי x. זה עשוי לעזור לשאול את עצמך, "מה אני צריך
    להכפיל x על ידי כדי לקבל 4 x?"
     
    שים את התשובה, 4, במנה על פני המונח הקבוע. 4 x מחולק על ידי x הוא 4. פלוס 4 כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך, ליד x ומעל 20 ב x בריבוע פלוס 9 x פלוס 20.
    הכפל 4 פעמים x + 5. x פלוס 5 פעמים 4 הוא 4 x פלוס 20, אשר נכתב תחת הראשון 4 x פלוס 20.
    הפחת 4 איקס+ 20 מ -4 איקס+20. 4 איקס פלוס 20 מינוס 4 איקס פלוס 20 זה 0. השאר הוא 0. x בריבוע פלוס 9 x פלוס 20 חלקי x פלוס 5 שווה x פלוס 4.
    בדוק:  
    הכפל את המנה על ידי המחלק.  
    (איקס+ 4) (איקס+ 5)  
    אתה צריך לקבל את הדיבידנד.  
    איקס 2 + 9 איקס+ 20 ✓
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    מצא את המנה: \(\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)\)

    תשובה

    y+7

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    מצא את המנה: \(\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)\)

    תשובה

    מ '+5

    כאשר למחלק יש סימן חיסור, עלינו להיות זהירים במיוחד כאשר אנו מכפילים את המנה החלקית ואז מחסרים. זה יכול להיות בטוח יותר להראות שאנחנו משנים את השלטים ולאחר מכן להוסיף.

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    מצא את המנה: \(\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)\)

    תשובה
      טרינום, 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3, מחולק בבינומי, x מינוס 3.
    כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה.  
    ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית. החלוקה הארוכה של 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3 על ידי x מינוס 3.
    מחלקים 2 x 2 על ידי x.
    שים את התשובה, 2 x, במנה מעל מונח ה- x.
    x מתאים ל -2 x בריבוע 2 x פעמים. 2 x כתוב מעל המונח השני של 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3 בסוגר החלוקה הארוך.
    הכפל 2 x פעמים x − 3. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד. התוצר של 2 x ו- x מינוס 3 הוא 2 x בריבוע מינוס 6 x, שנכתב מתחת לשני המונחים הראשונים של 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3 בסוגר החלוקה הארוך.
    גרע 2 x 2 - 6 x מ -2 x 2 - 5 x.
    שנה את השלטים ולאחר מכן הוסף.
    ואז להפיל את הקדנציה האחרונה.
    הסכום של 2 x בריבוע מינוס 5 x ושלילי 2 x בריבוע פלוס 6 x הוא x, שנכתב מתחת ל 6 x המונח השלישי ב 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3 מורד ליד x, מה שהופך x מינוס 3.
    חלק את x על ידי x.
    שים את התשובה, 1, במנה על פני המונח הקבוע.
    פלוס 1 כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך, ליד 2 x ומעל מינוס 3 ב 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3.
    הכפל 1 פעמים x − 3. x מינוס 3 פעמים 1 הוא x מינוס 3, שנכתב תחת הראשון x מינוס 3.
    הפחת x - 3 מ- x - 3 על ידי שינוי הסימנים והוספה. הבינומי x מינוס 3 מינוס השלילי הבינומי x פלוס 3 הוא 0. השאר הוא 0. 2 x בריבוע מינוס 5 x מינוס 3 חלקי x מינוס 3 שווה 2 x פלוס 1.
    כדי לבדוק, הכפל (x − 3) (2 x + 1).  
    התוצאה צריכה להיות 2 x 2 - 5 x - 3.
    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    מצא את המנה: \(\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)\)

    תשובה

    2x+5

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    מצא את המנה: \(\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)\)

    תשובה

    3x+2

    כאשר חילקנו 875 ב -25, לא היה לנו שארית. אבל לפעמים חלוקת המספרים אכן משאירה שארית. הדבר נכון גם כאשר אנו מחלקים פולינומים. בתרגיל \(\PageIndex{25}\) תהיה לנו חלוקה שמשאירה שארית. אנו כותבים את השאר כשבר עם המחלק כמכנה.

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)\)

    תשובה
      פולינום, x קוביות מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4, מחולק בפולינום אחר, x פלוס 1.
    כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה.  
    ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית. החלוקה הארוכה של x בקוביות מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4 על x פלוס 1.
    מחלקים x 3 על ידי x.
    שים את התשובה, x 2, במנה לאורך המונח x 2.
    הכפל x 2 פעמים x + 1. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד.
    x מתאים ל- x בריבוע x פעמים. x כתוב מעל המונח השני של x בקוביות מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4 בסוגר החלוקה הארוך.
    הפחת את x 3 + x 2 מ- x 3x 2 על ידי שינוי הסימנים והוספה.
    ואז להפיל את הקדנציה הבאה.
    הסכום של x בקוביות מינוס x בריבוע ושלילי x קוביות בתוספת שלילי x בריבוע הוא שלילי 2 x בריבוע, שנכתב מתחת לשלילה x בריבוע. המונח הבא בקוביות x מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4 יורד ליד 2 x בריבוע שלילי, מה שהופך שלילי 2 x בריבוע פלוס x.
    מחלקים -2 x 2 על ידי x.
    שים את התשובה, -2 x, במנה מעל המונח x.
    הכפל -2 x פעמים איקס+ 1. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד.
    מינוס 2 x כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך, ליד x בריבוע ומעל x בקוביות x מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4. שלילי 2 x בריבוע מינוס 2 x כתוב תחת שלילי 2 x בריבוע פלוס x.
    הפחת -2 x 2 − 2 x מ -2 x 2 + x על ידי שינוי הסימנים והוספה.
    ואז להפיל את הקדנציה האחרונה.
    הסכום של 2 x בריבוע שלילי פלוס x ו 2 x בריבוע פלוס 2 x נמצא 3 x המונח האחרון בקוביות x מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4 מורד, מה שהופך 3 x פלוס 4.
    מחלקים 3 x על ידי x.
    שים את התשובה, 3, במנה על פני המונח הקבוע.
    הכפל 3 פעמים x + 1. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד.
    פלוס 3 כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך, מעל 4 ב x קוביות מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4. 3 x פלוס 3 כתוב תחת 3 x פלוס 4.
    הפחת 3 x + 3 מ - 3 x + 4 על ידי שינוי הסימנים והוספה.
    כתוב את השאר כשבר עם המחלק כמכנה.
    הסכום של 3 x פלוס 4 ושלילי 3 x פלוס 3 שלילי הוא 1. לכן, הפולינום x בקוביות מינוס x בריבוע פלוס x פלוס 4, מחולק בבינומי x פלוס 1, שווה ל- x בריבוע מינוס 2 x פלוס השבר 1 מעל x פלוס 1.
    כדי לבדוק, להכפיל \((x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)\)
    התוצאה צריכה להיות \(x^{3}-x^{2}+x+4\)
    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)\)

    תשובה

    \(x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    מצא את המנה: \(\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)\)

    תשובה

    \(2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}\)

    הסתכל אחורה על הדיבידנדים בדוגמה , דוגמה ודוגמה. המונחים נכתבו בסדר יורד של מעלות, ולא היו חסרים תארים. הדיבידנד בדוגמה יהיה\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\). חסר לו \(x^{3}\) מונח. נוסיף \(0x^{3}\) כמציין מיקום.

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)\)

    תשובה

    שימו לב כי אין \(x^{3}\) מונח בדיבידנד. נוסיף \(0x^{3}\) כמציין מיקום.

      פולינום, x לכוח הרביעי מינוס x בריבוע מינוס 5 x מינוס 2, מחולק בפולינום אחר, x פלוס 2.
    כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה. ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית עם מצייני מיקום עבור מונחים חסרים. החלוקה הארוכה של x לכוח הרביעי פלוס 0 x קוביות מינוס x בריבוע מינוס 5 x מינוס 2 על ידי x פלוס 2.
    מחלקים את x 4 על ידי x.
    שים את התשובה, x 3, במנה לאורך המונח x 3.
    הכפל x 3 פעמים x + 2. תסדרו את התנאים הדומים.
    הפחת ואז הוריד את הקדנציה הבאה.
    x cubed כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך מעל טווח הקוביות x בדיבידנד. מתחת לשני המונחים הראשונים של הדיבידנד x לכוח הרביעי בתוספת 2 x קוביות מופחת כדי לתת 2 x קוביות שליליות מינוס x בריבוע. בפתק ליד החטיבה נכתב "זה עשוי להיות מועיל לשנות את השלטים ולהוסיף."
    מחלקים -2 x 3 על ידי x.
    שים את התשובה, -2 x 2, במנה מעל המונח x 2.
    הכפל -2 x 2 פעמים איקס+1. תסדרו את התנאים הדומים.
    הפחת והוריד את הקדנציה הבאה.
    x בקוביות מינוס 2 x בריבוע כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך. בתחתית החלוקה הארוכה שלילי 2 x קוביות מינוס 4 x בריבוע מופחת כדי לתת 3 x בריבוע פלוס 5 x פתק כתוב "זה עשוי להיות מועיל לשנות את הסימנים ולהוסיף."
    מחלקים 3 x 2 על ידי x.
    שים את התשובה, 3 x, במנה מעל מונח ה- x.
    הכפל 3 x פעמים x + 1. תסדרו את התנאים הדומים.
    הפחת והוריד את הקדנציה הבאה.
    x קוביות מינוס 2 x בריבוע פלוס 3 x כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך. בתחתית החלוקה הארוכה מופחת 3 x בריבוע פלוס 6 x כדי לתת שלילי x מינוס 2. בפתק כתוב "זה עשוי להיות מועיל לשנות את השלטים ולהוסיף."
    מחלקים - x על ידי x.
    שים את התשובה, -1, במנה על פני המונח הקבוע.
    הכפל -1 פעמים איקס+ 1. תסדרו את התנאים הדומים.
    שנה את השלטים, הוסף.
    x קוביות מינוס 2 x בריבוע פלוס 3 x מינוס 1 כתוב על גבי סוגר החלוקה הארוך. בתחתית החלוקה הארוכה שלילי x מינוס 2 הוא חיסור כדי לתת 0. בפתק כתוב "זה עשוי להיות מועיל לשנות את השלטים ולהוסיף." הפולינום x לכוח הרביעי מינוס x בריבוע פלוס 5 x מינוס 2, חלקי הבינומי x פלוס 2 שווה לפולינום x בקוביות מינוס 2 x בריבוע פלוס 3 x מינוס 1.
    כדי לבדוק, הכפל \((x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)\)  
    התוצאה צריכה להיות \(x^{4}-x^{2}+5 x-2\)
    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)\)

    תשובה

    \(x^{2}-2 x+7\)

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)\)

    תשובה

    \(x^{3}-8 x^{2}+40 x-200\)

    בתרגיל\(\PageIndex{31}\), נחלק לפי\(2a−3\). כשאנחנו מתחלקים נצטרך לקחת בחשבון את הקבועים כמו גם את המשתנים.

    תרגיל \(\PageIndex{31}\)

    מצא את המנה: \(\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)\)

    תשובה

    הפעם נראה את החלוקה הכל בצעד אחד. אנחנו צריכים להוסיף שני מצייני מיקום כדי לחלק.

    האיור מציג את החלוקה הארוכה של 8 קוביות בתוספת 27 על 2 פלוס 3. בסוגר החלוקה הארוכה מוסיפים לפולינום מצייני מיקום 0 a בריבוע ו- 0 a. בשורה הראשונה מתחת לדיבידנד 8 מופחת קוביות בתוספת 12 בריבוע. מימין, חץ מציין שערך זה הגיע מכפלת 4 בריבוע ב -2 פלוס 3. החיסור נותן שלילי 12 בריבוע פלוס 0 א. מהשלילי 12 זה מופחת בריבוע מינוס 18 a. מימין, חץ מציין כי ערך זה הגיע מכפלת 6 a על ידי 2 פלוס 3. החיסור נותן 18 פלוס 27. מתוך 18 זה מופחת פלוס 27. מימין, חץ מציין שערך זה הגיע מכפלת 9 ב -2 פלוס 3. התוצאה היא 0.

    כדי לבדוק, הכפל \((2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)\)

    התוצאה צריכה להיות \(8 a^{3}+27\)

    תרגיל \(\PageIndex{32}\)

    מצא את המנה: \(\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)\)

    תשובה

    \(x^{2}+4 x+16\)

    תרגיל \(\PageIndex{33}\)

    מצא את המנה: \(\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)\)

    תשובה

    \(25 x^{2}+10 x+4\)

    הערה

    גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם חלוקת פולינומים:

    • חלק פולינום על ידי מונומיום
    • חלק פולינום במונומיום 2
    • חלק את הפולינום לפי בינומי

    מושגי מפתח

    • תוספת שבר
      • אם a, b ו- c הם מספרים היכן\(c\neq 0\), אז
        \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\) ו \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
    • חלוקת פולינום על ידי מונומיאל
      • כדי לחלק פולינום במונומיום, חלק כל מונח של הפולינום לפי המונומיום.