6.6: חלוקת פולינומים
- Page ID
- 205578
בסוף פרק זה תוכל:
- מחלקים פולינום על ידי מונומיום
- מחלקים פולינום על ידי בינומי
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- הוסף: \(\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.7.1. - פשט: \(\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 6.5.37. - שלב מונחים דומים: \(8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.3.37.
חלק פולינום על ידי מונומיאל
בחלק האחרון למדת כיצד לחלק מונומיום על ידי מונומיום. ככל שאתה ממשיך לבנות את הידע שלך בפולינומים ההליך הבא הוא לחלק פולינום של שני מונחים או יותר במונומיום.
השיטה בה נשתמש כדי לחלק פולינום במונומיום מבוססת על המאפיינים של תוספת שברים. אז נתחיל בדוגמה לבדיקת תוספת שברים.
\(\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}\)
כעת נעשה זאת הפוך כדי לפצל שבר בודד לשברים נפרדים.
אנו נציין כאן את מאפיין תוספת השבר בדיוק כפי שלמדת אותו ובהפוך.
אם a, b ו- c הם מספרים היכן\(c\neq 0\), אז
\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\]
אנו משתמשים בטופס משמאל כדי להוסיף שברים ואנחנו משתמשים בטופס מימין כדי לחלק פולינום על ידי מונומיום.
אנו משתמשים בצורה זו של תוספת שברים כדי לחלק פולינומים על ידי מונומיאלים.
כדי לחלק פולינום במונומיום, חלק כל מונח של הפולינום לפי המונומיום.
מצא את המנה: \(\dfrac{7 y^{2}+21}{7}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{8 z^{2}+24}{4}\)
- תשובה
-
\(2 z^{2}+6\)
מצא את המנה: \(\dfrac{18 z^{2}-27}{9}\)
- תשובה
-
\(2 z^{2}-3\)
זכור שניתן לייצג חלוקה כשבריר. כאשר אתה מתבקש לחלק פולינום על ידי מונומיום והוא כבר לא בצורת שבר, כתוב שבר עם הפולינום במונה והמונום במכנה.
מצא את המנה: \(\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}\)
מצא את המנה: \(\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b\)
- תשובה
-
\(9 b^{2}-11 b\)
מצא את המנה: \(\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y\)
- תשובה
-
\(5 y^{2}-11 y\)
כאשר אנו מתחלקים בשלילה, עלינו להיות זהירים במיוחד עם הסימנים.
מצא את המנה: \(\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}\)
- תשובה
-
\(-5 y^{2}+3 y\)
מצא את המנה: \(\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}\)
- תשובה
-
\(-7 b^{2}+3 b\)
מצא את המנה: \(\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}\)
- תשובה
-
\(15 d^{4}+6 d^{2}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}\)
- תשובה
-
\(36 p^{4}-8 p^{2}\)
מצא את המנה: \(\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}\)
מצא את המנה: \(\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)\)
- תשובה
-
\(-4 a+2 b\)
מצא את המנה: \(\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)\)
- תשובה
-
\(8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}\)
- תשובה
-
\(5 x y+3 y-2 y^{2}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}\)
- תשובה
-
\(5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}\)
- תשובה
-
\(3 c+1-\dfrac{3}{2 c}\)
מצא את המנה: \(\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}\)
- תשובה
-
\(2 d-1-\dfrac{2}{5 d}\)
חלק פולינום על ידי בינומי
כדי לחלק פולינום בבינומי, אנו עוקבים אחר הליך הדומה מאוד לחלוקה ארוכה של מספרים. אז בואו נסתכל היטב את הצעדים שאנו נוקטים כאשר אנו מחלקים מספר בן 3 ספרות, 875, במספר דו ספרתי, 25.
אנחנו כותבים את החלוקה הארוכה | ![]() |
אנו מחלקים את שתי הספרות הראשונות, 87, ב -25. | ![]() |
אנו מכפילים 3 פעמים 25 וכותבים את המוצר תחת 87. | ![]() |
כעת אנו מחסרים 75 מ- 87. | ![]() 3\\ 2 5\ longdiv {8 7 5}\\ -75\\ hline 125 \ סוף {מערך} \] |
ואז אנו מורידים את הספרה השלישית של הדיבידנד, 5. | ![]() |
חזור על התהליך, מחלק 25 ל 125. | ![]() |
אנו בודקים חלוקה על ידי הכפלת המנה במחלק.
אם עשינו את החלוקה בצורה נכונה, המוצר צריך להיות שווה לדיבידנד.
\[\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}\]
עכשיו נחלק טרינום על ידי בינומי. כשאתה קורא את הדוגמה, שים לב עד כמה השלבים דומים לדוגמא המספרית שלמעלה.
מצא את המנה: \(\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)\)
- תשובה
-
כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה. ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית. מחלקים את x 2 על ידי x. זה עשוי לעזור לשאול את עצמך, "מה אני צריך להכפיל x על ידי כדי לקבל x 2?" שים את התשובה, x, במנה מעל מונח ה- x. הכפל x פעמים x + 5. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד. חיסור x 2 + 5 x מ - x 2 + 9 x.
ואז להפיל את הקדנציה האחרונה, 20.מחלקים 4 x על ידי x. זה עשוי לעזור לשאול את עצמך, "מה אני צריך
להכפיל x על ידי כדי לקבל 4 x?"שים את התשובה, 4, במנה על פני המונח הקבוע. הכפל 4 פעמים x + 5. הפחת 4 איקס+ 20 מ -4 איקס+20. בדוק: הכפל את המנה על ידי המחלק. (איקס+ 4) (איקס+ 5) אתה צריך לקבל את הדיבידנד. איקס 2 + 9 איקס+ 20 ✓
מצא את המנה: \(\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)\)
- תשובה
-
y+7
מצא את המנה: \(\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)\)
- תשובה
-
מ '+5
כאשר למחלק יש סימן חיסור, עלינו להיות זהירים במיוחד כאשר אנו מכפילים את המנה החלקית ואז מחסרים. זה יכול להיות בטוח יותר להראות שאנחנו משנים את השלטים ולאחר מכן להוסיף.
מצא את המנה: \(\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)\)
- תשובה
-
כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה. ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית. מחלקים 2 x 2 על ידי x.
שים את התשובה, 2 x, במנה מעל מונח ה- x.הכפל 2 x פעמים x − 3. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד. גרע 2 x 2 - 6 x מ -2 x 2 - 5 x.
שנה את השלטים ולאחר מכן הוסף.
ואז להפיל את הקדנציה האחרונה.חלק את x על ידי x.
שים את התשובה, 1, במנה על פני המונח הקבוע.הכפל 1 פעמים x − 3. הפחת x - 3 מ- x - 3 על ידי שינוי הסימנים והוספה. כדי לבדוק, הכפל (x − 3) (2 x + 1). התוצאה צריכה להיות 2 x 2 - 5 x - 3.
מצא את המנה: \(\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)\)
- תשובה
-
2x+5
מצא את המנה: \(\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)\)
- תשובה
-
3x+2
כאשר חילקנו 875 ב -25, לא היה לנו שארית. אבל לפעמים חלוקת המספרים אכן משאירה שארית. הדבר נכון גם כאשר אנו מחלקים פולינומים. בתרגיל \(\PageIndex{25}\) תהיה לנו חלוקה שמשאירה שארית. אנו כותבים את השאר כשבר עם המחלק כמכנה.
מצא את המנה: \(\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)\)
- תשובה
-
כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה. ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית. מחלקים x 3 על ידי x.
שים את התשובה, x 2, במנה לאורך המונח x 2.
הכפל x 2 פעמים x + 1. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד.הפחת את x 3 + x 2 מ- x 3 − x 2 על ידי שינוי הסימנים והוספה.
ואז להפיל את הקדנציה הבאה.מחלקים -2 x 2 על ידי x.
שים את התשובה, -2 x, במנה מעל המונח x.
הכפל -2 x פעמים איקס+ 1. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד.הפחת -2 x 2 − 2 x מ -2 x 2 + x על ידי שינוי הסימנים והוספה.
ואז להפיל את הקדנציה האחרונה.מחלקים 3 x על ידי x.
שים את התשובה, 3, במנה על פני המונח הקבוע.
הכפל 3 פעמים x + 1. סדר את התנאים הדומים תחת הדיבידנד.הפחת 3 x + 3 מ - 3 x + 4 על ידי שינוי הסימנים והוספה.
כתוב את השאר כשבר עם המחלק כמכנה.כדי לבדוק, להכפיל \((x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)\)
התוצאה צריכה להיות \(x^{3}-x^{2}+x+4\)
מצא את המנה: \(\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)\)
- תשובה
-
\(x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}\)
מצא את המנה: \(\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)\)
- תשובה
-
\(2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}\)
הסתכל אחורה על הדיבידנדים בדוגמה , דוגמה ודוגמה. המונחים נכתבו בסדר יורד של מעלות, ולא היו חסרים תארים. הדיבידנד בדוגמה יהיה\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\). חסר לו \(x^{3}\) מונח. נוסיף \(0x^{3}\) כמציין מיקום.
מצא את המנה: \(\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)\)
- תשובה
-
שימו לב כי אין \(x^{3}\) מונח בדיבידנד. נוסיף \(0x^{3}\) כמציין מיקום.
כתוב את זה כבעיית חלוקה ארוכה. ודא שהדיבידנד הוא בצורה סטנדרטית עם מצייני מיקום עבור מונחים חסרים. מחלקים את x 4 על ידי x.
שים את התשובה, x 3, במנה לאורך המונח x 3.
הכפל x 3 פעמים x + 2. תסדרו את התנאים הדומים.
הפחת ואז הוריד את הקדנציה הבאה.מחלקים -2 x 3 על ידי x.
שים את התשובה, -2 x 2, במנה מעל המונח x 2.
הכפל -2 x 2 פעמים איקס+1. תסדרו את התנאים הדומים.
הפחת והוריד את הקדנציה הבאה.מחלקים 3 x 2 על ידי x.
שים את התשובה, 3 x, במנה מעל מונח ה- x.
הכפל 3 x פעמים x + 1. תסדרו את התנאים הדומים.
הפחת והוריד את הקדנציה הבאה.מחלקים - x על ידי x.
שים את התשובה, -1, במנה על פני המונח הקבוע.
הכפל -1 פעמים איקס+ 1. תסדרו את התנאים הדומים.
שנה את השלטים, הוסף.כדי לבדוק, הכפל \((x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)\) התוצאה צריכה להיות \(x^{4}-x^{2}+5 x-2\)
מצא את המנה: \(\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)\)
- תשובה
-
\(x^{2}-2 x+7\)
מצא את המנה: \(\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)\)
- תשובה
-
\(x^{3}-8 x^{2}+40 x-200\)
בתרגיל\(\PageIndex{31}\), נחלק לפי\(2a−3\). כשאנחנו מתחלקים נצטרך לקחת בחשבון את הקבועים כמו גם את המשתנים.
מצא את המנה: \(\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)\)
- תשובה
-
הפעם נראה את החלוקה הכל בצעד אחד. אנחנו צריכים להוסיף שני מצייני מיקום כדי לחלק.
כדי לבדוק, הכפל \((2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)\)
התוצאה צריכה להיות \(8 a^{3}+27\)
מצא את המנה: \(\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)\)
- תשובה
-
\(x^{2}+4 x+16\)
מצא את המנה: \(\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)\)
- תשובה
-
\(25 x^{2}+10 x+4\)
גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם חלוקת פולינומים:
- חלק פולינום על ידי מונומיום
- חלק פולינום במונומיום 2
- חלק את הפולינום לפי בינומי
מושגי מפתח
- תוספת שבר
- אם a, b ו- c הם מספרים היכן\(c\neq 0\), אז
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\) ו \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
- אם a, b ו- c הם מספרים היכן\(c\neq 0\), אז
- חלוקת פולינום על ידי מונומיאל
- כדי לחלק פולינום במונומיום, חלק כל מונח של הפולינום לפי המונומיום.