6.2: השתמש במאפייני כפל של אקספוננטים
- Page ID
- 205588
בסוף פרק זה תוכל:
- פשט ביטויים עם מעריכים
- פשט ביטויים באמצעות מאפיין המוצר עבור אקספוננטים
- פשט ביטויים באמצעות מאפיין הכוח עבור אקספוננטים
- פשט ביטויים באמצעות המוצר למאפיין כוח
- פשט ביטויים על ידי החלת מספר מאפיינים
- הכפל מונומיאלים
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- פשט: \(\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.6.13. - פשט:\((−2)(−2)(−2)\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.13.
פשט ביטויים עם אקספוננטים
זכור כי מעריך מציין כפל חוזר של אותה כמות. לדוגמה, \(2^4\) פירושו תוצר של \(4\) גורמים של\(2\), כך \(2^4\) אומר\(2·2·2·2\).
בואו נסקור את אוצר המילים עבור ביטויים עם אקספונסנטים.
זה נקרא \(a\) \(m^{th}\) לכוח.
בביטוי\(a^{m}\), המעריך \(m\) אומר לנו כמה פעמים אנו משתמשים בבסיס a כגורם.
לפני שנתחיל לעבוד עם ביטויים משתנים המכילים אקספוננטים, בואו נפשט כמה ביטויים הכוללים מספרים בלבד.
פשט:
- \(4^{3}\)
- \(7^{1}\)
- \(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\)
- \((0.63)^{2}\)
- תשובה
-
- \(\begin{array}{ll} & 4^{3}\\ {\text { Multiply three factors of } 4 .} & {4 \cdot 4 \cdot 4} \\ {\text { Simplify. }} & {64}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & 7^{1}\\ \text{Multiply one factor of 7.} & 7\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} &\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\ {\text { Multiply two factors. }} & {\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)} \\ {\text { Simplify. }} & {\frac{25}{36}}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} &(0.63)^{2}\\ {\text { Multiply two factors. }} & {(0.63)(0.63)} \\ {\text { Simplify. }} & {0.3969}\end{array}\)
פשט:
- \(6^{3}\)
- \(15^{1}\)
- \(\left(\frac{3}{7}\right)^{2}\)
- \((0.43)^{2}\)
- תשובה
-
- 216
- 15
- \(\frac{9}{49}\)
- 0.1849
פשט:
- \(2^{5}\)
- \(21^{1}\)
- \(\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\)
- \((0.218)^{2}\)
- תשובה
-
- 32
- 21
- \(\frac{8}{125}\)
- 0.047524
פשט:
- \((-5)^{4}\)
- \(-5^{4}\)
- תשובה
-
- \(\begin{array}{ll} &(-5)^{4}\\{\text { Multiply four factors of }-5} & {(-5)(-5)(-5)} \\ {\text { Simplify. }} & {625}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} &-5^{4}\\{\text { Multiply four factors of } 5 .} & {-(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)} \\ {\text { Simplify. }} & {-625}\end{array}\)
שימו לב לדמיון ולהבדלים בדוגמה \(\PageIndex{4}\) חלק 1 ובדוגמה \(\PageIndex{4}\) חלק 2! מדוע התשובות שונות? כאשר אנו עוקבים אחר סדר הפעולות בחלק 1 הסוגריים אומרים לנו להעלות \((−5)\) את הכוח הרביעי. בחלק 2 אנו מעלים רק \(5\) את הכוח הרביעי ואז לוקחים את ההפך.
פשט:
- \((-3)^{4}\)
- \(-3^{4}\)
- תשובה
-
- 81
- −81
פשט:
- \((-13)^{4}\)
- \(-13^{4}\)
- תשובה
-
- 169
- -169
פשט ביטויים באמצעות מאפיין המוצר עבור מעריכים
ראית שכאשר אתה משלב מונחים דומים על ידי הוספה וחיסור, אתה צריך שיהיה לך אותו בסיס עם אותו אקספקטנט. אבל כשאתה מכפיל ומחלק, המעריכים עשויים להיות שונים, ולפעמים גם הבסיסים עשויים להיות שונים.
נפיק את המאפיינים של אקספונסנטים על ידי חיפוש דפוסים בכמה דוגמאות.
ראשית, נבחן דוגמה שמובילה לנכס המוצר.
![]() |
|
מה זה אומר? כמה גורמים בסך הכל? |
![]() |
אז, יש לנו | ![]() |
שימו לב ש -5 הוא סכום המעריכים, 2 ו -3. | ![]() |
אנו כותבים: \[\begin{array}{c}{x^{2} \cdot x^{3}} \\ {x^{2+3}} \\ {x^{5}}\end{array}\]
הבסיס נשאר זהה והוספנו את המעריכים. זה מוביל לנכס המוצר עבור אקספונסנטים.
אם \(a\) הוא מספר אמיתי, \(m\) \(n\) והם סופרים מספרים, אז
\[a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\]
כדי להכפיל עם בסיסים דומים, הוסף את המעריכים.
דוגמה עם מספרים עוזרת לאמת מאפיין זה.
\[\begin{array}{rll} {2^3\cdot2^2} &\stackrel{?}{=} & 2^{2+3}\\ {4\cdot 8} &\stackrel{?}{=} & 2^{5} \\ {32} &=& 32\checkmark\end{array}\]
פשט: \(y^{5} \cdot y^{6}\)
- תשובה
-
השתמש במאפיין המוצר,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\). לפשט.
פשט: \(b^{9} \cdot b^{8}\)
- תשובה
-
\(b^{17}\)
פשט: \(x^{12} \cdot x^{4}\)
- תשובה
-
\(x^{16}\)
פשט:
- \(2^{5} \cdot 2^{9}\)
- \(3\cdot 3^{4}\)
- תשובה
-
ת.
השתמש במאפיין המוצר,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\). לפשט. ב.
השתמש במאפיין המוצר,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\). לפשט.
פשט:
- \(5\cdot 5^{5}\)
- \(4^{9} \cdot 4^{9}\)
- תשובה
-
- \(5^{6}\)
- \(4^{18}\)
פשט:
- \(7^{6} \cdot 7^{8}\)
- \(10 \cdot 10^{10}\)
- תשובה
-
- \(7^{14}\)
- \(10^{11}\)
פשט:
- \(a^{7} \cdot a\)
- \(x^{27} \cdot x^{13}\)
- תשובה
-
ת.
לשכתב, \(a = a^1\) השתמש במאפיין המוצר,\(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). לפשט. ב.
שימו לב, הבסיסים זהים, אז הוסיפו את המעריכים. לפשט.
פשט:
- \(p^{5} \cdot p\)
- \(y^{14} \cdot y^{29}\)
- תשובה
-
- \(p^{6}\)
- \(y^{43}\)
פשט:
- \(z \cdot z^{7}\)
- \(b^{15} \cdot b^{34}\)
- תשובה
-
- \(z^{8}\)
- \(b^{49}\)
אנו יכולים להרחיב את נכס המוצר עבור אקספונסנטים ליותר משני גורמים.
פשט: \(d^{4} \cdot d^{5} \cdot d^{2}\)
- תשובה
-
הוסף את המעריכים, מכיוון שהבסיסים זהים. לפשט.
פשט: \(x^{6} \cdot x^{4} \cdot x^{8}\)
- תשובה
-
\(x^{18}\)
פשט: \(b^{5} \cdot b^{9} \cdot b^{5}\)
- תשובה
-
\(b^{19}\)
פשט ביטויים באמצעות מאפיין הכוח עבור מעריכים
עכשיו בואו נסתכל על ביטוי אקספוננציאלי המכיל כוח שהועלה לכוח. בדוק אם אתה יכול לגלות נכס כללי.
![]() |
|
מה זה אומר? כמה גורמים בסך הכל? |
![]() |
אז יש לנו | ![]() |
שימו לב ש- 6 הוא תוצר של המעריכים, 2 ו -3. | ![]() |
אנו כותבים:
\[\begin{array}{c}{\left(x^{2}\right)^{3}} \\ {x^{2 \cdot 3}} \\ {x^{6}}\end{array}\]
הכפלנו את המעריכים. זה מוביל לנכס הכוח עבור אקספונסנטים.
אם \(a\) הוא מספר אמיתי, \(m\) \(n\) והם מספרים שלמים, אז
\[\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\]
כדי להעלות כוח לכוח, הכפל את המעריכים.
דוגמה עם מספרים עוזרת לאמת מאפיין זה.
\[\begin{array} {lll} \left(3^{2}\right)^{3} &\stackrel{?}{=}&3^{2 \cdot 3} \\(9)^{3} &\stackrel{?}{=} & 3^{6} \\ 729 &=&729\checkmark \end{array}\]
פשט:
- \(\left(y^{5}\right)^{9}\)
- \(\left(4^{4}\right)^{7}\)
- תשובה
-
ת.
השתמש במאפיין הכוח,\(\big(a^m\big)^n = a^{m\cdot n}\). לפשט. ב.
השתמש במאפיין הכוח. לפשט.
פשט:
- \( \left(b^{7}\right)^{5} \)
- \(\left(5^{4}\right)^{3}\)
- תשובה
-
- \( b^{35}\)
- \(5^{12}\)
פשט:
- \(\left(z^{6}\right)^{9}\)
- \(\left(3^{7}\right)^{7}\)
- תשובה
-
- \(z^{54}\)
- \(3^{49}\)
פשט ביטויים באמצעות המוצר למאפיין כוח
כעת נבחן ביטוי המכיל מוצר המועלה לכוח. האם אתה יכול למצוא דפוס זה?
\(\begin{array}{ll}{\text { What does this mean? }} & {\text { (2x) }^{3}} \\ {\text { We group the like factors together. }} & {2 x \cdot 2 x \cdot 2 x} \\ {\text { How many factors of } 2 \text { and of } x ?} & {2 \cdot 2 \cdot x^{3}} \\ {\text { Notice that each factor was raised to the power and }(2 x)^{3} \text { is } 2^{3} \cdot x^{3}}\end{array}\)
\(\begin{array}{ll}\text{We write:} & {(2 x)^{3}} \\ & {2^{3} \cdot x^{3}}\end{array}\)
המעריך חל על כל אחד מהגורמים! זה מוביל למוצר לנכס כוח עבור מעריכים.
אם \(a\) \(b\) והם מספרים ממשיים \(m\) והוא מספר שלם, אז
\[(a b)^{m}=a^{m} b^{m}\]
כדי להעלות מוצר לעוצמה, העלה כל גורם לכוח זה.
דוגמה עם מספרים עוזרת לאמת מאפיין זה:
\ [\ להתחיל {מערך} {lll} (2\ cdot 3) ^ {2} &\ stackrel {?} {=} &2^ {2}\ cdot 3^ {2}\\ 6^ {2} &\ סטאקרל {?} {=} &4\ cdot 9\\ 36 &=&36\ סימן ביקורת
\ סוף {מערך}\]
פשט:
- \((-9 d)^{2}\)
- \((3mn)^{3}\).
- תשובה
-
ת.
השתמש בכוח של נכס מוצר,\((ab)^m=a^m b^m\). לפשט. השתמש בכוח של נכס מוצר,\((ab)^m=a^m b^m\). לפשט.
פשט:
- \((-12 y)^{2}\)
- \((2 w x)^{5}\)
- תשובה
-
- \(144y^{2}\)
- \(32w^{5} x^{5}\)
פשט:
- \((5 w x)^{3}\)
- \((-3 y)^{3}\)
- תשובה
-
- 125 \(w^{3} x^{3}\)
- \(-27 y^{3}\)
פשט ביטויים על ידי החלת מספר מאפיינים
כעת יש לנו שלושה מאפיינים להכפלת ביטויים עם אקספוננטים. בואו נסכם אותם ואז נעשה כמה דוגמאות המשתמשות ביותר מאחד המאפיינים.
אם \(a\) \(b\) והם מספרים ממשיים, \(m\) \(n\) והם מספרים שלמים, אז
\[\begin{array}{llll} \textbf{Product Property } & a^{m} \cdot a^{n}&=&a^{m+n} \\ \textbf {Power Property } &\left(a^{m}\right)^{n}&=&a^{m n} \\ \textbf {Product to a Power } &(a b)^{m}&=&a^{m} b^{m} \end{array}\]
כל המאפיינים המעריכים נכונים עבור כל מספרים ממשיים \(m\) ו\(n\). נכון לעכשיו, אנו משתמשים רק במעריכי מספרים שלמים.
פשט:
- \(\left(y^{3}\right)^{6}\left(y^{5}\right)^{4}\)
- \(\left(-6 x^{4} y^{5}\right)^{2}\)
- תשובה
-
- \(\begin{array}{ll}& \left(y^{3}\right)^{6}\left(y^{5}\right)^{4}\\ {\text { Use the Power Property. }}& y^{18} \cdot y^{20} \\ {\text { Add the exponents. }} & y^{38} \end{array}\)
- \(\begin{array}{ll}& \left(-6 x^{4} y^{5}\right)^{2}\\ {\text { Use the Product to a Power Property. }} & {(-6)^{2}\left(x^{4}\right)^{2}\left(y^{5}\right)^{2}} \\ {\text { Use the Power Property. }} & {(-6)^{2}\left(x^{8}\right)\left(y^{10}\right)^{2}} \\ {\text { Simplify. }} & {36 x^{8} y^{10}}\end{array}\)
פשט:
- \(\left(a^{4}\right)^{5}\left(a^{7}\right)^{4}\)
- \(\left(-2 c^{4} d^{2}\right)^{3}\)
- תשובה
-
- \(a^{48}\)
- \(-8 c^{12} d^{6}\)
פשט:
- \(\left(-3 x^{6} y^{7}\right)^{4}\)
- \(\left(q^{4}\right)^{5}\left(q^{3}\right)^{3}\)
- תשובה
-
- 81 \(x^{24} y^{28}\)
- \(q^{29}\)
פשט:
- \((5 m)^{2}\left(3 m^{3}\right)\)
- \(\left(3 x^{2} y\right)^{4}\left(2 x y^{2}\right)^{3}\)
- תשובה
-
- \(\begin{array}{ll}& (5 m)^{2}\left(3 m^{3}\right)\\{\text { Raise } 5 m \text { to the second power. }} & {5^{2} m^{2} \cdot 3 m^{3}} \\ {\text { Simplify. }} & {25 m^{2} \cdot 3 m^{3}} \\ {\text { Use the Commutative Property. }} & {25 \cdot 3 \cdot m^{2} \cdot m^{3}} \\ {\text { Multiply the constants and add the exponents. }} & {75 m^{5}}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & \left(3 x^{2} y\right)^{4}\left(2 x y^{2}\right)^{3} \\ \text{Use the Product to a Power Property.} & \left(3^{4} x^{8} y^{4}\right)\left(2^{3} x^{3} y^{6}\right)\\\text{Simplify.} & \left(81 x^{8} y^{4}\right)\left(8 x^{3} y^{6}\right)\\ \text{Use the Commutative Property.} &81\cdot 8 \cdot x^{8} \cdot x^{3} \cdot y^{4} \cdot y^{6} \\\text{Multiply the constants and add the exponents.} & 648x^{11} y^{10}\\ \end{array}\)
פשט:
- \((5 n)^{2}\left(3 n^{10}\right)\)
- \(\left(c^{4} d^{2}\right)^{5}\left(3 c d^{5}\right)^{4}\)
- תשובה
-
- 75 \(n^{12}\)
- 81 \(c^{24} d^{30}\)
פשט:
- \(\left(a^{3} b^{2}\right)^{6}\left(4 a b^{3}\right)^{4}\)
- \((2 x)^{3}\left(5 x^{7}\right)\)
- תשובה
-
- 256 \(a^{22} b^{24}\)
- 40 \(x^{10}\)
הכפל מונומיאלים
מכיוון שמונום הוא ביטוי אלגברי, אנו יכולים להשתמש בתכונות של אקספוננטים כדי להכפיל מונומיאלים.
הכפל: \(\left(3 x^{2}\right)\left(-4 x^{3}\right)\)
- תשובה
-
\ (\ התחל {array} {ll} &\ left (3 x^ {2}\ ימין)\ שמאל (-4 x^ {3}\ ימין)\\ text {השתמש במאפיין הקומוטטיבי כדי לארגן מחדש את התנאים.} & 3\ cdot (-4)\ cdot x ^ {2}\ cdot x ^ {3}\\\
טקסט {כפל.} & -12 x^ {5}\ סוף {מערך}\)
הכפל: \(\left(5 y^{7}\right)\left(-7 y^{4}\right)\)
- תשובה
-
\(-35 y^{11}\)
הכפל: \(\left(-6 b^{4}\right)\left(-9 b^{5}\right)\)
- תשובה
-
54 \(b^{9}\)
הכפל: \(\left(\frac{5}{6} x^{3} y\right)\left(12 x y^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & \left(\frac{5}{6} x^{3} y\right)\left(12 x y^{2}\right)\\ \text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.} & \frac{5}{6} \cdot 12 \cdot x^{3} \cdot x \cdot y \cdot y^{2}\\ \text{Multiply.} &10x^{4} y^{3}\end{array}\)
הכפל: \(\left(\frac{2}{5} a^{4} b^{3}\right)\left(15 a b^{3}\right)\)
- תשובה
-
6 \(a^{5} b^{6}\)
הכפל: \(\left(\frac{2}{3} r^{5} s\right)\left(12 r^{6} s^{7}\right)\)
- תשובה
-
8 \(r^{11} s^{8}\)
גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים באמצעות תכונות כפל של מעריכים:
- מאפייני כפל של אקספוננטים
מושגי מפתח
- סימון אקספוננציאלי
- מאפיינים של אקספונסנטים
- אם \(a\) \(b\) והם מספרים ממשיים \(m\) \(n\) והם מספרים שלמים, אז
\[\begin{array}{llll} \textbf{Product Property } & a^{m} \cdot a^{n}&=&a^{m+n} \\ \textbf {Power Property } &\left(a^{m}\right)^{n}&=&a^{m n} \\ \textbf {Product to a Power } &(a b)^{m}&=&a^{m} b^{m} \end{array}\]