Skip to main content
Global

6.2: השתמש במאפייני כפל של אקספוננטים

  • Page ID
    205588
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה תוכל:

    • פשט ביטויים עם מעריכים
    • פשט ביטויים באמצעות מאפיין המוצר עבור אקספוננטים
    • פשט ביטויים באמצעות מאפיין הכוח עבור אקספוננטים
    • פשט ביטויים באמצעות המוצר למאפיין כוח
    • פשט ביטויים על ידי החלת מספר מאפיינים
    • הכפל מונומיאלים
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. פשט: \(\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.6.13.
    2. פשט:\((−2)(−2)(−2)\).
      אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.13.

    פשט ביטויים עם אקספוננטים

    זכור כי מעריך מציין כפל חוזר של אותה כמות. לדוגמה, \(2^4\) פירושו תוצר של \(4\) גורמים של\(2\), כך \(2^4\) אומר\(2·2·2·2\).

    בואו נסקור את אוצר המילים עבור ביטויים עם אקספונסנטים.

    סימון מעריכי

    נתון זה כולל שתי עמודות. בעמודה השמאלית יש כוח m. ה- m מסומן בכחול כמעריך. ה- a מסומן באדום כבסיס. בעמודה הימנית מופיע הטקסט "a to m כוח פירושו להכפיל m גורמים של a." מתחת לזה יש כוח m שווה פעמים פעמים פעמים a, ואחריו אליפסה, עם "m factors" כתוב למטה בכחול.

    זה נקרא \(a\) \(m^{th}\) לכוח.

    בביטוי\(a^{m}\), המעריך \(m\) אומר לנו כמה פעמים אנו משתמשים בבסיס a כגורם.

    נתון זה כולל שתי עמודות. העמודה השמאלית מכילה 4 קוביות. להלן 4 פעמים 4 פעמים 4, עם "3 גורמים" כתוב למטה בכחול. העמודה הימנית מכילה שלילי 9 לכוח החמישי. מתחת לזה שלילי 9 פעמים שלילי 9 פעמים שלילי 9 פעמים שלילי 9 פעמים שלילי 9, עם "5 גורמים" כתוב להלן בכחול.

    לפני שנתחיל לעבוד עם ביטויים משתנים המכילים אקספוננטים, בואו נפשט כמה ביטויים הכוללים מספרים בלבד.

    דוגמא \(\PageIndex{1}\)

    פשט:

    1. \(4^{3}\)
    2. \(7^{1}\)
    3. \(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\)
    4. \((0.63)^{2}\)
    תשובה
    1. \(\begin{array}{ll} & 4^{3}\\ {\text { Multiply three factors of } 4 .} & {4 \cdot 4 \cdot 4} \\ {\text { Simplify. }} & {64}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{ll} & 7^{1}\\ \text{Multiply one factor of 7.} & 7\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{ll} &\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\ {\text { Multiply two factors. }} & {\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)} \\ {\text { Simplify. }} & {\frac{25}{36}}\end{array}\)
    4. \(\begin{array}{ll} &(0.63)^{2}\\ {\text { Multiply two factors. }} & {(0.63)(0.63)} \\ {\text { Simplify. }} & {0.3969}\end{array}\)
    דוגמא \(\PageIndex{2}\)

    פשט:

    1. \(6^{3}\)
    2. \(15^{1}\)
    3. \(\left(\frac{3}{7}\right)^{2}\)
    4. \((0.43)^{2}\)
    תשובה
    1. 216
    2. 15
    3. \(\frac{9}{49}\)
    4. 0.1849
    דוגמא \(\PageIndex{3}\)

    פשט:

    1. \(2^{5}\)
    2. \(21^{1}\)
    3. \(\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\)
    4. \((0.218)^{2}\)
    תשובה
    1. 32
    2. 21
    3. \(\frac{8}{125}\)
    4. 0.047524
    דוגמא \(\PageIndex{4}\)

    פשט:

    1. \((-5)^{4}\)
    2. \(-5^{4}\)
    תשובה
    1. \(\begin{array}{ll} &(-5)^{4}\\{\text { Multiply four factors of }-5} & {(-5)(-5)(-5)} \\ {\text { Simplify. }} & {625}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{ll} &-5^{4}\\{\text { Multiply four factors of } 5 .} & {-(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)} \\ {\text { Simplify. }} & {-625}\end{array}\)

    שימו לב לדמיון ולהבדלים בדוגמה \(\PageIndex{4}\) חלק 1 ובדוגמה \(\PageIndex{4}\) חלק 2! מדוע התשובות שונות? כאשר אנו עוקבים אחר סדר הפעולות בחלק 1 הסוגריים אומרים לנו להעלות \((−5)\) את הכוח הרביעי. בחלק 2 אנו מעלים רק \(5\) את הכוח הרביעי ואז לוקחים את ההפך.

    דוגמא \(\PageIndex{5}\)

    פשט:

    1. \((-3)^{4}\)
    2. \(-3^{4}\)
    תשובה
    1. 81
    2. −81
    דוגמא \(\PageIndex{6}\)

    פשט:

    1. \((-13)^{4}\)
    2. \(-13^{4}\)
    תשובה
    1. 169
    2. -169

    פשט ביטויים באמצעות מאפיין המוצר עבור מעריכים

    ראית שכאשר אתה משלב מונחים דומים על ידי הוספה וחיסור, אתה צריך שיהיה לך אותו בסיס עם אותו אקספקטנט. אבל כשאתה מכפיל ומחלק, המעריכים עשויים להיות שונים, ולפעמים גם הבסיסים עשויים להיות שונים.

    נפיק את המאפיינים של אקספונסנטים על ידי חיפוש דפוסים בכמה דוגמאות.

    ראשית, נבחן דוגמה שמובילה לנכס המוצר.

      x פעמים בריבוע x קוביות.
    מה זה אומר?
    כמה גורמים בסך הכל?
    x פעמים x, כפול x פעמים x x פעמים x יש שני גורמים. x פעמים x פעמים x יש שלושה גורמים. 2 פלוס 3 הוא חמישה גורמים.
    אז, יש לנו x לכוח החמישי.
    שימו לב ש -5 הוא סכום המעריכים, 2 ו -3. x פעמים בריבוע x קוביות הוא x לעוצמה של 2 פלוס 3, או x לכוח החמישי.

    אנו כותבים: \[\begin{array}{c}{x^{2} \cdot x^{3}} \\ {x^{2+3}} \\ {x^{5}}\end{array}\]

    הבסיס נשאר זהה והוספנו את המעריכים. זה מוביל לנכס המוצר עבור אקספונסנטים.

    נכס מוצר למעריכים

    אם \(a\) הוא מספר אמיתי, \(m\) \(n\) והם סופרים מספרים, אז

    \[a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\]

    כדי להכפיל עם בסיסים דומים, הוסף את המעריכים.

    דוגמה עם מספרים עוזרת לאמת מאפיין זה.

    \[\begin{array}{rll} {2^3\cdot2^2} &\stackrel{?}{=} & 2^{2+3}\\ {4\cdot 8} &\stackrel{?}{=} & 2^{5} \\ {32} &=& 32\checkmark\end{array}\]

    דוגמא \(\PageIndex{7}\)

    פשט: \(y^{5} \cdot y^{6}\)

    תשובה
      y לכוח החמישי כפול y לכוח השישי.
    השתמש במאפיין המוצר,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\). y לכוח של 5 פלוס 6.
    לפשט. y לכוח האחד-עשר.
    דוגמא \(\PageIndex{8}\)

    פשט: \(b^{9} \cdot b^{8}\)

    תשובה

    \(b^{17}\)

    דוגמא \(\PageIndex{9}\)

    פשט: \(x^{12} \cdot x^{4}\)

    תשובה

    \(x^{16}\)

    דוגמא \(\PageIndex{10}\)

    פשט:

    1. \(2^{5} \cdot 2^{9}\)
    2. \(3\cdot 3^{4}\)
    תשובה

    ת.

      2 לכוח החמישי כפול 2 לכוח התשיעי.
    השתמש במאפיין המוצר,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\). 2 לכוח של 5 פלוס 9.
    לפשט. 2 לכוח ה -14.

    ב.

      3 עד הכוח החמישי כפול 3 לכוח הרביעי.
    השתמש במאפיין המוצר,\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\). 3 לעוצמה של 5 פלוס 4.
    לפשט. 3 לכוח התשיעי.
    דוגמא \(\PageIndex{11}\)

    פשט:

    1. \(5\cdot 5^{5}\)
    2. \(4^{9} \cdot 4^{9}\)
    תשובה
    1. \(5^{6}\)
    2. \(4^{18}\)
    דוגמא \(\PageIndex{12}\)

    פשט:

    1. \(7^{6} \cdot 7^{8}\)
    2. \(10 \cdot 10^{10}\)
    תשובה
    1. \(7^{14}\)
    2. \(10^{11}\)
    דוגמא \(\PageIndex{13}\)

    פשט:

    1. \(a^{7} \cdot a\)
    2. \(x^{27} \cdot x^{13}\)
    תשובה

    ת.

      א עד הכוח השביעי פעמים א.
    לשכתב, \(a = a^1\) א לכוח השביעי כפול א 'לכוח הראשון.
    השתמש במאפיין המוצר,\(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). A לכוח של 7 פלוס 1.
    לפשט. עד הכוח השמיני.

    ב.

      x לכוח העשרים ושבע כפול x לכוח השלוש עשרה.
    שימו לב, הבסיסים זהים, אז הוסיפו את המעריכים. x לכוח של 27 פלוס 13.
    לפשט. x לכוח הארבעים.
    דוגמא \(\PageIndex{14}\)

    פשט:

    1. \(p^{5} \cdot p\)
    2. \(y^{14} \cdot y^{29}\)
    תשובה
    1. \(p^{6}\)
    2. \(y^{43}\)
    דוגמא \(\PageIndex{15}\)

    פשט:

    1. \(z \cdot z^{7}\)
    2. \(b^{15} \cdot b^{34}\)
    תשובה
    1. \(z^{8}\)
    2. \(b^{49}\)

    אנו יכולים להרחיב את נכס המוצר עבור אקספונסנטים ליותר משני גורמים.

    דוגמא \(\PageIndex{16}\)

    פשט: \(d^{4} \cdot d^{5} \cdot d^{2}\)

    תשובה
      d לכוח הרביעי כפול d לכוח החמישי כפול d בריבוע.
    הוסף את המעריכים, מכיוון שהבסיסים זהים. d לעוצמה של 4 פלוס 5 פלוס 2.
    לפשט. ד לכוח האחד-עשר.
    דוגמא \(\PageIndex{17}\)

    פשט: \(x^{6} \cdot x^{4} \cdot x^{8}\)

    תשובה

    \(x^{18}\)

    דוגמא \(\PageIndex{18}\)

    פשט: \(b^{5} \cdot b^{9} \cdot b^{5}\)

    תשובה

    \(b^{19}\)

    פשט ביטויים באמצעות מאפיין הכוח עבור מעריכים

    עכשיו בואו נסתכל על ביטוי אקספוננציאלי המכיל כוח שהועלה לכוח. בדוק אם אתה יכול לגלות נכס כללי.

      x בריבוע, בסוגריים, בקוביות.
    מה זה אומר?
    כמה גורמים בסך הכל?
    x בקוביות בריבוע הוא x בריבוע פעמים x בריבוע x בריבוע, שהוא x פעמים x, כפול x פעמים x, כפול x פעמים x x פעמים x יש שני גורמים. שניים ועוד שניים ועוד שניים זה שישה גורמים.
    אז יש לנו x לכוח השישי.
    שימו לב ש- 6 הוא תוצר של המעריכים, 2 ו -3. x בקוביות בריבוע הוא x לעוצמה של 2 פעמים 3, או x לכוח השישי.

    אנו כותבים:

    \[\begin{array}{c}{\left(x^{2}\right)^{3}} \\ {x^{2 \cdot 3}} \\ {x^{6}}\end{array}\]

    הכפלנו את המעריכים. זה מוביל לנכס הכוח עבור אקספונסנטים.

    נכס כוח למעריכים

    אם \(a\) הוא מספר אמיתי, \(m\) \(n\) והם מספרים שלמים, אז

    \[\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\]

    כדי להעלות כוח לכוח, הכפל את המעריכים.

    דוגמה עם מספרים עוזרת לאמת מאפיין זה.

    \[\begin{array} {lll} \left(3^{2}\right)^{3} &\stackrel{?}{=}&3^{2 \cdot 3} \\(9)^{3} &\stackrel{?}{=} & 3^{6} \\ 729 &=&729\checkmark \end{array}\]

    דוגמא \(\PageIndex{19}\)

    פשט:

    1. \(\left(y^{5}\right)^{9}\)
    2. \(\left(4^{4}\right)^{7}\)
    תשובה

    ת.

      y לכוח החמישי, בסוגריים, לכוח התשיעי.
    השתמש במאפיין הכוח,\(\big(a^m\big)^n = a^{m\cdot n}\). y לכוח של 5 פעמים 9.
    לפשט. y לכוח ה -45.

    ב.

      4 לכוח הרביעי, בסוגריים, לכוח השביעי.
    השתמש במאפיין הכוח. 4 לכוח של 4 פעמים 7.
    לפשט. 4 לכוח העשרים ושמונה.
    דוגמא \(\PageIndex{20}\)

    פשט:

    1. \( \left(b^{7}\right)^{5} \)
    2. \(\left(5^{4}\right)^{3}\)
    תשובה
    1. \( b^{35}\)
    2. \(5^{12}\)
    דוגמא \(\PageIndex{21}\)

    פשט:

    1. \(\left(z^{6}\right)^{9}\)
    2. \(\left(3^{7}\right)^{7}\)
    תשובה
    1. \(z^{54}\)
    2. \(3^{49}\)

    פשט ביטויים באמצעות המוצר למאפיין כוח

    כעת נבחן ביטוי המכיל מוצר המועלה לכוח. האם אתה יכול למצוא דפוס זה?

    \(\begin{array}{ll}{\text { What does this mean? }} & {\text { (2x) }^{3}} \\ {\text { We group the like factors together. }} & {2 x \cdot 2 x \cdot 2 x} \\ {\text { How many factors of } 2 \text { and of } x ?} & {2 \cdot 2 \cdot x^{3}} \\ {\text { Notice that each factor was raised to the power and }(2 x)^{3} \text { is } 2^{3} \cdot x^{3}}\end{array}\)

    \(\begin{array}{ll}\text{We write:} & {(2 x)^{3}} \\ & {2^{3} \cdot x^{3}}\end{array}\)

    המעריך חל על כל אחד מהגורמים! זה מוביל למוצר לנכס כוח עבור מעריכים.

    מוצר לנכס כוח למעריכים

    אם \(a\) \(b\) והם מספרים ממשיים \(m\) והוא מספר שלם, אז

    \[(a b)^{m}=a^{m} b^{m}\]

    כדי להעלות מוצר לעוצמה, העלה כל גורם לכוח זה.

    דוגמה עם מספרים עוזרת לאמת מאפיין זה:

    \ [\ להתחיל {מערך} {lll} (2\ cdot 3) ^ {2} &\ stackrel {?} {=} &2^ {2}\ cdot 3^ {2}\\ 6^ {2} &\ סטאקרל {?} {=} &4\ cdot 9\\ 36 &=&36\ סימן ביקורת
    \ סוף {מערך}\]

    דוגמא \(\PageIndex{22}\)

    פשט:

    1. \((-9 d)^{2}\)
    2. \((3mn)^{3}\).
    תשובה

    ת.

      שלילי 9 ד בריבוע.
    השתמש בכוח של נכס מוצר,\((ab)^m=a^m b^m\). שלילי 9 בריבוע d בריבוע.
    לפשט. 81 ד 'בריבוע.
    ב.
      3 מ 'n קוביות.
    השתמש בכוח של נכס מוצר,\((ab)^m=a^m b^m\). 3 קוביות מ 'קוביות n בקוביות.
    לפשט. 27 מ 'קוביות n בקוביות.
    דוגמא \(\PageIndex{23}\)

    פשט:

    1. \((-12 y)^{2}\)
    2. \((2 w x)^{5}\)
    תשובה
    1. \(144y^{2}\)
    2. \(32w^{5} x^{5}\)
    דוגמא \(\PageIndex{24}\)

    פשט:

    1. \((5 w x)^{3}\)
    2. \((-3 y)^{3}\)
    תשובה
    1. 125 \(w^{3} x^{3}\)
    2. \(-27 y^{3}\)

    פשט ביטויים על ידי החלת מספר מאפיינים

    כעת יש לנו שלושה מאפיינים להכפלת ביטויים עם אקספוננטים. בואו נסכם אותם ואז נעשה כמה דוגמאות המשתמשות ביותר מאחד המאפיינים.

    מאפיינים של אקספונסנטים

    אם \(a\) \(b\) והם מספרים ממשיים, \(m\) \(n\) והם מספרים שלמים, אז

    \[\begin{array}{llll} \textbf{Product Property } & a^{m} \cdot a^{n}&=&a^{m+n} \\ \textbf {Power Property } &\left(a^{m}\right)^{n}&=&a^{m n} \\ \textbf {Product to a Power } &(a b)^{m}&=&a^{m} b^{m} \end{array}\]

    כל המאפיינים המעריכים נכונים עבור כל מספרים ממשיים \(m\) ו\(n\). נכון לעכשיו, אנו משתמשים רק במעריכי מספרים שלמים.

    דוגמא \(\PageIndex{25}\)

    פשט:

    1. \(\left(y^{3}\right)^{6}\left(y^{5}\right)^{4}\)
    2. \(\left(-6 x^{4} y^{5}\right)^{2}\)
    תשובה
    1. \(\begin{array}{ll}& \left(y^{3}\right)^{6}\left(y^{5}\right)^{4}\\ {\text { Use the Power Property. }}& y^{18} \cdot y^{20} \\ {\text { Add the exponents. }} & y^{38} \end{array}\)
    2. \(\begin{array}{ll}& \left(-6 x^{4} y^{5}\right)^{2}\\ {\text { Use the Product to a Power Property. }} & {(-6)^{2}\left(x^{4}\right)^{2}\left(y^{5}\right)^{2}} \\ {\text { Use the Power Property. }} & {(-6)^{2}\left(x^{8}\right)\left(y^{10}\right)^{2}} \\ {\text { Simplify. }} & {36 x^{8} y^{10}}\end{array}\)
    דוגמא \(\PageIndex{26}\)

    פשט:

    1. \(\left(a^{4}\right)^{5}\left(a^{7}\right)^{4}\)
    2. \(\left(-2 c^{4} d^{2}\right)^{3}\)
    תשובה
    1. \(a^{48}\)
    2. \(-8 c^{12} d^{6}\)
    דוגמא \(\PageIndex{27}\)

    פשט:

    1. \(\left(-3 x^{6} y^{7}\right)^{4}\)
    2. \(\left(q^{4}\right)^{5}\left(q^{3}\right)^{3}\)
    תשובה
    1. 81 \(x^{24} y^{28}\)
    2. \(q^{29}\)
    דוגמא \(\PageIndex{28}\)

    פשט:

    1. \((5 m)^{2}\left(3 m^{3}\right)\)
    2. \(\left(3 x^{2} y\right)^{4}\left(2 x y^{2}\right)^{3}\)
    תשובה
    1. \(\begin{array}{ll}& (5 m)^{2}\left(3 m^{3}\right)\\{\text { Raise } 5 m \text { to the second power. }} & {5^{2} m^{2} \cdot 3 m^{3}} \\ {\text { Simplify. }} & {25 m^{2} \cdot 3 m^{3}} \\ {\text { Use the Commutative Property. }} & {25 \cdot 3 \cdot m^{2} \cdot m^{3}} \\ {\text { Multiply the constants and add the exponents. }} & {75 m^{5}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{ll} & \left(3 x^{2} y\right)^{4}\left(2 x y^{2}\right)^{3} \\ \text{Use the Product to a Power Property.} & \left(3^{4} x^{8} y^{4}\right)\left(2^{3} x^{3} y^{6}\right)\\\text{Simplify.} & \left(81 x^{8} y^{4}\right)\left(8 x^{3} y^{6}\right)\\ \text{Use the Commutative Property.} &81\cdot 8 \cdot x^{8} \cdot x^{3} \cdot y^{4} \cdot y^{6} \\\text{Multiply the constants and add the exponents.} & 648x^{11} y^{10}\\ \end{array}\)
    דוגמא \(\PageIndex{29}\)

    פשט:

    1. \((5 n)^{2}\left(3 n^{10}\right)\)
    2. \(\left(c^{4} d^{2}\right)^{5}\left(3 c d^{5}\right)^{4}\)
    תשובה
    1. 75 \(n^{12}\)
    2. 81 \(c^{24} d^{30}\)
    דוגמא \(\PageIndex{30}\)

    פשט:

    1. \(\left(a^{3} b^{2}\right)^{6}\left(4 a b^{3}\right)^{4}\)
    2. \((2 x)^{3}\left(5 x^{7}\right)\)
    תשובה
    1. 256 \(a^{22} b^{24}\)
    2. 40 \(x^{10}\)

    הכפל מונומיאלים

    מכיוון שמונום הוא ביטוי אלגברי, אנו יכולים להשתמש בתכונות של אקספוננטים כדי להכפיל מונומיאלים.

    דוגמא \(\PageIndex{31}\)

    הכפל: \(\left(3 x^{2}\right)\left(-4 x^{3}\right)\)

    תשובה

    \ (\ התחל {array} {ll} &\ left (3 x^ {2}\ ימין)\ שמאל (-4 x^ {3}\ ימין)\\ text {השתמש במאפיין הקומוטטיבי כדי לארגן מחדש את התנאים.} & 3\ cdot (-4)\ cdot x ^ {2}\ cdot x ^ {3}\\\
    טקסט {כפל.} & -12 x^ {5}\ סוף {מערך}\)

    דוגמא \(\PageIndex{32}\)

    הכפל: \(\left(5 y^{7}\right)\left(-7 y^{4}\right)\)

    תשובה

    \(-35 y^{11}\)

    דוגמא \(\PageIndex{33}\)

    הכפל: \(\left(-6 b^{4}\right)\left(-9 b^{5}\right)\)

    תשובה

    54 \(b^{9}\)

    דוגמא \(\PageIndex{34}\)

    הכפל: \(\left(\frac{5}{6} x^{3} y\right)\left(12 x y^{2}\right)\)

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} & \left(\frac{5}{6} x^{3} y\right)\left(12 x y^{2}\right)\\ \text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.} & \frac{5}{6} \cdot 12 \cdot x^{3} \cdot x \cdot y \cdot y^{2}\\ \text{Multiply.} &10x^{4} y^{3}\end{array}\)

    דוגמא \(\PageIndex{35}\)

    הכפל: \(\left(\frac{2}{5} a^{4} b^{3}\right)\left(15 a b^{3}\right)\)

    תשובה

    6 \(a^{5} b^{6}\)

    דוגמא \(\PageIndex{36}\)

    הכפל: \(\left(\frac{2}{3} r^{5} s\right)\left(12 r^{6} s^{7}\right)\)

    תשובה

    8 \(r^{11} s^{8}\)

    הערה

    גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים באמצעות תכונות כפל של מעריכים:

    • מאפייני כפל של אקספוננטים

    מושגי מפתח

    • סימון אקספוננציאלי
      נתון זה כולל שתי עמודות. בעמודה השמאלית יש כוח m. ה- m מסומן בכחול כמעריך. ה- a מסומן באדום כבסיס. בעמודה הימנית מופיע הטקסט "a ל- m אבקה פירושו להכפיל m גורמים של a." מתחת לזה יש כוח m שווה פעמים פעמים פעמים a, ואחריו אליפסה, עם "m factors" כתוב למטה בכחול.
    • מאפיינים של אקספונסנטים
      • אם \(a\) \(b\) והם מספרים ממשיים \(m\) \(n\) והם מספרים שלמים, אז

    \[\begin{array}{llll} \textbf{Product Property } & a^{m} \cdot a^{n}&=&a^{m+n} \\ \textbf {Power Property } &\left(a^{m}\right)^{n}&=&a^{m n} \\ \textbf {Product to a Power } &(a b)^{m}&=&a^{m} b^{m} \end{array}\]