Skip to main content
Global

4.4: הבנת שיפוע הקו

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    205738

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה
    • בסוף פרק זה, תוכל:
    • השתמש בגיאובורדים כדי לדגמן שיפוע
    • השתמש \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) כדי למצוא את שיפוע הקו מהגרף שלו
    • מצא את שיפוע הקווים האופקיים והאנכיים
    • השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו בין שתי נקודות
    • גרף קו שניתן לו נקודה והשיפוע
    • לפתור יישומי שיפוע
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. פשט:\(\frac{1 - 4}{8 - 2}\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.6.31
    2. לחלק:\(\frac{0}{4}, \frac{4}{0}\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.16.
    3. פשט:\(\frac{15}{-3}, \frac{-15}{3}, \frac{-15}{-3}\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.6.4.

    כאשר אתה משרטט משוואות לינאריות, ייתכן שתבחין שחלק מהקווים נוטים כלפי מעלה כשהם עוברים משמאל לימין וחלק מהקווים נוטים כלפי מטה. חלק מהקווים תלולים מאוד וחלק מהקווים שטוחים יותר. מה קובע אם קו נוטה למעלה או למטה או אם הוא תלול או שטוח?

    במתמטיקה, 'הטיה' של קו נקראת שיפוע הקו. למושג השיפוע יש יישומים רבים בעולם האמיתי. גובה הגג, דרגת הכביש המהיר ורמפה לכיסא גלגלים הם כמה דוגמאות שבהן אתה ממש רואה מדרונות. וכשאתה רוכב על אופניים, אתה מרגיש את המדרון כשאתה שואב בעלייה או בחוף בירידה.

    בחלק זה נחקור את מושג השיפוע.

    השתמש בגיאובורדים כדי לדגמן שיפוע

    Geoboard הוא לוח עם רשת של יתדות על זה. שימוש בגומיות על גבי לוח גיאוגרפי נותן לנו דרך קונקרטית לדגמן קווים ברשת קואורדינטות. על ידי מתיחת רצועת גומי בין שני יתדות על גבי לוח גיאוגרפי, אנו יכולים לגלות כיצד למצוא את שיפוע הקו.

    ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "חקר מדרון" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של שיפוע הקו. (ניתן להשתמש בנייר גרף במקום לוח גיאוגרפי, במידת הצורך.)

    נתחיל במתיחת גומייה בין שני יתדות כמוצג באיור\(\PageIndex{1}\).

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 4 ואת יתד בעמודה 4, שורה 2, להרכיב קו.
    איור \(\PageIndex{1}\)

    זה לא נראה כמו שורה?

    כעת אנו מותחים חלק אחד של הגומייה היישר מהיתד השמאלי וסביב יתד שלישי כדי ליצור את צידי המשולש הימני, כפי שמוצג באיור \(\PageIndex{2}\)

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 2, יתד בעמודה 1, שורה 4, ואת יתד בעמודה 4, שורה 2, ויצרו משולש ימין. יתד 1, 2 הוא קודקוד הזווית של 90 מעלות, ואילו הקו בין יתדות 1, 4 ו -4, 2 מהווה את ההיפוטנוזה של המשולש.
    איור \(\PageIndex{2}\)

    אנו מבצעים בזהירות זווית של 90 מעלות סביב יתד השלישי, כך שאחד הקווים החדשים שנוצרו הוא אנכי והשני אופקי.

    כדי למצוא את שיפוע הקו, אנו מודדים את המרחק לאורך הצדדים האנכיים והאופקיים של המשולש. המרחק האנכי נקרא העלייה והמרחק האופקי נקרא הריצה, כפי שמוצג באיור\(\PageIndex{3}\).

    באיור זה ישנם שני קווים בניצב עם חצים. הקו הראשון משתרע ישר כלפי מעלה ומסומן "עלייה". החץ השני משתרע ישר ימינה ומסומן "הפעלה".
    איור \(\PageIndex{3}\)

    אם הלוח הגיאוגרפי והגומי שלנו נראים בדיוק כמו זה שמוצג באיור\(\PageIndex{4}\), העלייה היא 2. רצועת הגומי עולה 2 יחידות. (כל חלל הוא יחידה אחת.)

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 2, יתד בעמודה 1, שורה 4, ואת יתד בעמודה 4, שורה 2, ויוצר משולש ימין שבו 1, 2 יתד הוא קודקוד של זווית 90 מעלות ואת הקו בין 1, 4 יתד ו 4, 2 יתד יוצר את hypotenuse. הקו בין יתד 1, 2 לבין יתד 1, 4 מסומן "2". הקו בין יתד 1, 2 לבין יתד 4, 2 מסומן "3".
    איור \(\PageIndex{4}\)

    העלייה בגיאובורד זה היא 2, כאשר הגומייה עולה בשתי יחידות.

    מהי הריצה?

    הגומייה עוברת על פני 3 יחידות. הריצה היא 3 (ראה איור\(\PageIndex{4}\)).

    שיפוע הקו הוא היחס בין העלייה לריצה. במתמטיקה, זה תמיד נקרא עם האות m.

    שיפוע של קו

    השיפוע של קו קו הוא\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).

    העלייה מודדת את השינוי האנכי והריצה מודדת את השינוי האופקי בין שתי נקודות בקו.

    מהו השיפוע של הקו על הלוח הגיאוגרפי באיור\(\PageIndex{4}\)?

    \[\begin{aligned} m &=\frac{\text { rise }}{\text { run }} \\ m &=\frac{2}{3} \end{aligned}\]

    לקו יש שיפוע\(\frac{2}{3}\). המשמעות היא שהקו עולה 2 יחידות לכל 3 יחידות ריצה.

    כאשר אנו עובדים עם geoboards, זה רעיון טוב להיכנס להרגל להתחיל ב יתד בצד שמאל ולהתחבר יתד ימינה. אם העלייה עולה היא חיובית ואם היא יורדת היא שלילית. הריצה תעבור משמאל לימין ותהיה חיובית.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\)

    מהו שיפוע הקו על הלוח הגיאוגרפי המוצג?

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 5 ואת יתד בעמודה 5, שורה 2, להרכיב קו.

    תשובה

    השתמש בהגדרה של שיפוע:\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).

    התחל ביתד השמאלי וספור את הרווחים למעלה ומימין כדי להגיע ליתד השני.

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 2, יתד בעמודה 1, שורה 5 ואת יתד בעמודה 5, שורה 2, ויצרו משולש ימין. יתד 1, 2 יוצר את קודקוד הזווית של 90 מעלות והקו מהיתד 1, 5 ליתד 5, 2 יוצר את ההיפוטנוזה של המשולש. הקו מ 1, 2 יתד 1, 5 יתד מסומן "3". הקו מהיתד 1, 2 ליתד 5, 2 מסומן "4".

    \[\begin{array}{ll} {\text { The rise is } 3 .} &{m=\frac{3}{\operatorname{rnn}}} \\ {\text { The run is 4. }} & {m=\frac{3}{4}} \\ { } & {\text { The slope is } \frac{3}{4} \text { . }}\end{array}\]

    המשמעות היא שהקו עולה 3 יחידות לכל 4 יחידות ריצה.

    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    מהו שיפוע הקו על הלוח הגיאוגרפי המוצג?

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 5 ואת יתד בעמודה 4, שורה 1, להרכיב קו.

    תשובה

    \(\frac{4}{3}\)

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    מהו שיפוע הקו על הלוח הגיאוגרפי המוצג?

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 4 ואת יתד בעמודה 5, שורה 3, להרכיב קו.

    תשובה

    \(\frac{1}{4}\)

    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    מהו שיפוע הקו על הלוח הגיאוגרפי המוצג?

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 3 והיתד בעמודה 4, שורה 4 ויוצרת קו.

    תשובה

    השתמש בהגדרה של שיפוע:\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).

    התחל ביתד השמאלי וספור את היחידות למטה ומימין כדי להגיע ליתד השני.

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 3, יתד בעמודה 1, שורה 4 והיתד בעמודה 4, שורה 4 ויוצרים משולש ימני. יתד 1, 3 יוצר את הקודקוד של זווית 90 מעלות ואת הקו מן 1, 4 יתד 4, 4 יתד יוצר את hypotenuse של המשולש. הקו מ 1, 3 יתד 1, 4 יתד מסומן "שלילי 1". הקו מ 1, 4 יתד 4, 4 יתד מסומן "3".

    \[\begin{array}{ll}{\text { The rise is }-1 .} & {m=\frac{-1}{\operatorname{run}}} \\ {\text { The run is } 3 .} & {m=\frac{-1}{3}} \\ {} & {m=-\frac{1}{3}} \\ {} &{\text { The slope is }-\frac{1}{3}}\end{array}\]

    המשמעות היא שהקו יורד יחידה אחת לכל 3 יחידות ריצה.

    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    מהו המדרון של הקו על הלוח הגיאוגרפי?

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 2 ואת יתד בעמודה 4, שורה 4, להרכיב קו.

    תשובה

    \(-\frac{2}{3}\)

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    מהו המדרון של הקו על הלוח הגיאוגרפי?

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 1 ואת יתד בעמודה 4, שורה 5, להרכיב קו.

    תשובה

    \(-\frac{4}{3}\)

    שימו לב \(\PageIndex{1}\) שבתרגיל השיפוע חיובי ובפעילות גופנית \(\PageIndex{4}\) המדרון שלילי. האם אתה מבחין בהבדל כלשהו בשתי השורות המוצגות באיור (א) ובאיור (ב)?

    האיור מציג שתי רשתות של יתדות מרווחות באופן שווה, אחת מסומנת (א) ואחת מסומנת (ב). יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות בכל רשת. ברשת (א), רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 5 ואת יתד בעמודה 5, שורה 2, להרכיב קו. מתחת לרשת זו נמצא שיפוע קו המוגדר כ- m שווה ל -3 רבעים. ברשת (b), רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 3 ואת יתד בעמודה 4, שורה 4, להרכיב קו. מתחת לרשת זו נמצא שיפוע קו המוגדר כ- m שווה לשליש שלילי.
    איור \(\PageIndex{5}\)

    אנו 'קוראים' שורה משמאל לימין בדיוק כמו שקראנו מילים באנגלית. כשאתה קורא משמאל לימין, הקו באיור (א) עולה; יש לו שיפוע חיובי. הקו באיור (ב) יורד; יש לו שיפוע שלילי.

    מדרונות חיוביים ושליליים
    האיור מציג שתי שורות זו לצד זו. הקו משמאל הוא קו אלכסוני העולה משמאל לימין. הוא מסומן "שיפוע חיובי". הקו מימין הוא קו אלכסוני שנופל משמאל לימין. הוא מסומן "שיפוע שלילי".
    איור \(\PageIndex{6}\)
    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    השתמש בגיאובורד כדי לדגמן קו עם שיפוע\(\frac{1}{2}\).

    תשובה

    כדי לדגמן קו על לוח גיאוגרפי, אנו זקוקים לעלייה ולריצה.

    \(\begin{array}{ll} {\text { Use the slope formula. }} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text { Replace } m \text { with } \frac{1}{2} \text { . }} &{ \frac{1}{2} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}}\\ {\text { So, the rise is } 1 \text { and the run is } 2 \text { . }} \\ {\text { Start at a peg in the lower left of the geoboard. }} \\ {\text { Stretch the rubber band up } 1 \text { unit, and then right } 2 \text { units. }}\end{array}\)

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 3, יתד בעמודה 1, שורה 4 והיתד בעמודה 3, שורה 3 ויוצרים משולש ימני. יתד 1, 3 יוצר את קודקוד הזווית של 90 מעלות והקו מהיתד 1, 4 ל -3, 3 יתד יוצר את ההיפוטנוזה של המשולש. הקו מ 1, 3 יתד 1, 4 יתד מסומן "1". הקו מ 1, 3 יתד 3 יתד 3, 3 מסומן "2".

    ההיפוטנוזה של המשולש הימני שנוצר על ידי הגומייה מייצגת קו שהשיפוע שלו הוא\(\frac{1}{2}\).

    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    דגם את המדרון\(m = \frac{1}{3}\). צייר תמונה כדי להציג את התוצאות שלך.

    תשובה

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 2, שורה 3, יתד בעמודה 2, שורה 4 והיתד בעמודה 5, שורה 3 ויוצרים משולש ימני. יתד 2, 3 יוצר את קודקוד הזווית של 90 מעלות והקו מהיתד 2, 4 ליתד 5, 3 יוצר את ההיפוטנוזה של המשולש.

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    דגם את המדרון\(m = \frac{3}{2}\). צייר תמונה כדי להציג את התוצאות שלך.

    תשובה

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 1, יתד בעמודה 1, שורה 4 והיתד בעמודה 3, שורה 1 ויוצר משולש ימני. יתד 1, 1 יוצר את קודקוד הזווית של 90 מעלות והקו מהיתד 1, 4 ליתד 3, 1 יוצר את ההיפוטנוזה של המשולש.

    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    השתמש בגיאובורד כדי לדגמן קו עם שיפוע\(\frac{-1}{4}\).

    תשובה

    \(\begin{array}{ll} {\text { Use the slope formula. }} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text { Replace } m \text { with } \frac{-1}{4} \text { . }} &{ \frac{-1}{4} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}}\\ {\text { So, the rise is } -1 \text { and the run is } 4 \text { . }} \\ {\text { Since the rise is negative, we choose a starting peg on the upper left that will give us room to count down.}} \\ {\text { We stretch the rubber band down } 1 \text { unit, and then right } 4 \text { units. }}\end{array}\)

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 2, יתד בעמודה 1, שורה 3 והיתד בעמודה 5, שורה 3 ויוצרים משולש ימני. יתד 1, 3 יוצר את הקודקוד של זווית 90 מעלות ואת הקו מן 1, 2 יתד 5, 3 יוצר את hypotenuse של המשולש. הקו מ 1, 2 יתד 1, 3 יתד מסומן "שלילי 1". הקו מ 1, 3 יתד 5, 3 יתד מסומן "4".

    ההיפוטנוזה של המשולש הימני שנוצר על ידי הגומייה מייצגת קו שהשיפוע שלו הוא\(\frac{-1}{4}\).

    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    דגם את המדרון\(m = \frac{-2}{3}\). צייר תמונה כדי להציג את התוצאות שלך.

    תשובה

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 2, שורה 3, יתד בעמודה 2, שורה 5 והיתד בעמודה 3, שורה 5 ויוצרים משולש ימני. יתד 2, 5 יוצר את קודקוד הזווית של 90 מעלות והקו מהיתד 2, 3 ליתד 3, 5 יוצר את ההיפוטנוזה של המשולש.

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    דגם את המדרון\(m = \frac{-1}{3}\). צייר תמונה כדי להציג את התוצאות שלך.

    תשובה

    האיור מציג רשת של יתדות מרווחות באופן שווה. יש 5 עמודות ו 5 שורות של יתדות. רצועת גומי נמתחת בין יתד בעמודה 1, שורה 1, יתד בעמודה 1, שורה 2 והיתד בעמודה 4, שורה 2 ויוצרים משולש ימני. יתד 1, 2 יוצר את קודקוד הזווית של 90 מעלות והקו מהיתד 1, 1 ל -4, 2 יתד יוצר את ההיפוטנוזה של המשולש.

    השתמש \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) כדי למצוא את שיפוע הקו מהגרף שלו

    כעת, נסתכל על כמה גרפים במישור הקואורדינטות xy ונראה כיצד למצוא את המדרונות שלהם. השיטה תהיה דומה מאוד למה שאנחנו רק דגמנו על geoboards שלנו.

    כדי למצוא את המדרון, עלינו לספור את העלייה ואת הריצה. אבל מאיפה מתחילים?

    אנו מאתרים שתי נקודות בקו שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים. לאחר מכן אנו מתחילים בנקודה משמאל ומשרטטים משולש ימני, כך שנוכל לספור את העלייה ולרוץ.

    תרגיל \(\PageIndex{13}\):

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל משלילי 1 עד 6 וציר ה- y פועל משלילי 4 ל -2. קו עובר בנקודות (0, שלילי 3) ו- (5, 1).

    תשובה

    טבלה זו כוללת שלוש עמודות וארבע שורות. בשורה הראשונה כתוב, "שלב 1. אתר שתי נקודות בגרף שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים. סמן (0, שלילי 3) ו- (5, 1)." מימין קו בתרשים במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר משלילי 1 עד 6. ציר ה- y של המטוס עובר משלילי 4 ל -2. הנקודות (0, שלילי 3) ו- (5, 1) מתוות.בשורה השנייה כתוב, "שלב 2. החל מהנקודה משמאל, שרטט משולש ימני, עובר מהנקודה הראשונה לנקודה השנייה. החל מ- (0, שלילי 3), שרטט משולש ימני ל- (5, 1)." בגרף מימין, מתווה נקודה נוספת ב (0, 1). שלוש הנקודות יוצרות משולש ימני, כאשר הקו מ (0, שלילי 3) ל- (5, 1) יוצר את ההיפוטנוזה והקווים מ (0, שלילי 3) ל- (0, 1) ו- (0, 1) ל- (5, 1) יוצרים את הרגליים.השורה השלישית אומרת אז, "שלב 3. ספרו את העלייה ואת הריצה על רגלי המשולש." העלייה היא 4 והריצה היא 5.בשורה הרביעית כתוב, "שלב 4. קח את היחס בין העלייה לרוץ כדי למצוא את המדרון. השתמש בנוסחת השיפוע. תחליף את ערכי העלייה והריצה". מימין נוסחת השיפוע, m שווה לעלייה חלקי ריצה. שיפוע הקו הוא 4 מחולק על ידי 5, או ארבע חמישיות. המשמעות היא ש- y מגדיל 4 יחידות כאשר x מגדיל 5 יחידות.

    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל מ- 8 ל- 1 שלילי וציר ה- y פועל משלילי 1 ל -4. קו עובר בנקודות (שלילי 5, 1) ו- (0, 3).

    תשובה

    \(\frac{2}{5}\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל משלילי 1 עד 5 וציר ה- y פועל משלילי 2 ל -4. קו עובר בנקודות (0, שלילי 1) ו- (4, 2).

    תשובה

    \(\frac{3}{4}\)

    מצא את שיפוע הקו מהגרף שלו
    1. אתר שתי נקודות בקו שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים.
    2. החל מהנקודה משמאל, שרטט משולש ימני, עובר מהנקודה הראשונה לנקודה השנייה.
    3. לספור את העלייה ואת הריצה על הרגליים של המשולש.
    4. קח את יחס העלייה לרוץ כדי למצוא את המדרון,\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל משלילי 1 עד 9 וציר ה- y פועל משלילי 1 עד 7. קו עובר דרך הנקודות (0, 5), (3, 3) ו- (6, 1).

    תשובה
    אתר שתי נקודות בגרף שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים. (0,5) ו (3,3)
    איזו נקודה נמצאת בצד שמאל? (0.5)
    החל מ (0,5), לשרטט משולש ימין (3,3). .
    לספור את העלייה - זה שלילי. העלייה היא -2.
    ספור את הריצה. הריצה היא 3.
    השתמש בנוסחת השיפוע. \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\)
    החלף את ערכי העלייה והריצה. \(m = \frac{-2}{3}\)
    לפשט. \(m = -\frac{2}{3}\)
      שיפוע הקו הוא\(-\frac{2}{3}\).

    אז y גדל ב -3 יחידות כאשר xx יורד ב -2 יחידות.

    מה אם היינו משתמשים בנקודות (-3,7) ו- (6,1) כדי למצוא את שיפוע הקו?

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ- 7 ל- 7 שלילי. קו עובר בנקודות (שלילי 3, 7) ו- (6, 1). נקודה נוספת מתווה ב (שלילי 3, 1). שלוש הנקודות יוצרות משולש ימני, כאשר הקו מ (שלילי 3, 7) ל (6, 1) יוצר את ההיפוטנוזה והקווים מ (שלילי 3, 7) לשלילי 1, 7) ומ (שלילי 1, 7) ל (6, 1) יוצרים את הרגליים.

    העלייה תהיה -6 והריצה תהיה 9. ואז\(m = \frac{-6}{9}\), וזה מפשט ל\(m = -\frac{2}{3}\). זכור, לא משנה באילו נקודות אתה משתמש - שיפוע הקו תמיד זהה.

    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל משלילי 1 עד 5 וציר ה- y פועל מ -6 ל -1 שלילי. קו עובר בנקודות (0, שלילי 2) ו- (3, שלילי 6).

    תשובה

    \(-\frac{4}{3}\)

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x עובר משלילי 3 עד 6 וציר ה- y פועל משלילי 3 ל -2. קו עובר בנקודות (0, 1) ו- (5, שלילי 2).

    תשובה

    \(-\frac{3}{5}\)

    בשתי הדוגמאות האחרונות, לקווים היו יירוט y עם ערכים שלמים, כך שהיה נוח להשתמש ביירוט y כאחת הנקודות כדי למצוא את המדרון. בדוגמה הבאה, יירוט y הוא שבר. במקום להשתמש בנקודה זו, נחפש שתי נקודות נוספות שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים. זה יקל על חישובי המדרון.

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל מ- 0 ל- 8 וציר ה- y פועל מ- 0 ל- 7. קו עובר דרך הנקודות (2, 3) ו- (7, 6).

    תשובה
    אתר שתי נקודות בגרף שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים. (2,3) ו- (7.6)
    איזו נקודה נמצאת בצד שמאל? (2.3)
    החל מ- (2,3), שרטט משולש ימני ל- (7,6). .
    לספור את העלייה. העלייה היא 3.
    ספור את הריצה. הריצה היא 5.
    השתמש בנוסחת השיפוע. \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\)
    החלף את ערכי העלייה והריצה. \(m = \frac{3}{5}\)
      שיפוע הקו הוא\(\frac{3}{5}\).

    המשמעות היא ש- y מגדיל 5 יחידות כאשר x מגדיל 3 יחידות.

    כאשר השתמשנו בגיאובורדים כדי להציג את מושג השיפוע, אמרנו שתמיד נתחיל בנקודה משמאל ונספור את העלייה והריצה כדי להגיע לנקודה מימין. כך הריצה תמיד הייתה חיובית והעלייה קבעה אם המדרון חיובי או שלילי.

    מה היה קורה אם נתחיל בנקודה מימין?

    בואו נשתמש בנקודות (2,3) ו- (7,6) שוב, אבל עכשיו נתחיל ב (7,6).

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל מ- 0 ל- 8. ציר y פועל בין 0 ל -7. קו עובר דרך הנקודות (2, 3) ו- (7, 6). נקודה נוספת מתווה ב (7, 3). שלוש הנקודות יוצרות משולש ימני, כאשר הקו מ (2, 3) ל (7, 6) יוצר את ההיפוטנוזה ואת הקווים מ (2, 3) ל (7, 3) ומ (7, 3) ל (7, 6) יוצרים את הרגליים.
    \(\begin{array}{ll} {\text {Count the rise.}} &{\text{The rise is −3.}} \\ {\text {Count the run. It goes from right to left, so}} &{\text {The run is−5.}} \\{\text{it is negative.}} &{}\\ {\text {Use the slope formula.}} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{Substitute the values of the rise and run.}} &{m = \frac{-3}{-5}} \\{} &{\text{The slope of the line is }\frac{3}{5}}\\ \end{array}\)
    לא משנה מאיפה מתחילים - שיפוע הקו תמיד זהה.
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x עובר מ -4 ל -2 שלילי וציר ה- y פועל מ -6 ל -2 שלילי. קו עובר בנקודות (שלילי 3, 4) ו- (1, 1).

    תשובה

    \(\frac{5}{4}\)

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    מצא את שיפוע הקו המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x עובר משלילי 1 עד 4 וציר ה- y פועל משלילי 2 ל -3. קו עובר בנקודות (1, שלילי 1) ו- (3, 2).

    תשובה

    \(\frac{3}{2}\)

    מצא את שיפוע הקווים האופקיים והאנכיים

    אתה זוכר מה היה מיוחד בקווים אופקיים ואנכיים? למשוואות שלהם היה רק משתנה אחד.

    \[\begin{array}{ll}{\textbf {Horizontal line } y=b} & {\textbf {Vertical line } x=a} \\ {y \text { -coordinates are the same. }} & {x \text { -coordinates are the same. }}\end{array}\]

    אז איך נמצא את שיפוע הקו האופקי y = 4y = 4? גישה אחת תהיה גרף הקו האופקי, למצוא עליו שתי נקודות ולספור את העלייה והריצה. בואו נראה מה קורה כשאנחנו עושים את זה.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל משלילי 1 עד 5 וציר ה- y פועל משלילי 1 עד 7. קו עובר בנקודות (0, 4) ו- (3, 4).
    איור \(\PageIndex{7}\)

    \(\begin{array}{ll} {\text {What is the rise?}} & {\text {The rise is 0.}} \\ {\text {What is the run?}} & {\text {The run is 3.}}\\ {} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m = \frac{0}{3}} \\ {\text{What is the slope?}} &{m = 0} \\ {} &{\text{The slope of the horizontal line y = 4 is 0.}} \end{array}\)

    לכל הקווים האופקיים יש שיפוע 0. כאשר קואורדינטות y זהות, העלייה היא 0.

    שיפוע של קו אופקי

    השיפוע של קו אופקי, y = b, הוא 0.

    רצפת החדר שלך אופקית. השיפוע שלו הוא 0. אם הנחת בזהירות כדור על הרצפה, הוא לא יתגלגל.

    עכשיו, נשקול קו אנכי, הקו.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x פועל משלילי 1 עד 5 וציר ה- y פועל משלילי 2 ל -2. קו עובר דרך הנקודות (3, 0) ו- (3, 2).
    איור \(\PageIndex{8}\)

    \(\begin{array}{ll} {\text {What is the rise?}} & {\text {The rise is 2.}} \\ {\text {What is the run?}} & {\text {The run is 0.}}\\ {} &{m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{What is the slope?}} &{m = \frac{2}{0}} \end{array}\)

    אבל אנחנו לא יכולים לחלק ב-0. חלוקה לפי 0 אינה מוגדרת. אז אנחנו אומרים שהשיפוע של הקו האנכי איקס=3איקס=3 אינו מוגדר.

    השיפוע של כל קו אנכי אינו מוגדר. כאשר הקואורדינטות x של קו זהות כולן, הריצה היא 0.

    שיפוע של קו אנכי

    השיפוע של קו אנכי, x = a, אינו מוגדר.

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    מצא את השיפוע של כל שורה:

    ⓐ איקס=8 ⓑ y = −5.

    תשובה

    ⓐ x = 8
    זהו קו אנכי.
    השיפוע שלה אינו מוגדר.

    ⓑ y=−5
    זהו קו אופקי.
    יש לו שיפוע 0.

    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    מצא את שיפוע הקו: x = −4.

    תשובה

    לא מוגדר

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    מצא את שיפוע הקו: y = 7.

    תשובה

    0

    מדריך מהיר למורדות הקווים
    איור זה מציג ארבע שורות עם חצים. השורה הראשונה עולה למעלה ורץ ימינה. יש לו שיפוע חיובי. השורה השנייה נופלת ורצה ימינה. יש לו שיפוע שלילי. השורה השלישית אינה עולה ולא נופלת, המשתרעת אופקית לשני הכיוונים. יש לו שיפוע של אפס. השורה הרביעית אנכית לחלוטין, קצה אחד עולה והשני עולה למטה, רץ לא שמאלה ולא ימינה. יש לו שיפוע לא מוגדר.
    איור \(\PageIndex{9}\)

    זכור, אנו 'קוראים' שורה משמאל לימין, בדיוק כמו שקראנו מילים כתובות באנגלית.

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו בין שתי נקודות

    ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שיפוע קווים בין שתי נקודות" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר כיצד למצוא את שיפוע הקו בין שתי נקודות.

    לפעמים נצטרך למצוא את שיפוע הקו בין שתי נקודות כשאין לנו גרף לספור את העלייה והריצה. נוכל לשרטט את הנקודות על נייר רשת, ואז לספור את העלייה ואת הריצה, אבל כפי שנראה, יש דרך למצוא את המדרון ללא גרפים. לפני שנגיע לזה, עלינו להציג סימון אלגברי כלשהו.

    ראינו שזוג מסודר (x, y) נותן את הקואורדינטות של נקודה. אבל כאשר אנו עובדים עם מדרונות, אנו משתמשים בשתי נקודות. כיצד ניתן להשתמש באותו סמל (x, y) לייצוג שתי נקודות שונות? מתמטיקאים משתמשים בכתבי משנה כדי להבחין בין הנקודות.

    \[\begin{array}{ll}{\left(x_{1}, y_{1}\right)} & {\text { read }^{‘} x \text { sub } 1, y \text { sub } 1^{'}} \\ {\left(x_{2}, y_{2}\right)} & {\text { read }^{‘} x \text { sub } 2, y \text { sub } 2^{’}}\end{array}\]

    השימוש בכתבי משנה במתמטיקה דומה מאוד לשימוש בראשי תיבות של שם משפחה בבית הספר היסודי. אולי אתה זוכר את לורה סי ולורה מ 'בכיתה ג שלך?

    נשתמש \(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) כדי לזהות את הנקודה הראשונה ולזהות \(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) את הנקודה השנייה.

    אם היו לנו יותר משתי נקודות, היינו יכולים להשתמש \(\left(x_{3}, y_{3}\right)\)\(\left(x_{4}, y_{4}\right)\), וכן הלאה.

    בואו נראה כיצד העלייה והריצה קשורים לקואורדינטות של שתי הנקודות על ידי התבוננות נוספת בשיפוע הקו בין הנקודות (2,3) ו- (7,6).

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ- 0 ל- 7. קו עובר דרך הנקודות (2, 3) ו- (7, 6), המתוכננות ומתויגות. הצמד המסודר (2, 3) מסומן (x תחתי 1, y תחתי 1). הצמד המסודר (7, 6) מסומן (x תחתי 2, y תחתי 2). נקודה נוספת מתווה ב (2, 6). שלוש הנקודות יוצרות משולש ימני, כאשר הקו מ (2, 3) ל (7, 6) יוצר את ההיפוטנוזה ואת הקווים מ (2, 3) ל (2, 6) ומ (2, 6) ל (7, 6) יוצרים את הרגליים. הרגל הראשונה, מ- (2, 3) ל- (2, 6) מסומנת y תחתי 2 מינוס y תחתי 1, 6 מינוס 3 ו- 3. הרגל השנייה, מ- (2, 3) ל- (7, 6), מסומנת x תחתי 2 מינוס x תחתי 1, y מינוס 2 ו- 5.
    איור \(\PageIndex{10}\)

    מכיוון שיש לנו שתי נקודות, נשתמש בסימון מנוי,. \(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {2,3}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,6}\end{array}\right)\)

    בגרף ספרנו את העלייה של 3 ואת הריצה של 5.

    שימו לב שניתן למצוא את העלייה של 3 על ידי חיסור ה- y -קואורדינטות 6 ו -3.

    \[3=6-3\]

    ואת הריצה של 5 ניתן למצוא על ידי הפחתת x -קואורדינטות 7 ו 2.

    \[5 = 7 - 2\]

    אנחנו יודעים\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\). אז\(m = \frac{3}{5}\).

    אנו משכתבים את העלייה ורצים על ידי הכנסת הקואורדינטות \(m = \frac{6-3}{7-2}\)

    אבל 6 הוא y2, ה- y -קואורדינטה של הנקודה השנייה ו- 3 הוא y1, ה- y -קואורדינטה של הנקודה הראשונה.

    כך שנוכל לשכתב את המדרון באמצעות סימון תחתי. \(m = \frac{y2-y1}{7-2}\)

    כמו כן, 7 הוא x2, קואורדינטת ה- x של הנקודה השנייה ו- 2 היא x1, קואורדינטת ה - x של הנקודה הראשונה.

    אז, שוב, אנו משכתבים את המדרון באמצעות סימון תחתי. \(m = \frac{y2-y1}{x2-x1}\)

    הראינו \(m = \frac{y2-y1}{x2-x1}\) שזו באמת גרסה אחרת של\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\). אנו יכולים להשתמש בנוסחה זו כדי למצוא את שיפוע הקו כאשר יש לנו שתי נקודות על הקו.

    נוסחת שיפוע

    שיפוע הקו בין שתי נקודות \(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) \(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) והוא

    \[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]

    זוהי נוסחת השיפוע.

    המדרון הוא:

    \[\begin{array}{c}{y \text { of the second point minus } y \text { of the first point }} \\ {\text { over }} \\ {x \text { of the second point minus } x \text { of the first point. }}\end{array}\]

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו בין הנקודות (1,2) ו- (4,5).

    תשובה

    \(\begin{array} {ll} {\text{We’ll call (1,2) point #1 and (4,5) point #2.}} &{\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {1,2}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {4,5}\end{array}\right)} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{m=\frac{5-2}{x_{2}-x_{1}}} \\{\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m = \frac{5-2}{4-1}} \\{\text{Simplify the numerator and the denominator.}} &{m = \frac{3}{3}} \\{\text{Simplify.}} &{m = 1} \end{array}\)

    בואו נאשר זאת על ידי ספירת המדרון בגרף באמצעות\(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\).

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y של המטוס עוברים בין 0 ל -7. קו עובר דרך הנקודות (1, 2) ו- (4, 5), המתוכננות. נקודה נוספת מתווה ב (1, 5). שלוש הנקודות יוצרות משולש ימני, כאשר הקו מ (1, 2) ל (4, 5) יוצר את ההיפוטנוזה ואת הקווים מ (1, 2) ל (1, 5) ומ (1, 5) ל (4, 5) יוצרים את הרגליים. הרגל מ (1, 2) ל (1, 5) מסומנת "עלייה" ואת הרגל מ (1, 5) ל (4, 5) מסומן "לרוץ".

    לא משנה לאיזו נקודה אתה קורא לנקודה #1 ולאיזו נקודה אתה קורא לנקודה #2. המדרון יהיה זהה. נסה את החישוב בעצמך.

    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו דרך הנקודות: (8,5) ו- (6,3).

    תשובה

    1

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו דרך הנקודות: (1,5) ו- (5,9).

    תשובה

    1

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו דרך הנקודות (-2, -3) ו- (-7,4).

    תשובה

    \(\begin{array} {ll} {\text{We’ll call (-2, -3) point #1 and (-7,4) point #2.}} &{\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-2,-3}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-7,4}\end{array}\right)} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{x_{2}-x_{1}}} \\{\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m = \frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify the numerator and the denominator.}} &{m = \frac{7}{-5}} \\{\text{Simplify.}} &{m = -\frac{7}{5}} \end{array}\)

    בואו נוודא את השיפוע הזה בגרף המוצג.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 8 ל -2 שלילי וציר ה- y של המטוס עובר בין 6 ל -5 שלילי. קו עובר דרך הנקודות (שלילי 7, 4) ו (שלילי 2, שלילי 3), אשר מתווים ומתויגים. נקודה נוספת מתווה ב (שלילי 7, שלילי 3). שלוש הנקודות יוצרות משולש ימני, כאשר הקו מ (שלילי 7, 4) ל (שלילי 2, שלילי 3) יוצר את ההיפוטנוזה והקווים מ (שלילי 7, 4) ל (שלילי 7, שלילי 3) וממנו (שלילי 7, שלילי 3) ל (שלילי 2, שלילי 3) ויוצרים את הרגליים. הרגל מ (שלילי 7, 4) ל (שלילי 7, שלילי 3) מסומן "עלייה" ואת הרגל מ (שלילי 7, שלילי 3) ל (שלילי 2, שלילי 3) מסומן "לרוץ".

    \[\begin{aligned} m &=\frac{\text { rise }}{\text { run }} \\ m &=\frac{-7}{5} \\ m &=-\frac{7}{5} \end{aligned}\]

    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו דרך הנקודות: (-3,4) ו- (2, -1).

    תשובה

    -1

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    השתמש בנוסחת השיפוע כדי למצוא את שיפוע הקו דרך צמד הנקודות: (-2,6) ו- (-3, -4).

    תשובה

    10

    גרף קו בהינתן נקודה והשיפוע

    עד כה, בפרק זה, שרטטנו קווים על ידי שרטוט נקודות, באמצעות יירוט ועל ידי זיהוי קווים אופקיים ואנכיים.

    שיטה אחת נוספת בה אנו יכולים להשתמש כדי לשרטט קווים נקראת שיטת נקודה-שיפוע. אנו נשתמש בשיטה זו כאשר אנו מכירים נקודה אחת ואת שיפוע הקו. נתחיל בתכנון הנקודה ואז נשתמש בהגדרת השיפוע כדי לצייר את גרף הקו.

    תרגיל \(\PageIndex{31}\)

    גרף את הקו העובר בנקודה (1, -1) שהשיפוע שלה הוא\(m = \frac{3}{4}\).

    תשובה

    טבלה זו כוללת שלוש עמודות וארבע שורות. בשורה הראשונה כתוב, "שלב 1. תכנן את הנקודה הנתונה. עלילה (1, שלילית 1)." מימין גרף של מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר משלילי 1 עד 7. ציר ה- y של המטוס עובר משלילי 3 ל -4. הנקודה (0, שלילית 1) מתואמת.בשורה השנייה כתוב, "שלב 2. השתמש בנוסחת השיפוע m שווה לעלייה חלקי ריצה כדי לזהות את העלייה והריצה." העלייה והריצה הם 3 ו -4, כך ש- m שווה ל -3 חלקי 4.בשורה השלישית כתוב "שלב 3. החל מנקודה נתונה, לספור את העלייה ולרוץ כדי לסמן את הנקודה השנייה." אנו מתחילים ב (1, שלילי 1) וסופרים את העלייה והריצה. למעלה שלוש יחידות וימין 4 יחידות. בתרשים מימין מתווים שתי נקודות נוספות: (1, 2), שהם 3 יחידות למעלה מ (1, שלילי 1) ו- (5, 2), שהם 3 יחידות למעלה ו -4 יחידות ממש מ (1, שלילי 1).בשורה הרביעית כתוב "שלב 4. חבר את הנקודות עם קו." בתרשים מימין נמשך קו דרך הנקודות (1, שלילי 1) ו- (5, 2). קו זה הוא גם ההיפוטנוזה של המשולש הימני שנוצר על ידי שלוש הנקודות, (1, שלילי 1), (1, 2) ו- (5, 2).

    תרגיל \(\PageIndex{32}\)

    גרף את הקו העובר בנקודה (2, -2) עם המדרון\(m = \frac{4}{3}\).

    תשובה

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y עוברים בין 12 ל -12 שליליים. קו עובר בנקודות (שלילי 4, שלילי 10) ו- (2, שלילי 2).

    תרגיל \(\PageIndex{33}\)

    גרף את הקו העובר בנקודה (-2,3) עם השיפוע. \(m=\frac{1}{4}\)

    תשובה

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y עוברים בין 12 ל -12 שליליים. קו עובר בנקודות (שלילי 2, 3) ו- (10, 6).

    גרף קו שניתן לו נקודה והשיפוע.
    1. תכנן את הנקודה הנתונה.
    2. השתמש בנוסחת השיפוע \(m=\frac{\text { rise }}{\text { rise }}\) כדי לזהות את העלייה והריצה.
    3. החל מנקודה נתונה, לספור את העלייה ולרוץ כדי לסמן את הנקודה השנייה.
    4. חבר את הנקודות עם קו.
    תרגיל \(\PageIndex{34}\)

    גרף את הקו עם y -intercept 2 שהשיפוע שלו הוא. \(m=−\frac{2}{3}\)

    תשובה

    התווה את הנקודה הנתונה, ה- y -יירוט, (0,2).

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ -5 ל -5 שלילי. הנקודה (0, 2) מתואמת.

    \(\begin{array} {ll} {\text{Identify the rise and the run.}} &{m =-\frac{2}{3}} \\ {} &{\frac{\text { rise }}{\text { run }} =\frac{-2}{3} }\\ {}&{\text { rise } =-2} \\ {} &{\text { run } =3} \end{array}\)

    לספור את העלייה ואת הריצה. סמן את הנקודה השנייה.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ -5 ל -5 שלילי. הנקודות (0, 2), (0, 0) ו- (3,0) מתואמות ומסומנות. השורה מ- (0, 2) ל- (0, 0) מסומנת "למטה 2" והשורה מ- (0, 0) ל- (3, 0) מסומנת "ימין 3".

    חבר את שתי הנקודות עם קו.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ -5 ל -5 שלילי. קו עובר דרך הנקודות המתוכננות (0, 2) ו- (3,0).

    אתה יכול לבדוק את העבודה שלך על ידי מציאת נקודה שלישית. מכיוון שהמדרון הוא\(m=−\frac{2}{3}\), ניתן לכתוב אותו כ\(m=\frac{2}{-3}\). חזור אל (0,2) וספר את העלייה, 2 והריצה, -3.

    תרגיל \(\PageIndex{35}\)

    גרף את הקו עם y -יירוט 4 ושיפוע. \(m=−\frac{5}{2}\)

    תשובה

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y עוברים בין 12 ל -12 שליליים. קו מיירט את ציר ה- y ב- (0, 4) ועובר בנקודה (4, שלילי 6).

    תרגיל \(\PageIndex{36}\)

    גרף את הקו עם x -יירוט -3 ושיפוע. \(m=−\frac{3}{4}\)

    תשובה

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y עוברים בין 12 ל -12 שליליים. קו מיירט את ציר ה- x ב (שלילי 3, 0) ועובר דרך הנקודה (1, שלילי 3).

    תרגיל \(\PageIndex{37}\)

    גרף את הקו העובר בנקודה (-1, -3) שהשיפוע שלה הוא m = 4.

    תשובה

    תכנן את הנקודה הנתונה.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ -5 ל -5 שלילי. הנקודה (שלילית 1, שלילית 3) משורטטת ומתויגת.

    \(\begin{array} {ll} {\text{Identify the rise and the run.}} &{ \text{ m = 4}} \\ {\text{Write 4 as a fraction.}} &{\frac{\text {rise}}{\text {run}} =\frac{4}{1} }\\ {}&{\text {rise} =4\quad\text {run} =3} \end{array}\)

    לספור את העלייה ולרוץ ולסמן את הנקודה השנייה.

    איור זה מראה כיצד לתאר את הקו העובר בנקודה (שלילי 1, שלילי 3) שהשיפוע שלו הוא 4. הצעד הראשון הוא לזהות את העלייה והריצה. העלייה היא 4 והריצה היא 1. 4 חלקי 1 הוא 4, כך שהמדרון הוא 4. בשלב הבא אנו סופרים את העלייה ורצים ומסמנים את הנקודה השנייה. מימין גרף של מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ -5 ל -5 שלילי. אנו מתחילים בנקודה המתוכננת (שלילית 1, שלילית 3) וסופרים את העלייה, 4. אנו מגיעים לנקודה שלילית 1, 1, אותה אנו מתווים. לאחר מכן אנו סופרים את הריצה מנקודה זו, שהיא 1. אנחנו מגיעים לנקודה (0, 1), אשר מתווה. השלב האחרון הוא לחבר את שתי הנקודות עם קו. אנו מציירים קו העובר בנקודות (שלילי 1, שלילי 3) ו- (0, 1).

    חבר את שתי הנקודות עם קו.

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ -5 ל -5 שלילי. קו עובר דרך הנקודות המתוכננות (-1, -3) ו- (1,0).

    אתה יכול לבדוק את העבודה שלך על ידי מציאת נקודה שלישית. מכיוון שהשיפוע הוא m = 4, ניתן לכתוב אותו כ. \(m = \frac{-4}{-1}\) חזור אל (-1, -3) וספר את העלייה, -4, ואת הריצה, -1.

    תרגיל \(\PageIndex{38}\)

    גרף את הקו עם הנקודה (-2,1) והשיפוע m = 3.

    תשובה

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ- 7 ל- 7 שלילי. קו עובר בנקודות (שלילי 2, 1) ו- (שלילי 1, 4).

    תרגיל \(\PageIndex{39}\)

    גרף את הקו עם הנקודה (4, -2) והשיפוע m = −2.

    תשובה

    הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x וה- y פועלים מ- 7 ל- 7 שלילי. קו עובר בנקודות (4, שלילי 2) ו- (5, שלילי 4).

    לפתור יישומי שיפוע

    בתחילת פרק זה אמרנו שיש יישומים רבים של שיפוע בעולם האמיתי. בואו נסתכל על כמה עכשיו.

    תרגיל \(\PageIndex{40}\)

    "המגרש" של גג הבניין הוא שיפוע הגג. הכרת המגרש חשובה באקלים בהם יש שלג כבד. אם הגג שטוח מדי, משקל השלג עלול לגרום לקריסתו. מהו שיפוע הגג המוצג?

    נתון זה מראה בית עם גג משופע. הגג על מחצית הבניין מסומן "גובה הגג". יש קטע קו עם חצים בכל קצה המודד את האורך האנכי של הגג ומסומן "עלייה שווה 9 רגל". יש קטע קו עם חצים בכל קצה המודד את האורך האופקי של השורש ומסומן "ריצה שווה 18 רגל".

    תשובה

    \(\begin{array}{ll}{\text { Use the slope formula. }} & {m=\frac{\text { rise }}{\text { rise }}} \\ {\text { Substitute the values for rise and run. }} & {m=\frac{9}{18}} \\ {\text { Simplify. }} & {m=\frac{1}{2}}\\ {\text{The slope of the roof is }\frac{1}{2}.} &{} \\ {} &{\text{The roof rises 1 foot for every 2 feet of}} \\ {} &{\text{horizontal run.}} \end{array}\)

    תרגיל \(\PageIndex{41}\)

    השתמש בתרגיל\(\PageIndex{40}\), החלף את העלייה = 14 ורץ = 24.

    תשובה

    \(\frac{7}{12}\)

    תרגיל \(\PageIndex{42}\)

    השתמש בתרגיל\(\PageIndex{40}\), החלף עלייה = 15 ורץ = 36.

    תשובה

    \(\frac{5}{12}\)

    תרגיל \(\PageIndex{43}\)

    האם אי פעם חשבת על צינורות הביוב שעוברים מהבית שלך לרחוב? הם חייבים להשתפל \(\frac{1}{4}\) בסנטימטר לכל רגל כדי להתנקז כראוי. מהו המדרון הנדרש?

    נתון זה הוא משולש ימין. רגל אחת שלילית רבע סנטימטר והרגל השנייה היא רגל אחת.

    תשובה

    \(\begin{array} {ll} {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}} \\ {} &{m=\frac{-\frac{1}{4} \mathrm{inch}}{1 \text { foot }}}\\ {}&{m=\frac{-\frac{1}{4} \text { inch }}{12 \text { inches }}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=-\frac{1}{48}} \\{} &{\text{The slope of the pipe is }-\frac{1}{48}} \end{array}\)

    הצינור יורד 1 אינץ 'לכל 48 אינץ' של ריצה אופקית.

    תרגיל \(\PageIndex{44}\)

    מצא את השיפוע של צינור המשתפל \(\frac{1}{3}\) בסנטימטר למטר.

    תשובה

    \(-\frac{1}{36}\)

    תרגיל \(\PageIndex{45}\)

    מצא את השיפוע של צינור המשתפל \(\frac{3}{4}\) בסנטימטר לחצר.

    תשובה

    \(-\frac{1}{48}\)

    גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם הבנת שיפוע של קו.

    מושגי מפתח

    • מצא את שיפוע הקו מהגרף שלו באמצעות \(m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}\)
      1. אתר שתי נקודות בקו שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים.
      2. החל מהנקודה משמאל, שרטט משולש ימני, עובר מהנקודה הראשונה לנקודה השנייה.
      3. לספור את העלייה ואת הריצה על הרגליים של המשולש.
      4. קח את יחס העלייה לרוץ כדי למצוא את המדרון.
    • גרף קו בהינתן נקודה והשיפוע
      1. תכנן את הנקודה הנתונה.
      2. השתמש בנוסחת השיפוע \(m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}\) כדי לזהות את העלייה והריצה.
      3. החל מנקודה נתונה, לספור את העלייה ולרוץ כדי לסמן את הנקודה השנייה.
      4. חבר את הנקודות עם קו.
    • שיפוע של קו אופקי
      • השיפוע של קו אופקי, y = b, הוא 0.
    • שיפוע של קו אנכי
      • השיפוע של קו אנכי, x = a, אינו מוגדר