Processing math: 100%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.6: דמיינו שברים

מטרות למידה

בסוף פרק זה, תוכל:

  • מצא שברים שווים
  • פשט שברים
  • הכפל שברים
  • מחלקים שברים
  • פשט ביטויים שנכתבו באמצעות סרגל שבר
  • תרגם ביטויים לביטויים עם שברים
הערה

מבוא יסודי יותר לנושאים המכוסים בחלק זה ניתן למצוא בפרק Prealgebra, שברים.

מצא שברים שווים

שברים הם דרך לייצג חלקים של שלם. השבר 13 פירושו ששלם אחד חולק לשלושה חלקים שווים וכל חלק הוא אחד משלושת החלקים השווים. ראה איור1.6.1. השבר 23 מייצג שניים משלושה חלקים שווים. בשבר23, ה- 2 נקרא המונה וה -3 נקרא המכנה.

מוצגים שני מעגלים, שכל אחד מהם מחולק לשלושה חלקים שווים לפי קווים. העיגול השמאלי מסומן "שליש" בכל קטע. כל קטע מוצל. המעגל מימין מוצל בשניים משלושת החלקים שלו.
איור1.6.1: המעגל משמאל חולק לשלושה חלקים שווים. כל חלק הוא 13 משלושת החלקים השווים. במעגל מימין, 23 של המעגל מוצל (2 מתוך 3 חלקים שווים).

ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שברי מודל" יעזור לכם לפתח הבנה טובה יותר של שברים, המונים והמכנים שלהם.

שבריר

חלק כתובab, איפה b0 ו

  • aהוא המונה b והוא המכנה.

חלק מייצג חלקים של שלם. המכנה b הוא מספר החלקים השווים אליהם חולק השלם, והממונה a מציין כמה חלקים כלולים.

אם פשטידה שלמה נחתכה ל -6 חלקים ואנחנו אוכלים את כל 6 החלקים, אכלנו 66 חתיכות, או במילים אחרות, פשטידה אחת שלמה.

מעגל מוצג ומחולק לשישה חלקים. כל החלקים מוצלים.
איור 1.6.2

אז66=1. זה מוביל אותנו לתכונה של אחד שאומר לנו שכל מספר, למעט אפס, המחולק מעצמו הוא1.

רכוש של אחד

aa=1(a0)

כל מספר, למעט אפס, מחולק בפני עצמו הוא אחד.

הערה

ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שברים שווים לאחד" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של שברים השווים לאחד.

אם פשטידה נחתכה ב -6 חלקים ואכלנו את כל 6, אכלנו 66 חתיכות, או במילים אחרות, פשטידה אחת שלמה. אם הפשטידה נחתכה ל -8 חתיכות ואכלנו את כל 8, אכלנו 88 חתיכות, או פשטידה אחת שלמה. אכלנו אותה כמות - עוגה אחת שלמה.

השברים 66 ויש 88 להם אותו ערך, 1, ולכן הם נקראים שברים שווים. שברים שווים הם שברים בעלי ערך זהה.

בואו נחשוב על פיצות הפעם. איור 1.6.3 מציג שתי תמונות: פיצה אחת בצד שמאל, לחתוך לשתי חתיכות שוות, ופיצה שנייה באותו גודל, לחתוך לשמונה חתיכות בצד ימין. זו דרך להראות שזה 12 שווה ערך ל48. במילים אחרות, הם שברים שווים.

מוצג מעגל המחולק לשמונה טריזים שווים לפי קווים. הצד השמאלי של המעגל הוא פיצה עם ארבעה חלקים המרכיבים את פרוסות הפיצה. בצד ימין ארבעה חלקים מוצלים. מתחת לתרשים נמצא השבר ארבע שמיניות.
איור1.6.3: מכיוון שאותה כמות היא של כל פיצה מוצלת, אנו רואים שזה 12 שווה ערך ל48. הם שברים שווים.
שברים שווים

שברים שווים הם שברים בעלי ערך זהה.

איך אנחנו יכולים להשתמש במתמטיקה כדי לשנות 1248? איך נוכל לקחת פיצה שנחתכת ל -2 חלקים ולחתוך אותה ל -8 חלקים? נוכל לחתוך כל אחד משני החלקים הגדולים ל -4 חלקים קטנים יותר! לאחר מכן כל הפיצה תיחתך ל -88 חתיכות במקום 2 בלבד. מבחינה מתמטית, מה שתיארנו יכול להיכתב כך. 1424=48 ראה איור1.6.4.

מעגל מוצג ומחולק לשניים בקו שחור אנכי. הוא מחולק עוד לשמיניות על ידי תוספת של קווים אדומים מנוקדים.
איור1.6.4: חיתוך כל מחצית הפיצה ל -4 חלקים, נותן לנו פיצה חתוכה ל -8 חלקים: 1424=48

מודל זה מוביל לנכס הבא:

נכס שברים שווה ערך

אם a,b,c יש מספרים איפהb0,c0, אז

ab=acbc

אם היינו חותכים את הפיצה אחרת, היינו יכולים לקבל

תמונה מציגה שלוש שורות של שברים. בשורה הראשונה הם שברים "1, פעמים 2, מחולק 2, פעמים 2, שווה שני רבעים". לצד זה המילה "כך" והשבר "חצי אחד, שווה לשני רבעים. בשורה השנייה כתוב "1, כפול 3, מחולק פי 2 3, שווה לשלוש שישיות". לצד זה המילה "כך" והשבר "חצי שווה, שלוש שישיות". בשורה השלישית כתוב "1 פעמים 10, מחולק פי 2 10, עשר שנות העשרים". לצד זה המילה "כך" והשבר "חצי שווה, עשר שנות העשרים".
איור 1.6.5

אז, אנחנו אומרים12, 2436,, 1020 והם שברים שווים.

הערה

ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שברים שווים" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של המשמעות כאשר שני שברים שווים.

תרגיל 1.6.1

מצא שלושה שברים שווים ל25.

תשובה

כדי למצוא שבר שווה ערך ל25, אנו מכפילים את המונה והמכנה באותו מספר. אנו יכולים לבחור כל מספר, למעט אפס. בואו נכפיל אותם ב -2, 3 ואז 5.

בשורה של שברים כתוב "2 פעמים 2, מחולק 5 פעמים 2, שווה ארבע עשיריות". ליד זה הוא "2, פעמים 3, מחולק 5 פעמים 3, שווה שש חמש עשרה". ליד זה הוא "2 פעמים 5, מחולק 5 פעמים 5, שווה עשר עשרים וחמישיות".

אז,410,615, 1025 והם שווים ל25.

תרגיל 1.6.2

מצא שלושה שברים שווים ל35.

תשובה

610,915,1220; התשובות עשויות להשתנות

תרגיל 1.6.3

מצא שלושה שברים שווים ל45.

תשובה

810,1215,1620; התשובות עשויות להשתנות

פשט שברים

שבר נחשב לפשוט יותר אם אין גורמים משותפים, מלבד 1, במונה ובמכנה שלו.

לדוגמה,

  • 23הוא פשוט כי אין גורמים נפוצים של 2 ו 3.
  • 1015אינו פשוט כי 5 הוא גורם משותף של 10 ו -15.
שבר פשוט

שבר נחשב לפשוט יותר אם אין גורמים משותפים במונה ובמכנה שלו.

הביטוי להפחית שבריר פירושו לפשט את השבר. אנו מפשטים, או מצמצמים, שבר על ידי הסרת הגורמים המשותפים של המונה והמכנה. חלק אינו מפושט עד להסרת כל הגורמים הנפוצים. אם לביטוי יש שברים, הוא לא מפושט לחלוטין עד לפישוט השברים.

בתרגיל 1.6.4 השתמשנו במאפיין השברים המקבילים כדי למצוא שברים שווים. כעת נשתמש במאפיין השברים המקביל הפוך כדי לפשט שברים. אנחנו יכולים לשכתב את הנכס כדי להציג את שתי הצורות יחד.

נכס שברים שווה ערך

אם a,b,c יש מספרים איפהb0,c0,

then ab=acbc and acbc=ab

תרגיל 1.6.4

פשט: 3256

תשובה
  3256
כתוב מחדש את המונה והמכנה המציג את הגורמים המשותפים. 4878
פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים. 47

שימו לב שהשבר 47 מפושט מכיוון שאין גורמים נפוצים יותר.

תרגיל 1.6.5

פשט: 4254

תשובה

79

תרגיל 1.6.6

פשט: 3054

תשובה

59

לפעמים זה לא יכול להיות קל למצוא גורמים משותפים של המונה והמכנה. כאשר זה קורה, רעיון טוב הוא להביא בחשבון את המונה והמכנה למספר ראשוני s ואז לחלק את הגורמים המשותפים באמצעות מאפיין השברים המקבילים.

תרגיל 1.6.7

פשט: 210385

תשובה

טבלה מוצגת עם שלוש עמודות ושלוש שורות. בשורה הראשונה בעמודה השמאלית כתוב "שלב 1. כתוב מחדש את המונה והמכנה כדי להראות את הגורמים המשותפים. במידת הצורך, השתמש בעץ פקטור". לצד זה בעמודה האמצעית, כתוב "לשכתב 210 ו-285 כתוצר של המספרים הראשוניים. לצד זה בעמודה הימנית כתוב "שלילי 210 חלקי 385." תחת זה, נמצאת המשוואה "פעמיים שלוש פעמים חמש פעמים שבע." החמישה וה -7 כחולים ואדומים בהתאמה.בשורה הבאה למטה כתוב "שלב 2. פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים על ידי חלוקת גורמים משותפים." לצד זה בעמודה האמצעית כתוב, "סמן את הגורמים המשותפים 5 ו -7." ליד זה בעמודה הימנית, יש לו את המשוואה 2 פעמים, שלוש פעמים חמש, פעמים שבע על 5 פעמים שבע פעמים 11. גם ה- 5 וגם ה- 7 חוצים כגורמים נפוצים. תחת זה נמצאת המשוואה "שלילית פעמיים 3 חלקי 11".בשורה הבאה כתוב, "שלב 3. הכפל את הגורמים הנותרים, במידת הצורך." ליד זה בעמודה הימנית הוא שלילי שש אחת-עשרה.

תרגיל 1.6.8

פשט: 69120

תשובה

2340

תרגיל 1.6.9

פשט: 120192

תשובה

58

כעת אנו מסכמים את הצעדים שעליכם לבצע כדי לפשט שברים.

לפשט שבריר.
  1. כתוב מחדש את המונה והמכנה כדי להראות את הגורמים המשותפים.
    במידת הצורך, הכניסו תחילה את המונה והמכנה למספרים ראשוניים.
  2. פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים על ידי חלוקת גורמים משותפים.
  3. הכפל את כל הגורמים שנותרו, במידת הצורך.
תרגיל 1.6.10

פשט: 5x5y

תשובה
  5x5y
כתוב מחדש את הצגת הגורמים הנפוצים, ואז חלק את הגורמים הנפוצים. .
לפשט.

xy

תרגיל 1.6.11

פשט: 7x7y

תשובה

xy

תרגיל 1.6.12

פשט: 3a3b

תשובה

ab

הכפל שברים

אנשים רבים מוצאים הכפלה וחלוקת שברים קלים יותר מאשר הוספה וחיסור של שברים. אז נתחיל בכפל שברים.

ביצוע הפעילות המתמטית המניפולטיבית "כפל שברי מודל" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של הכפלת שברים.

נשתמש במודל כדי להראות לך כיצד להכפיל שני שברים ולעזור לך לזכור את ההליך. בואו נתחיל עם34.

מלבן המורכב מארבעה ריבועים ברציפות. שלושת הריבועים הראשונים מוצלים.
איור 1.6.6

עכשיו אנחנו ניקח 1234.

מלבן המורכב מארבעה ריבועים ברציפות. שלושת הריבועים הראשונים מוצלים. החצאים התחתונים של שלושת הריבועים הראשונים מוצלים כהים יותר עם קווים אלכסוניים.
איור 1.6.6

שימו לב שעכשיו, השלם מחולק ל 8 חלקים שווים. אז1234=38.

כדי להכפיל שברים, אנו מכפילים את המספרים ומכפילים את המכנים.

כפל שבר

אם a,b,c d והם מספרים איפה b0 וd0, אז

abcd=acbd

כדי להכפיל שברים, הכפל את המספרים והכפיל את המכנים.

כאשר מכפילים שברים, המאפיינים של מספרים חיוביים ושליליים עדיין חלים, כמובן. זה רעיון טוב כדי לקבוע את הסימן של המוצר כצעד הראשון. בתרגיל 1.6.13 נכפיל שלילי וחיובי, כך שהמוצר יהיה שלילי.

תרגיל 1.6.13

הכפל: 111257

תשובה

הצעד הראשון הוא למצוא את הסימן של המוצר. מכיוון שהסימנים הם שונים, המוצר שלילי.

111257Determine the sign of the product; multiply.115127Are there any common factors in the numeratorand the denominator? No5584

תרגיל 1.6.14

הכפל: 1028815

תשובה

421

תרגיל 1.6.15

הכפל: 920512

תשובה

316

כאשר מכפילים שבר במספר שלם, זה עשוי להיות מועיל לכתוב את המספר השלם כשבר. כל מספר שלם, א, ניתן לכתוב כa1. כך, למשל,3=31.

תרגיל 1.6.16

הכפל: 125(20x)

תשובה

קבע את סימן המוצר. הסימנים זהים, ולכן המוצר חיובי.

  125(20x)
כתוב 20x כשבריר. 125(20x1)
להכפיל.  
כתוב מחדש 20 כדי להראות את הגורם המשותף 5 ולחלק אותו. .
לפשט. 48x
תרגיל 1.6.17

הכפל: 113(9a)

תשובה

33a

תרגיל 1.6.18

הכפל: 137(14b)

תשובה

26b

מחלקים שברים

עכשיו כשאנחנו יודעים להכפיל שברים, אנחנו כמעט מוכנים לחלק. לפני שנוכל לעשות זאת, אנו זקוקים לאוצר מילים כלשהו.

ההדדיות של שבר נמצאת על ידי היפוך השבר, הצבת המונה במכנה והמכנה במונה. ההדדי של 23 הוא32.

שים לב לזה2332=1. מספר וההדדיות שלו מתרבים ל1.

כדי לקבל תוצר חיובי 1 בעת הכפלת שני מספרים, המספרים חייבים להיות בעלי אותו סימן. אז הדדיות חייבות להיות בעלות אותו סימן.

ההדדי של 107 הוא710, מאז107(710)=1.

הדדי

ההדדי של ab הואba.

מספר וההדדיות שלו מתרבים לאחד abba=1

הערה

ביצוע הפעילות המתמטית המניפולטיבית "חטיבת שברי מודלים" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של חלוקת שברים.

כדי לחלק שברים, אנו מכפילים את השבר הראשון בהדדיות של השני.

חלוקת שברים

אם a,b,c d והם מספרים איפה b0,c0 וd0, אז

ab÷cd=abdc

כדי לחלק שברים, אנו מכפילים את השבר הראשון בהדדיות של השני.

אנחנו צריכים d0 לומר b0,c0 ולהיות בטוחים שאנחנו לא מתחלקים באפס!

תרגיל 1.6.19

לחלק: 23÷n5

תשובה

23÷n5To divide, multiply the first fraction by the235nreciprocal of the second.Multiply.103n

תרגיל 1.6.20

לחלק:35÷p7.

תשובה

215p

תרגיל 1.6.21

לחלק:58÷q3.

תשובה

158q

תרגיל 1.6.22

מצא את המנה:

718÷(1427)

תשובה
  718÷(1427)
כדי לחלק, הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. 7182714
לקבוע את הסימן של המוצר, ולאחר מכן להכפיל.. 7271814
שכתוב מחדש מראה גורמים נפוצים. .
הסר גורמים נפוצים. 322
לפשט. 34
תרגיל 1.6.23

מצא את המנה:

78÷(1427)

תשובה

415

תרגיל 1.6.24

מצא את המנה:

78÷(1427)

תשובה

23

ישנן מספר דרכים לזכור אילו צעדים לנקוט כדי להכפיל או לחלק שברים. דרך אחת היא לחזור על הקריאה לעצמך. אם תעשה זאת בכל פעם שאתה מבצע תרגיל, תשנן את הצעדים.

  • "כדי להכפיל שברים, הכפל את המספרים והכפיל את המכנים."
  • "כדי לחלק שברים, הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני."

דרך נוספת היא לזכור שתי דוגמאות:

זוהי תמונה עם שתי עמודות. בטור הראשון כתוב "רבע משתי פיצות היא חצי פיצה. מתחת לזה שתי פיצות זו לצד זו עם קו במרכז כל אחת המייצגת מחצית אחת. החצאים מסומנים "חצי אחד". תחת זה המשוואה "2 פעמים 1 רביעית". תחת זה משוואה נוספת "שתיים מעל 1 פעמים רביעית". מתחת לזה נמצא השבר שני רבעים ומתחת זה השבר מחצית אחת. בעמודה הבאה כתוב "יש שמונה רבעים בשני דולרים". מתחת לזה שמונה רבעים בשתי שורות של ארבע. תחת זה נמצאת משוואת השבר 2 חלקי רבע. תחת זה נמצאת המשוואה "שניים על אחד חלקי רבע". תחת זה שניים על אחד כפול ארבע על אחד. תחת זה התשובה "8".
איור 1.6.7

המספרים או המכנים של שברים מסוימים מכילים שברים עצמם. שבר בו המונה או המכנה הוא שבר נקרא שבר מורכב.

שבר מורכב

שבר מורכב הוא שבר בו המונה או המכנה מכילים שבר.

כמה דוגמאות לשברים מורכבים הם:

6733458x256

כדי לפשט שבר מורכב, אנו זוכרים כי סרגל השבר פירושו חלוקה. לדוגמה, השבר המורכב 3458 פירושו34÷58.

תרגיל 1.6.25

פשט: 3458

תשובה
  3458
לשכתב כחלוקה. 34÷58
הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. 3485
להכפיל. 3845
חפש גורמים נפוצים. .
חלקו גורמים נפוצים ופשטו. 65
תרגיל 1.6.26

פשט: 2356

תשובה

45

תרגיל 1.6.27

פשט: 37611

תשובה

1114

תרגיל 1.6.28

פשט: x2xy6

תשובה
  x2xy6
לשכתב כחלוקה. x2÷xy6
הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. x26xy
להכפיל. x62xy
חפש גורמים נפוצים. .
חלקו גורמים נפוצים ופשטו. 3y
תרגיל 1.6.29

פשט: a8ab6

תשובה

34b

תרגיל 1.6.30

פשט: p2pq8

תשובה

4q

פשט ביטויים עם סרגל שבר

הקו המפריד בין המונה למכנה בשבר נקרא סרגל שבר. סרגל שבר משמש כסמל קיבוץ. סדר הפעולות אומר לנו לפשט את המונה ואז את המכנה. ואז אנחנו מתחלקים.

כדי לפשט את הביטוי537+1, ראשית אנו מפשטים את המונה ואת המכנה בנפרד. ואז אנחנו מתחלקים.

537+12814

פשט ביטוי באמצעות סרגל שברים.
  1. פשט את הביטוי במונה. פשט את הביטוי במכנה.
  2. פשט את השבר.
תרגיל 1.6.31

פשט: 42(3)22+2

תשובה

42(3)22+2Use the order of operations to simplify the464+2numerator and the denominator.Simplify the numerator and the denominator26Simplify. A negative divided by a positive is negative.13

תרגיל 1.6.32

פשט: 63(5)32+3

תשובה

34

תרגיל 1.6.33

פשט: 44(6)32+3

תשובה

53

לאן הסימן השלילי הולך בשבריר? בדרך כלל הסימן השלילי נמצא מול השבר, אך לעיתים תראו שבר עם מונה שלילי, או לפעמים עם מכנה שלילי. זכור כי שברים מייצגים חלוקה. כאשר למונה ולמכנה יש סימנים שונים, המנה שלילית.

13=13negativepositive=negative13=13positivenegative=negative

מיקום סימן שלילי בשבריר

עבור כל מספרים a חיובייםb,

ab=ab=ab

תרגיל 1.6.34

פשט: 4(3)+6(2)3(2)2

תשובה

סרגל השבר פועל כמו סמל קיבוץ. אז לפשט לחלוטין את המונה ואת המכנה בנפרד.

4(3)+6(2)3(2)2Multiply.12+(12)62Simplify.248Divide.3

תרגיל 1.6.35

פשט: 8(2)+4(3)5(2)+3

תשובה

4

תרגיל 1.6.36

פשט: 7(1)+9(3)5(3)2

תשובה

2

תרגם ביטויים לביטויים עם שברים

כעת, לאחר שביצענו עבודה עם שברים, אנו מוכנים לתרגם ביטויים שיגרמו לביטויים עם שברים.

המילים באנגלית quotient ויחס משמשות לעתים קרובות לתיאור שברים. זכור כי "מנה" פירושו חלוקה. המנה של aa ו- bb היא התוצאה שאנו מקבלים מחלוקת a על ידיb, או. ab

תרגיל 1.6.37

תרגם את הביטוי האנגלי לביטוי אלגברי: כמות ההבדל של m ו, ו. n p

תשובה

אנחנו מחפשים את המנה של ההבדל של \(m\) ו\(n\), ו.. \(p\) זה אומר שאנחנו רוצים לחלק את ההבדל של \(m\) ו\(n\), ו\(p\).

mnp

תרגיל 1.6.38

תרגם את הביטוי האנגלי לביטוי אלגברי: כמות ההבדל של a ו, ו. b cd

תשובה

abcd

תרגיל 1.6.39

תרגם את הביטוי האנגלי לביטוי אלגברי: המנה של p סכום ו, ו. q r

תשובה

p+qr

מושגי מפתח

  • מאפיין שברים שווה ערך: אם a,b,c הם מספרים היכןb0,c0, ואז
    ab=acbc ו acbc=ab
  • חלוקת שברים: אם a,b,c d והם מספרים איפה b0,c0 ואזab÷cd=abdc. d0 כדי לחלק שברים, הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני.
  • כפל שברים: אם a,b,c ומספרים d היכןb0,d0, אזabcd=acbd. כדי להכפיל שברים, הכפל את המספרים והכפיל את המכנים.
  • מיקום סימן שלילי בשבר: לכל מספרים חיוביים a וb, aa=aa=ab
  • רכוש של אחד:aa=1; כל מספר, למעט אפס, מחולק בפני עצמו הוא אחד.
  • פשט שבר
    1. כתוב מחדש את המונה והמכנה כדי להראות את הגורמים המשותפים. במידת הצורך, הכניסו תחילה את המונה והמכנה למספרים ראשוניים.
    2. פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים על ידי חלוקת גורמים משותפים.
    3. הכפל את כל הגורמים שנותרו.
  • פשט ביטוי באמצעות סרגל שבר
    1. פשט את הביטוי במונה. פשט את הביטוי במכנה.
    2. פשט את השבר.

רשימת מילים

שבר מורכב
שבר מורכב הוא שבר בו המונה או המכנה מכילים שבר.
מכנה
המכנה הוא הערך בחלק התחתון של השבר המציין את מספר החלקים השווים אליהם חולק השלם.
שברים שווים
שברים שווים הם שברים בעלי ערך זהה.
שבריר
כתוב שברab, כאשרb0, a הוא המונה ו- b הוא המכנה. חלק מייצג חלקים של שלם. המכנה b הוא מספר החלקים השווים אליהם חולק השלם, והמונה aa מציין כמה חלקים כלולים.
מונה
המונה הוא הערך בחלקו העליון של השבר המציין כמה חלקים מהשלם כלולים.
הדדי
ההדדי של ab הואba. מספר וההדדיות שלו מתרבים לאחד:abba=1.
שבר פשוט
שבר נחשב לפשוט יותר אם אין גורמים משותפים במונה ובמכנה שלו.