1.6: דמיינו שברים
בסוף פרק זה, תוכל:
- מצא שברים שווים
- פשט שברים
- הכפל שברים
- מחלקים שברים
- פשט ביטויים שנכתבו באמצעות סרגל שבר
- תרגם ביטויים לביטויים עם שברים
מבוא יסודי יותר לנושאים המכוסים בחלק זה ניתן למצוא בפרק Prealgebra, שברים.
מצא שברים שווים
שברים הם דרך לייצג חלקים של שלם. השבר 13 פירושו ששלם אחד חולק לשלושה חלקים שווים וכל חלק הוא אחד משלושת החלקים השווים. ראה איור1.6.1. השבר 23 מייצג שניים משלושה חלקים שווים. בשבר23, ה- 2 נקרא המונה וה -3 נקרא המכנה.

ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שברי מודל" יעזור לכם לפתח הבנה טובה יותר של שברים, המונים והמכנים שלהם.
חלק כתובab, איפה b≠0 ו
- aהוא המונה b והוא המכנה.
חלק מייצג חלקים של שלם. המכנה b הוא מספר החלקים השווים אליהם חולק השלם, והממונה a מציין כמה חלקים כלולים.
אם פשטידה שלמה נחתכה ל -6 חלקים ואנחנו אוכלים את כל 6 החלקים, אכלנו 66 חתיכות, או במילים אחרות, פשטידה אחת שלמה.

אז66=1. זה מוביל אותנו לתכונה של אחד שאומר לנו שכל מספר, למעט אפס, המחולק מעצמו הוא1.
aa=1(a≠0)
כל מספר, למעט אפס, מחולק בפני עצמו הוא אחד.
ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שברים שווים לאחד" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של שברים השווים לאחד.
אם פשטידה נחתכה ב -6 חלקים ואכלנו את כל 6, אכלנו 66 חתיכות, או במילים אחרות, פשטידה אחת שלמה. אם הפשטידה נחתכה ל -8 חתיכות ואכלנו את כל 8, אכלנו 88 חתיכות, או פשטידה אחת שלמה. אכלנו אותה כמות - עוגה אחת שלמה.
השברים 66 ויש 88 להם אותו ערך, 1, ולכן הם נקראים שברים שווים. שברים שווים הם שברים בעלי ערך זהה.
בואו נחשוב על פיצות הפעם. איור 1.6.3 מציג שתי תמונות: פיצה אחת בצד שמאל, לחתוך לשתי חתיכות שוות, ופיצה שנייה באותו גודל, לחתוך לשמונה חתיכות בצד ימין. זו דרך להראות שזה 12 שווה ערך ל48. במילים אחרות, הם שברים שווים.

שברים שווים הם שברים בעלי ערך זהה.
איך אנחנו יכולים להשתמש במתמטיקה כדי לשנות 1248? איך נוכל לקחת פיצה שנחתכת ל -2 חלקים ולחתוך אותה ל -8 חלקים? נוכל לחתוך כל אחד משני החלקים הגדולים ל -4 חלקים קטנים יותר! לאחר מכן כל הפיצה תיחתך ל -88 חתיכות במקום 2 בלבד. מבחינה מתמטית, מה שתיארנו יכול להיכתב כך. 1⋅42⋅4=48 ראה איור1.6.4.

מודל זה מוביל לנכס הבא:
אם a,b,c יש מספרים איפהb≠0,c≠0, אז
ab=a⋅cb⋅c
אם היינו חותכים את הפיצה אחרת, היינו יכולים לקבל

אז, אנחנו אומרים12, 2436,, 1020 והם שברים שווים.
ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "שברים שווים" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של המשמעות כאשר שני שברים שווים.
מצא שלושה שברים שווים ל25.
- תשובה
-
כדי למצוא שבר שווה ערך ל25, אנו מכפילים את המונה והמכנה באותו מספר. אנו יכולים לבחור כל מספר, למעט אפס. בואו נכפיל אותם ב -2, 3 ואז 5.
-
אז,410,615, 1025 והם שווים ל25.
מצא שלושה שברים שווים ל35.
- תשובה
-
610,915,1220; התשובות עשויות להשתנות
מצא שלושה שברים שווים ל45.
- תשובה
-
810,1215,1620; התשובות עשויות להשתנות
פשט שברים
שבר נחשב לפשוט יותר אם אין גורמים משותפים, מלבד 1, במונה ובמכנה שלו.
לדוגמה,
- 23הוא פשוט כי אין גורמים נפוצים של 2 ו 3.
- 1015אינו פשוט כי 5 הוא גורם משותף של 10 ו -15.
שבר נחשב לפשוט יותר אם אין גורמים משותפים במונה ובמכנה שלו.
הביטוי להפחית שבריר פירושו לפשט את השבר. אנו מפשטים, או מצמצמים, שבר על ידי הסרת הגורמים המשותפים של המונה והמכנה. חלק אינו מפושט עד להסרת כל הגורמים הנפוצים. אם לביטוי יש שברים, הוא לא מפושט לחלוטין עד לפישוט השברים.
בתרגיל 1.6.4 השתמשנו במאפיין השברים המקבילים כדי למצוא שברים שווים. כעת נשתמש במאפיין השברים המקביל הפוך כדי לפשט שברים. אנחנו יכולים לשכתב את הנכס כדי להציג את שתי הצורות יחד.
אם a,b,c יש מספרים איפהb≠0,c≠0,
then ab=a⋅cb⋅c and a⋅cb⋅c=ab
פשט: −3256
- תשובה
-
−3256 כתוב מחדש את המונה והמכנה המציג את הגורמים המשותפים. −4⋅87⋅8 פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים. −47 שימו לב שהשבר −47 מפושט מכיוון שאין גורמים נפוצים יותר.
פשט: −4254
- תשובה
-
−79
פשט: −3054
- תשובה
-
−59
לפעמים זה לא יכול להיות קל למצוא גורמים משותפים של המונה והמכנה. כאשר זה קורה, רעיון טוב הוא להביא בחשבון את המונה והמכנה למספר ראשוני s ואז לחלק את הגורמים המשותפים באמצעות מאפיין השברים המקבילים.
פשט: −210385
- תשובה
-
פשט: −69120
- תשובה
-
−2340
פשט: −120192
- תשובה
-
−58
כעת אנו מסכמים את הצעדים שעליכם לבצע כדי לפשט שברים.
- כתוב מחדש את המונה והמכנה כדי להראות את הגורמים המשותפים.
במידת הצורך, הכניסו תחילה את המונה והמכנה למספרים ראשוניים. - פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים על ידי חלוקת גורמים משותפים.
- הכפל את כל הגורמים שנותרו, במידת הצורך.
פשט: 5x5y
- תשובה
-
5x5y כתוב מחדש את הצגת הגורמים הנפוצים, ואז חלק את הגורמים הנפוצים. לפשט. xy
פשט: 7x7y
- תשובה
-
xy
פשט: 3a3b
- תשובה
-
ab
הכפל שברים
אנשים רבים מוצאים הכפלה וחלוקת שברים קלים יותר מאשר הוספה וחיסור של שברים. אז נתחיל בכפל שברים.
ביצוע הפעילות המתמטית המניפולטיבית "כפל שברי מודל" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של הכפלת שברים.
נשתמש במודל כדי להראות לך כיצד להכפיל שני שברים ולעזור לך לזכור את ההליך. בואו נתחיל עם34.

עכשיו אנחנו ניקח 1234.

שימו לב שעכשיו, השלם מחולק ל 8 חלקים שווים. אז12⋅34=38.
כדי להכפיל שברים, אנו מכפילים את המספרים ומכפילים את המכנים.
אם a,b,c d והם מספרים איפה b≠0 וd≠0, אז
ab⋅cd=acbd
כדי להכפיל שברים, הכפל את המספרים והכפיל את המכנים.
כאשר מכפילים שברים, המאפיינים של מספרים חיוביים ושליליים עדיין חלים, כמובן. זה רעיון טוב כדי לקבוע את הסימן של המוצר כצעד הראשון. בתרגיל 1.6.13 נכפיל שלילי וחיובי, כך שהמוצר יהיה שלילי.
הכפל: −1112⋅57
- תשובה
-
הצעד הראשון הוא למצוא את הסימן של המוצר. מכיוון שהסימנים הם שונים, המוצר שלילי.
−1112⋅57Determine the sign of the product; multiply.−11⋅512⋅7Are there any common factors in the numeratorand the denominator? No−5584
הכפל: −1028⋅815
- תשובה
-
−421
הכפל: −920⋅512
- תשובה
-
−316
כאשר מכפילים שבר במספר שלם, זה עשוי להיות מועיל לכתוב את המספר השלם כשבר. כל מספר שלם, א, ניתן לכתוב כa1. כך, למשל,3=31.
הכפל: −125(−20x)
- תשובה
-
קבע את סימן המוצר. הסימנים זהים, ולכן המוצר חיובי.
−125(−20x) כתוב 20x כשבריר. 125(20x1) להכפיל. כתוב מחדש 20 כדי להראות את הגורם המשותף 5 ולחלק אותו. לפשט. 48x
הכפל: 113(−9a)
- תשובה
-
−33a
הכפל: 137(−14b)
- תשובה
-
−26b
מחלקים שברים
עכשיו כשאנחנו יודעים להכפיל שברים, אנחנו כמעט מוכנים לחלק. לפני שנוכל לעשות זאת, אנו זקוקים לאוצר מילים כלשהו.
ההדדיות של שבר נמצאת על ידי היפוך השבר, הצבת המונה במכנה והמכנה במונה. ההדדי של 23 הוא32.
שים לב לזה23⋅32=1. מספר וההדדיות שלו מתרבים ל1.
כדי לקבל תוצר חיובי 1 בעת הכפלת שני מספרים, המספרים חייבים להיות בעלי אותו סימן. אז הדדיות חייבות להיות בעלות אותו סימן.
ההדדי של −107 הוא−710, מאז−107(−710)=1.
ההדדי של ab הואba.
מספר וההדדיות שלו מתרבים לאחד ab⋅ba=1
ביצוע הפעילות המתמטית המניפולטיבית "חטיבת שברי מודלים" יעזור לך לפתח הבנה טובה יותר של חלוקת שברים.
כדי לחלק שברים, אנו מכפילים את השבר הראשון בהדדיות של השני.
אם a,b,c d והם מספרים איפה b≠0,c≠0 וd≠0, אז
ab÷cd=ab⋅dc
כדי לחלק שברים, אנו מכפילים את השבר הראשון בהדדיות של השני.
אנחנו צריכים d≠0 לומר b≠0,c≠0 ולהיות בטוחים שאנחנו לא מתחלקים באפס!
לחלק: −23÷n5
- תשובה
-
−23÷n5To divide, multiply the first fraction by the−23⋅5nreciprocal of the second.Multiply.−103n
לחלק:−35÷p7.
- תשובה
-
−215p
לחלק:−58÷q3.
- תשובה
-
−158q
מצא את המנה:
−718÷(−1427)
- תשובה
-
−718÷(−1427) כדי לחלק, הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. −718⋅−2714 לקבוע את הסימן של המוצר, ולאחר מכן להכפיל.. 7⋅2718⋅14 שכתוב מחדש מראה גורמים נפוצים. הסר גורמים נפוצים. 32⋅2 לפשט. 34
מצא את המנה:
−78÷(−1427)
- תשובה
-
415
מצא את המנה:
−78÷(−1427)
- תשובה
-
23
ישנן מספר דרכים לזכור אילו צעדים לנקוט כדי להכפיל או לחלק שברים. דרך אחת היא לחזור על הקריאה לעצמך. אם תעשה זאת בכל פעם שאתה מבצע תרגיל, תשנן את הצעדים.
- "כדי להכפיל שברים, הכפל את המספרים והכפיל את המכנים."
- "כדי לחלק שברים, הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני."
דרך נוספת היא לזכור שתי דוגמאות:

המספרים או המכנים של שברים מסוימים מכילים שברים עצמם. שבר בו המונה או המכנה הוא שבר נקרא שבר מורכב.
שבר מורכב הוא שבר בו המונה או המכנה מכילים שבר.
כמה דוגמאות לשברים מורכבים הם:
6733458x256
כדי לפשט שבר מורכב, אנו זוכרים כי סרגל השבר פירושו חלוקה. לדוגמה, השבר המורכב 3458 פירושו34÷58.
פשט: 3458
- תשובה
-
3458 לשכתב כחלוקה. 34÷58 הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. 34⋅85 להכפיל. 3⋅84⋅5 חפש גורמים נפוצים. חלקו גורמים נפוצים ופשטו. 65
פשט: 2356
- תשובה
-
45
פשט: 37611
- תשובה
-
1114
פשט: x2xy6
- תשובה
-
x2xy6 לשכתב כחלוקה. x2÷xy6 הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני. x2⋅6xy להכפיל. x⋅62⋅xy חפש גורמים נפוצים. חלקו גורמים נפוצים ופשטו. 3y
פשט: a8ab6
- תשובה
-
34b
פשט: p2pq8
- תשובה
-
4q
פשט ביטויים עם סרגל שבר
הקו המפריד בין המונה למכנה בשבר נקרא סרגל שבר. סרגל שבר משמש כסמל קיבוץ. סדר הפעולות אומר לנו לפשט את המונה ואז את המכנה. ואז אנחנו מתחלקים.
כדי לפשט את הביטוי5−37+1, ראשית אנו מפשטים את המונה ואת המכנה בנפרד. ואז אנחנו מתחלקים.
5−37+12814
- פשט את הביטוי במונה. פשט את הביטוי במכנה.
- פשט את השבר.
פשט: 4−2(3)22+2
- תשובה
-
4−2(3)22+2Use the order of operations to simplify the4−64+2numerator and the denominator.Simplify the numerator and the denominator−26Simplify. A negative divided by a positive is negative.−13
פשט: 6−3(5)32+3
- תשובה
-
−34
פשט: 4−4(6)32+3
- תשובה
-
−53
לאן הסימן השלילי הולך בשבריר? בדרך כלל הסימן השלילי נמצא מול השבר, אך לעיתים תראו שבר עם מונה שלילי, או לפעמים עם מכנה שלילי. זכור כי שברים מייצגים חלוקה. כאשר למונה ולמכנה יש סימנים שונים, המנה שלילית.
−13=−13negativepositive=negative1−3=−13positivenegative=negative
עבור כל מספרים a חיובייםb,
−ab=a−b=−ab
פשט: 4(−3)+6(−2)−3(2)−2
- תשובה
-
סרגל השבר פועל כמו סמל קיבוץ. אז לפשט לחלוטין את המונה ואת המכנה בנפרד.
4(−3)+6(−2)−3(2)−2Multiply.−12+(−12)−6−2Simplify.−24−8Divide.3
פשט: 8(−2)+4(−3)−5(2)+3
- תשובה
-
4
פשט: 7(−1)+9(−3)−5(3)−2
- תשובה
-
2
תרגם ביטויים לביטויים עם שברים
כעת, לאחר שביצענו עבודה עם שברים, אנו מוכנים לתרגם ביטויים שיגרמו לביטויים עם שברים.
המילים באנגלית quotient ויחס משמשות לעתים קרובות לתיאור שברים. זכור כי "מנה" פירושו חלוקה. המנה של aa ו- bb היא התוצאה שאנו מקבלים מחלוקת a על ידיb, או. ab
תרגם את הביטוי האנגלי לביטוי אלגברי: כמות ההבדל של m ו, ו. n p
- תשובה
-
אנחנו מחפשים את המנה של ההבדל של \(m\) ו\(n\), ו.. \(p\) זה אומר שאנחנו רוצים לחלק את ההבדל של \(m\) ו\(n\), ו\(p\).
m−np
תרגם את הביטוי האנגלי לביטוי אלגברי: כמות ההבדל של a ו, ו. b cd
- תשובה
-
a−bcd
תרגם את הביטוי האנגלי לביטוי אלגברי: המנה של p סכום ו, ו. q r
- תשובה
-
p+qr
מושגי מפתח
- מאפיין שברים שווה ערך: אם a,b,c הם מספרים היכןb≠0,c≠0, ואז
ab=a⋅cb⋅c ו a⋅cb⋅c=ab - חלוקת שברים: אם a,b,c d והם מספרים איפה b≠0,c≠0 ואזab÷cd=ab⋅dc. d≠0 כדי לחלק שברים, הכפל את השבר הראשון בהדדיות של השני.
- כפל שברים: אם a,b,c ומספרים d היכןb≠0,d≠0, אזab⋅cd=acbd. כדי להכפיל שברים, הכפל את המספרים והכפיל את המכנים.
- מיקום סימן שלילי בשבר: לכל מספרים חיוביים a וb, −aa=a−a=−ab
- רכוש של אחד:aa=1; כל מספר, למעט אפס, מחולק בפני עצמו הוא אחד.
- פשט שבר
- כתוב מחדש את המונה והמכנה כדי להראות את הגורמים המשותפים. במידת הצורך, הכניסו תחילה את המונה והמכנה למספרים ראשוניים.
- פשט את השימוש במאפיין השברים המקבילים על ידי חלוקת גורמים משותפים.
- הכפל את כל הגורמים שנותרו.
- פשט ביטוי באמצעות סרגל שבר
- פשט את הביטוי במונה. פשט את הביטוי במכנה.
- פשט את השבר.
רשימת מילים
- שבר מורכב
- שבר מורכב הוא שבר בו המונה או המכנה מכילים שבר.
- מכנה
- המכנה הוא הערך בחלק התחתון של השבר המציין את מספר החלקים השווים אליהם חולק השלם.
- שברים שווים
- שברים שווים הם שברים בעלי ערך זהה.
- שבריר
- כתוב שברab, כאשרb≠0, a הוא המונה ו- b הוא המכנה. חלק מייצג חלקים של שלם. המכנה b הוא מספר החלקים השווים אליהם חולק השלם, והמונה aa מציין כמה חלקים כלולים.
- מונה
- המונה הוא הערך בחלקו העליון של השבר המציין כמה חלקים מהשלם כלולים.
- הדדי
- ההדדי של ab הואba. מספר וההדדיות שלו מתרבים לאחד:ab⋅ba=1.
- שבר פשוט
- שבר נחשב לפשוט יותר אם אין גורמים משותפים במונה ובמכנה שלו.