2.3: Ulinganisho wa mstari katika Variable Moja
- Page ID
- 180786
- Kutatua equations katika variable moja algebraically.
- Tatua usawa wa busara.
- Kupata equation linear.
- Kutokana na usawa wa mistari miwili, onyesha kama grafu zao ni sambamba au perpendicular.
- Andika equation ya mstari sambamba au perpendicular kwa mstari fulani.
Caroline ni muda mwanafunzi wa chuo mipango spring mapumziko likizo. Ili kupata pesa za kutosha kwa ajili ya safari hiyo, amechukua kazi ya muda katika benki ya ndani ambayo hulipa\($15.00/hr\), na alifungua akaunti ya akiba na amana ya awali ya\($400\) Januari 15. Yeye mpangilio kwa ajili ya kuhifadhi moja kwa moja ya hundi yake ya malipo. Ikiwa mapumziko ya spring huanza Machi 20 na safari itapungua takriban\($2,500\), ni saa ngapi atakuwa na kazi ili kupata kutosha kulipa likizo yake? Ikiwa anaweza kufanya kazi\(4\) masaa kwa siku, ni siku ngapi kwa wiki atafanya kazi? Itachukua wiki ngapi? Katika sehemu hii, sisi kuchunguza matatizo kama hii na wengine, ambayo kuzalisha grafu kama mstari katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).
Kutatua Equations Linear katika Variable Moja
Equation linear ni equation ya mstari wa moja kwa moja, iliyoandikwa katika variable moja. Nguvu pekee ya kutofautiana ni\(1\). Ulinganisho wa mstari katika variable moja inaweza kuchukua fomu\(ax +b=0\) na hutatuliwa kwa kutumia shughuli za msingi za algebraic. Tunaanza kwa kuainisha equations linear katika variable moja kama moja ya aina tatu: utambulisho, masharti, au haiendani.
- equation utambulisho ni kweli kwa maadili yote ya kutofautiana. Hapa ni mfano wa equation\[3x=2x+x \nonumber \] utambulisho: kuweka ufumbuzi lina maadili yote kwamba kufanya equation kweli. Kwa equation hii, ufumbuzi kuweka ni namba zote halisi kwa sababu idadi yoyote halisi kubadilishwa kwa\(x\) kufanya equation kweli.
- Equation masharti ni kweli kwa baadhi tu ya maadili ya kutofautiana. Kwa mfano, kama sisi ni kutatua equation\(5x+2=3x−6\), tuna yafuatayo:\[\begin{align*} 5x+2&=3x-6 \\ 2x &=-8 \\ x&=-4 \end{align*} \] kuweka ufumbuzi lina idadi moja:\({−4}\). Ni suluhisho pekee na, kwa hiyo, tumetatua usawa wa masharti.
- Equation haiendani matokeo katika taarifa ya uongo. Kwa mfano, kama sisi ni kutatua\(5x−15=5(x−4)\), tuna yafuatayo:\[\begin{align*} 5x−15 &=5x−20 \\ 5x−15-5x &= 5x−20-5x \\ −15 &\neq −20 \end{align*}\] Hakika,\(−15≠−20\). Hakuna ufumbuzi kwa sababu hii ni equation haiendani.
Kutatua equations linear katika variable moja inahusisha mali ya msingi ya usawa na shughuli za msingi algebraic. Mapitio mafupi ya shughuli hizo ifuatavyo.
Equation linear katika variable moja inaweza kuandikwa kwa fomu
\[ax+b=0\]
ambapo a na b ni idadi halisi,\(a≠0\).
Hatua zifuatazo zinatumiwa kuendesha equation na kutenganisha kutofautiana haijulikani, ili mstari wa mwisho\(x=\) usome _________, ikiwa\(x\) haijulikani. Hakuna utaratibu uliowekwa, kama hatua zinazotumiwa zinategemea kile kinachopewa:
- Tunaweza kuongeza, Ondoa, kuzidisha, au kugawanya equation kwa idadi au kujieleza kwa muda mrefu kama sisi kufanya kitu kimoja kwa pande zote mbili ya ishara sawa. Kumbuka kwamba hatuwezi kugawanya kwa sifuri.
- Tumia mali ya usambazaji kama inahitajika:\(a(b+c)=ab+ac\).
- Isulate variable upande mmoja wa equation.
- Wakati kutofautiana kuongezeka kwa mgawo katika hatua ya mwisho, kuzidisha pande zote mbili za equation kwa usawa wa mgawo.
Tatua equation ifuatayo:\(2x+7=19\).
Suluhisho
Equation hii inaweza kuandikwa\(ax +b=0\) kwa fomu kwa kuondoa 19 kutoka pande zote mbili. Hata hivyo, tunaweza kuendelea kutatua equation katika fomu yake ya awali kwa kufanya shughuli algebraic.
\[\begin{align*} 2x+7&=19\\ 2x&=12\qquad \text{Subtract 7 from both sides}\\ x&=6\qquad \text{Multiply both sides by } \dfrac{1}{2} \text{ or divide by } 2 \end{align*}\]
Suluhisho ni\(6\).
Kutatua equation linear katika variable moja:\(2x+1=−9\).
- Jibu
-
\(x=−5\)
Tatua equation ifuatayo:\(4(x−3)+12=15−5(x+6)\).
Suluhisho
Tumia mali ya kawaida ya algebraic.
\[\begin{align*} 4(x-3)+12&=15-5(x+6)\\ 4x-12+12&=15-5x-30\qquad \text{Apply the distributive property}\\ 4x&=-15-5x\qquad \text{Combine like terms}\\ 9x&=-15\qquad \text{Place x terms on one side and simplify}\\ x&=-\dfrac{15}{9}\qquad \text{Multiply both sides by } \dfrac{1}{9} \text { , the reciprocal of } 9\\ x&=-\dfrac{5}{3} \end{align*}\]
Uchambuzi
Tatizo hili inahitaji mali ya usambazaji kutumiwa mara mbili, na kisha mali ya algebra hutumiwa kufikia mstari wa mwisho,\(x=-\dfrac{5}{3}\).
Tatua equation katika variable moja:\(−2(3x−1)+x=14−x\).
- Jibu
-
\(x=-3\)
Kutatua usawa wa busara
Katika sehemu hii, tunaangalia usawa wa busara ambao, baada ya kudanganywa fulani, husababisha usawa wa mstari. Kama equation ina angalau kujieleza mantiki, ni kuchukuliwa equation mantiki. Kumbuka kwamba idadi ya busara ni uwiano wa namba mbili, kama vile\(\dfrac{2}{3}\) au\(\dfrac{7}{2}\). Maneno ya busara ni uwiano, au quotient, ya polynomials mbili. Hapa kuna mifano mitatu.
\[\dfrac{x+1}{x^2-4} \nonumber \]
\[\dfrac{1}{x-3} \nonumber \]
au
\[\dfrac{4}{x^2+x-2} \nonumber \]
Equations ya busara ina variable katika denominator katika angalau moja ya maneno. Lengo letu ni kufanya shughuli za algebraic ili vigezo vinaonekana kwenye nambari. Kwa kweli, tutaondoa denominators zote kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida (LCD). Kutafuta LCD ni kutambua usemi ambao una nguvu ya juu zaidi ya mambo yote katika madhehebu yote. Tunafanya hivyo kwa sababu wakati equation imeongezeka kwa LCD, mambo ya kawaida katika LCD na katika kila denominator itakuwa sawa moja na kufuta nje.
Tatua usawa wa busara:
\[\dfrac{7}{2x}-\dfrac{5}{3x}=\dfrac{22}{3} \nonumber \]
Suluhisho
Tuna denominators tatu;\(2x\),\(3x\), na\(3\). LCD lazima iwe na\(2x\),\(3x\), na\(3\). LCD ya\(6x\) ina denominators zote tatu. Kwa maneno mengine, kila denominator inaweza kugawanywa sawasawa katika LCD. Kisha, kuzidisha pande zote mbili za equation na LCD\(6x\).
\ [kuanza {align*}
(6x)\ kushoto [\ dfrac {7} {2x} -\ dfrac {5} {3x}\ haki] &=\ kushoto [\ dfrac {22} {3}\ haki] (6x)\ (6x)\
(6x)\ kushoto (\ dfrac {7} {2x}\ kulia) - (6x)\ kushoto (\ dfrac {5} {3x}\ haki) &=\ kushoto (\ dfrac {22} {3}\ haki) (6x)\ qquad\ maandishi {Tumia mali ya kusambaza. Futa mambo ya kawaida}\\
3 (7) -2 (5) &=22 (2x)\ qquad\ maandishi {Panua mambo yaliyobaki kwa kila nambari.} \\
21-10&= 44x\\
11&=44x\
\ dfrac {11} {44} &= x\\
\ dfrac {1} {4} &= x
\ mwisho {align*}\]
Hitilafu ya kawaida iliyofanywa wakati wa kutatua milinganyo ya busara inahusisha kutafuta LCD wakati mmoja wa denominators ni maneno ya binomial - maneno mawili yaliyoongezwa au yaliyotolewa-kama vile\((x+1)\). Daima fikiria binomial kama sababu ya mtu binafsi-maneno hayawezi kutengwa. Kwa mfano, tuseme tatizo lina masharti matatu na denominators ni\(x\),\(x−1\), na\(3x−3\). Kwanza, sababu zote denominators. Sisi basi\(x\),\((x−1)\), na\(3(x−1)\) kama denominators. (Kumbuka mabano yaliyowekwa karibu na denominator ya pili.) Tu denominators mbili za mwisho na sababu ya kawaida ya\((x−1)\). X katika denominator ya kwanza ni tofauti na\(x\) katika\((x−1)\) denominators. Njia bora ya kukumbuka hili ni kuandika denominators zilizowekwa na za binomial katika mabano, na kuzingatia kila mabano kama kitengo tofauti au sababu tofauti. LCD katika mfano huu ni kupatikana kwa kuzidisha pamoja\(x\), sababu moja ya\((x−1)\), na 3. Hivyo, LCD ni yafuatayo:
\(x(x−1)3=3x(x−1)\)
Hivyo, pande zote mbili za equation itakuwa tele kwa\(3x(x−1)\). Acha LCD katika fomu iliyopangwa, kwa sababu hii inafanya iwe rahisi kuona jinsi kila denominator katika tatizo hufuta nje.
Mfano mwingine ni tatizo na denominators mbili, kama vile\(x\) na\(x^2+2x\). Mara baada ya denominator pili ni sababu kama\(x^2+2x=x(x+2)\), kuna sababu ya kawaida ya\(x\) katika denominators wote na LCD ni\(x(x+2)\).
Wakati mwingine tuna equation ya busara kwa namna ya uwiano; yaani, wakati sehemu moja inalingana na sehemu nyingine na hakuna maneno mengine katika equation.
\[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\]
Tunaweza kutumia njia nyingine ya kutatua equation bila kupata LCD: kuzidisha msalaba. Tunazidisha maneno kwa kuvuka ishara sawa.
Panua (d) na b (c), ambayo husababisha\(ad=bc\).
Suluhisho lolote linalofanya denominator katika usemi wa awali sawa sifuri lazima uondokewe na uwezekano.
r ational equation ina angalau kujieleza mantiki ambapo variable inaonekana katika angalau moja ya denominators.
- Factor denominators wote katika equation.
- Pata na uondoe maadili yaliyoweka kila denominator sawa na sifuri.
- Kupata LCD.
- Kuzidisha equation nzima na LCD. Ikiwa LCD ni sahihi, hakutakuwa na denominators zilizoachwa.
- Tatua equation iliyobaki.
- Hakikisha kuangalia ufumbuzi nyuma katika equations awali ili kuepuka ufumbuzi kuzalisha sifuri katika denominator
Tatua usawa wa busara wafuatayo:
\(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2x}\)
SuluhishoTuna denominators tatu:\(x\),\(2\), na\(2x\). Hakuna factoring inahitajika. Bidhaa ya denominators mbili za kwanza ni sawa na denominator ya tatu, hivyo, LCD ni\(2x\). Thamani moja tu imeondolewa kwenye seti ya suluhisho,\(0\). Kisha, kuzidisha equation nzima (pande zote mbili za ishara sawa) na\(2x\).
\[\begin{align*} 2x\left[\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}\right]&=\left[\dfrac{7}{2x}\right](2x)\\ 2x\left(\dfrac{2}{x}\right)-2x\left(\dfrac{3}{2}\right)&=\left(\dfrac{7}{2x}\right)(2x)\qquad \text{Distribute } 2x\\ 2(2)-3x&=7\qquad \text{Denominators cancel out.}\\ 4-3x&=7\\ -3x&=3\\ x&=-1 \text { or } \{-1\} \end{align*}\]
Suluhisho lililopendekezwa ni\(−1\), ambalo sio thamani iliyotengwa, hivyo kuweka suluhisho ina namba moja,\(x=−1\), au\(\{−1\}\) imeandikwa katika nukuu iliyowekwa.
Tatua usawa wa busara:
\(\dfrac{2}{3x}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6x}\)
- Jibu
-
\(x=\dfrac{10}{3}\)
Tatua usawa wa busara wafuatayo:
\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{4x}\)
Suluhisho
Kwanza kupata denominator ya kawaida. denominators tatu katika fomu factored ni\(x,10=2⋅5\), na\(4x=2⋅2⋅x\). Maneno madogo zaidi ambayo yanagawanyika na kila moja ya denominators ni\(20x\). Tu\(x=0\) ni thamani ya kutengwa. Kuzidisha equation nzima na\(20x\).
\[\begin{align*} 20x\left(\dfrac{1}{x}\right)&= \left(\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{4x}\right)20x\\ 20&= 2x-15\\ 35&= 2x\\ \dfrac{35}{2}&= x \end{align*}\]
Suluhisho ni\(\dfrac{35}{2}\).
Tatua usawa wa busara:
\[-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{3}{4x}=-\dfrac{7}{4} \nonumber \]
- Jibu
-
\(x=1\)
Tatua usawa wafuatayo wa busara na ueleze maadili yaliyotengwa:
- \(\dfrac{3}{x-6}=\dfrac{5}{x}\)
- \(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{5}{x-3}-\dfrac{1}{2}\)
- \(\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{1}{2}\)
Suluhisho
a.
denominators\(x\) na\(x−6\) kuwa na kitu sawa. Kwa hiyo, LCD ni bidhaa\(x(x−6)\). Hata hivyo, kwa tatizo hili, tunaweza kuvuka kuzidisha.
\[\begin{align*} \dfrac{3}{x-6}&=\dfrac{5}{x}\\ 3x&=5(x-6)\qquad \text{Distribute.}\\ 3x&=5x-30\\ -2x&=-30\\ x&=15 \end{align*}\]
Suluhisho ni\(15\). Maadili yaliyotengwa ni\(6\) na\(0\).
b.
LCD ni\(2(x−3)\). Kuzidisha pande zote mbili za equation na\(2(x−3)\).
\[\begin{align*} 2(x-3)\left [\dfrac{x}{x-3} \right ]&= \left [\dfrac{5}{x-3}-\dfrac{1}{2} \right ]2(x-3)\\ \dfrac{2(x-3)x}{x-3}&= \dfrac{2(x-3)5}{x-3}-\dfrac{2(x-3)}{2}\\ 2x&= 10-(x-3)\\ 2x&= 13-x\\ 3x&= 13\\ x&= \dfrac{13}{3} \end{align*}\]
Suluhisho ni\(\dfrac{13}{3}\). Thamani iliyotengwa ni\(3\).
c.
denominator angalau kawaida ni\(2(x−2)\). Kuzidisha pande zote mbili za equation na\(x(x−2)\).
\[\begin{align*} 2(x-2)\left [\dfrac{x}{x-2} \right ]&= \left [\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{1}{2} \right ]2(x-2)\\ 2x&= 10-(x-2)\\ 2x&= 12-x\\ 3x&= 12\\ x&= 4 \end{align*}\]
Suluhisho ni\(4\). Thamani iliyotengwa ni\(2\).
Kutatua\(\dfrac{-3}{2x+1}=\dfrac{4}{3x+1}\). Weka maadili yaliyotengwa.
- Jibu
-
\(x=-\dfrac{7}{17}\). Maadili yaliyotengwa ni\(x=−12\) na\(x=−13\).
Kutatua equation mantiki baada factoring denominators:\(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2x}{x^2-1}\). Weka maadili yaliyotengwa.
Suluhisho
Tunapaswa kuzingatia denominator\(x^2−1\). Tunatambua hii kama tofauti ya mraba, na sababu yake kama\((x−1)(x+1)\). Hivyo, LCD ambayo ina kila denominator ni\((x−1)(x+1)\). Kuzidisha equation nzima na LCD, kufuta denominators, na kutatua equation iliyobaki.
\[\begin{align*} (x+1)(x-1)\left [\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} \right ]&= \left [\dfrac{2x}{x^2-1} \right ](x+1)(x-1)\\ 2(x-1)-(x+1)&= 2x\\ 2x-2-x-1&= 2x \text{ Distribute the negative sign}\\ -3-x&= 0\\ x&= -3 \end{align*}\]
Suluhisho ni\(−3\). Maadili yaliyotengwa ni\(1\) na\(−1\).
Tatua usawa wa busara:
\(\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x^2-x-2}\)
- Jibu
-
\(x=\dfrac{1}{3}\)
Kupata Equation Linear
Labda fomu inayojulikana zaidi ya equation ya mstari ni fomu ya mteremko, iliyoandikwa kama\[y=mx+b\] wapi\(m=\text{slope}\) na\(b=\text{y−intercept.}\) Hebu tuanze na mteremko.
Mteremko wa mstari unahusu uwiano wa mabadiliko ya wima\(y\) juu ya mabadiliko ya usawa\(x\) kati ya pointi mbili kwenye mstari. Inaonyesha mwelekeo ambao mstari hupanda pamoja na mwinuko wake. Slope ni wakati mwingine ilivyoelezwa kama kupanda juu ya kukimbia.
Ikiwa mteremko ni chanya, mstari hupanda kwa haki. Ikiwa mteremko ni hasi, mstari hupanda upande wa kushoto. Kama mteremko unavyoongezeka, mstari unakuwa mwinuko. Baadhi ya mifano ni inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Mstari unaonyesha mteremko wafuatayo:\(m=−3\)\(m=2\),, na\(m=\dfrac{1}{3}\).
Mteremko wa mstari,\(m\), inawakilisha mabadiliko katika\(y\) juu ya mabadiliko katika\(x\). Kutokana na pointi mbili,\((x_1,y_1)\) na\((x_2,y_2)\), formula ifuatayo huamua mteremko wa mstari ulio na pointi hizi:
\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Pata mteremko wa mstari unaopita kupitia pointi\((2,−1)\) na\((−5,3)\).
Suluhisho
Sisi badala ya\(y\) -maadili na\(x\) -maadili katika formula.
\[\begin{align*} m&= \dfrac{3-(-1)}{-5-2}\\ &= \dfrac{4}{-7}\\ &= -\dfrac{4}{7} \end{align*}\]
Mteremko ni\(-\dfrac{4}{7}\)
Uchambuzi
Haijalishi ni hatua gani inayoitwa\((x_1,y_1)\) au\((x_2,y_2)\). Kwa muda mrefu kama sisi ni sawa na utaratibu wa\(y\) masharti na utaratibu wa\(x\) maneno katika nambari na denominator, hesabu itatoa matokeo sawa.
Pata mteremko wa mstari unaopita kupitia pointi\((−2,6)\) na\((1,4)\).
- Jibu
-
\(m=-\dfrac{2}{3}\)
Tambua mteremko na\(y\) -intercept, kutokana na equation\(y=-\dfrac{3}{4}x-4\).
Suluhisho
Kama mstari ulipo katika\(y=mx+b\) fomu, mstari uliopewa una mteremko wa\(m=-\dfrac{3}{4}\). \(y\)Kizuizi ni\(b=−4\).
Uchambuzi
The\(y\) -intercept ni hatua ambayo mstari unavuka\(y\) -axis. Kwenye\(y\) -axis,\(x=0\). Tunaweza daima kutambua\(y\) -intercept wakati mstari ni katika mteremka-intercept fomu, kama itakuwa daima sawa\(b\). Au, tu mbadala\(x=0\) na kutatua kwa\(y\).
Mfumo wa Point-Slope
Kutokana na mteremko na hatua moja kwenye mstari, tunaweza kupata equation ya mstari kwa kutumia formula ya mteremko wa uhakika.
\[y−y_1=m(x−x_1)\]
Hii ni formula muhimu, kama itatumika katika maeneo mengine ya algebra ya chuo na mara nyingi katika calculus kupata equation ya mstari tangent. Tunahitaji hatua moja tu na mteremko wa mstari wa kutumia formula. Baada ya kubadilisha mteremko na kuratibu za hatua moja katika formula, tunaifanya rahisi na kuiandika katika fomu ya kuingilia mteremko.
Kutokana na hatua moja na mteremko, formula ya mteremko wa uhakika itasababisha usawa wa mstari:
\[y−y_1=m(x−x_1)\]
Andika equation ya mstari\(m=−3\) na mteremko na kupitia hatua\((4,8)\). Andika equation ya mwisho katika fomu ya mteremka-intercept.
Suluhisho
Kutumia formula ya mteremko wa uhakika, mbadala\(−3\) ya m na uhakika\((4,8)\)\((x_1,y_1)\).
\[\begin{align*} y-y_1&= m(x-x_1)\\ y-8&= -3(x-4)\\ y-8&= -3x+12\\ y&= -3x+20 \end{align*}\]
Uchambuzi
Kumbuka kwamba hatua yoyote kwenye mstari inaweza kutumika kupata equation. Ikiwa imefanywa kwa usahihi, usawa huo wa mwisho utapatikana.
Kutokana\(m=4\), kupata equation ya mstari katika mteremka-intercept fomu kupitia hatua\((2,5)\).
- Jibu
-
\(y=4x−3\)
Find equation ya mstari kupita kwa njia ya pointi\((3,4)\) na\((0,−3)\). Andika equation ya mwisho katika fomu ya mteremka-intercept.
Suluhisho
Kwanza, tunahesabu mteremko kwa kutumia formula ya mteremko na pointi mbili.
\[\begin{align*} m&= \dfrac{-3-4}{0-3}\\ m&= \dfrac{-7}{-3}\\ m&= \dfrac{7}{3}\\ \end{align*}\]
Kisha, tunatumia formula ya mteremko wa uhakika na mteremko wa\(\dfrac{7}{3}\), na ama uhakika. Hebu tuchukue hatua\((3,4)\)\((x_1,y_1)\).
\[\begin{align*} y-4&= \dfrac{7}{3}(x-3)\\ y-4&= \dfrac{7}{3}x-7\\ y&= \dfrac{7}{3}x-3\\ \end{align*}\]
Katika fomu ya kuingilia mteremko, equation imeandikwa kama\(y=\dfrac{7}{3}x-3\)
Uchambuzi
Ili kuthibitisha kwamba ama hatua inaweza kutumika, hebu kutumia hatua ya pili\((0,−3)\) na kuona kama sisi kupata equation sawa.
\[\begin{align*} y-(-3)&= \dfrac{7}{3}(x-0)\\ y+3&= \dfrac{7}{3}x\\ y&= \dfrac{7}{3}x-3\\ \end{align*}\]
Tunaona kwamba mstari huo utapatikana kwa kutumia hatua yoyote. Hii ina maana kwa sababu tulitumia pointi zote mbili kuhesabu mteremko.
Fomu ya kawaida ya Mstari
Njia nyingine ambayo tunaweza kuwakilisha equation ya mstari ni katika hali ya kawaida. Fomu ya kawaida inapewa kama
\[Ax+By=C\]
ambapo\(A\),\(B\), na\(C\) ni integers. \(y\)Masharti\(x\) - na -ni upande mmoja wa ishara sawa na muda wa mara kwa mara ni upande mwingine.
Find equation ya mstari\(m=−6\) na na kupitia hatua\(\left(\dfrac{1}{4},−2\right)\). Andika equation katika fomu ya kawaida.
Suluhisho
Tunaanza kutumia formula ya mteremko wa uhakika.
\[\begin{align*} y-(-2)&= -6\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\\ y+2&= -6x+\dfrac{3}{2}\\ \end{align*}\]
Kutoka hapa, sisi kuzidisha kwa njia ya\(2\), kama hakuna FRACTIONS wanaruhusiwa katika hali ya kawaida, na kisha hoja vigezo vyote kwa upande wa kushoto wa ishara sawa na hoja constants na haki.
\[\begin{align*} 2(y+2)&= \left(-6x+\dfrac{3}{2}\right)2\\ 2y+4&= -12x+3\\ 12x+2y&= -1 \end{align*}\]
Equation hii sasa imeandikwa katika fomu ya kawaida.
Pata usawa wa mstari katika fomu ya kawaida na mteremko\(m=−\dfrac{1}{3}\) na ukipitia hatua\((1,13)\).
- Jibu
-
\(x+3y=2\)
Mistari ya wima na ya usawa
Ulinganisho wa mistari ya wima na ya usawa hauhitaji fomu yoyote iliyotangulia, ingawa tunaweza kutumia fomu ili kuthibitisha kuwa equations ni sahihi. Equation ya mstari wima hutolewa kama
ambapo\(c\) ni mara kwa mara. Mteremko wa mstari wa wima haujafafanuliwa, na bila kujali\(y\) -thamani ya hatua yoyote kwenye mstari,\(x\) -kuratibu ya uhakika itakuwa\(c\).
Tuseme kwamba tunataka kupata equation ya mstari zenye pointi zifuatazo:\((−3,−5)\),\((−3,1)\),\((−3,3)\), na\((−3,5)\). Kwanza, tutapata mteremko.
Zero katika denominator inamaanisha kuwa mteremko haujafafanuliwa na, kwa hiyo, hatuwezi kutumia formula ya mteremko wa uhakika. Hata hivyo, tunaweza kupanga njama. Kumbuka kwamba wote wa\(x\) -kuratibu ni sawa na tunapata mstari wima kupitia\(x=−3\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{3}\).
Equation ya mstari wa usawa hutolewa kama
\[y=c\]
ambapo\(c\) ni mara kwa mara. Mteremko wa mstari usio na usawa ni sifuri, na kwa\(x\) thamani yoyote ya uhakika kwenye mstari,\(y\) -kuratibu itakuwa\(c\).
Tuseme tunataka kupata equation ya mstari ambayo ina seti zifuatazo ya pointi:\((−2,−2)\),\((0,−2)\),\((3,−2)\), na\((5,−2)\). Tunaweza kutumia formula ya mteremko wa uhakika. Kwanza, tunapata mteremko kwa kutumia pointi mbili kwenye mstari.
\[\begin{align*} m&= \dfrac{-2-(-2)}{0-(-2)}\\ &= \dfrac{0}{2}\\ &= 0 \end{align*}\]
Tumia hatua yoyote\((x_1,y_1)\) kwa formula, au tumia y-intercept.
\[\begin{align*} y-(-2)&= 0(x-3)\\ y+2&= 0\\ y&= -2 \end{align*}\]
Grafu ni mstari usio na usawa kupitia\(y=−2\). Angalia kwamba yote ya y-kuratibu ni sawa. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{3}\).
Find equation ya mstari kupita kwa njia ya pointi fulani:\((1,−3)\) na\((1,4)\).
Suluhisho
\(x\)Kuratibu ya pointi zote mbili ni\(1\). Kwa hiyo, tuna mstari wa wima,\(x=1\).
Find equation ya mstari kupita kwa njia\((−5,2)\) na\((2,2)\).
- Jibu
-
Mstari wa usawa:\(y=2\)
Kuamua Kama Grafu ya Lines ni Sambamba au Perpendicular
Mstari sambamba una mteremko sawa na y-intercepts tofauti. Mistari ambayo ni sawa na kila mmoja haitaingiliana kamwe. Kwa mfano, Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha grafu ya mistari mbalimbali na mteremko huo,\(m=2\).
Mstari wote unaoonyeshwa kwenye grafu ni sambamba kwa sababu wana mteremko sawa na y-intercepts tofauti.
Mistari ambayo ni perpendicular intersect kuunda\(90^{\circ}\) -angle. Mteremko wa mstari mmoja ni usawa mbaya wa mwingine. Tunaweza kuonyesha kwamba mistari miwili ni perpendicular kama bidhaa ya mteremko miwili ni\(−1:m_1⋅m_2=−1\). Kwa mfano, Kielelezo\(\PageIndex{5}\) kinaonyesha grafu ya mistari miwili ya perpendicular. Mstari mmoja una mteremko wa\(3\); line nyingine ina mteremko wa\(-\dfrac{1}{3}\).
\[\begin{align*} m_1\cdot m_2&= -1\\ 3\cdot \left (-\dfrac{1}{3} \right )&= -1\\ \end{align*}\]
Grafu usawa wa mistari iliyotolewa, na ueleze kama ni sambamba, perpendicular, au wala:\(3y=−4x+3\) na\(3x−4y=8\).
Suluhisho
Jambo la kwanza tunataka kufanya ni kuandika upya equations ili equations wote ni katika fomu mteremka-intercept.
Ulinganisho wa kwanza:
\[\begin{align*} 3y&= -4x+3\\ y&= -\dfrac{4}{3}x+1\\ \end{align*}\]
Equation ya pili:
\[\begin{align*} 3x-4y&= 8\\ -4y&= -3x+8\\ y&= \dfrac{3}{4}x-2 \end{align*}\]
Angalia grafu ya mistari yote katika Kielelezo\(\PageIndex{6}\).
Kutoka kwenye grafu, tunaweza kuona kwamba mistari inaonekana perpendicular, lakini tunapaswa kulinganisha mteremko.
\[\begin{align*} m_1&=-\dfrac{4}{3}\\ m_2&=\dfrac{3}{4}\\ m_1\cdot m_2&=\left(-\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)\\ &=-1 \end{align*}\]
Miteremko ni usawa mbaya wa kila mmoja, kuthibitisha kwamba mistari ni perpendicular.
Graph mistari miwili na kuamua kama wao ni sambamba, perpendicular, au wala:\(2y−x=10\) na\(2y=x+4\).
- Jibu
-
Mstari sambamba: equations imeandikwa katika fomu mteremko intercept.
Kielelezo\(\PageIndex{7}\)
Kuandika Ulinganisho wa Mistari Sambamba au Perpendicular kwa Line iliyotolewa
Kama tulivyojifunza, kuamua kama mistari miwili ni sambamba au perpendicular ni suala la kutafuta mteremko. Kuandika equation ya mstari sambamba au perpendicular kwa mstari mwingine, sisi kufuata kanuni sawa kama sisi kufanya kwa ajili ya kutafuta equation ya mstari wowote. Baada ya kupata mteremko, tumia fomu ya mteremko wa uhakika ili kuandika usawa wa mstari mpya.
- Pata mteremko wa mstari uliopewa. Njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kuandika equation katika fomu ya mteremko.
- Tumia mteremko na hatua iliyotolewa na formula ya mteremko wa uhakika.
- Kurahisisha mstari kwa mteremka-intercept fomu na kulinganisha equation kwa mstari fulani.
Andika equation ya mstari sambamba\(5x+3y=1\) na na kupitia hatua\((3,5)\).
Suluhisho
Kwanza, tutaandika equation katika fomu ya mteremko ili kupata mteremko.
\[\begin{align*} 5x+3y&= 1\\ 3y&= -5x+1\\ y&= -\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{3} \end{align*}\]
Mteremko ni\(m=−\dfrac{5}{3}\). Y-intercept ni\(13\), lakini hiyo haiingii katika tatizo letu, kama kitu pekee tunachohitaji kwa mistari miwili kuwa sambamba ni mteremko huo. Mbali moja ni kwamba ikiwa\(y\) -intercepts ni sawa, basi mistari miwili ni mstari sawa. Hatua inayofuata ni kutumia mteremko huu na hatua iliyotolewa na formula ya mteremko wa uhakika.
\[\begin{align*} y-5&= -\dfrac{5}{3}(x-3)\\ y-5&= -\dfrac{5}{3}x+5\\ y&= -\dfrac{5}{3}x+10 \end{align*}\]
Equation ya mstari ni\(y=−\dfrac{5}{3}x+10\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{8}\).
Find equation ya mstari sambamba\(5x=7+y\) na na kupitia hatua\((−1,−2)\).
- Jibu
-
\(y=5x+3\)
Kupata equation ya mstari perpendicular kwa\(5x−3y+4=0\space(−4,1)\).
Suluhisho
Hatua ya kwanza ni kuandika equation katika fomu mteremka-intercept.
\[\begin{align*} 5x-3y+4&= 0\\ -3y&= -5x-4\\ y&= \dfrac{5}{3}x+\dfrac{4}{3} \end{align*}\]
Tunaona kwamba mteremko ni\(m=\dfrac{5}{3}\). Hii ina maana kwamba mteremko wa mstari perpendicular kwa mstari uliopewa ni usawa hasi, au\(-\dfrac{3}{5}\). Kisha, tunatumia formula ya mteremko wa uhakika na mteremko huu mpya na hatua iliyotolewa.
\[\begin{align*} y-1&= -\dfrac{3}{5}(x-(-4))\\ y-1&= -\dfrac{3}{5}x-\dfrac{12}{5}\\ y&= -\dfrac{3}{5}x-\dfrac{12}{5}+\dfrac{5}{5}\\ y&= -\dfrac{3}{5}x-\dfrac{7}{5} \end{align*}\]
Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na ufanyie mazoezi na usawa wa mstari.
- Kutatua milinganyo ya busara
- Equation ya mstari kupewa pointi mbili
- Kutafuta equation ya mstari perpendicular kwa mstari mwingine kupitia hatua fulani
- Kupata equation ya mstari sambamba na mstari mwingine kupitia hatua fulani
Dhana muhimu
- Tunaweza kutatua equations linear katika variable moja katika fomu\(ax +b=0\) kwa kutumia kiwango algebraic mali. Angalia Mfano na Mfano.
- Maneno ya busara ni quotient ya polynomials mbili. Tunatumia LCD ili kufuta sehemu ndogo kutoka kwa usawa. Angalia Mfano na Mfano.
- Ufumbuzi wote wa usawa wa busara unapaswa kuthibitishwa ndani ya equation ya awali ili kuepuka muda usiojulikana, au sifuri katika denominator. Angalia Mfano na Mfano.
- Kutokana na pointi mbili, tunaweza kupata mteremko wa mstari kwa kutumia formula ya mteremko. Angalia Mfano.
- Tunaweza kutambua mteremko na\(y\) -intercept ya equation katika mteremka-intercept fomu. Angalia Mfano.
- Tunaweza kupata equation ya mstari kutokana na mteremko na uhakika. Angalia Mfano.
- Tunaweza pia kupata equation ya mstari kutokana na pointi mbili. Pata mteremko na utumie formula ya mteremko wa uhakika. Angalia Mfano.
- Fomu ya kawaida ya mstari haina sehemu ndogo. Angalia Mfano.
- Mstari wa usawa una mteremko wa sifuri na hufafanuliwa kama\(y=c\),\(c\) wapi mara kwa mara.
- Mstari wa wima una mteremko usiojulikana (sifuri katika denominator), na hufafanuliwa kama \(x=c\), wapi\(c\) mara kwa mara. Angalia Mfano.
- Mstari sambamba una mteremko sawa na tofauti\(y\) -intercepts. Angalia Mfano.
- Mstari wa perpendicular una mteremko ambao ni hasi usawa wa kila mmoja isipokuwa moja ni ya usawa na nyingine ni wima. Angalia Mfano.