2.2: Mifumo ya Kuratibu ya Rectangular na Grafu

Last updated
Save as PDF

Page ID: 180795

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Plot kuamuru jozi katika Cartesian kuratibu mfumo.
Ulinganisho wa grafu kwa pointi za kupanga.
Ulinganisho wa grafu na matumizi ya graphing.
Kupata$x$ -intercepts na$y$ -intercepts.
Tumia formula ya umbali.
Tumia formula ya midpoint.

Tracie aliondoka kutoka Elmhurst, IL, kwenda Franklin Park. Njiani, alifanya vituo vichache kufanya kazi. Kila kuacha kunaonyeshwa na dot nyekundu kwenye Kielelezo$\PageIndex{1}$. Kuweka gridi ya kuratibu mstatili juu ya ramani, tunaweza kuona kwamba kila kuacha inafanana na makutano ya mistari ya gridi ya taifa. Katika sehemu hii, tutajifunza jinsi ya kutumia mistari ya gridi ya taifa kuelezea maeneo na mabadiliko katika maeneo.

Ramani ya barabara ya mji na majina ya mitaani kwenye x, y kuratibu gridi ya taifa. Vipengele mbalimbali vimewekwa katika nyekundu kwenye mistari ya gridi inayoonyesha maeneo tofauti kwenye ramani. — Kielelezo$\PageIndex{1}$

Kupanga Jozi zilizoamriwa katika Mfumo wa Kuratibu wa Cartesian

Hadithi ya zamani inaeleza jinsi mwanafalsafa wa karne ya kumi na saba/mwanahisabati René Descartes alivyobuni mfumo ambao umekuwa msingi wa algebra akiwa mgonjwa kitandani. Kwa mujibu wa hadithi, Descartes alikuwa akiangalia kuruka kutambaa juu ya dari wakati alipogundua kwamba angeweza kuelezea eneo la kuruka kuhusiana na mistari ya perpendicular inayoundwa na kuta za karibu za chumba chake. Aliangalia mistari ya perpendicular kama axes usawa na wima. Zaidi ya hayo, kwa kugawanya kila mhimili katika urefu sawa wa kitengo, Descartes aliona kwamba inawezekana kupata kitu chochote katika ndege mbili-dimensional kutumia namba mbili tu-makazi yao kutoka mhimili usawa na makazi yao kutoka mhimili wima.

Ingawa kuna ushahidi kwamba mawazo sawa na mfumo wa gridi ya Descartes 'ulikuwepo karne za awali, ilikuwa Descartes ambaye alianzisha vipengele ambavyo vinaunda mfumo wa kuratibu wa Cartesian, mfumo wa gridi ya taifa una shoka za perpendicular. Descartes aitwaye mhimili usawa$x$ -axis na mhimili wima$y$ -axis.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pia huitwa mfumo wa kuratibu mstatili, unategemea ndege mbili-dimensional yenye$x$ -axis na$y$ -axis. Kwa kila mmoja, axes hugawanya ndege katika sehemu nne. Kila sehemu inaitwa roboduara; quadrants zinahesabiwa kinyume chake kama inavyoonekana kwenye Kielelezo$\PageIndex{2}$.

Hii ni picha ya x, y ndege na axes lebo. Sehemu ya juu kulia ni kinachoitwa: Quadrant I. sehemu ya juu kushoto ni kinachoitwa: Quadrant II. Sehemu ya kushoto ya chini imeandikwa: Quadrant III. Sehemu ya chini ya kulia imeandikwa: Quadrant IV. — Kielelezo$\PageIndex{2}$

Katikati ya ndege ni hatua ambayo axes mbili zinavuka. Inajulikana kama asili, au uhakika$(0,0)$. Kutoka asili, kila mhimili umegawanyika zaidi katika vitengo sawa: kuongezeka, idadi nzuri kwa haki juu ya$x$ -axis na hadi$y$ -axis; kupungua, namba hasi upande wa kushoto juu ya$x$ -axis na chini$y$ -axis. Axes kupanua kwa infinity chanya na hasi kama inavyoonekana na arrowheads katika Kielelezo$\PageIndex{3}$.

Hii ni picha ya x, y kuratibu ndege. Mhimili wa x na y huanzia hasi 5 hadi 5. — Kielelezo$\PageIndex{3}$

Kila hatua katika ndege ni kutambuliwa na yake$x$ -kuratibu, au makazi ya usawa kutoka asili, na yake$y$ -kuratibu, au makazi ya wima kutoka asili. Pamoja, tunawaandika kama jozi iliyoamriwa inayoonyesha umbali wa pamoja kutoka kwa asili katika fomu$(x,y)$. Jozi iliyoamriwa pia inajulikana kama jozi ya kuratibu kwa sababu ina$x$ -$y$ na-kuratibu. Kwa mfano, tunaweza kuwakilisha hatua$(3,−1)$ katika ndege kwa kusonga vitengo vitatu kwa haki ya asili katika mwelekeo usawa, na kitengo kimoja chini katika mwelekeo wima. Angalia Kielelezo$\PageIndex{4}$.

Hii ni picha ya x, y kuratibu ndege. Mhimili wa x na y huanzia hasi 5 hadi 5. Hatua (3, -1) imeandikwa. mshale inaenea kulia kutoka asili 3 vitengo na mshale mwingine inaenea chini kitengo moja kutoka mwisho wa mshale kwamba kwa uhakika. — Kielelezo$\PageIndex{4}$

Wakati kugawanya axes katika nyongeza sawa spaced, kumbuka kuwa$x$ -axis inaweza kuchukuliwa tofauti na$y$ -axis. Kwa maneno mengine, wakati$x$ -axis inaweza kugawanywa na lebo kulingana na integers mfululizo,$y$ -axis inaweza kugawanywa na lebo na nyongeza ya$2$, au$10$, au$100$. Kwa kweli, axes inaweza kuwakilisha vitengo vingine, kama miaka dhidi ya usawa katika akaunti ya akiba, au kiasi dhidi ya gharama, na kadhalika. Fikiria mfumo wa kuratibu mstatili hasa kama njia ya kuonyesha uhusiano kati ya kiasi mbili.

Mfumo wa Kuratibu wa Cartesian

Ndege mbili-dimensional ambapo

$x$-axis ni mhimili usio na usawa
$y$-axis ni mhimili wima

Hatua katika ndege inaelezwa kama jozi iliyoamriwa$(x,y)$, kama hiyo$x$ imedhamiriwa na umbali wake usio na usawa kutoka kwa asili na$y$ imedhamiriwa na umbali wake wa wima kutoka kwa asili.

Mfano$\PageIndex{1}$: Plotting Points in a Rectangular Coordinate System

Panda pointi$(−2,4)$$(3,3)$,, na$(0,−3)$ katika ndege.

Suluhisho

Ili kupanga njama$(−2,4)$, kuanza kwa asili. $x$Kuratibu ni$–2$, hivyo hoja vitengo viwili upande wa kushoto. $y$Kuratibu ni$4$, hivyo basi hoja vitengo nne juu katika$y$ mwelekeo chanya.

Ili kupanga njama$(3,3)$, kuanza tena kwa asili. $x$Kuratibu ni$3$, hivyo hoja vitengo vitatu na haki. $y$Kuratibu ni pia$3$, hivyo hoja vitengo vitatu juu katika$y$ mwelekeo chanya.

Ili kupanga njama$(0,−3)$, kuanza tena kwa asili. $x$-kuratibu ni$0$. Hii inatuambia si kuhamia katika mwelekeo wowote kando ya$x$ -axis. $y$Kuratibu ni$–3$, hivyo hoja vitengo vitatu chini katika$y$ mwelekeo hasi. Angalia grafu katika Kielelezo$\PageIndex{5}$.

Hii ni picha ya grafu kwenye ndege ya kuratibu x, y. Axes x na y huanzia hasi 5 hadi 5. Pointi (-2, 4); (3, 3); na (0, -3) zimeandikwa. Mishale hupanua kutoka asili hadi pointi. — Kielelezo$\PageIndex{5}$

Uchambuzi

Kumbuka kwamba wakati ama kuratibu ni sifuri, hatua lazima iwe kwenye mhimili. Kama$x$ -kuratibu ni sifuri, uhakika ni juu ya$y$ -axis. Kama$y$ -kuratibu ni sifuri, uhakika ni juu ya$x$ -axis.

Graphing equations na Plotting Points

Tunaweza kupanga seti ya pointi ili kuwakilisha equation. Wakati equation vile ina wote$x$ variable na$y$ variable, inaitwa equation katika vigezo mbili. Grafu yake inaitwa grafu katika vigezo viwili. Grafu yoyote kwenye ndege mbili-dimensional ni grafu katika vigezo viwili.

Tuseme tunataka grafu equation$y=2x−1$. Tunaweza kuanza kwa kubadilisha thamani kwa$x$ katika equation na kuamua thamani kusababisha ya$y$. Kila jozi ya$x$ - na$y$ -maadili ni jozi iliyoamriwa ambayo inaweza kupangwa. Jedwali$\PageIndex{1}$ linaorodhesha maadili ya$x$ kutoka$–3$ kwa$3$ na maadili yanayotokana$y$.

Jedwali$\PageIndex{1}$
$x$	$y=2x−1$	$(x,y)$
\ (x\) ">$−3$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(−3)−1=−7$	\ (x, y)\) ">$(−3,−7)$
\ (x\) ">$−2$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(−2)−1=−5$	\ (x, y)\) ">$(−2,−5)$
\ (x\) ">$−1$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(−1)−1=−3$	\ (x, y)\) ">$(−1,−3)$
\ (x\) ">$0$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(0)−1=−1$	\ (x, y)\) ">$(0,−1)$
\ (x\) ">$1$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(1)−1=1$	\ (x, y)\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$2$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(2)−1=3$	\ (x, y)\) ">$(2,3)$
\ (x\) ">$3$	\ (y=2x-1\) ">$y=2(3)−1=5$	\ (x, y)\) ">$(3,5)$

Tunaweza kupanga pointi katika meza. Vipengele vya equation hii huunda mstari, ili tuweze kuunganisha (Kielelezo$\PageIndex{6}$). Hii si kweli kwa milinganyo yote.

Hii ni grafu ya mstari kwenye ndege ya kuratibu x, y. Aina ya x- na y-axis kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unapita kupitia pointi (-3, -7); (-2, -5); (-1, -3); (0, -1); (1, 1); (2, 3); na (3, 5). — Kielelezo$\PageIndex{6}$

Kumbuka kuwa$x$ maadili yaliyochaguliwa ni ya kiholela, bila kujali aina ya equation tunayopiga. Bila shaka, hali fulani zinaweza kuhitaji maadili fulani ya$x$ kupangwa ili kuona matokeo fulani. Vinginevyo, ni mantiki kuchagua maadili ambayo yanaweza kuhesabiwa kwa urahisi, na daima ni wazo nzuri ya kuchagua maadili ambayo ni hasi na chanya. Hakuna utawala unaoagiza pointi ngapi za njama, ingawa tunahitaji angalau mbili kupiga mstari. Kumbuka, hata hivyo, kwamba pointi zaidi tunayopanga, kwa usahihi tunaweza kuchora grafu.

Jinsi ya: Kutokana na equation, grafu kwa pointi za kupanga

Fanya meza na safu moja iliyoandikwa$x$, safu ya pili iliyoandikwa na equation, na safu ya tatu inaorodhesha jozi zilizoamuru.
Ingiza$x$ -maadili chini ya safu ya kwanza kwa kutumia maadili mazuri na hasi. Kuchagua$x$ -maadili katika utaratibu wa namba itafanya graphing rahisi.
Chagua$x$ -maadili ambayo yatatoa$y$ -maadili kwa jitihada kidogo, ikiwezekana wale ambao wanaweza kuhesabiwa kiakili.
Panda jozi zilizoamriwa.
Unganisha pointi ikiwa zinaunda mstari.

Mfano$\PageIndex{2}$: Graphing an Equation in Two Variables by Plotting Points

Grafu equation$y=−x+2$ kwa pointi njama.

Suluhisho

Kwanza, tunajenga meza sawa na Jedwali$\PageIndex{2}$. Chagua$x$ maadili na uhesabu$y$.

Jedwali$\PageIndex{2}$
$x$	$y=−x+2$	$(x,y)$
\ (x\) ">$−5$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(−5)+2=7$	\ (x, y)\) ">$(−5,7)$
\ (x\) ">$−3$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(−3)+2=5$	\ (x, y)\) ">$(−3,5)$
\ (x\) ">$−1$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(−1)+2=3$	\ (x, y)\) ">$(−1,3)$
\ (x\) ">$0$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(0)+2=2$	\ (x, y)\) ">$(0,2)$
\ (x\) ">$1$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(1)+2=1$	\ (x, y)\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$3$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(3)+2=−1$	\ (x, y)\) ">$(3,−1)$
\ (x\) ">$5$	\ (y=-x+2\) ">$y=−(5)+2=−3$	\ (x, y)\) ">$(5,−3)$

Sasa, njama pointi. Waunganishe ikiwa wanaunda mstari. Angalia Kielelezo$\PageIndex{7}$.

Picha hii ni grafu ya mstari kwenye ndege ya kuratibu x, y. Mhimili wa x-ni pamoja na namba zinazoanzia hasi 7 hadi 7. Mhimili wa y unajumuisha namba zinazoanzia hasi 5 hadi 8. Mstari unapita kupitia pointi: (-5, 7); (-3, 5); (-1, 3); (0, 2); (1, 1); (3, -1); na (5, -3). — Kielelezo$\PageIndex{7}$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Kujenga meza na grafu equation na pointi njama:$y=\dfrac{1}{2}x+2$.

Jibu

Tafadhali angalia Jedwali$\PageIndex{3}$ na graph hapa chini.

Jedwali$\PageIndex{3}$
$x$	$y = 12x + 2$	$(x,y)$
\ (x\) ">$-2$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(−2)+2=1$	\ (x, y)\) ">$(−2,1)$
\ (x\) ">$-1$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(−1)+2=32$	\ (x, y)\) ">$(−1,32)$
\ (x\) ">$0$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(0)+2=2$	\ (x, y)\) ">$(0,2)$
\ (x\) ">$1$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(1)+2=52$	\ (x, y)\) ">$(1,52)$
\ (x\) ">$2$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(2)+2=3$	\ (x, y)\) ">$(2,3)$

Hii ni picha ya grafu kwenye ndege ya kuratibu x, y. Aina ya x na y-axis kutoka hasi 5 hadi 5. Mstari unapita kupitia pointi (-2, 1); (-1, 3/2); (0, 2); (1, 5/2); na (2, 3). — Kielelezo$\PageIndex{8}$

Graphing equations na Huduma Graphing

Wengi graphing calculators zinahitaji mbinu sawa na grafu equation. Wakati mwingine milinganyo inapaswa kutumiwa hivyo imeandikwa kwa mtindo$y=$ _____. TI-84 Plus, na calculator nyingine nyingi hufanya na mifano, zina kazi ya mode, ambayo inaruhusu dirisha (skrini ya kutazama grafu) kubadilishwa ili sehemu muhimu za grafu zinaweza kuonekana.

Kwa mfano, equation$y=2x−20$ imeingia katika TI-84 Plus inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{9a}$. Katika Kielelezo$\PageIndex{9b}$, grafu inayosababisha inavyoonyeshwa. Angalia kwamba hatuwezi kuona kwenye skrini ambapo grafu inavuka shoka. Kiwango cha dirisha cha kawaida kwenye maonyesho ya TI-84 Plus$−10≤x≤10$, na$−10≤y≤10$. Angalia Kielelezo\ (\ UkurasaIndex {9 c}\).

Hii ni picha ya tatu upande-kwa-upande captures screen calculator. Screen ya kwanza ni skrini ya njama na kazi y ndogo 1 sawa mara mbili x minus ishirini. Screen ya pili inaonyesha mstari uliopangwa kwenye ndege ya kuratibu. Screen ya tatu inaonyesha skrini ya hariri ya dirisha na mipangilio ifuatayo: Xmin = -10; Xmax = 10; Xscl = 1; Ymin = -10; Ymax = 10; Yscl = 1; Xres = 1. — Kielelezo$\PageIndex{9}$: a Ingiza equation. b Hii ni grafu katika dirisha la awali. c. haya ni mipangilio ya awali.

Kwa kubadilisha dirisha ili kuonyesha zaidi ya$x$ mhimili mzuri na zaidi ya hasi$y$ -axis, tuna mtazamo bora zaidi wa grafu na$x$ - na$y$ -intercepts. Angalia Kielelezo$\PageIndex{10a}$ na Kielelezo$\PageIndex{10b}$.

Hii ni picha ya mbili upande-kwa-upande captures screen calculator. Screen ya kwanza ni skrini ya hariri ya dirisha na mipangilio ifuatayo: Xmin = hasi 5; Xmax = 15; Xscl = 1; Ymin = -30; Ymax = 10; Yscl = 1; Xres =1. Screen ya pili inaonyesha njama ya grafu ya awali, lakini inazingatia zaidi kwenye mstari. — Kielelezo$\PageIndex{10}$: a. screen hii inaonyesha mipangilio mpya ya dirisha. b Tunaweza kuona wazi intercepts katika dirisha jipya.

Mfano$\PageIndex{3}$: Using a Graphing Utility to Graph an Equation

Tumia matumizi ya graphing kwa grafu equation:$y=−\dfrac{2}{3}x−\dfrac{4}{3}$.

Suluhisho

Ingiza equation katika$y = \text{ function}$ ya calculator. Weka mipangilio ya dirisha ili wote$x$ - na$y$ - intercepts ni kuonyesha katika dirisha. Angalia Kielelezo$\PageIndex{11}$.

Picha hii ni ya mstari grafu kwenye x, y kuratibu ndege. Mhimili wa x-x una namba zinazoanzia hasi 3 hadi 4. Mhimili wa y una namba zinazoanzia hasi 3 hadi 3. Kazi y = -2x/3 + 4/3 imepangwa. — Kielelezo$\PageIndex{11}$

$x$Kutafuta - huchukua na $y$- huchukua

Vipindi vya grafu ni pointi ambazo grafu huvuka axes. $x$-Intercept ni hatua ambayo grafu huvuka $x$ -axis. Kwa hatua hii,$y$ -kuratibu ni sifuri. The$y$ -intercept ni hatua ambayo grafu huvuka$y$ -axis. Kwa hatua hii,$x$ -kuratibu ni sifuri.

Kuamua$x$ -intercept, tunaweka$y$ sawa na sifuri na kutatua$x$. Vile vile, kuamua$y$ -intercept, tunaweka$x$ sawa na sifuri na kutatua$y$. Kwa mfano, hebu kupata intercepts ya equation$y=3x−1$.

Ili kupata$x$ -intercept, kuweka$y=0$.

\[\begin{align*} y &= 3x - 1\\ 0 &= 3x - 1\\ 1 &= 3x\\ \dfrac{1}{3}&= x \end{align*}\]

$x$-kukatiza:$\left(\dfrac{1}{3},0\right)$

Ili kupata$y$ -intercept, kuweka$x=0$.

\[\begin{align*} y &= 3x - 1\\ y &= 3(0) - 1\\ y &= -1 \end{align*}\]

$y$-kukatiza:$(0,−1)$

Tunaweza kuthibitisha kwamba matokeo yetu mantiki kwa kuchunguza grafu ya equation kama katika Kielelezo$\PageIndex{12}$. Angalia kwamba grafu huvuka shaba ambapo tulitabiri ingekuwa.

Hii ni picha ya mstari grafu kwenye x, y kuratibu ndege. Aina ya x na y-axis kutoka hasi 4 hadi 4. Kazi y = 3x - 1 imepangwa kwenye ndege ya kuratibu — Kielelezo$\PageIndex{12}$

Jinsi ya: KUPEWA EQUATION, PATA INTERCEPTS

Kupata$x$ -intercept kwa kuweka$y=0$ na kutatua kwa$x$.
Kupata$y$ -intercept kwa kuweka$x=0$ na kutatua kwa$y$.

Mfano$\PageIndex{4}$: Finding the Intercepts of the Given Equation

Find intercepts ya equation$y=−3x−4$. Kisha mchoro grafu ukitumia tu intercepts.

Suluhisho

Weka$y=0$ ili upate$x$ -intercept.

\[\begin{align*} y &= -3x - 4\\ 0 &= -3x - 4\\ 4 &= -3x\\ \dfrac{4}{3}&= x \end{align*}\]

$x$-kukatiza:$\left(−\dfrac{4}{3},0\right)$

Weka$x=0$ ili upate$y$ -intercept.

\[\begin{align*} y &= -3x - 4\\ y &= -3(0) - 4\\ y &= -4 \end{align*}\]

$y$-kukatiza:$(0,−4)$

Panda pointi zote mbili, na kuteka mstari unaopita kupitia kwao kama kwenye Kielelezo$\PageIndex{13}$.

Hii ni picha ya mstari grafu kwenye x, y kuratibu ndege. Mhimili wa x-axis huanzia hasi 5 hadi 5. Y-axis ni kati ya hasi 6 hadi 3. Mstari hupita kupitia pointi (-4/3, 0) na (0, -4). — Kielelezo$\PageIndex{13}$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Kupata intercepts ya equation na mchoro grafu:$y=−\dfrac{3}{4}x+3$.

Jibu: $x$-intercept ni$(4,0)$;$y$ -intercept ni$(0,3)$

$Hii ni picha ya mstari grafu kwenye x, y kuratibu ndege. Axes x na y huanzia hasi 4 hadi 6. Kazi y = -3x/4 + 3 imepangwa.$
Kielelezo$\PageIndex{14}$

Kutumia Mfumo wa Umbali

Inatokana na Theorem ya Pythagorean, formula ya umbali hutumiwa kupata umbali kati ya pointi mbili kwenye ndege. Theorem ya Pythagorean$a^2+b^2=c^2$, inategemea pembetatu sahihi ambapo$a$ na$b$ ni urefu wa miguu karibu na pembe ya kulia, na$c$ ni urefu wa hypotenuse. Angalia Kielelezo$\PageIndex{15}$.

Hii ni picha ya pembetatu kwenye ndege ya kuratibu x, y. Axes x na y huanzia 0 hadi 7. Pointi (x ndogo 1, y ndogo 1); (x ndogo 2, y ndogo 1); na (x ndogo 2, y ndogo 2) ni lebo na kushikamana ili kuunda pembetatu. Pamoja na msingi wa pembetatu, equation ifuatayo inaonyeshwa: thamani kamili ya x ndogo 2 bala x ndogo 1 sawa. hypotenuse ya pembetatu ni kinachoitwa: d = c. upande iliyobaki ni kinachoitwa: thamani kamili ya y ndogo 2 bala y ndogo 1 sawa b. — Kielelezo$\PageIndex{15}$

Uhusiano wa pande$|x_2−x_1|$$|y_2−y_1|$ na upande$d$ ni sawa na ule wa pande$a$$b$ na upande$c$. Tunatumia alama ya thamani kamili ili kuonyesha kwamba urefu ni namba chanya kwa sababu thamani kamili ya namba yoyote ni chanya. (Kwa mfano,$|-3|=3$.) alama$|x_2−x_1|$ na$|y_2−y_1|$ zinaonyesha kuwa urefu wa pande za pembetatu ni chanya. Ili kupata urefu$c$, chukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili za Theorem ya Pythagorean.

\[c^2=a^2+b^2\rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}\]

Inafuata kwamba formula ya umbali inapewa kama

\[d^2={(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2\rightarrow d=\sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}\]

Hatuna kutumia alama za thamani kamili katika ufafanuzi huu kwa sababu namba yoyote ya mraba ni chanya.

umbali kati ya pointi mbili

Kutokana na endpoints$(x_1,y_1)$ na$(x_2,y_2)$, umbali kati ya pointi mbili hutolewa na

\[d=\sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}\]

Mfano$\PageIndex{5}$: Finding the Distance between Two Points

Kupata umbali kati ya pointi$(−3,−1)$ na$(2,3)$.

Suluhisho

Hebu tuangalie kwanza grafu ya pointi mbili. Unganisha pointi ili kuunda pembetatu sahihi kama ilivyo kwenye Kielelezo$\PageIndex{16}$

Hii ni picha ya pembetatu kwenye ndege ya kuratibu x, y. Mhimili wa x-axis kutoka hasi 4 hadi 4. Y-axis ni kati ya hasi 2 hadi 4. Pointi (-3, -1); (2, -1); na (2, 3) zimepangwa na zimeandikwa kwenye grafu. Vipengele vinaunganishwa ili kuunda pembetatu — Kielelezo$\PageIndex{16}$

Kisha, hesabu urefu wa$d$ kutumia formula ya umbali.

\[\begin{align*} d&= \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+{(y_2 - y_1)}^2}\\ &= \sqrt{{(2-(-3))}^2+{(3-(-1))}^2}\\ &= \sqrt{{(5)}^2+{(4)}^2}\\ &= \sqrt{25+16}\\ &= \sqrt{41} \end{align*}\]

Zoezi$\PageIndex{3}$

Kupata umbali kati ya pointi mbili:$(1,4)$ na$(11,9)$.

Jibu: $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

Mfano$\PageIndex{6}$: Finding the Distance between Two Locations

Hebu kurudi kwenye hali iliyoletwa mwanzoni mwa sehemu hii.

Suluhisho

Jambo la kwanza tunapaswa kufanya ni kutambua jozi zilizoamriwa kuelezea kila nafasi. Kama sisi kuweka nafasi ya kuanzia katika asili, tunaweza kutambua kila moja ya pointi nyingine kwa kuhesabu vitengo mashariki (kulia) na kaskazini (up) kwenye gridi ya taifa. Kwa mfano, kuacha kwanza ni$1$ kuzuia mashariki na$1$ kuzuia kaskazini, hivyo ni saa$(1,1)$. Kuacha ijayo ni$5$ vitalu upande wa mashariki, hivyo ni saa$(5,1)$. Baada ya hapo, yeye alisafiri$3$ vitalu mashariki na$2$ vitalu kaskazini kwa$(8,3)$. Mwisho, yeye alisafiri$4$ vitalu kaskazini kwa$(8,7)$. Tunaweza studio pointi hizi kwenye gridi ya taifa kama katika Kielelezo$\PageIndex{17}$.

Hii ni picha ya ramani ya barabara ya mji. uhakika (1, 1) ni juu ya North Avenue na Bertau Avenue. uhakika (5, 1) ni juu ya North Avenue na Wolf Road. uhakika (8, 3) ni juu ya Mannheim Road na McLean Street. uhakika (8, 7) ni juu ya Mannheim Road na Schiller Avenue. — Kielelezo$\PageIndex{17}$

Kisha, tunaweza kuhesabu umbali. Kumbuka kwamba kila kitengo cha gridi inawakilisha$1,000$ feet.

Kutoka eneo lake kuanzia kwa kuacha yake ya kwanza saa$(1,1)$, Tracie anaweza kuwa inaendeshwa$1,000$ miguu kaskazini na kisha$1,000$ miguu mashariki, au kinyume chake. Kwa njia yoyote, alimfukuza$2,000$ miguu kwa kuacha kwake kwanza.
Kuacha yake ya pili ni saa$(5,1)$. Hivyo kutoka$(1,1)$ kwa$(5,1)$, Tracie alimfukuza$4,000$ miguu mashariki.
Kuacha yake ya tatu ni saa$(8,3)$. Kuna idadi ya njia kutoka$(5,1)$ kwa$(8,3)$. Njia yoyote Tracie aliamua kutumia, umbali ni sawa, kwa kuwa hakuna barabara za angular kati ya pointi mbili. Hebu sema yeye alimfukuza$3,000$ miguu mashariki na kisha$2,000$ miguu kaskazini kwa jumla ya$5,000$ miguu.
Tracie ya mwisho ya kuacha ni saa$(8,7)$. Hii ni moja kwa moja gari kaskazini kutoka$(8,3)$ kwa jumla ya$4,000$ miguu.

Kisha, tutaongeza umbali ulioorodheshwa kwenye Jedwali$\PageIndex{4}$.

Jedwali$\PageIndex{4}$
kutoka/Kwa	Idadi ya miguu inaendeshwa
$(0,0)$kwa$(1,1)$	$2,000$
$(1,1)$kwa$(5,1)$	$4,000$
$(5,1)$kwa$(8,3)$	$5,000$
$(8,3)$kwa$(8,7)$	$4,000$
Jumla	$15,000$

Umbali wa jumla Tracie alimfukuza$15,000$ miguu yake, au$2.84$ maili. Hii sio, hata hivyo, umbali halisi kati ya nafasi zake za kuanzia na za mwisho. Ili kupata umbali huu, tunaweza kutumia formula ya umbali kati ya pointi$(0,0)$ na$(8,7)$.

\[\begin{align*} d&= \sqrt{{(0-8)}^2+{(7-0)}^2}\\ &= \sqrt{64+49}\\ &= \sqrt{113}\\ &= 10.63 \text{ units} \end{align*}\]

Kwa$1,000$ miguu kwa kila kitengo cha gridi ya taifa, umbali kati ya Elmhurst, IL, hadi Franklin Park ni$10,630.14$ miguu, au$2.01$ maili. Fomu ya umbali husababisha hesabu fupi kwa sababu inategemea hypotenuse ya pembetatu sahihi, diagonal moja kwa moja kutoka asili hadi hatua$(8,7)$. Pengine umesikia neno “kama jogoo anaruka,” ambalo linamaanisha umbali mfupi zaidi kati ya pointi mbili kwa sababu jogoo anaweza kuruka kwenye mstari wa moja kwa moja ingawa mtu ardhini anapaswa kusafiri umbali mrefu zaidi kwenye barabara zilizopo.

Kutumia Mfumo wa Midpoint

Wakati endpoints ya sehemu ya mstari hujulikana, tunaweza kupata uhakika katikati ya kati yao. Hatua hii inajulikana kama midpoint na formula inajulikana kama formula midpoint. Kutokana na mwisho wa sehemu ya mstari,$(x_1,y_1)$ na$(x_2,y_2)$, formula ya midpoint inasema jinsi ya kupata kuratibu za midpoint M.

\[M=\left (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} \right )\]

Mtazamo wa kielelezo wa midpoint unaonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{18}$. Kumbuka kwamba makundi ya mstari upande wowote wa midpoint yanapatana.

Hii ni mstari grafu kwenye x, y kuratibu ndege na x na y shoka kuanzia 0 hadi 6. Vipengele (x ndogo 1, y ndogo 1), (x ndogo 2, y ndogo 2), na (x ndogo 1 pamoja na x ndogo 2 kote 2, y ndogo 1 pamoja na y ndogo 2 kote 2) ni njama. Mstari wa moja kwa moja unaendesha kupitia pointi hizi tatu. Jozi ya mistari fupi sambamba bisect sehemu mbili za mstari kutambua kuwa ni sawa. — Kielelezo$\PageIndex{18}$

Mfano$\PageIndex{7}$: Finding the Midpoint of the Line Segment

Kupata midpoint ya sehemu line na endpoints$(7,−2)$ na$(9,5)$.

Suluhisho

Tumia formula ili kupata midpoint ya sehemu ya mstari.

\[\begin{align*} \left (\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )&= \left (\dfrac{7+9}{2},\dfrac{-2+5}{2} \right )\\ &= \left (8,\dfrac{3}{2} \right ) \end{align*}\]

Zoezi$\PageIndex{4}$

Kupata midpoint ya sehemu line na endpoints$(−2,−1)$ na$(−8,6)$.

Jibu: $\left (-5,\dfrac{5}{2} \right )$

Mfano$\PageIndex{8}$: Finding the Center of a Circle

Kipenyo cha mduara kina mwisho$(−1,−4)$ na$(5,−4)$. Pata katikati ya mduara.

Suluhisho

Katikati ya mduara ni katikati, au midpoint, ya kipenyo chake. Kwa hiyo, formula ya midpoint itazalisha hatua ya katikati.

\[\begin{align*} \left (\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )&= \left (\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{-4-4}{2}) \right )\\ &= \left (\dfrac{4}{2},-\dfrac{8}{2} \right )\\ &= (2,4) \end{align*}\]

Media

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

1. Kupanga pointi kwenye ndege ya kuratibu

2. Pata x na y intercepts kulingana na grafu ya mstari