3.3: Kazi za Nguvu na Kazi za Polynomial

Last updated
Save as PDF

Page ID: 181220

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Tambua kazi za nguvu.
Tambua tabia ya mwisho ya kazi za nguvu.
Tambua kazi za polynomial.
Tambua kiwango na mgawo wa kuongoza wa kazi za polynomial.

Tuseme aina fulani za ndege hupanda kisiwa kidogo. Idadi yake ya watu zaidi ya miaka michache iliyopita imeonyeshwa katika Jedwali$\PageIndex{1}$.

Jedwali$\PageIndex{1}$
Mwaka	2009	2010	2011	2012	2013
Idadi ya Ndege	800	897	992	1,083	1,169

Idadi ya watu inaweza kukadiriwa kutumia kazi$P(t)=−0.3t^3+97t+800$, ambapo$P(t)$ inawakilisha idadi ya ndege katika kisiwa$t$ miaka baada ya 2009. Tunaweza kutumia mfano huu ili kukadiria idadi ya ndege ya kiwango cha juu na wakati itatokea. Tunaweza pia kutumia mfano huu kutabiri wakati idadi ya ndege itatoweka kutoka kisiwa hicho. Katika sehemu hii, tutachunguza kazi ambazo tunaweza kutumia ili kukadiria na kutabiri aina hizi za mabadiliko.

Ndege tatu juu ya mwamba na jua kupanda kwa nyuma. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: (mikopo: Jason Bay, Flickr)

Kutambua Kazi za Nguvu

Ili kuelewa vizuri tatizo la ndege, tunahitaji kuelewa aina maalum ya kazi. Kazi ya nguvu ni kazi yenye neno moja ambalo ni bidhaa ya nambari halisi, mgawo, na variable iliyofufuliwa kwa nambari halisi ya kudumu. (Nambari inayozidisha variable iliyofufuliwa kwa exponent inajulikana kama mgawo.)

Kwa mfano, fikiria kazi kwa eneo au kiasi. Kazi kwa eneo la mduara na radius$r$ ni

\[A(r)={\pi}r^2 \nonumber\]

na kazi kwa kiasi cha nyanja na radius$r$ ni

\[V(r)=\dfrac{4}{3}{\pi}r^3 \nonumber\]

Hizi zote mbili ni mifano ya kazi za nguvu kwa sababu zinajumuisha mgawo,${\pi}$ au$\dfrac{4}{3}{\pi}$, huongezeka kwa kutofautiana$r$ kukulia kwa nguvu.

Ufafanuzi: Kazi ya Nguvu

Kazi ya nguvu ni kazi ambayo inaweza kuwakilishwa katika fomu

\[f(x)=kx^p \label{power}\]

ambapo$k$ na$p$ ni idadi halisi, na$k$ inajulikana kama mgawo.

Q & A: Je$f(x)=2^x$ a power function?

Hapana. Kazi ya nguvu ina msingi wa kutofautiana uliofufuliwa kwa nguvu za kudumu (Equation\ ref {power}). Kazi hii ina msingi wa mara kwa mara ulioinuliwa kwa nguvu ya kutofautiana. Hii inaitwa kazi ya kielelezo, si kazi ya nguvu. Kazi hii itajadiliwa baadaye.

Mfano$\PageIndex{1}$: Identifying Power Functions

Ni ipi kati ya kazi zifuatazo ni kazi za nguvu?

\[\begin{align*} f(x)&=1 &\text{Constant function} \\f(x)&=x &\text{Identify function} \\f(x)&=x^2 &\text{Quadratic function} \\ f(x)&=x^3 &\text{Cubic function} \\ f(x)&=\dfrac{1}{x} &\text{Reciprocal function} \\f(x)&=\dfrac{1}{x^2} &\text{Reciprocal squared function} \\ f(x)&=\sqrt{x} &\text{Square root function} \\ f(x)&=\sqrt[3]{x} &\text{Cube root function} \end{align*}\]

Suluhisho

Kazi zote zilizoorodheshwa ni kazi za nguvu.

Kazi za mara kwa mara na utambulisho ni kazi za nguvu kwa sababu zinaweza kuandikwa kama$f(x)=x^0$ na$f(x)=x^1$ kwa mtiririko huo.

Kazi za quadratic na za ujazo ni kazi za nguvu na nguvu zote za idadi$f(x)=x^2$ na$f(x)=x^3$.

Kazi za mraba za usawa na za usawa ni kazi za nguvu na mamlaka hasi ya nambari nzima kwa sababu zinaweza kuandikwa kama$f(x)=x^{−1}$ na$f(x)=x^{−2}$.

Kazi za mizizi ya mraba na mchemraba ni kazi za nguvu na nguvu za sehemu kwa sababu zinaweza kuandikwa kama$f(x)=x^{1/2}$ au$f(x)=x^{1/3}$.

Zoezi$\PageIndex{1}$

Ni kazi gani ambazo ni kazi za nguvu?

$f(x)=2x^2⋅4x^3$
$g(x)=−x^5+5x^3−4x$
$h(x)=\frac{2x^5−1}{3x^2+4}$

Jibu: $f(x)$ni kazi ya nguvu kwa sababu inaweza kuandikwa kama$f(x)=8x^5$. Kazi nyingine sio kazi za nguvu.

Kutambua Mwisho Tabia ya Kazi za Nguvu

Kielelezo$\PageIndex{2}$ inaonyesha grafu ya$f(x)=x^2$,$g(x)=x^4$ na$h(x)=x^6$, ambayo ni kazi zote nguvu na hata, nguvu nzima-idadi. Angalia kwamba grafu hizi zina maumbo sawa, sana kama ile ya kazi ya quadratic katika kit cha zana. Hata hivyo, kama nguvu inavyoongezeka, grafu hupiga kiasi fulani karibu na asili na kuwa mwinuko mbali na asili.

Grafu ya kazi tatu, h (x) =x ^ 2 katika kijani, g (x) =x ^ 4 katika machungwa, na f (x) =x ^ 6 katika bluu. — Kielelezo$\PageIndex{2}$: Kazi za nguvu hata

Kuelezea tabia kama idadi kuwa kubwa na kubwa, sisi kutumia wazo la infinity. Tunatumia ishara$\infty$ kwa infinity nzuri na$−\infty$ kwa infinity hasi. Tunaposema kwamba “x inakaribia infinity,” ambayo inaweza kuwa symbolically imeandikwa kama$x{\rightarrow}\infty$, sisi ni kuelezea tabia; sisi ni kusema kwamba$x$ ni kuongeza bila amefungwa.

Kwa kazi ya hata-nguvu, kama pembejeo inavyoongezeka au inapungua bila kufungwa, maadili ya pato yanakuwa makubwa sana, namba nzuri. Kwa usawa, tunaweza kuelezea tabia hii kwa kusema kwamba kama$x$ inakaribia infinity chanya au hasi,$f(x)$ maadili huongezeka bila kufungwa. Katika fomu ya mfano, tunaweza kuandika

\[\text{as } x{\rightarrow}{\pm}{\infty}, \;f(x){\rightarrow}{\infty} \nonumber\]

Kielelezo$\PageIndex{3}$ inaonyesha grafu ya$f(x)=x^3$,$g(x)=x^5$, na$h(x)=x^7$, ambayo ni kazi zote nguvu na isiyo ya kawaida, nguvu nzima-idadi. Angalia kwamba grafu hizi zinaonekana sawa na kazi ya ujazo katika kit cha zana. Tena, kama nguvu inavyoongezeka, grafu hupiga karibu na asili na kuwa mwinuko mbali na asili.

Grafu ya kazi tatu, f (x) =x ^ 3 katika kijani, g (x) =x ^ 5 katika machungwa, na h (x) =x ^ 7 katika bluu. — Kielelezo$\PageIndex{3}$: Kazi isiyo ya kawaida ya nguvu

Mifano hii inaonyesha kwamba kazi za fomu$f(x)=x^n$ zinaonyesha ulinganifu wa aina moja au nyingine. Kwanza, katika Kielelezo$\PageIndex{2}$ tunaona kwamba hata kazi za fomu$f(x)=x^n$,$n$ hata, zinalingana kuhusu$y$ -axis. Katika Kielelezo$\PageIndex{3}$ tunaona kwamba kazi isiyo ya kawaida ya fomu$f(x)=x^n$,$n$ isiyo ya kawaida, ni symmetric kuhusu asili.

Kwa kazi hizi isiyo ya kawaida nguvu, kama$x$ mbinu infinity hasi,$f(x)$ itapungua bila amefungwa. Kama$x$ mbinu infinity chanya,$f(x)$ kuongezeka bila amefungwa. Katika fomu ya mfano tunaandika

\[\begin{align*} &\text{as }x{\rightarrow}-{\infty},\;f(x){\rightarrow}-{\infty} \\ &\text{as }x{\rightarrow}{\infty},\;f(x){\rightarrow}{\infty} \end{align*}\]

Tabia ya grafu ya kazi kama maadili ya pembejeo hupata ndogo sana$(x{\rightarrow}−{\infty})$ na kupata kubwa sana$x{\rightarrow}{\infty}$ inajulikana kama tabia ya mwisho ya kazi. Tunaweza kutumia maneno au alama kuelezea tabia ya mwisho.

Kielelezo$\PageIndex{4}$ inaonyesha tabia ya mwisho ya kazi za nguvu katika fomu$f(x)=kx^n$ ambapo$n$ ni integer isiyo hasi kulingana na nguvu na mara kwa mara.

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya nguvu$f(x)=kx^n$ where $n$ is a non-negative integer, identify the end behavior.

Kuamua kama nguvu ni hata au isiyo ya kawaida.
Kuamua kama mara kwa mara ni chanya au hasi.
Tumia Kielelezo$\PageIndex{4}$ kutambua tabia ya mwisho.

Mfano$\PageIndex{2}$: Identifying the End Behavior of a Power Function

Eleza tabia ya mwisho ya grafu ya$f(x)=x^8$.

Suluhisho

Mgawo ni 1 (chanya) na maonyesho ya kazi ya nguvu ni 8 (idadi hata). Kama$x$ inakaribia infinity, pato (thamani ya$f(x)$) huongezeka bila kufungwa. Tunaandika kama$x→∞,$$f(x)→∞.$ Kama$x$ mbinu infinity hasi, ongezeko pato bila amefungwa. Katika fomu mfano, kama$x→−∞,$$f(x)→∞.$ Tunaweza graphically kuwakilisha kazi kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{5}$.

Grafu ya f (x) =x^8 — Kielelezo$\PageIndex{5}$: Grafu ya$f(x)=x^8$.

Mfano$\PageIndex{3}$: Identifying the End Behavior of a Power Function.

Eleza tabia ya mwisho ya grafu ya$f(x)=−x^9$.

Suluhisho

Mtazamaji wa kazi ya nguvu ni 9 (idadi isiyo ya kawaida). Kwa sababu mgawo ni -1 (hasi), grafu ni kutafakari kuhusu$x$ -axis ya grafu ya$f(x)=x^9$. Kielelezo$\PageIndex{6}$ kinaonyesha kwamba kama$x$ inakaribia infinity, pato hupungua bila kufungwa. Kama$x$ inakaribia infinity hasi, pato huongezeka bila kufungwa. Katika fomu ya mfano, tunataka kuandika

\[\begin{align*} \text{as }x{\rightarrow}-{\infty},\;f(x){\rightarrow}{\infty} \\ \text{as }x{\rightarrow}{\infty},\;f(x){\rightarrow}-{\infty} \end{align*}\]

Uchambuzi

Tunaweza kuangalia kazi yetu kwa kutumia kipengele cha meza kwenye matumizi ya graphing.

Jedwali$\PageIndex{2}$
$x$	$f(x)$
\ (x\)” style="wima align:katikati; "> -10	\ (f (x)\)” style="wima align:katikati; "> 1,000,000,000
\ (x\)” style="wima align:katikati; ">-5	\ (f (x)\)” style="wima align:katikati; "> 1,953,125
\ (x\)” style="wima align:katikati; "> 0	\ (f (x)\)” style="wima align:katikati; "> 0
\ (x\)” style="wima align:katikati; "> 5	\ (f (x)\)” style="wima align:katikati; "> -1,953,125
\ (x\)” style="wima align:katikati; "> 10	\ (f (x)\)” style="wima align:katikati; "> -1,000,000,000

Tunaweza kuona kutoka Jedwali$\PageIndex{2}$ kwamba, wakati sisi mbadala maadili ndogo sana kwa$x$, pato ni kubwa sana, na wakati sisi badala maadili kubwa sana kwa$x$, pato ni ndogo sana (maana kwamba ni kubwa sana thamani hasi).

Zoezi$\PageIndex{2}$

Eleza kwa maneno na alama tabia ya mwisho ya$f(x)=−5x^4$.

Jibu: Kama$x$ inakaribia infinity chanya au hasi,$f(x)$ hupungua bila kufungwa: kama$x{\rightarrow}{\pm}{\infty}$,$f(x){\rightarrow}−{\infty}$ kwa sababu ya mgawo hasi.

Kutambua Kazi za Polynomial

Bomba la mafuta linapasuka katika Ghuba ya Mexico, na kusababisha mafuta yenye umbo la mviringo. mjanja sasa 24 maili katika Radius, lakini Radius kwamba ni kuongezeka kwa 8 maili kila wiki. Tunataka kuandika formula kwa eneo lililofunikwa na mafuta ya mafuta kwa kuchanganya kazi mbili. Radi$r$ ya kumwagika inategemea idadi ya wiki$w$ zilizopita. Uhusiano huu ni wa kawaida.

\[r(w)=24+8w \nonumber\]

Tunaweza kuchanganya hii na formula ya eneo A la mduara.

\[A(r)={\pi}r^2 \nonumber\]

Kujenga kazi hizi hutoa formula kwa eneo hilo kwa wiki.

\[ \begin{align*} A(w)&=A(r(w)) \\ &=A(24+8w) \\ & ={\pi}(24+8w)^2 \end{align*}\]

Kuzidisha hutoa formula.

\[A(w)=576{\pi}+384{\pi}w+64{\pi}w^2 \nonumber\]

Fomu hii ni mfano wa kazi ya polynomial. Kazi ya polynomial ina sifuri au jumla ya idadi ya mwisho ya maneno yasiyo ya sifuri, ambayo kila mmoja ni bidhaa ya namba, inayoitwa mgawo wa muda, na kutofautiana kukulia kwa nguvu isiyo ya hasi integer.

Ufafanuzi: Kazi nyingi

Hebu$n$ kuwa integer isiyo ya hasi. Kazi ya polynomial ni kazi ambayo inaweza kuandikwa kwa fomu

\[f(x)=a_nx^n+...+a_2x^2+a_1x+a_0 \label{poly}\]

Hii inaitwa fomu ya jumla ya kazi ya polynomial. Kila$a_i$ ni mgawo na inaweza kuwa nambari yoyote halisi. Kila bidhaa$a_ix^i$ ni neno la kazi ya polynomial.

Mfano$\PageIndex{4}$: Identifying Polynomial Functions

Ni ipi kati ya yafuatayo ni kazi za polynomial?

$f(x)=2x^3⋅3x+4$
$g(x)=−x(x^2−4)$
$h(x)=5\sqrt{x}+2$

Suluhisho

Kazi mbili za kwanza ni mifano ya kazi nyingi kwa sababu zinaweza kuandikwa kwa namna ya Equation\ ref {aina nyingi}, ambapo madaraka ni integers zisizo hasi na coefficients ni namba halisi.

$f(x)$inaweza kuandikwa kama$f(x)=6x^4+4$.
$g(x)$inaweza kuandikwa kama$g(x)=−x^3+4x$.
$h(x)$haiwezi kuandikwa katika fomu hii na kwa hiyo si kazi ya polynomial.

Kutambua Shahada na Uongozi wa Kazi ya Polynomial

Kwa sababu ya fomu ya kazi ya polynomial, tunaweza kuona aina isiyo na kipimo katika idadi ya maneno na nguvu ya kutofautiana. Ingawa utaratibu wa maneno katika kazi ya polynomial sio muhimu kwa kufanya shughuli, sisi kawaida kupanga masharti katika utaratibu wa kushuka kwa nguvu, au kwa fomu ya jumla. Kiwango cha polynomial ni nguvu ya juu ya variable inayotokea katika polynomial; ni nguvu ya variable ya kwanza ikiwa kazi iko katika fomu ya jumla. Neno la kuongoza ni neno lenye nguvu ya juu ya variable, au neno lenye shahada ya juu. Mgawo wa kuongoza ni mgawo wa muda unaoongoza.

Istilahi ya Kazi za Polynomial

Mara nyingi tunapanga upya polynomials ili nguvu zishuka.

Wakati polynomial imeandikwa kwa njia hii, tunasema kuwa ni kwa fomu ya jumla.

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya polynomial, kutambua kiwango na mgawo wa kuongoza

Kupata nguvu ya juu ya$x$ kuamua kazi shahada.
Kutambua neno zenye nguvu ya juu ya$x$ kupata muda kuongoza.
Tambua mgawo wa muda unaoongoza.

Mfano$\PageIndex{5}$: Identifying the Degree and Leading Coefficient of a Polynomial Function

Tambua shahada, muda wa kuongoza, na mgawo wa kuongoza wa kazi zifuatazo za polynomial.

$f(x)=3+2x^2−4x^3$

$g(t)=5t^5−2t^3+7t$

$h(p)=6p−p^3−2$

Suluhisho

Kwa kazi$f(x)$, nguvu ya juu$x$ ni 3, hivyo shahada ni 3. Neno la kuongoza ni neno lenye shahada hiyo,$−4x^3$. Mgawo wa kuongoza ni mgawo wa muda huo, -4.

Kwa kazi$g(t)$, nguvu ya juu$t$ ni 5, hivyo shahada ni 5. Neno la kuongoza ni neno lenye shahada hiyo,$5t^5$. Mgawo wa kuongoza ni mgawo wa muda huo, 5.

Kwa kazi$h(p)$, nguvu ya juu$p$ ni 3, hivyo shahada ni 3. Neno la kuongoza ni neno lenye shahada hiyo,$−p^3$; mgawo wa kuongoza ni mgawo wa muda huo, -1.

Zoezi$\PageIndex{3}$

Tambua shahada, muda wa kuongoza, na mgawo wa kuongoza wa polynomial$f(x)=4x^2−x^6+2x−6$.

Jibu: shahada ni Neno$6.$ la kuongoza ni$−x^6$. Mgawo wa kuongoza ni$−1.$

Kutambua Mwisho Tabia ya Kazi Polynomial

Kujua kiwango cha kazi ya polynomial ni muhimu katika kutusaidia kutabiri tabia yake ya mwisho. Kuamua tabia yake ya mwisho, angalia muda unaoongoza wa kazi ya polynomial. Kwa sababu nguvu ya neno kuongoza ni ya juu, neno hilo kukua kwa kiasi kikubwa zaidi kuliko maneno mengine kama$x$ anapata kubwa sana au ndogo sana, hivyo tabia yake kutawala grafu. Kwa polynomial yoyote, tabia ya mwisho ya polynomial itafanana na tabia ya mwisho ya muda wa shahada ya juu (Jedwali$\PageIndex{3}$).

Jedwali$\PageIndex{3}$
Kazi ya Polynomial	Muda wa Uongozi	Grafu ya Kazi ya Polynomial
$f(x)=5x^4+2x^3−x−4$	$5x^4$	$Grafu ya f (x) =5x ^ 4+2x^3-x-4.$
$f(x)=−2x^6−x^5+3x^4+x^3$	$−2x^6$	$Grafu ya f (x) =-2x ^ 6-x ^ 5+3x ^ 4+x ^ 3$
$f(x)=3x^5−4x^4+2x^2+1$	$3x^5$	$Grafu ya f (x) =3x^5-4x^ 4+2x^2+1$
$f(x)=−6x^3+7x^2+3x+1$	$−6x^3$	$Grafu ya f (x) =-6x^3+7x^2+3x+1$

Mfano$\PageIndex{6}$: Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function

Eleza tabia ya mwisho na ueleze kiwango cha uwezekano wa kazi ya polynomial katika Kielelezo$\PageIndex{8}$.

Grafu ya polynomial isiyo ya kawaida. — Kielelezo$\PageIndex{8}$.

Suluhisho

Kama maadili ya pembejeo$x$ yanapata kubwa sana, maadili ya pato$f(x)$ huongezeka bila kufungwa. Kama maadili ya pembejeo$x$ yanapata ndogo sana, maadili ya pato$f(x)$ hupungua bila kufungwa. Tunaweza kuelezea tabia ya mwisho kwa mfano kwa kuandika

\[\text{as } x{\rightarrow}{\infty}, \; f(x){\rightarrow}{\infty} \nonumber\]

\[\text{as } x{\rightarrow}-{\infty}, \; f(x){\rightarrow}-{\infty} \nonumber\]

Kwa maneno, tunaweza kusema kwamba kama$x$ maadili mbinu infinity, kazi maadili mbinu infinity, na kama$x$ maadili mbinu infinity hasi, maadili kazi mbinu infinity hasi.

Tunaweza kusema grafu hii ina sura ya kazi isiyo ya kawaida ya nguvu ambayo haijaonekana, hivyo kiwango cha polynomial kujenga grafu hii lazima iwe isiyo ya kawaida na mgawo wa kuongoza lazima uwe chanya.

Zoezi$\PageIndex{1}$

Eleza tabia ya mwisho, na ueleze kiwango cha uwezekano wa kazi ya polynomial katika Kielelezo$\PageIndex{9}$.

Jibu: Kama$x{\rightarrow}{\infty}$,$f(x){\rightarrow}−{\infty}$; kama$x{\rightarrow}−{\infty}$,$f(x){\rightarrow}−{\infty}$. Ina sura ya kazi hata nguvu ya shahada na mgawo hasi.

Mfano$\PageIndex{7}$: Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function

Kutokana na kazi$f(x)=−3x^2(x−1)(x+4)$, kueleza kazi kama polynomial kwa fomu ya jumla, na kuamua muda wa kuongoza, shahada, na mwisho tabia ya kazi.

Suluhisho

Pata fomu ya jumla kwa kupanua usemi uliotolewa kwa$f(x)$.

\[\begin{align*} f(x)&=−3x^2(x−1)(x+4) \\ &=−3x^2(x^2+3x−4) \\ &=−3x^4−9x^3+12x^2 \end{align*}\]

Fomu ya jumla ni$f(x)=−3x^4−9x^3+12x^2$. Neno la kuongoza ni$−3x^4$; kwa hiyo, kiwango cha polynomial ni 4. Kiwango ni hata (4) na mgawo wa kuongoza ni hasi (-3), hivyo tabia ya mwisho ni

\[\text{as }x{\rightarrow}−{\infty}, \; f(x){\rightarrow}−{\infty} \nonumber\]

\[\text{as } x{\rightarrow}{\infty}, \; f(x){\rightarrow}−{\infty} \nonumber\]

Zoezi$\PageIndex{7}$

Kutokana na kazi$f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5)$, onyesha kazi kama polynomial kwa fomu ya jumla na kuamua muda wa kuongoza, shahada, na tabia ya mwisho ya kazi.

Jibu: Neno la kuongoza ni$0.2x^3$, hivyo ni shahada ya 3 polynomial. Kama$x$ mbinu infinity chanya,$f(x)$ kuongezeka bila amefungwa; kama$x$ mbinu infinity hasi,$f(x)$ itapungua bila amefungwa.

Kutambua Tabia za Mitaa za Kazi za Polynomial

Mbali na tabia ya mwisho ya kazi za polynomial, sisi pia tunavutiwa na kile kinachotokea “katikati” ya kazi. Hasa, tuna nia ya maeneo ambapo tabia ya grafu inabadilika. Hatua ya kugeuka ni hatua ambayo maadili ya kazi hubadilika kutoka kuongezeka hadi kupungua au kupungua kwa kuongezeka.

Sisi pia ni nia ya intercepts. Kama ilivyo na kazi zote,$y$ -intercept ni hatua ambayo grafu inakabiliana na mhimili wima. Hatua hiyo inafanana na jozi ya kuratibu ambayo thamani ya pembejeo ni sifuri. Kwa sababu polynomial ni kazi, thamani moja tu ya pato inalingana na kila thamani ya pembejeo hivyo kunaweza kuwa moja tu$y$ -intercept$(0,a_0)$. Ya$x$ -intercepts hutokea katika maadili ya pembejeo yanayolingana na thamani ya pato la sifuri. Inawezekana kuwa na zaidi ya moja$x$ -intercept. Angalia Kielelezo$\PageIndex{10}$.

Ufafanuzi: Inachukua na Pointi za Kugeuka za Kazi za Polynomial

Hatua ya kugeuka ya grafu ni hatua ambayo grafu hubadilisha mwelekeo kutoka kuongezeka hadi kupungua au kupungua kwa kuongezeka. $y$-Intercept ni hatua ambayo kazi ina thamani ya pembejeo ya sifuri. Ya$x$ -intercepts ni pointi ambazo thamani ya pato ni sifuri.

$alt$ Kutokana na kazi ya polynomial, tambua kuingilia.

Kuamua$y$ -intercept kwa kuweka$x=0$ na kutafuta thamani sambamba pato.
Kuamua$x$ -intercepts kwa kutatua kwa maadili ya pembejeo ambayo hutoa thamani ya pato la sifuri.

Mfano$\PageIndex{8}$: Determining the Intercepts of a Polynomial Function

Kutokana na kazi ya polynomial$f(x)=(x−2)(x+1)(x−4)$, iliyoandikwa kwa fomu iliyopangwa kwa urahisi wako, tambua$y$ - na$x$ -intercepts.

Suluhisho

The$y$ -intercept hutokea wakati pembejeo ni sifuri, hivyo mbadala 0 kwa$x$.

\[ \begin{align*}f(0)&=(0−2)(0+1)(0−4) \\ &=(−2)(1)(−4) \\ &=8 \end{align*}\]

$y$Kizuizi ni$(0,8)$.

$x$-intercepts hutokea wakati pato ni sifuri.

\[ 0=(x−2)(x+1)(x−4) \nonumber \]

\[\begin{align*} x−2&=0 & &\text{or} & x+1&=0 & &\text{or} & x−4&=0 \\ x&=2 & &\text{or} & x&=−1 & &\text{or} & x&=4 \end{align*}\]

$x$-intercepts ni$(2,0)$,$(–1,0)$, na$(4,0)$.

Tunaweza kuona intercepts hizi kwenye grafu ya kazi inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{11}$.

Grafu ya f (x) = (x-2) (x+1) (x-4), ambayo inaandika maandiko yote. — Kielelezo$\PageIndex{11}$: Grafu ya$f(x)=(x-2)(x+1)(x-4)$.

Mfano$\PageIndex{9}$: Determining the Intercepts of a Polynomial Function with Factoring

Kutokana na kazi ya polynomial$f(x)=x^4−4x^2−45$, tambua$y$ - na$x$ -intercepts.

Suluhisho

$y$-Intercept hutokea wakati pembejeo ni sifuri.

\[ \begin{align*} f(0) &=(0)^4−4(0)^2−45 \\[4pt] &=−45 \end{align*}\]

$y$Kizuizi ni$(0,−45)$.

$x$-intercepts hutokea wakati pato ni sifuri. Kuamua wakati pato ni sifuri, tutahitaji kuzingatia polynomial.

\ [kuanza {align*} f (x) &= x ^ 4,14x^2,145\\ &= (x ^ 2,19) (x ^ 2+5)\\ &= (x-1 3) (x+3) (x ^ 2+5)
\ mwisho {align*}\]

\[0=(x−3)(x+3)(x^2+5) \nonumber\]

\[\begin{align*} x−3&=0 & &\text{or} & x+3&=0 & &\text{or} & x^2+5&=0 \\ x&=3 & &\text{or} & x&=−3 & &\text{or} &\text{(no real solution)} \end{align*}\]

$x$-intercepts ni$(3,0)$ na$(–3,0)$.

Tunaweza kuona intercepts hizi kwenye grafu ya kazi inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{12}$. Tunaweza kuona kwamba kazi ni hata kwa sababu$f(x)=f(−x)$.

Grafu ya f (x) =x ^ 4-4x^2-45, ambayo inaandika kila intercepts katika (-3, 0), (3, 0), na (0, -45). — Kielelezo$\PageIndex{12}$: Grafu ya$f(x)=x^4-4x^2-45$.

Zoezi$\PageIndex{5}$

$\PageIndex{5}$: Kutokana na kazi ya polynomial$f(x)=2x^3−6x^2−20x$, tambua$y$ - na$x$ -intercepts.

Suluhisho: $y$-intercept$(0,0)$;$x$ -intercepts$(0,0)$,$(–2,0)$, na$(5,0)$

Kulinganisha Grafu Smooth na Kuendelea

Kiwango cha kazi ya polynomial inatusaidia kuamua idadi ya$x$ -intercepts na idadi ya pointi za kugeuka. Kazi ya polynomial ya$n^\text{th}$ shahada ni bidhaa ya$n$ mambo, hivyo itakuwa na$n$ mizizi zaidi au zero, au$x$ -intercepts. Grafu ya kazi ya polynomial ya shahada$n$ lazima iwe na pointi nyingi za$n–1$ kugeuka. Hii inamaanisha grafu ina kiwango cha kugeuka chache zaidi kuliko kiwango cha polynomial au moja chini ya idadi ya mambo.

Kazi inayoendelea haina mapumziko katika grafu yake: grafu inaweza kupatikana bila kuinua kalamu kutoka kwenye karatasi. Curve laini ni grafu ambayo haina pembe kali. Vipengele vya kugeuka vya grafu laini lazima iwe daima kwenye curves zilizozunguka. Grafu za kazi za polynomial zinaendelea na laini.

Intercepts na Kugeuka Pointi ya Polynomials

Polynomial ya shahada$n$ itakuwa na, kwa wengi,$n$$x$ -intercepts na pointi$n−1$ kugeuka.

Mfano$\PageIndex{10}$: Determining the Number of Intercepts and Turning Points of a Polynomial

Bila kuchora kazi, tambua tabia ya ndani ya kazi kwa kupata idadi kubwa ya$x$ -intercepts na kugeuka pointi kwa$f(x)=−3x^{10}+4x^7−x^4+2x^3$.

Suluhisho

Polynomial ina shahada ya 10, kwa hiyo kuna wengi$n$$x$ -intercepts na katika pointi nyingi$n−1$ kugeuka.

Zoezi$\PageIndex{6}$

Bila kuchora kazi, tambua idadi kubwa ya$x$ -intercepts na kugeuka pointi$f(x)=108−13x^9−8x^4+14x^{12}+2x^3$

Jibu: Kuna zaidi ya 12$x$ -intercepts na zaidi ya pointi 11 kugeuka.

Mfano$\PageIndex{11}$: Drawing Conclusions about a Polynomial Function from the Graph

Tunaweza kuhitimisha nini kuhusu polynomial iliyowakilishwa na grafu iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{12}$ kulingana na kuingilia kwake na pointi za kugeuka?

Suluhisho

Tabia ya mwisho ya grafu inatuambia hii ni grafu ya polynomial hata shahada. Angalia Kielelezo$\PageIndex{14}$.

Grafu ya polynomial hata shahada ambayo inaashiria pointi kugeuka na intercepts. — Kielelezo$\PageIndex{14}$: Grafu ya polynomial hata shahada.

Grafu ina 2$x$ -intercepts, kupendekeza shahada ya 2 au zaidi, na pointi 3 kugeuka, kupendekeza shahada ya 4 au zaidi. Kulingana na hili, itakuwa busara kuhitimisha kwamba shahada ni hata na angalau 4.

Zoezi$\PageIndex{7}$

Tunaweza kuhitimisha nini kuhusu polynomial iliyowakilishwa na grafu iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{15}$ kulingana na kuingilia kwake na pointi za kugeuka?

$CNX_Precalc_Figure_03_03_222.jpg$

Kielelezo$\PageIndex{15}$.

Jibu: Ongeza maandiko hapa. Usifute maandishi haya kwanza.

Suluhisho

Tabia ya mwisho inaonyesha kazi isiyo ya kawaida ya polynomial; kuna 3$x$ -intercepts na pointi 2 za kugeuka, hivyo shahada ni isiyo ya kawaida na angalau 3. Kwa sababu ya tabia ya mwisho, tunajua kwamba mgawo wa kuongoza lazima uwe hasi.

Mfano$\PageIndex{12}$: Drawing Conclusions about a Polynomial Function from the Factors

Kutokana na kazi$f(x)=−4x(x+3)(x−4)$, tambua tabia ya ndani.

Suluhisho

$y$-Intercept hupatikana kwa kutathmini$f(0)$.

\[\begin{align*} f(0)&=−4(0)(0+3)(0−4) \\ &=0 \end{align*}\]

$y$Kizuizi ni$(0,0)$.

$x$-Intercepts hupatikana kwa kuamua zero za kazi.

\[\begin{align*} 0&=-4x(x+3)(x-4) \\ x&=0 & &\text{or} & x+3&=0 & &\text{or} & x-4&=0 \\ x&=0 & &\text{or} & x&=−3 & &\text{or} & x&=4 \end{align*}\]

$x$-intercepts ni$(0,0)$,$(–3,0)$, na$(4,0)$.

Shahada ni 3 hivyo grafu ina pointi 2 za kugeuka zaidi.

Zoezi$\PageIndex{8}$

Kutokana na kazi$f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5)$, tambua tabia ya ndani.

Jibu: Ya$x$ -intercepts ni$(2,0)$$(−1,0)$,$(5,0)$, na,$y$ -intercept ni$(0,2)$, na grafu ina pointi 2 za kugeuka zaidi.

Mlinganyo muhimu

fomu ya jumla ya kazi ya polynomial:$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_2x^2+a_1x+a_0$

Dhana muhimu

Kazi ya nguvu ni msingi wa kutofautiana uliofufuliwa kwa nguvu ya simu.
Tabia ya grafu kama pembejeo inapungua bila kufungwa na kuongezeka bila kufungwa inaitwa tabia ya mwisho.
Tabia ya mwisho inategemea kama nguvu ni hata au isiyo ya kawaida.
Kazi ya polynomial ni jumla ya maneno, ambayo kila mmoja ina kazi ya nguvu iliyobadilishwa na nguvu nzuri ya nambari nzima.
Kiwango cha kazi ya polynomial ni nguvu ya juu ya kutofautiana ambayo hutokea katika polynomial. Neno lililo na nguvu ya juu ya kutofautiana huitwa neno la kuongoza. Mgawo wa neno la kuongoza huitwa mgawo wa kuongoza.
Tabia ya mwisho ya kazi ya polynomial ni sawa na tabia ya mwisho ya kazi ya nguvu inayowakilishwa na muda wa kuongoza wa kazi.
Polynomial ya shahada$n$ itakuwa na zaidi$n$$x$ -intercepts na katika pointi nyingi$n−1$ kugeuka.

faharasa

mgawo

nambari halisi isiyo ya zero inayoongezeka kwa kutofautiana iliyofufuliwa kwa exponent (tu sababu ya namba ni mgawo)

kazi inayoendelea

kazi ambayo grafu inaweza kupatikana bila kuinua kalamu kutoka kwenye karatasi, kwa sababu hakuna mapumziko katika grafu;

shahada

nguvu ya juu ya variable kwamba hutokea katika polynomial

tabia ya mwisho

tabia ya grafu ya kazi kama pembejeo inapungua bila kufungwa na kuongezeka bila amefungwa

mgawo wa kuongoza

mgawo wa muda wa kuongoza

neno linaloongoza

neno lenye nguvu ya juu ya kutofautiana

kazi ya polynomial

kazi ambayo ina ama sifuri au jumla ya idadi ya mwisho ya maneno yasiyo ya sifuri, ambayo kila mmoja ni bidhaa ya namba, inayoitwa mgawo wa neno, na kutofautiana kukulia kwa nguvu isiyo ya hasi integer.

kazi ya nguvu

kazi ambayo inaweza kuwakilishwa katika fomu$f(x)=kx^p$ ambapo$k$ ni mara kwa mara, msingi ni variable, na exponent$p$, ni mara kwa mara

curve laini

grafu isiyo na pembe kali

muda wa kazi ya polynomial

yoyote$a_ix^i$ ya kazi ya polynomial katika fomu$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_2x^2+a_1x+a_0$

hatua ya kugeuka

mahali ambapo grafu ya kazi inabadilisha mwelekeo

Kazi ya Polynomial	Muda wa Uongozi	Grafu ya Kazi ya Polynomial
\(f(x)=5x^4+2x^3−x−4\)	\(5x^4\)	$Grafu ya f (x) =5x ^ 4+2x^3-x-4.$
\(f(x)=−2x^6−x^5+3x^4+x^3\)	\(−2x^6\)	$Grafu ya f (x) =-2x ^ 6-x ^ 5+3x ^ 4+x ^ 3$
\(f(x)=3x^5−4x^4+2x^2+1\)	\(3x^5\)	$Grafu ya f (x) =3x^5-4x^ 4+2x^2+1$
\(f(x)=−6x^3+7x^2+3x+1\)	\(−6x^3\)	$Grafu ya f (x) =-6x^3+7x^2+3x+1$