Skip to main content
Global

11.7: Mtihani wa Uchanganuzi wa Single

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    180979

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Mtihani wa ugomvi mmoja unafikiri kwamba usambazaji wa msingi ni wa kawaida. Nadharia null na mbadala ni alisema katika suala la ugomvi idadi ya watu (au idadi ya watu kiwango kupotoka). Takwimu za mtihani ni:

    \[\chi^{2} = \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \label{test}\]

    ambapo:

    • \(n\)ni jumla ya idadi ya data
    • \(s^{2}\)ni sampuli ugomvi
    • \(\sigma^{2}\)ni ugomvi wa idadi ya watu

    Unaweza kufikiria\(s\) kama variable random katika mtihani huu. Idadi ya digrii za uhuru ni\(df = n - 1\). Mtihani wa ugomvi mmoja unaweza kuwa na haki-tailed, kushoto-tailed, au mbili-tailed. Mfano unaofuata utakuonyesha jinsi ya kuanzisha nadharia zisizo na null na mbadala. Null na mbadala hypotheses vyenye taarifa kuhusu ugomvi idadi ya watu.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Wakufunzi Math si tu nia ya jinsi wanafunzi wao kufanya juu ya mitihani, kwa wastani, lakini jinsi alama mtihani kutofautiana. Kwa wakufunzi wengi, ugomvi (au kiwango kupotoka) inaweza kuwa muhimu zaidi kuliko wastani.

    Tuseme mwalimu wa hesabu anaamini kwamba kupotoka kwa kiwango cha mtihani wake wa mwisho ni pointi tano. Mmoja wa wanafunzi wake bora anadhani vinginevyo. Mwanafunzi anadai kuwa kupotoka kwa kiwango ni zaidi ya pointi tano. Ikiwa mwanafunzi angefanya mtihani wa hypothesis, je, nadharia zisizo na null na mbadala zingekuwa nini?

    Jibu

    Hata kama sisi ni kupewa idadi ya watu kiwango kupotoka, tunaweza kuanzisha mtihani kwa kutumia ugomvi idadi ya watu kama ifuatavyo.

    • \(H_{0}: \sigma^{2} = 5^{2}\)
    • \(H_{a}: \sigma^{2} > 5^{2}\)

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Mwalimu wa SCUBA anataka kurekodi kina cha pamoja kila mmoja wa wanafunzi wake hupiga wakati wa kulipa. Anavutiwa na jinsi kina kinavyofautiana, ingawa kila mtu anapaswa kuwa na kina sawa. Anaamini kupotoka kwa kiwango ni miguu mitatu. Msaidizi wake anadhani kupotoka kwa kawaida ni chini ya miguu mitatu. Ikiwa mwalimu angefanya mtihani, je, nadharia zisizo na null na mbadala zingekuwa nini?

    Jibu
    • \(H_{0}: \sigma^{2} = 3^{2}\)
    • \(H_{a}: \sigma^{2} > 3^{2}\)

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kwa mistari ya mtu binafsi kwenye madirisha yake mbalimbali, ofisi ya posta inaona kwamba kupotoka kwa kawaida kwa mara za kusubiri kwa wateja siku ya Ijumaa mchana ni dakika 7.2. Majaribio ya ofisi ya posta na mstari mmoja, kuu wa kusubiri na hupata kuwa kwa sampuli ya random ya wateja wa 25, nyakati za kusubiri kwa wateja zina kupotoka kwa kiwango cha dakika 3.5.

    Kwa kiwango cha umuhimu wa 5%, jaribu madai kwamba mstari mmoja husababisha tofauti ya chini kati ya nyakati za kusubiri (nyakati za kusubiri mfupi) kwa wateja.

    Jibu

    Kwa kuwa madai ni kwamba mstari mmoja husababisha tofauti kidogo, hii ni mtihani wa ugomvi mmoja. Kipimo ni ugomvi wa idadi ya watu,\(\sigma^{2}\), au kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu,\(\sigma\).

    Random Variable: sampuli kiwango kupotoka\(s\),, ni variable random. Hebu\(s = \text{standard deviation for the waiting times}\).

    • \(H_{0}: \sigma^{2} = 7.2^{2}\)
    • \(H_{a}: \sigma^{2} < 7.2^{2}\)

    Neno “chini” linakuambia hii ni mtihani wa kushoto-tailed.

    Usambazaji kwa mtihani:\(\chi^{2}_{24}\), wapi:

    • \(n = \text{the number of customers sampled}\)
    • \(df = n - 1 = 25 - 1 = 24\)

    Tumia takwimu za mtihani (Equation\ ref {mtihani}):

    \[\chi^{2} = \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}} = 5.67 \nonumber\]

    ambapo\(n = 25\),\(s = 3.5\), na\(\sigma = 7.2\).

    Grafu:

    imageedit_2_8763682935.png
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

    Taarifa ya uwezekano:\(p\text{-value} = P(\chi^{2} < 5.67) = 0.000042\)

    Linganisha\(\alpha\) na\(p\text{-value}\):

    \[\alpha = 0.05 (p\text{-value} = 0.000042 \alpha > p\text{-value} \nonumber\]

    Kufanya uamuzi: tangu\(\alpha > p\text{-value}\), kukataa\(H_{0}\). Hii ina maana kwamba unakataa\(\sigma^{2} = 7.2^{2}\). Kwa maneno mengine, hufikiri tofauti katika nyakati za kusubiri ni dakika 7.2; unafikiri tofauti katika nyakati za kusubiri ni ndogo.

    Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka kwa data, kuna ushahidi wa kutosha ili kuhitimisha kuwa mstari mmoja husababisha tofauti ya chini kati ya nyakati za kusubiri au kwa mstari mmoja, wakati wa kusubiri kwa wateja hutofautiana chini ya dakika 7.2.

    Katika DISTR ya 2, tumia 7:2cdf. Syntax ni (chini, juu, df) kwa orodha ya parameter. Kwa mfano, 2cdf (-1E99,5.67,24). Ya\(p\text{-value} = 0.000042\).

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    FCC inafanya vipimo vya kasi ya broadband kupima kiasi gani data kwa sekunde hupita kati ya kompyuta ya mtumiaji na intaneti. Kuanzia Agosti ya 2012, kiwango cha kupotoka kwa kasi ya Intaneti katika Watoa Huduma za Intaneti (ISPs) ilikuwa asilimia 12.2. Tuseme sampuli ya ISPs 15 inachukuliwa, na kupotoka kwa kawaida ni 13.2. Mchambuzi anadai kuwa kiwango cha kupotoka kwa kasi ni zaidi ya kile kilichoripotiwa. Weka nadharia zisizo na null na mbadala, ukokotoa digrii za uhuru, takwimu za mtihani, mchoro grafu ya thamani ya p, na ueleze hitimisho. Mtihani katika kiwango cha umuhimu wa 1%.

    Jibu
    • \(H_{0}: \sigma^{2} = 12.2^{2}\)
    • \(H_{a}: \sigma^{2} > 12.2^{2}\)

    Katika DISTR 2, tumia 7: 2cdf. Syntax ni (chini, juu, df) kwa orodha ya parameter. 2cdf (16.39,10 ^ 99,14). Ya\(p\text{-value} = 0.2902\).

    \(df = 14\)

    \[\text{chi}^{2} \text{test statistic} = 16.39 \nonumber\]

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    \(p\text{-value}\)Ni\(0.2902\), hivyo sisi kushuka kukataa hypothesis null. Hakuna ushahidi wa kutosha kupendekeza kuwa ugomvi ni mkubwa kuliko\(12.2^{2}\).

    Marejeo

    1. “AppleInsider Bei Guides.” Apple Insider, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://appleinsider.com/mac_price_guide (imefikia Mei 14, 2013).
    2. Takwimu kutoka Benki ya Dunia, Juni 5, 2012.

    Tathmini

    Ili kupima tofauti, tumia mtihani wa mraba wa chi wa ugomvi mmoja. Mtihani unaweza kushoto-, kulia, au mbili-tailed, na nadharia zake daima zinaelezwa kwa suala la ugomvi (au kupotoka kwa kawaida).

    Mapitio ya Mfumo

    \(\chi^{2} = \frac{(n-1) \cdot s^{2}}{\sigma^{2}}\)Mtihani wa takwimu moja ugomvi ambapo:

    \(n: \text{sample size}\)

    \(s: \text{sample standard deviation}\)

    \(\sigma: \text{population standard deviation}\)

    \(df = n – 1 \text{Degrees of freedom}\)

    Mtihani wa Tofauti moja

    • Tumia mtihani ili kuamua tofauti.
    • digrii ya uhuru ni\(\text{number of samples} - 1\).
    • Takwimu za mtihani ni\(\frac{(n-1) \cdot s^{2}}{\sigma^{2}}\), wapi\(n = \text{the total number of data}\)\(s^{2} = \text{sample variance}\), na\(\sigma^{2} = \text{population variance}\).
    • Jaribio linaweza kushoto-, haki-, au mbili-tailed.

    Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi matatu yafuatayo: Kupotoka kwa kiwango cha upinde kwa hits zake ni sita (data inapimwa umbali kutoka katikati ya lengo). Mwangalizi anadai kupotoka kwa kiwango ni kidogo.

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Ni aina gani ya mtihani inapaswa kutumika?

    Jibu

    mtihani wa ugomvi mmoja

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Hali nadharia null na mbadala.

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Je! Hii ni mtihani wa kulia, wa kushoto-tailed, au mbili-tailed?

    Jibu

    mtihani wa kushoto-tailed

    Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi matatu yafuatayo: Kupotoka kwa kiwango cha juu kwa wanafunzi shuleni ni 0.81. Sampuli ya random ya wanafunzi 50 inachukuliwa, na kupotoka kwa kiwango cha urefu wa sampuli ni 0.96. Mtafiti anayehusika na utafiti anaamini kupotoka kwa kiwango cha juu kwa shule ni kubwa kuliko 0.81.

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Ni aina gani ya mtihani inapaswa kutumika?

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Hali nadharia null na mbadala.

    Jibu

    \(H_{0}: \sigma^{2} = 0.81^{2}\);

    \(H_{a}: \sigma^{2} > 0.81^{2}\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    \(df =\)________

    Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi manne yafuatayo: Wakati wa kusubiri wastani katika ofisi ya daktari hutofautiana. Kupotoka kwa kawaida kwa nyakati za kusubiri katika ofisi ya daktari ni dakika 3.4. Sampuli ya random ya wagonjwa 30 katika ofisi ya daktari ina kupotoka kwa kawaida kwa nyakati za kusubiri za dakika 4.1. Daktari mmoja anaamini tofauti ya nyakati za kusubiri ni kubwa kuliko mawazo ya awali.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Ni aina gani ya mtihani inapaswa kutumika?

    Jibu

    mtihani wa ugomvi mmoja

    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Takwimu za mtihani ni nini?

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    ni nini\(p\text{-value}\)?

    Jibu

    0.0542

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Je! Unaweza kuhitimisha nini katika kiwango cha umuhimu wa 5%?