7.2: Theorem ya Kati ya Kikomo kwa Njia za Mfano (Wastani)

Tuseme\(X\) ni variable random na usambazaji ambayo inaweza kujulikana au haijulikani (inaweza kuwa usambazaji wowote). Kwa kutumia subscript inayolingana variable random, tuseme:

1. \(\mu_{x} =\)maana ya\(X\)
2. \(\sigma_{x} =\)kupotoka kiwango cha\(X\)

Kama kuteka sampuli random ya ukubwa\(n\), basi kama\(n\) ongezeko, variable random\(\bar{X}\) ambayo ina njia sampuli, huelekea kuwa kawaida kusambazwa na

\[\bar{X} \sim N \left(\mu_{x}, \dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right).\]

kati kikomo theorem kwa ajili ya sampuli ina maana anasema kwamba kama wewe kuweka kuchora sampuli kubwa na kubwa (kama vile rolling moja, mbili, tano, na hatimaye, kumi dice) na kuhesabu njia zao, sampuli ina maana kuunda yao wenyewe usambazaji wa kawaida (usambazaji sampuli). Usambazaji wa kawaida una maana sawa na usambazaji wa awali na ugomvi unaofanana na ugomvi wa awali umegawanyika na, ukubwa wa sampuli. Variable\(n\) ni idadi ya maadili ambayo ni wastani pamoja, si idadi ya mara majaribio ni kufanyika.

Ili kuiweka rasmi zaidi, ikiwa unatumia sampuli za kawaida za ukubwa\(n\), usambazaji wa kutofautiana kwa random\(\bar{X}\), ambayo ina njia ya sampuli, inaitwa usambazaji wa sampuli ya maana. Usambazaji wa sampuli wa maana unakaribia usambazaji wa kawaida kama\(n\), ukubwa wa sampuli, huongezeka.

kutofautiana random\(\bar{X}\) ina tofauti\(z\) -score kuhusishwa na hayo kutoka ile ya variable random\(X\). Maana\(\bar{x}\) ni thamani ya\(\bar{X}\) sampuli moja.

\[z = \dfrac{\bar{x}-\mu_{x}}{\left(\dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right)}\]

• \(\mu_{x}\)ni wastani wa wote\(X\) na\(\bar{X}\).
• \(\sigma \bar{x} = \dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}} = \)kiwango kupotoka ya\(\bar{X}\) na inaitwa makosa ya kiwango cha maana.

Jinsi ya: Pata uwezekano wa njia kwenye calculator

2 ^na DISTRA

2: cdf ya kawaida

\(\text{normalcdf} \left(\text{lower value of the area, upper value of the area, mean}, \dfrac{\text{standard deviation}}{\sqrt{\text{sample size}}}\right)\)

ambapo:

• maana ni maana ya usambazaji wa awali
• kiwango kupotoka ni kupotoka kiwango cha usambazaji wa awali
• ukubwa wa sampuli\(= n\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Usambazaji usiojulikana una maana ya 90 na kupotoka kwa kiwango cha 15. Sampuli za ukubwa\(n = 25\) hutolewa nasibu kutoka kwa idadi ya watu.

1. Kupata uwezekano kwamba sampuli maana ni kati ya 85 na 92.
2. Kupata thamani ambayo ni mbili kupotoka kiwango juu ya thamani inatarajiwa, 90, ya sampuli maana.

Jibu

a.

Hebu thamani\(X =\) moja kutoka kwa idadi ya awali haijulikani. Swali la uwezekano linakuuliza kupata uwezekano wa maana ya sampuli.

Hebu maana\(\bar{X} =\) ya sampuli ya ukubwa 25. Tangu\(\mu_{x} = 90, \sigma_{x} = 15\), na\(n = 25\),

\[\bar{X} \sim N(90, \dfrac{15}{\sqrt{25}}). \nonumber\]

Kupata\(P(85 < x < 92)\). Chora grafu.

\[P(85 < x < 92) = 0.6997 \nonumber\]

Uwezekano kwamba sampuli inamaanisha ni kati ya 85 na 92 ni 0.6997.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

normcdf (thamani ya chini, thamani ya juu, maana, kosa la kawaida la maana)

Orodha ya parameter inafupishwa (thamani ya chini, thamani ya juu\(\mu\),\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\))

kawaidacf\((85,92,90,\dfrac{15}{\sqrt{25}}) = 0.6997\)

b.

Ili kupata thamani ambayo ni upungufu wa kiwango mbili juu ya thamani inayotarajiwa 90, tumia formula:

\[ \begin{align*} \text{value} &= \mu_{x} + (\#\text{ofTSDEVs})\left(\dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right) \\[5pt] &= 90 + 2 \left(\dfrac{15}{\sqrt{25}}\right) = 96 \end{align*}\]

Thamani ambayo ni upungufu wa kiwango mbili juu ya thamani inayotarajiwa ni 96.

Hitilafu ya kawaida ya maana ni

\[\dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}} = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = 3. \nonumber\]

Kumbuka kwamba kosa la kawaida la maana ni maelezo ya umbali gani (kwa wastani) kwamba sampuli ina maana itakuwa kutoka kwa idadi ya watu maana katika sampuli za kawaida za kawaida za kawaida\(n\).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Usambazaji usiojulikana una maana ya 45 na kupotoka kwa kiwango cha nane. Sampuli za ukubwa\(n\) = 30 hutolewa nasibu kutoka kwa idadi ya watu. Kupata uwezekano kwamba sampuli maana ni kati ya 42 na 50.

Jibu

\(P(42 < \bar{x} < 50) = \left(42, 50, 45, \dfrac{8}{\sqrt{30}}\right) = 0.9797\)

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Urefu wa muda, kwa masaa, inachukua kundi la “zaidi ya 40" la watu kucheza mechi moja ya soka kwa kawaida husambazwa kwa maana ya masaa mawili na kupotoka kwa kiwango cha masaa 0.5. Sampuli ya ukubwa\(n = 50\) hutolewa kwa nasibu kutoka kwa idadi ya watu. Pata uwezekano kwamba sampuli inamaanisha ni kati ya masaa 1.8 na masaa 2.3.

Jibu

Hebu\(X =\) wakati, kwa masaa, inachukua kucheza mechi moja ya soka.

Swali la uwezekano linakuuliza kupata uwezekano wa sampuli maana wakati, kwa masaa, inachukua kucheza mechi moja ya soka.

Hebu muda\(\bar{X} =\) wa maana, kwa masaa, inachukua kucheza mechi moja ya soka.

Ikiwa\(\mu_{x} =\) _________,\(\sigma_{x} =\) __________, na\(n =\) ___________, basi\(X \sim N\) (______, ______) na theorem ya kikomo ya kati kwa njia.

\(\mu_{x} = 2, \sigma_{x} = 0.5, n = 50\), na\(X \sim N \left(2, \dfrac{0.5}{\sqrt{50}}\right)\)

Kupata\(P(1.8 < \bar{x} < 2.3)\). Chora grafu.

\(P(1.8 < \bar{x} < 2.3) = 0.9977\)

kawaidacf\(\left(1.8,2.3,2,\dfrac{.5}{\sqrt{50}}\right) = 0.9977\)

Uwezekano kwamba muda wa maana ni kati ya masaa 1.8 na masaa 2.3 ni 0.9977.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Urefu wa muda uliochukuliwa kwenye SAT kwa kundi la wanafunzi ni kawaida kusambazwa kwa maana ya masaa 2.5 na kupotoka kwa kiwango cha masaa 0.25. ukubwa sampuli ya\(n = 60\) inayotolewa nasibu kutoka idadi ya watu. Kupata uwezekano kwamba sampuli maana ni kati ya saa mbili na saa tatu.

Jibu

\[P(2 < \bar{x} < 3) = \text{normalcdf}\left(2, 3, 2.5, \dfrac{0.25}{\sqrt{60}}\right) = 1 \nonumber\]

ujuzi Calculator

Ili kupata asilimia kwa njia kwenye calculator, fuata hatua hizi.

• 2 ^na DistR
• 3: Katika kawaida

\(k = \text{invNorm} \left(\text{area to the left of} k, \text{mean}, \dfrac{\text{standard deviation}}{\sqrt{sample size}}\right)\)

ambapo:

• \(k\)= asilimia\(k\) ^{ya th}
• maana ni maana ya usambazaji wa awali
• kiwango kupotoka ni kupotoka kiwango cha usambazaji wa awali
• ukubwa wa sampuli =\(n\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Katika utafiti wa hivi karibuni uliripoti Oktoba 29, 2012 kwenye Blogu ya Flurry, umri wa wastani wa watumiaji wa kibao ni miaka 34. Tuseme kupotoka kwa kawaida ni miaka 15. Chukua sampuli ya ukubwa\(n = 100\).

1. Nini maana na kiwango kupotoka kwa sampuli maana umri wa watumiaji kibao?
2. Usambazaji unaonekanaje?
3. Kupata uwezekano kwamba sampuli maana umri ni zaidi ya miaka 30 (The maana umri wa watumiaji kibao katika utafiti huu hasa).
4. Pata asilimia 95 ^ya umri wa maana ya sampuli (kwa sehemu moja ya decimal).

Jibu

1. Kwa kuwa sampuli maana huelekea kulenga maana ya idadi ya watu, tuna\(\mu_{x} = \mu = 34\). Kupotoka kwa kiwango cha sampuli hutolewa na:\[\sigma_{x} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{15}{\sqrt{100}} = \dfrac{15}{10} = 1.5 \nonumber\]
2. Theorem ya kikomo ya kati inasema kuwa kwa ukubwa mkubwa wa sampuli (\(n\)), usambazaji wa sampuli utakuwa wastani wa kawaida.
3. Uwezekano kwamba sampuli inamaanisha umri ni zaidi ya 30 hutolewa na:\[P(Χ > 30) = \text{normalcdf}(30,E99,34,1.5) = 0.9962 \nonumber\]
4. Hebu\(k\) = 95 ^th percentile. \[k = \text{invNorm}\left(0.95, 34, \dfrac{15}{\sqrt{100}}\right) = 36.5 \nonumber\]

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Katika makala juu ya Blog Flurry, pengo la masoko ya michezo ya kubahatisha kwa wanaume kati ya umri wa miaka 30 na 40 ni kutambuliwa. Unatafiti mchezo wa kuanza kwa lengo la idadi ya watu wenye umri wa miaka 35. Wazo lako ni kuendeleza mchezo mkakati ambayo inaweza kuchezwa na wanaume kutoka 20s yao marehemu kupitia 30s yao marehemu. Kulingana na takwimu za makala hiyo, utafiti wa sekta unaonyesha kuwa mchezaji wa mkakati wa wastani ana umri wa miaka 28 akiwa na kupotoka kwa kiwango cha miaka 4.8. Unachukua sampuli ya gamers 100 iliyochaguliwa kwa nasibu. Ikiwa soko lako la lengo ni watoto wa miaka 29 hadi 35, unapaswa kuendelea na mkakati wako wa maendeleo?

Jibu

Unahitaji kuamua uwezekano kwa wanaume ambao umri wao ni kati ya umri wa miaka 29 na 35 wanaotaka kucheza mchezo wa mkakati.

\[P(29 < \bar{x} < 35) = \text{normalcdf} \left(29, 35, 28,\dfrac{4.8}{\sqrt{100}}\right) = 0.0186\]

Unaweza kuhitimisha kuna takriban 1.9% nafasi ya kuwa mchezo wako utachezwa na wanaume ambao umri wao ni kati ya 29 na 35.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Idadi ya dakika ya ushiriki wa programu na mtumiaji wa kibao ni dakika 8.2. Tuseme kupotoka kwa kawaida ni dakika moja. Chukua sampuli ya 60.

1. Ni nini maana na kiwango kupotoka kwa sampuli maana idadi ya ushiriki programu na mtumiaji kibao?
2. Hitilafu ya kawaida ya maana ni nini?
3. Kupata 90 ^th asilimia kwa sampuli maana wakati kwa ajili ya programu ushiriki kwa ajili ya kibao user. Tafsiri thamani hii katika sentensi kamili.
4. Pata uwezekano kwamba sampuli inamaanisha ni kati ya dakika nane na dakika 8.5.

Jibu

1. \(\mu = \mu = 8.2 \sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{60}} = 0.13\)
2. Hii inatuwezesha kuhesabu uwezekano wa njia za sampuli za umbali fulani kutoka kwa maana, katika sampuli za mara kwa mara za ukubwa wa 60.
3. Hebu\(k\) = 90 ^th percentile
   \(k = \text{invNorm}\left(0.90, 8.2, \dfrac{1}{\sqrt{60}}\right) = 8.37\). Maadili haya yanaonyesha kuwa asilimia 90 ya wastani wa muda wa ushiriki wa programu kwa watumiaji wa meza ni chini ya dakika 8.37.
4. \(P(8 < \bar{x} < 8.5) = \text{normalcdf}\left(8, 8.5, 8.2, \dfrac{1}{\sqrt{60}}\right) = 0.9293\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Makopo ya kinywaji cha cola yanadai kuwa na ounces 16. Kiasi katika sampuli ni kipimo na takwimu ni\(n = 34\),\(\bar{x} = 16.01\) ounces. Ikiwa makopo yanajazwa ili\(\mu = 16.00\) ounces (kama kinachoitwa) na\(\sigma = 0.143\) ounces, pata uwezekano kwamba sampuli ya makopo 34 itakuwa na kiasi cha wastani zaidi kuliko ounces 16.01. Je! Matokeo yanaonyesha kwamba makopo yanajazwa na kiasi kikubwa zaidi ya ounces 16?

Jibu

Tuna\(P(\bar{x} > 16.01) = \text{normalcdf} \left(16.01,E99,16, \dfrac{0.143}{\sqrt{34}}\right) = 0.3417\). Kwa kuwa kuna uwezekano wa 34.17% kwamba wastani wa uzito wa sampuli ni mkubwa kuliko ounces 16.01, tunapaswa kuwa na wasiwasi juu ya kiasi cha kampuni hiyo. Kama mimi ni walaji, ni lazima kuwa na furaha kwamba mimi pengine kupokea bure cola. Ikiwa mimi ni mtengenezaji, ninahitaji kuamua kama michakato yangu ya chupa ni nje ya mipaka inayokubalika.

Muhtasari

Katika idadi ya watu ambao usambazaji unaweza kujulikana au haijulikani, ikiwa ukubwa (\(n\)) wa sampuli ni kubwa ya kutosha, usambazaji wa njia za sampuli itakuwa takriban kawaida. Maana ya njia ya sampuli itakuwa sawa na idadi ya watu maana. Kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa njia ya sampuli, inayoitwa kosa la kawaida la maana, ni sawa na kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu kugawanywa na mizizi ya mraba ya ukubwa wa sampuli (\(n\)).

Mapitio ya Mfumo

• Theorem ya Kati ya Kikomo kwa Njia za Mfano:\[\bar{X} \sim N\left(\mu_{x}, \dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right) \nonumber\]
• Maana\(\bar{X}: \sigma_{x}\)
• Central Limit Theorem kwa Mfano Maana z-alama na kiwango makosa ya maana:\[z = \dfrac{\bar{x}-\mu_{x}}{\left(\dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right)} \nonumber\]
• Hitilafu ya Kiwango cha Maana (Kupotoka kwa kiwango (\(\bar{X}\))):\[\dfrac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}} \nonumber\]

faharasa

Wastani

nambari inayoelezea tabia kuu ya data; kuna idadi ya wastani maalumu, ikiwa ni pamoja na maana ya hesabu, maana ya uzito, wastani, mode, na maana ya kijiometri.

Theorem ya Kikomo ya Kati

Kutokana variable random (RV) na inayojulikana maana\(\mu\) na inayojulikana kiwango kupotoka\(\sigma\),, sisi ni sampuli na ukubwa\(n\), na sisi ni nia ya RVs mbili mpya: sampuli maana\(\bar{X}\),, na sampuli jumla,\(\sum X\). Ikiwa ukubwa (\(n\)) wa sampuli ni kubwa ya kutosha, basi\(\bar{X} \sim N\left(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\) na\(\sum X \sim N(n\mu, (\sqrt{n})(\sigma))\). Ikiwa ukubwa (\(n\)) wa sampuli ni kubwa ya kutosha, basi usambazaji wa sampuli ina maana na usambazaji wa kiasi cha sampuli utafikia mgawanyo wa kawaida bila kujali sura ya idadi ya watu. Maana ya njia ya sampuli itakuwa sawa na idadi ya watu inamaanisha, na maana ya sampuli ya sampuli itakuwa sawa\(n\) mara idadi ya watu inamaanisha. Kupotoka kwa kawaida kwa usambazaji wa njia ya sampuli\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\), inaitwa kosa la kawaida la maana.

Usambazaji wa kawaida

kuendelea random variable (RV) na pdf\(f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\dfrac{-(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\), ambapo\(\mu\) ni maana ya usambazaji na\(\sigma\) ni kupotoka kiwango; nukuu:\(X \sim N(\mu, \sigma)\). Ikiwa\(\mu = 0\) na\(\sigma = 1\), RV inaitwa usambazaji wa kawaida wa kawaida.

Hitilafu ya kawaida ya Maana

kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa njia za sampuli, au\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

Marejeo

1. Baran, Daya. “20 Asilimia ya Wamarekani Hajawahi Kutumia Barua pepe.” WebGuild, 2010. Inapatikana mtandaoni kwenye www.webguild.org/20080519/20-... barua pepe iliyotumiwa (imefikia Mei 17, 2013).
2. Takwimu kutoka Blog Flurry, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye blog.flurry.com (imefikia Mei 17, 2013).
3. Takwimu kutoka Idara ya Kilimo ya Marekani.