7.1: Utangulizi wa Theorem ya Kati ya Kikomo

Ujuzi wa Kuendeleza

Mwishoni mwa sura hii, mwanafunzi anapaswa kuwa na uwezo wa:

• Kutambua matatizo ya kati ya kikomo theorem.
• Kuainisha matatizo ya neno ya kuendelea na mgawanyo wao.
• Tumia na kutafsiri theorem ya kikomo ya kati kwa njia.
• Tumia na kutafsiri theorem ya kikomo ya kati kwa kiasi.

Kwa nini tuna wasiwasi sana na njia? Sababu mbili ni: zinatupa ardhi ya kati kwa kulinganisha, na ni rahisi kuhesabu. Katika sura hii, utajifunza njia na theorem ya kikomo ya kati. Theorem ya kikomo ya kati (clt kwa muda mfupi) ni mojawapo ya mawazo yenye nguvu zaidi na muhimu katika takwimu zote. Kuna aina mbili mbadala ya theorem, na njia mbadala zote mbili ni wasiwasi na kuchora sampuli finite ukubwa n kutoka idadi ya watu na maana inayojulikana,\(\mu\), na inayojulikana kiwango kupotoka,\(\sigma\). Njia mbadala ya kwanza inasema kwamba ikiwa tunakusanya sampuli za ukubwa\(n\) na “kubwa ya kutosha\(n\),” kuhesabu maana ya kila sampuli, na kuunda histogram ya njia hizo, basi histogram inayosababisha itakuwa na sura ya kawaida ya kengele. Njia mbadala ya pili inasema kwamba ikiwa sisi tena kukusanya sampuli za ukubwa\(n\) ambazo ni “kubwa ya kutosha,” kuhesabu jumla ya kila sampuli na kuunda histogram, basi histogram inayosababisha itakuwa na sura ya kawaida ya kengele.

Katika hali yoyote, haijalishi nini usambazaji wa idadi ya awali ni, au kama unahitaji hata kujua. Ukweli muhimu ni kwamba usambazaji wa njia za sampuli na kiasi huwa na kufuata usambazaji wa kawaida.

Ukubwa wa sampuli\(n\), ambayo inahitajika ili kuwa “kubwa ya kutosha” inategemea idadi ya awali ambayo sampuli hutolewa (ukubwa wa sampuli lazima angalau 30 au data inapaswa kuja kutoka usambazaji wa kawaida). Ikiwa idadi ya awali ni mbali na kawaida, basi uchunguzi zaidi unahitajika kwa njia ya sampuli au kiasi kuwa cha kawaida. Sampuli imefanywa kwa uingizwaji.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Ikiwa unataka kufikiri usambazaji wa mabadiliko ambayo watu hubeba katika mifuko yao, kwa kutumia theorem ya kikomo ya kati na kuchukua sampuli yako ni kubwa ya kutosha, utapata kwamba usambazaji ni wa kawaida na umbo la kengele. (mikopo: John Lodder)

SHUGHULI ZA DARASA

Tuseme nane kati yenu unaendelea moja ya haki kufa mara kumi, saba wenu unaendelea dice mbili haki mara kumi, tisa wenu unaendelea dice tano haki mara kumi, na 11 wenu unaendelea kumi dice haki mara kumi.

Kila wakati mtu anaendelea zaidi ya moja kufa, yeye huhesabu sampuli maana ya nyuso zinazoonyesha. Kwa mfano, mtu mmoja anaweza unaendelea kete tano za haki na kupata 2, 2, 3, 4, 6 kwenye roll moja.

Maana ni\(\frac{2+2+3+4+6}{5} = 3.4\). Ya 3.4 ni maana moja wakati kete tano za haki zimevingirishwa. Mtu huyu angeweza unaendelea kete tano mara tisa zaidi na mahesabu ya njia tisa zaidi kwa jumla ya njia kumi.

Mwalimu wako kupita nje dice kwa watu kadhaa. Roll dice yako mara kumi. Kwa kila roll, rekodi nyuso, na upate maana. Pande zote kwa karibu 0.5.

Mwalimu wako (na labda wewe) atazalisha grafu moja (inaweza kuwa histogram) kwa kufa moja, grafu moja kwa dice mbili, grafu moja kwa kete tano, na grafu moja kwa kete kumi. Kwa kuwa “maana” unapokwisha kufa moja ni uso tu juu ya kufa, ni usambazaji gani njia hizi zinaonekana kuwa zinawakilisha?

• Chora grafu kwa njia ya kutumia dice mbili. Je, sampuli inamaanisha kuonyesha aina yoyote ya muundo?
• Chora grafu kwa njia ya kutumia kete tano. Je! Unaona muundo wowote unaojitokeza?
• Hatimaye, kuteka grafu kwa njia kwa kutumia kete kumi. Je! Unaona muundo wowote kwenye grafu? Je, unaweza kuhitimisha kama wewe kuongeza idadi ya dice?

Kama idadi ya dice limekwisha kuongezeka kutoka moja hadi mbili hadi tano hadi kumi, zifuatazo kinachotokea:

1. Maana ya njia ya sampuli inabakia takriban sawa.
2. Kuenea kwa njia ya sampuli (kupotoka kwa kawaida kwa njia ya sampuli) hupata ndogo.
3. Grafu inaonekana kuwa nyepesi na nyembamba.

Wewe tu alionyesha kati kikomo theorem (clt). kati kikomo theorem atakwambia kwamba kama wewe kuongeza idadi ya dice, sampuli ina maana huwa na usambazaji wa kawaida (usambazaji sampuli).

faharasa

Usambazaji wa sampuli

Kutokana sampuli rahisi za kawaida za ukubwa\(n\) kutoka kwa idadi ya watu waliopewa na tabia ya kipimo kama vile maana, uwiano, au kupotoka kwa kila sampuli, usambazaji wa uwezekano wa sifa zote zilizopimwa huitwa usambazaji wa sampuli.