3.6: Mti na Venn michoro

Wakati mwingine, wakati matatizo ya uwezekano ni ngumu, inaweza kuwa na manufaa kwa grafu hali hiyo. Miti michoro na Venn michoro ni zana mbili ambayo inaweza kutumika taswira na kutatua probabilities masharti.

mti michoro

Mchoro wa mti ni aina maalum ya grafu inayotumiwa kuamua matokeo ya jaribio. Inajumuisha “matawi” yaliyoandikwa na masafa ama au probabilities. Miti michoro inaweza kufanya baadhi ya matatizo uwezekano rahisi taswira na kutatua. Mfano unaofuata unaonyesha jinsi ya kutumia mchoro wa mti.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Probabilities from Sampling with replacement

Kwa upande mwingine, kuna mipira 11. Mipira mitatu ni nyekundu (\(\text{R}\)) na mipira nane ni bluu (\(\text{B}\)). Chora mipira miwili, moja kwa wakati, na uingizwaji (kumbuka kuwa “kwa uingizwaji” inamaanisha kuwa unaweka mpira wa kwanza kwenye urn kabla ya kuchagua mpira wa pili). Mchoro wa mti kwa kutumia masafa ambayo yanaonyesha matokeo yote yanayowezekana ifuatavyo.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Jumla = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

Seti ya kwanza ya matawi inawakilisha kuteka kwanza. Seti ya pili ya matawi inawakilisha sare ya pili. Kila moja ya matokeo ni tofauti. Kwa kweli, tunaweza kuorodhesha kila mpira nyekundu kama R 1, R 2, na R 3 na kila mpira wa bluu kama B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7, na B 8. Kisha matokeo tisa ya RR yanaweza kuandikwa kama:

R 1 R 1 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 3 R 2 R 3

Matokeo mengine ni sawa.

Kuna jumla ya mipira 11 katika urn. Chora mipira miwili, moja kwa wakati, na uingizwaji. Kuna 11 (11) = 121 matokeo, ukubwa wa nafasi ya sampuli.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Katika staha ya kawaida, kuna kadi 52. Kadi 12 ni kadi za uso (tukio\(\text{F}\)) na kadi za 40 si kadi za uso (tukio\(\text{N}\)). Chora kadi mbili, moja kwa wakati, na uingizwaji. Matokeo yote yanayowezekana yanaonyeshwa kwenye mchoro wa mti kama masafa. Kutumia mchoro wa mti, hesabu\(P(\text{FF})\).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\):

Jibu

Jumla ya matokeo ni 144 + 480 + 480 + 1600 = 2,704.

\[P(\text{FF}) = \frac{144}{144+480+480+1,600} = \frac{144}{2,704} = \frac{9}{169}\]

1. a Orodha ya matokeo ya 24 BR: B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3,...
2. b Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (RR).
3. c Kutumia mchoro wa mti, hesabu\(P(\text{RB OR BR})\).
4. d Kutumia mchoro wa mti, hesabu\(P(\text{R on 1st draw AND B on 2nd draw})\).
5. e Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (R juu ya kuteka 2 GIVEN B kwenye sare ya 1).
6. Kutumia mchoro wa mti, hesabu\(P(\text{BB})\).
7. g Kutumia mchoro wa mti, hesabu\(P(\text{B on the 2nd draw given R on the first draw})\).

Suluhisho

1. B 1 R 1; B 1 R 2; B 1 R 3; B 2 R 1; B 2 R 2; B 2 R 3; B 3 R 1; B 3 R 2; B 3 R 3; B 4 R 1; B 4 R 2; B 4 R 3; B 5 R 1; B 5 R 2; B 5 R 3; B 6 R 1; B 6 R 2; B 6 R 3 B 7 R 1; B 7 R 2; B 7 R 3; B 8 R 1; B 8 R 2; B 8 R 3
2. \(P(\text{RR}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)
3. \(P(\text{RB OR BR}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{11}\right) + \left(\frac{8}{11}\right) \left(\frac{3}{11}\right) = \frac{48}{121}\)
4. \(P(\text{R on 1st draw AND B on 2nd draw}) = P(\text{RB}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{11}\right) = \frac{24}{121}\)
5. P (R juu ya kuteka 2 iliyotolewa B kwenye sare ya 1) = P (R juu ya 2nD| B juu ya 1)\(\frac{24}{88}\) = = Tatizo\(\frac{3}{11}\) hili ni moja ya masharti. Nafasi ya sampuli imepunguzwa kwa matokeo hayo ambayo tayari yana bluu kwenye sare ya kwanza. Kuna 24 + 64 = 88 matokeo iwezekanavyo (24 BR na 64 BB). Ishirini na nne ya 88 matokeo inawezekana ni BR. \(\frac{24}{88}\)=\(\frac{3}{11}\)
6. \(P(\text{BB}) = \frac{64}{121}\)
7. \(P(\text{B on 2nd draw|R on 1st draw}) = \frac{8}{11}\). Kuna 9 + 24 matokeo ambayo\(\text{R}\) kwenye sare ya kwanza (9 RR na 24 RB). Nafasi ya sampuli ni kisha 9 + 24 = 33. 24 ya matokeo ya 33 yana\(\text{B}\) kwenye sare ya pili. Uwezekano ni basi\(\frac{24}{33}\).

Mfano\(\PageIndex{2}\): Probabilities from Sampling without replacement

Urn ina marumaru tatu nyekundu na marumaru nane ya bluu ndani yake. Chora marumaru mawili, moja kwa wakati, wakati huu bila uingizwaji, kutoka kwenye urn. (kumbuka kwamba “bila uingizwaji” inamaanisha kwamba huna kuweka mpira wa kwanza nyuma kabla ya kuchagua marumaru ya pili). Kufuatia ni mchoro wa mti kwa hali hii. Matawi yanatajwa na uwezekano badala ya masafa. Nambari katika ncha za matawi huhesabiwa kwa kuzidisha namba kwenye matawi mawili yanayofanana, kwa mfano,\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right) = \frac{6}{110}\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Jumla\(= \frac{56+24+24+6}{110} = \frac{110}{110} = 1\)

Ikiwa unapata nyekundu kwenye sare ya kwanza kutoka kwa uwezekano wa tatu nyekundu, kuna marumaru mawili nyekundu yaliyoachwa kuteka kwenye sare ya pili. Huwezi kuweka nyuma au kuchukua nafasi ya marumaru kwanza baada ya kuwa inayotolewa ni. Unatumia bila uingizwaji, ili kwenye sare ya pili kuna marumaru kumi yaliyoachwa kwenye urn.

Tumia probabilities zifuatazo kwa kutumia mchoro wa mti.

1. \(P(\text{RR}) =\)________
2. Jaza vifungo:\(P(\text{RB OR BR}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{10}\right) +\) (___) (___)\(= \frac{48}{110}\)
3. \(P(\text{R on 2nd|B on 1st}) =\)
4. Jaza vifungo:\(P(\text{R on 1st AND B on 2nd}) = P(\text{RB}) =\) (___) (___)\(= \frac{24}{110}\)
5. Kupata\(P(\text{BB})\).
6. Kupata\(P(\text{B on 2nd|R on 1st})\).

Majibu

1. \(P(\text{RR}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right) = \frac{6}{110}\)
2. \(P(\text{RB OR BR}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right) + \left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right) = \frac{48}{110}\)
3. \(P(\text{R on 2nd|B on 1st}) = \frac{3}{10}\)
4. \(P(\text{R on 1st AND B on 2nd}) = P(\text{RB}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{10}\right) = \frac{24}{110}\)
5. \(P(\text{BB}) = \left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)
6. Kutumia mchoro wa mti,\(P(\text{B on 2nd|R on 1st}) = P(\text{R|B}) = \frac{8}{10}\).

Ikiwa tunatumia probabilities, tunaweza kuandika mti kwa njia ifuatayo ya jumla.

• \(P(\text{R|R})\)hapa ina maana\(P(\text{R on 2nd|R on 1st})\)
• \(P(\text{B|R})\)hapa ina maana\(P(\text{B on 2nd|R on 1st})\)
• \(P(\text{R|B})\)hapa ina maana\(P(\text{R on 2nd|B on 1st})\)
• \(P(\text{B|B})\)hapa ina maana\(P(\text{B on 2nd|B on 1st})\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Katika staha ya kawaida, kuna kadi 52. Kadi kumi na mbili ni kadi uso (\(\text{F}\)) na 40 kadi si kadi uso (\(\text{N}\)). Chora kadi mbili, moja kwa wakati, bila uingizwaji. Mchoro wa mti umeandikwa na uwezekano wote unaowezekana.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\):

1. Kupata\(P(\text{FN OR NF})\).
2. Kupata\(P(\text{N|F})\).
3. Kupata\(P(\text{at most one face card})\).
   Kidokezo: “Kwa kadi moja ya uso” inamaanisha zero au kadi moja ya uso.
4. Kupata\(P(\text{at least on face card})\).
   Kidokezo: “Angalau kadi moja ya uso” inamaanisha kadi moja au mbili za uso.

Jibu

1. \(P(\text{FN OR NF}) = \frac{480}{2,652} + \frac{480}{2,652} = \frac{960}{2,652} = \frac{80}{221}\)
2. \(P(\text{N|F}) = \frac{40}{51}\)
3. \(P(\text{at most one face card}) = \frac{(480+480+1,560)}{2,652} = \frac{2,520}{2,652}\)
4. \(P(\text{at least one face card}) = \frac{(132+480+480)}{2,652} = \frac{1,092}{2,652}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

takataka ya kittens inapatikana kwa ajili ya kupitishwa katika Humane Society ina kittens tabby nne na kittens tano nyeusi. Familia inakuja na kwa nasibu huchagua kittens mbili (bila uingizwaji) kwa kupitishwa.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba kittens zote mbili ni tabby?
   a.\(\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{4}{9}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{3}{8}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{9}\right)\)
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba kitten moja ya kila rangi huchaguliwa?
   a.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{9}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{8}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{9}\right)\) +\(\left(\frac{5}{9}\right) \left(\frac{4}{9}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{8}\right)\)\(\left(\frac{5}{9}\right) \left(\frac{4}{8}\right)\)
3. Je! Ni uwezekano gani kwamba tabby huchaguliwa kama kitten ya pili wakati kitten nyeusi ilichaguliwa kama ya kwanza?
4. Je! Ni uwezekano gani wa kuchagua kittens mbili za rangi sawa?

Jibu

a. c, b. d, c.\(\frac{4}{8}\), d.\(\frac{32}{72}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Tuseme kuna mipira minne nyekundu na mipira mitatu ya njano katika sanduku. Mipira mitatu hutolewa kutoka sanduku bila uingizwaji. Je! Ni uwezekano gani kwamba mpira mmoja wa kila rangi huchaguliwa?

Jibu

\(\left(\frac{4}{7}\right) \left(\frac{3}{6}\right)\)+\(\left(\frac{3}{7}\right) \left(\frac{4}{6}\right)\)

Venn mchoro

Mchoro wa Venn ni picha ambayo inawakilisha matokeo ya majaribio. Kwa ujumla lina sanduku ambalo linawakilisha nafasi ya sampuli S pamoja na miduara au ovals. Miduara au ovals inawakilisha matukio.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Tuseme jaribio lina matokeo 1, 2, 3,..., 12 ambapo kila matokeo ina nafasi sawa ya kutokea. Hebu tukio\(\text{A} =\) {1, 2, 3, 4, 5, 6} na tukio\(\text{B} =\) {6, 7, 8, 9}. Kisha\(\text{A AND B} =\) {6} na\(\text{A OR B} =\) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Mchoro wa Venn ni kama ifuatavyo:

Kielelezo\(\PageIndex{5}\):

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Tuseme majaribio ina matokeo nyeusi, nyeupe, nyekundu, machungwa, njano, kijani, bluu, na zambarau, ambapo kila matokeo ina nafasi sawa ya kutokea. Hebu tukio\(\text{C} =\) {kijani, bluu, zambarau} na tukio\(\text{P} =\) {nyekundu, njano, bluu}. Kisha\(\text{C AND P} =\) {bluu} na\(\text{C OR P} =\) {kijani, bluu, zambarau, nyekundu, njano}. Chora Venn mchoro anayewakilisha hali hii.

Jibu

Kielelezo\(\PageIndex{6}\):

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Flip sarafu mbili za haki. Hebu\(\text{A} =\) mikia kwenye sarafu ya kwanza. Hebu\(\text{B} =\) mikia kwenye sarafu ya pili. Kisha\(\text{A} =\) {TT, TH} na\(\text{B} =\) {TT, HT}. Kwa hiyo,\(\text{A AND B} =\) {TT}. \(\text{A OR B} =\){TH, TT, HT}.

nafasi ya sampuli wakati flip sarafu mbili haki ni\(X =\) {HH, HT, TH, TT}. matokeo HH ni katika\(\text{NEITHER A NOR B}\). Mchoro wa Venn ni kama ifuatavyo:

Kielelezo\(\PageIndex{7}\):

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Roll haki, sita upande mmoja kufa. Hebu idadi\(\text{A} =\) kubwa ya dots imevingirwa. Hebu idadi\(\text{B} =\) isiyo ya kawaida ya dots imevingirwa. Kisha\(\text{A} =\) {2, 3, 5} na\(\text{B} =\) {1, 3, 5}. Kwa hiyo,\(\text{A AND B} =\) {3, 5}. \(\text{A OR B} =\){1, 2, 3, 5}. Nafasi ya sampuli ya kupiga kufa kwa haki ni\(\text{S} =\) {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chora Venn mchoro anayewakilisha hali hii.

Jibu

Mfano\(\PageIndex{6}\): Probability and Venn Diagrams

Asilimia arobaini ya wanafunzi katika chuo kienyeji ni wa klabu na 50% hufanya kazi kwa muda. Asilimia tano ya wanafunzi hufanya kazi kwa muda na ni wa klabu. Chora Venn mchoro kuonyesha mahusiano. Hebu\(\text{C} =\) mwanafunzi ni wa klabu na\(\text{PT} =\) mwanafunzi anafanya kazi kwa muda.

Kielelezo\(\PageIndex{8}\):

Ikiwa mwanafunzi anachaguliwa kwa random, tafuta

• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu. \(P(\text{C}) = 0.40\)
• uwezekano kwamba mwanafunzi anafanya kazi kwa muda. \(P(\text{PT}) = 0.50\)
• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu na anafanya kazi kwa muda. \(P(\text{C AND PT}) = 0.05\)
• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu kutokana na kwamba mwanafunzi anafanya kazi kwa muda. \(P(\text{C|PT}) = \frac{P(\text{C AND PT})}{P(\text{PT})} = \frac{0.05}{0.50} = 0.1\)
• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu OR anafanya kazi kwa muda. \(P(\text{C OR PT}) = P(\text{C}) + P(\text{PT}) - P(\text{C AND PT}) = 0.40 + 0.50 - 0.05 = 0.85\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Asilimia hamsini ya wafanyakazi katika kiwanda hufanya kazi ya pili, 25% wana mke ambaye pia anafanya kazi, 5% hufanya kazi ya pili na kuwa na mke ambaye pia anafanya kazi. Chora Venn mchoro kuonyesha mahusiano. Hebu\(\text{W} =\) kazi kazi ya pili na\(\text{S} =\) mke pia anafanya kazi.

Jibu

Kielelezo\(\PageIndex{9}\):

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Mtu mwenye damu ya aina O na hasi ya Rh (Rh-) anaweza kuchangia damu kwa mtu yeyote aliye na aina yoyote ya damu. Asilimia nne ya Wamarekani wa Afrika wana damu ya aina O na sababu hasi ya RH, 5-10% ya Wamarekani wa Afrika wana kipengele cha Rh, na 51% wana damu ya aina O.

Kielelezo\(\PageIndex{10}\):

Mduara wa “O” unawakilisha Wamarekani Waafrika wenye damu ya aina O. Mviringo wa “Rh-” unawakilisha Wamarekani wa Afrika wenye kipengele cha Rh.

Tutachukua wastani wa 5% na 10% na kutumia 7.5% kama asilimia ya Wamarekani wa Afrika ambao wana Rh- sababu. Hebu\(\text{O} =\) African American na Aina O damu na\(\text{R} =\) Amerika ya Afrika na Rh- sababu.

1. \(P(\text{O}) =\)___________
2. \(P(\text{R}) =\)___________
3. \(P(\text{O AND R}) =\)___________
4. \(P(\text{O OR R}) =\)____________
5. Katika Mchoro wa Venn, kuelezea eneo linaloingiliana kwa kutumia sentensi kamili.
6. Katika Mchoro wa Venn, eleza eneo katika mstatili lakini nje ya mduara na mviringo kwa kutumia sentensi kamili.

Jibu

a. 0.51; b. 0.075; c. 0.04; d. 0.545; e. eneo hilo linawakilisha Wamarekani wa Afrika ambao wana aina O damu na sababu ya Rh. f. Eneo hilo linawakilisha Wamarekani wa Afrika ambao hawana aina O damu wala Rh- sababu.

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Katika duka la vitabu, uwezekano kwamba mteja anunua riwaya ni 0.6, na uwezekano kwamba mteja anunua kitabu kisichokuwa cha uongo ni 0.4. Tuseme kwamba uwezekano kwamba mteja hununua wote ni 0.2.

1. Chora Venn mchoro anayewakilisha hali.
2. Kupata uwezekano kwamba mteja hununua ama riwaya au yasiyo ya uongo kitabu.
3. Katika mchoro wa Venn, kuelezea eneo linaloingiliana kwa kutumia sentensi kamili.
4. Tuseme kwamba wateja wengine wanununua disks tu za compact. Chora mviringo katika Venn mchoro wako anayewakilisha tukio hili.

Jibu

. na d. zifuatazo Venn mchoro hapa chini, bluu mviringo kuwakilisha wateja kununua riwaya, nyekundu mviringo inawakilisha wateja kununua yasiyo ya uongo, na njano mviringo wateja ambao kununua disks kompakt.

Kielelezo\(\PageIndex{11}\):

b\(P(\text{novel or non-fiction}) = P(\text{Blue OR Red}) = P(\text{Blue}) + P(\text{Red}) - P(\text{Blue AND Red}) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8\).

c. eneo mwingiliano wa bluu mviringo na nyekundu mviringo inawakilisha wateja kununua wote riwaya na kitabu nonfiction.

Marejeo

1. Takwimu kutoka Clara County Umma H.D.
2. Takwimu kutoka Marekani Cancer Society.
3. Takwimu kutoka Maktaba ya Data na Hadithi, 1996. Inapatikana mtandaoni kwenye http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (imefikia Mei 2, 2013).
4. Takwimu kutoka Shirikisho Highway Utawala, sehemu ya Idara ya Usafiri wa Marekani.
5. Takwimu kutoka Ofisi ya Sensa ya Marekani, sehemu ya Idara ya Biashara ya Marekani.
6. Takwimu kutoka USA Today.
7. “Mazingira.” Benki ya Dunia, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://data.worldbank.org/topic/environment (imefikia Mei 2, 2013).
8. “Tafuta Seti za data.” Roper Center: Maoni ya umma Archives, Chuo Kikuu cha Connecticut., 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.ropercenter.uconn.edu/data_access/data/search_for_datasets.html (imefikiwa Mei 2, 2013).

Mapitio

Mchoro wa mti hutumia matawi ili kuonyesha matokeo tofauti ya majaribio na hufanya maswali magumu ya uwezekano rahisi kutazama. Mchoro wa Venn ni picha ambayo inawakilisha matokeo ya majaribio. Kwa ujumla lina sanduku ambalo linawakilisha nafasi ya sampuli S pamoja na miduara au ovals. Miduara au ovals inawakilisha matukio. Mchoro Venn ni muhimu hasa kwa ajili ya taswira tukio OR, tukio AND, na inayosaidia ya tukio na kwa kuelewa probabilities masharti.

faharasa

Mchoro wa mti

muhimu Visual uwakilishi wa nafasi sampuli na matukio katika mfumo wa “mti” na matawi alama na matokeo iwezekanavyo pamoja na probabilities kuhusishwa (frequency, masafa jamaa)

Venn mchoro

uwakilishi wa kuona wa nafasi ya sampuli na matukio kwa namna ya miduara au ovals inayoonyesha makutano yao