3.5: Majedwali ya Dharura

Jedwali la dharura hutoa njia ya kuonyesha data ambayo inaweza kuwezesha kuhesabu probabilities. Jedwali husaidia katika kuamua uwezekano wa masharti kwa urahisi kabisa. Jedwali linaonyesha maadili ya sampuli kuhusiana na vigezo viwili tofauti ambavyo vinaweza kutegemeana au vinavyotegemea. Baadaye, tutatumia meza za dharura tena, lakini kwa namna nyingine.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Tuseme utafiti wa ukiukwaji kasi na madereva wanaotumia simu za mkononi zinazozalishwa zifuatazo data tamthiliya:

	Kasi ya ukiukaji katika mwaka jana	Hakuna ukiukwaji wa kasi katika mwaka jana	Jumla
Mtumiaji wa simu ya mkononi	25	280	305
Si mtumiaji wa simu ya mkononi	45	405	450
Jumla	70	685	755

Idadi ya watu katika sampuli ni 755. Jumla ya mstari ni 305 na 450. Jumla ya safu ni 70 na 685. Kumbuka kwamba 305 + 450 = 755 na 70 + 685 = 755.

Tumia probabilities zifuatazo kwa kutumia meza.

1. Kupata\(P(\text{Person is a cell phone user})\).
2. Kupata\(P(\text{person had no violation in the last year})\).
3. Kupata\(P(\text{Person had no violation in the last year AND was a cell phone user})\).
4. Kupata\(P(\text{Person is a cell phone user OR person had no violation in the last year})\).
5. Kupata\(P(\text{Person is a cell phone user GIVEN person had a violation in the last year})\).
6. Kupata\(P(\text{Person had no violation last year GIVEN person was not a cell phone user})\)

Jibu

1. \(\dfrac{\text{number of cell phone users}}{\text{total number in study}}\)=\(\dfrac{305}{755}\)
2. \(\dfrac{\text{number that had no violation}}{\text{total number in study}} = \dfrac{685}{755}\)
3. \(\dfrac{280}{755}\)
4. \(\left(\dfrac{305}{755} + \dfrac{685}{755}\right) - \dfrac{280}{755} = \dfrac{710}{755}\)
5. \(\dfrac{25}{70}\)(Nafasi ya sampuli imepungua kwa idadi ya watu waliokuwa na ukiukwaji.)
6. \(\dfrac{405}{450}\)(Nafasi ya sampuli imepungua kwa idadi ya watu ambao hawakuwa watumiaji wa simu za mkononi.)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Jedwali linaonyesha idadi ya wanariadha ambao kunyoosha kabla ya kutumia na wangapi walikuwa na majeraha ndani ya mwaka uliopita.

	Kuumia mwaka jana	Hakuna kuumia katika mwaka jana	Jumla
Inaweka	55	295	350
Je, si kunyoosha	231	219	450
Jumla	286	514	800

1. Ni nini\(P(\text{athlete stretches before exercising})\)?
2. Ni nini\(P(\text{athlete stretches before exercising|no injury in the last year})\)?

Jibu

1. \(P(\text{athlete stretches before exercising}) = \dfrac{350}{800} = 0.4375\)
2. \(P(\text{athlete stretches before exercising|no injury in the last year}) = \dfrac{295}{514} = 0.5739\)

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Jedwali linaonyesha sampuli ya random ya hikers 100 na maeneo ya hiking wanapendelea.

Hiking Area Upendeleo

Ngono	Uwanja wa Pwani	Karibu na Maziwa na Mito	juu ya milima Peaks	Jumla
Mwanamke	18	16	___	45
Kiume	___	___	14	55
Jumla	___	41	___	___

1. Jaza meza.
2. Je, matukio “kuwa kike” na “kupendelea pwani” matukio ya kujitegemea? Hebu F = kuwa kike na basi C = ikipendelea pwani.
   1. Pata P (F NA C).
   2. Pata P (F) P (C)
   3. Nambari hizi mbili ni sawa? Ikiwa ni, basi F na C ni huru. Ikiwa sio, basi F na C hazijitegemea.
3. Pata uwezekano kwamba mtu ni kiume kutokana na kwamba mtu anapendelea kutembea karibu na maziwa na mito. Hebu\(\text{M} =\) kuwa kiume, na waache\(\text{L} =\) wanapendelea kutembea karibu na maziwa na mito.
   1. Neno gani linakuambia hii ni masharti?
   2. Jaza vifungo na uhesabu uwezekano:\(P\) (___|___) = ___.
   3. Je sampuli nafasi kwa tatizo hili wote 100 hikers? Ikiwa sio, ni nini?
4. Pata uwezekano kwamba mtu ni mwanamke au anapendelea kutembea kwenye kilele cha mlima. Hebu\(\text{F} =\) kuwa kike, na basi\(\text{P} =\) unapendelea milima ya mlima.
   1. Kupata\(P(\text{F})\).
   2. Kupata\(P(\text{P})\).
   3. Kupata\(P(\text{F AND P})\).
   4. Kupata\(P(\text{F OR P})\).

Jibu s

a.

Hiking Area Upendeleo

Ngono	Uwanja wa Pwani	Karibu na Maziwa na Mito	juu ya milima Peaks	Jumla
Mwanamke	18	16	11	45
Kiume	16	25	14	55
Jumla	34	41	25	100

b.

\(P(\text{F AND C}) = \dfrac{18}{100} = 0.18\)

\(P(\text{F})P(\text{C}) = \left(\dfrac{45}{100}\right) \left(\dfrac{34}{100}\right) = (0.45)(0.34) = 0.153\)

\(P(\text{F AND C}) \neq P(\text{F})P(\text{C})\), hivyo matukio\(\text{F}\) na\(\text{C}\) si huru.

c.

1. Neno 'aliyopewa' linakuambia kwamba hii ni masharti.
2. \(P(\text{M|L}) = \dfrac{25}{41}\)
3. Hapana, nafasi ya sampuli ya tatizo hili ni 41 hikers ambao wanapendelea maziwa na mito.

d.

1. Kupata\(P(\text{F})\).
2. Kupata\(P(\text{P})\).
3. Kupata\(P(\text{F AND P})\).
4. Kupata\(P(\text{F OR P})\).

d.

1. \(P(\text{F}) = \dfrac{45}{100}\)
2. \(P(\text{P}) = \dfrac{25}{100}\)
3. \(P(\text{F AND P}) = \dfrac{11}{100}\)
4. \(P(\text{F OR P}) = \dfrac{45}{100} + \dfrac{25}{100} - \dfrac{11}{100} = \dfrac{59}{100}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Jedwali linaonyesha sampuli random ya 200 baiskeli na njia wanapendelea. Waache\(\text{M} =\) wanaume na njia\(\text{H} =\) ya vilima.

Jinsia	Njia ya Ziwa	Njia ya vilima	Njia ya misitu	Jumla
Mwanamke	45	38	27	110
Kiume	26	52	12	90
Jumla	71	90	39	200

1. Kati ya wanaume, ni uwezekano gani kwamba cyclist anapendelea njia ya hilly?
2. Je! Matukio “kuwa kiume” na “kupendelea njia ya hilly” matukio ya kujitegemea?

Jibu

1. P (H | M)\(\dfrac{52}{90}\) = 0.5778
2. Kwa M na H kuwa huru, onyesha P (H | M) = P (H)
   P (H | M) = 0.5778, P (H)\(\dfrac{90}{200}\) = 0.45
   P (H | M) haina sawa P (H) hivyo M na H hazijitegemea.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Mouse ya Muddy anaishi katika ngome yenye milango mitatu. Kama Muddy anatoka mlango wa kwanza, uwezekano kwamba anapata hawakupata na Alissa paka ni\(\dfrac{1}{5}\) na uwezekano yeye si hawakupata ni\(\dfrac{4}{5}\). Kama anatoka nje ya mlango wa pili, uwezekano anapata hawakupata na Alissa ni\(\dfrac{1}{4}\) na uwezekano yeye si hawakupata ni\(\dfrac{3}{4}\). uwezekano kwamba Alissa upatikanaji wa samaki Muddy kutoka nje ya mlango wa tatu ni\(\dfrac{1}{2}\) na uwezekano yeye hana kupata Muddy ni\(\dfrac{1}{2}\). Inawezekana pia kwamba Muddy atachagua milango yoyote mitatu, hivyo uwezekano wa kuchagua kila mlango ni\(\dfrac{1}{3}\).

Mlango Choice

Hawakupata au si	Mlango mmoja	mlango mbili	Mlango wa tatu	Jumla
Hawakupata	\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{1}{12}\)	\(\dfrac{1}{6}\)	____
si hawakupata	\(\dfrac{4}{15}\)	\(\dfrac{3}{12}\)	\(\dfrac{1}{6}\)	____
Jumla	____	____	____	1

• Kuingia kwanza\(\dfrac{1}{15} = \left(\dfrac{1}{5}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right)\) ni\(P(\text{Door One AND Caught})\)
• Kuingia\(\dfrac{4}{15} = \left(\dfrac{4}{5}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right)\) ni\(P(\text{Door One AND Not Caught})\)

Thibitisha entries iliyobaki.

1. Kukamilisha uwezekano meza ya dharura. Tumia maingizo ya jumla. Thibitisha kwamba kuingia kona ya chini ya kulia ni 1.
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba Alissa haipati Muddy?
3. Je! Ni uwezekano gani kwamba Muddy huchagua Mlango mmoja AU Mlango Mbili kutokana na kwamba Muddy hupatikana na Alissa?

Suluhisho

Mlango Choice

Hawakupata au si	Mlango mmoja	mlango mbili	Mlango wa tatu	Jumla
Hawakupata	\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{1}{12}\)	\(\dfrac{1}{6}\)	\(\dfrac{19}{60}\)
si hawakupata	\(\dfrac{4}{15}\)	\(\dfrac{3}{12}\)	\(\dfrac{1}{6}\)	\(\dfrac{41}{60}\)
Jumla	\(\dfrac{5}{15}\)	\(\dfrac{4}{12}\)	\(\dfrac{2}{6}\)	1

b.\(\dfrac{41}{60}\)

c.\(\dfrac{9}{19}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Jedwali lina idadi ya uhalifu kwa wakazi 100,000 kutoka 2008 hadi 2011 nchini Marekani

Viwango vya Index ya Uhalifu wa Marekani Kwa Wakazi 100,000 2008-2011

Mwaka	Wizi	uvunjaji	Ubakaji	Gari	Jumla
2008	145.7	732.1	29.7	314.7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119.3	701	27.7	239.1
2011	113.7	702.2	26.8	229.6
Jumla

JUMLA kila safu na kila mstari. Jumla ya data = 4,520.7

1. Kupata\(P(\text{2009 AND Robbery})\).
2. Kupata\(P(\text{2010 AND Burglary})\).
3. Kupata\(P(\text{2010 OR Burglary})\).
4. Kupata\(P(\text{2011|Rape})\).
5. Kupata\(P(\text{Vehicle|2008})\).

Jibu

a. 0.0294, b. 0.1551, c 0.7165, d. 0.2365, e 0.2575

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Jedwali linahusiana uzito na urefu wa kundi la watu binafsi kushiriki katika utafiti wa uchunguzi.

Uzito/Urefu	mrefu	Kati	Short	Jumla
Feta	18	28	14
Kawaida	20	51	28
Uzito wa chini	12	25	9
Jumla

1. Pata jumla ya kila mstari na safu
2. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Tall.
3. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Feta na Tall.
4. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Tall kutokana na kwamba mtu binafsi ni Feta.
5. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Feta kutokana na kwamba mtu binafsi ni Tall.
6. Kupata uwezekano nasibu waliochaguliwa mtu binafsi kutoka kundi hili ni Tall na Underweight.
7. Je matukio Feta na Tall huru?

Jibu

Uzito/Urefu	mrefu	Kati	Short	Jumla
Feta	18	28	14	60
Kawaida	20	51	28	99
Uzito wa chini	12	25	9	46
Jumla	50	104	51	205

1. Row Jumla: 60, 99, 46. Jumla ya safu: 50, 104, 51.
2. \(P(\text{Tall}) = \dfrac{50}{205} = 0.244\)
3. \(P(\text{Obese AND Tall}) = \dfrac{18}{205} = 0.088\)
4. \(P(\text{Tall|Obese}) = \dfrac{18}{60} = 0.3\)
5. \(P(\text{Obese|Tall}) = \dfrac{18}{50} = 0.36\)
6. \(P(\text{Tall AND Underweight}) = \dfrac{12}{205} = 0.0585\)
7. Hapana. \(P(\text{Tall})\)si sawa\(P(\text{Tall|Obese})\).

Marejeo

1. “Aina za damu.” Msalaba Mweusi wa Marekani, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.redcrossblood.org/learn-a... od/blood-types (kupatikana Mei 3, 2013).
2. Takwimu kutoka Kituo cha Taifa cha Takwimu za Afya, sehemu ya Idara ya Afya na Huduma za Binadamu ya Marekani.
3. Takwimu kutoka Marekani Seneti. Inapatikana mtandaoni kwenye www.senate.gov (imefikia Mei 2, 2013).
4. Haiman, Christopher A., Daniel O. Stram, Lynn R. Wilkens, Malcom C. Pike, Laurence N. Kolonel, Brien E. Henderson, na Loīc Le Marchand. “Tofauti za kikabila na rangi katika Hatari inayohusiana na Sigara ya Saratani ya Mapafu.” New England Journal of Medicine, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (imefikia Mei 2, 2013).
5. “Aina za damu za Binadamu.” Unite damu Services, 2011. Inapatikana mtandaoni kwenye www.Unitedbloodservices.org/Learnmore.aspx (imefikia Mei 2, 2013).
6. Samuel, T. M. “Mambo ya ajabu kuhusu damu mbaya ya RH.” eHow Afya, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.ehow.com/facts_5552003_st... ive-blood.html (imefikia Mei 2, 2013).
7. “Marekani: Ripoti ya Uhalifu Sare — Takwimu za Serikali kutoka 1960—2011.” Kituo cha Maafa. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.disastercenter.com/crime/ (imefikia Mei 2, 2013).

Mapitio

Kuna zana kadhaa ambazo unaweza kutumia ili kusaidia kuandaa na kutatua data wakati wa kuhesabu probabilities. Jedwali la dharura husaidia kuonyesha data na ni muhimu hasa wakati wa kuhesabu probabilities ambazo zina vigezo vingi vya tegemezi.

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi manne ijayo. Jedwali linaonyesha sampuli ya random ya wanamuziki na jinsi walivyojifunza kucheza vyombo vyao.

Jinsia	Kujifunza	Alisoma katika Shule	Maelekezo ya kibinafsi	Jumla
Mwanamke	12	38	22	72
Kiume	19	24	15	58
Jumla	31	62	37	130

Zoezi 3.5.4

Kupata P (mwanamuziki ni mwanamke).

Zoezi 3.5.5

Kupata\(P(\text{musician is a male AND had private instruction})\).

Jibu

\(P(\text{musician is a male AND had private instruction}) = \dfrac{15}{130} = \dfrac{3}{26} = 0.12\)

Zoezi 3.5.6

Kupata P (mwanamuziki ni mwanamke AU ni binafsi kufundishwa).

Zoezi 3.5.7

Je, matukio “kuwa mwanamuziki wa kike” na “kujifunza muziki shuleni” matukio ya kipekee?

Jibu

Matukio sio ya kipekee. Inawezekana kuwa mwanamuziki wa kike aliyejifunza muziki shuleni.

Kuleta Pamoja

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi saba ijayo. Makala katika New England Journal of Medicine, iliripoti kuhusu utafiti wa wavuta sigara huko California na Hawaii. Katika sehemu moja ya ripoti hiyo, viwango vya ukabila na uvutaji sigara kwa siku vilipewa. Kati ya watu wanaovuta sigara kumi zaidi kwa siku, kulikuwa na Wamarekani wa Afrika 9,886, 2,745 Wenyeji wa Hawaii, Walatini 12,831, Wamarekani wa Kijapani 8,378, na Wazungu 7,650. Kati ya watu wanaovuta sigara 11 hadi 20 kwa siku, kulikuwa na Wamarekani wa Afrika 6,514, 3,062 Wenyeji wa Hawaii, Kilatini 4,932, Wamarekani wa Kijapani 10,680, na Wazungu 9,877. Kati ya watu wanaovuta sigara 21 hadi 30 kwa siku, kulikuwa na Wamarekani Waafrika 1,671, 1,419 Wenyeji wa Hawaii, 1,406 Kilatini, 4,715 Wamarekani wa Kijapani, na wazungu 6,062. Kati ya watu wanaovuta sigara angalau 31 kwa siku, kulikuwa na Wamarekani Waafrika 759, 788 Wenyeji wa Hawaii, Walatini 800, 2,305 Wamarekani wa Kijapani, na wazungu 3,970.

Zoezi 3.5.8

Jaza meza kwa kutumia data iliyotolewa. Tuseme kwamba mtu mmoja kutoka kwenye utafiti anachaguliwa kwa nasibu. Pata uwezekano kwamba mtu huvuta sigara 11 hadi 20 kwa siku.

Ngazi Sigara kwa Ukabila

Sigara Ngazi	Mmarekani wa Afrika	asili ya Hawaii	Latino	Kijapani Wam	Nyeupe	JUMLA
1—10
11—20
21—30
31+
JUMLA

Zoezi 3.5.9

Tuseme kwamba mtu mmoja kutoka kwenye utafiti anachaguliwa kwa nasibu. Pata uwezekano kwamba mtu huvuta sigara 11 hadi 20 kwa siku.

Jibu

\(\dfrac{35,065}{100,450}\)

Zoezi 3.5.10

Kupata uwezekano kwamba mtu alikuwa Latino.

Zoezi 3.5.11

Kwa maneno, kuelezea nini maana ya kuchukua mtu mmoja kutoka kwenye utafiti ambaye ni “Kijapani Amerika na anavuta sigara 21 hadi 30 kwa siku.” Pia, pata uwezekano.

Jibu

Kuchukua mtu mmoja kutoka kwenye utafiti ambaye ni Kijapani, Marekani na anavuta sigara 21 hadi 30 kwa siku ina maana kwamba mtu anapaswa kukidhi vigezo vyote viwili: wote wa Kijapani, Marekani na huvuta sigara 21 hadi 30. Nafasi ya sampuli inapaswa kujumuisha kila mtu katika utafiti. Uwezekano ni\(\dfrac{4,715}{100,450}\).

Zoezi 3.5.12

Kwa maneno, kuelezea nini maana ya kuchukua mtu mmoja kutoka kwenye utafiti ambaye ni “Kijapani Amerika au anavuta sigara 21 hadi 30 kwa siku.” Pia, pata uwezekano.

Zoezi 3.5.13

Kwa maneno, kueleza nini maana ya kuchukua mtu mmoja kutoka utafiti ambaye ni “Kijapani American GIVEN mtu huyo anavuta sigara 21 hadi 30 kwa siku.” Pia, pata uwezekano.

Jibu

Kuchukua mtu mmoja kutoka kwenye utafiti ambaye ni Kijapani wa Marekani kutokana na mtu huyo anavuta sigara 21-30 kwa siku, inamaanisha kwamba mtu lazima atimize vigezo vyote na nafasi ya sampuli imepunguzwa kwa wale wanaovuta sigara 21-30 kwa siku. Uwezekano ni\(\dfrac{4,715}{15,273}\).

Zoezi 3.5.14

Thibitisha kwamba kiwango cha sigara/siku na ukabila ni matukio tegemezi.

faharasa

meza ya dharura

njia ya kuonyesha usambazaji wa mzunguko kama meza na safu na nguzo ili kuonyesha jinsi vigezo viwili vinaweza kutegemea (kikosi) juu ya kila mmoja; meza hutoa njia rahisi ya kuhesabu uwezekano wa masharti.