3.4: Kanuni mbili za Msingi za Uwezekano

Wakati wa kuhesabu uwezekano, kuna sheria mbili za kuzingatia wakati wa kuamua kama matukio mawili yanajitegemea au yanategemea na ikiwa ni ya kipekee au la.

Utawala wa Kuzidisha

Ikiwa A na B ni matukio mawili yaliyoelezwa kwenye nafasi ya sampuli, basi:

\[P(A \text{ AND } B) = P(B)P(A|B) \label{eq1}\]

Sheria hii pia inaweza kuandikwa kama:

\[P(A|B) = \dfrac{P(A \text{ AND } B)}{P(B)} \nonumber\]

(Uwezekano wa\(A\) kupewa\(B\) sawa na uwezekano wa\(A\) na\(B\) kugawanywa na uwezekano wa\(B\).)

Ikiwa\(A\) na\(B\) ni huru, basi

\[P(A|B) = P(A). \nonumber\]

na Equation\ ref {eq1} inakuwa

\[P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B). \nonumber\]

Utawala wa Kuongeza

Ikiwa A na B hufafanuliwa kwenye nafasi ya sampuli, basi:

\[P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ AND } B) \label{eq5}\]

Ikiwa A na B ni ya kipekee, basi

\[P(A \text{ AND } B) = 0. \nonumber\]

na Equation\ ref {eq5} inakuwa

\[P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B). \nonumber\]

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Klaus anajaribu kuchagua wapi kwenda likizo. Uchaguzi wake wawili ni:\(\text{A} = \text{New Zealand}\) na\(\text{B} = \text{Alaska}\).

• Klaus anaweza tu kumudu likizo moja. Uwezekano kwamba anachagua\(\text{A}\) ni\(P(\text{A}) = 0.6\) na uwezekano kwamba anachagua\(\text{B}\) ni\(P(\text{B}) = 0.35\).
• \(P(\text{A AND B}) = 0\)kwa sababu Klaus anaweza tu kumudu kuchukua likizo moja
• Kwa hiyo, uwezekano kwamba anachagua ama New Zealand au Alaska ni\(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) = 0.6 + 0.35 = 0.95\). Kumbuka kwamba uwezekano kwamba hachagua kwenda popote likizo lazima uwe 0.05.

Carlos anacheza soka chuo. Yeye hufanya lengo 65% ya muda yeye shina. Carlos ni kwenda kujaribu malengo mawili mfululizo katika mchezo ujao. \(\text{A} =\)tukio Carlos ni mafanikio katika jaribio lake la kwanza. \(P(\text{A}) = 0.65\). \(\text{B} =\)tukio Carlos ni mafanikio katika jaribio lake la pili. \(P(\text{B}) = 0.65\). Carlos huelekea risasi katika Streaks. Uwezekano kwamba anafanya bao la pili kutokana na kwamba alifanya bao la kwanza ni 0.90.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba anafanya malengo yote mawili?
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba Carlos hufanya lengo la kwanza au lengo la pili?
3. Je\(\text{A}\), ni\(\text{B}\) huru?
4. Je,\(\text{A}\) na\(\text{B}\) pande ya kipekee?

Solutions

a. tatizo ni kuuliza wewe kupata\(P(\text{A AND B}) = P(\text{B AND A})\). Tangu\(P(\text{B|A}) = 0.90: P(\text{B AND A}) = P(\text{B|A}) P(\text{A}) = (0.90)(0.65) = 0.585\)

Carlos hufanya malengo ya kwanza na ya pili na uwezekano 0.585.

b. tatizo ni kuuliza wewe kupata\(P(\text{A OR B})\).

\[P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A AND B}) = 0.65 + 0.65 - 0.585 = 0.715\]

Carlos hufanya ama bao la kwanza au lengo la pili na uwezekano 0.715.

c Hapana, sio, kwa sababu\(P(\text{B AND A}) = 0.585\).

\[P(\text{B})P(\text{A}) = (0.65)(0.65) = 0.423\]

\[0.423 \neq 0.585 = P(\text{B AND A})\]

Hivyo,\(P(\text{B AND A})\) si sawa na\(P(\text{B})P(\text{A})\).

d. hapana, wao si kwa sababu\(P(\text{A and B}) = 0.585\).

Ili kuwa ya kipekee,\(P(\text{A AND B})\) lazima iwe sawa na sifuri.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Helen ana mpira wa kikapu Kwa bure throws, yeye hufanya risasi 75% ya muda. Helen lazima sasa kujaribu mbili bure throws. \(\text{C} =\)tukio ambalo Helen hufanya risasi ya kwanza. \(P(\text{C}) = 0.75\). \(\text{D} =\)tukio Helen inafanya risasi ya pili. \(P(\text{D}) = 0.75\). Uwezekano kwamba Helen hufanya pili bure kutupa kutokana na kwamba yeye alifanya kwanza ni 0.85. Je, ni uwezekano kwamba Helen hufanya wote bure throws?

Jibu

\[P(\text{D|C}) = 0.85\]

\[P(\text{C AND D}) = P(\text{D AND C})\]

\[P(\text{D AND C}) = P(\text{D|C})P(\text{C}) = (0.85)(0.75) = 0.6375\]

Helen inafanya kwanza na ya pili bure throws na uwezekano 0.6375.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Timu ya kuogelea jamii ina wanachama 150. Wanachama sabini na tano ni waogeleaji wa juu. Wanachama arobaini na saba ni waogeleaji wa kati. Salio ni waogeleaji wa novice. Arobaini ya waogeleaji wa juu hufanya mazoezi mara nne kwa wiki. Thelathini ya waogeleaji wa kati hufanya mara nne kwa wiki. Kumi ya waogeleaji wa novice hufanya mara nne kwa wiki. Tuseme mwanachama mmoja wa timu ya kuogelea amechaguliwa nasibu.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanachama ni mwogeleaji wa novice?
2. Ni uwezekano gani kwamba mwanachama hufanya mara nne kwa wiki?
3. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanachama ni mwogeleaji wa juu na hufanya mara nne kwa wiki?
4. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanachama ni mwogeleaji wa juu na mwogeleaji wa kati? Je, ni kuwa mwogeleaji wa juu na mwogeleaji wa kati wa pekee? Kwa nini au kwa nini?
5. Je, ni kuwa mwogeleaji wa novice na kufanya mazoezi mara nne kwa wiki matukio ya kujitegemea? Kwa nini au kwa nini?

Jibu

1. \(\dfrac{28}{150}\)
2. \(\dfrac{80}{150}\)
3. \(\dfrac{40}{150}\)
4. \(P(\text{advanced AND intermediate}) = 0\), hivyo haya ni matukio ya kipekee. Mwogeleaji hawezi kuwa mwogeleaji wa juu na mwogeleaji wa kati kwa wakati mmoja.
5. Hapana, haya sio matukio ya kujitegemea. \[P(\text{novice AND practices four times per week}) = 0.0667\]\[P(\text{novice})P(\text{practices four times per week}) = 0.0996\]\[0.0667 \neq 0.0996\]

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Shule ina wazee 200 ambao 140 wataenda chuo mwaka ujao. Arobaini itakuwa kwenda moja kwa moja kufanya kazi. Salio ni kuchukua mwaka pengo. Hamsini ya wazee kwenda chuo kucheza michezo. Thelathini ya wazee kwenda moja kwa moja na kazi kucheza michezo. Tano ya wazee kuchukua pengo mwaka kucheza michezo. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwandamizi anachukua mwaka wa pengo?

Jibu

\[P = \dfrac{200-140-40}{200} = \dfrac{20}{200} = 0.1\]

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Felicity anahudhuria Modesto JC huko Modesto, CA. Uwezekano kwamba Felicity anajiandikisha katika darasa la hesabu ni 0.2 na uwezekano kwamba anajiandikisha katika darasa la hotuba ni 0.65. Uwezekano kwamba yeye anajiandikisha katika darasa la hesabu kutokana na kwamba anajiandikisha katika darasa la hotuba ni 0.25.

Hebu: darasa la\(\text{M} =\) math, darasa la\(\text{S} =\) hotuba, hotuba iliyotolewa na\(\text{M|S} =\) math

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba Felicity hujiandikisha katika hesabu na hotuba?
   Kupata\(P(\text{M AND S}) = P(\text{M|S})P(\text{S})\).
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba Felicity hujiandikisha katika madarasa ya math au hotuba?
   Kupata\(P(\text{M OR S}) = P(\text{M}) + P(\text{S}) - P(\text{M AND S})\).
3. Je\(\text{M}\), ni\(\text{S}\) huru? Je, ni\(P(\text{M|S}) = P(\text{M})\)?
4. Je,\(\text{M}\) na\(\text{S}\) pande ya kipekee? Je, ni\(P(\text{M AND S}) = 0\)?

Jibu

a. 0.1625, b. 0.6875, c Hapana, d. hapana

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Mwanafunzi huenda kwenye maktaba. Hebu matukio\(\text{B} =\) mwanafunzi hundi nje kitabu\(\text{D} =\) na mwanafunzi angalia DVD. Tuseme kwamba\(P(\text{B}) = 0.40, P(\text{D}) = 0.30\) na\(P(\text{D|B}) = 0.5\).

1. Kupata\(P(\text{B AND D})\).
2. Kupata\(P(\text{B OR D})\).

Jibu

1. \(P(\text{B AND D}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = (0.5)(0.4) = 0.20\).
2. \(P(\text{B OR D}) = P(\text{B}) + P(\text{D}) − P(\text{B AND D}) = 0.40 + 0.30 − 0.20 = 0.50\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Uchunguzi unaonyesha kuwa karibu mwanamke mmoja kati ya saba (takriban 14.3%) anayeishi kuwa 90 atakuwa na saratani ya matiti. Tuseme kwamba wa wanawake hao ambao huendeleza saratani ya matiti, mtihani ni hasi 2% ya wakati. Pia tuseme kuwa katika idadi ya wanawake, mtihani wa saratani ya matiti ni hasi kuhusu 85% ya wakati. Hebu\(\text{B} =\) mwanamke anaendelea saratani ya matiti na kuruhusu\(\text{N} =\) vipimo vibaya. Tuseme mwanamke mmoja anachaguliwa kwa random.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke anaendelea saratani ya matiti? Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke anajaribu hasi?
2. Kutokana na kwamba mwanamke ana saratani ya matiti, ni uwezekano gani kwamba anajaribu hasi?
3. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke ana saratani ya matiti na hujaribu hasi?
4. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke ana saratani ya matiti au vipimo vibaya?
5. Je, ni kuwa na saratani ya matiti na kupima matukio hasi huru?
6. Ni kuwa na saratani ya matiti na kupima hasi pande kipekee?

Majibu

1. \(P(\text{B}) = 0.143; P(\text{N}) = 0.85\)
2. \(P(\text{N|B}) = 0.02\)
3. \(P(\text{B AND N}) = P(\text{B})P(\text{N|B}) = (0.143)(0.02) = 0.0029\)
4. \(P(\text{B OR N}) = P(\text{B}) + P(\text{N}) - P(\text{B AND N}) = 0.143 + 0.85 - 0.0029 = 0.9901\)
5. Hapana. \(P(\text{N}) = 0.85; P(\text{N|B}) = 0.02\). Hivyo,\(P(\text{N|B})\) si sawa\(P(\text{N})\).
6. Hapana. \(P(\text{B AND N}) = 0.0029\). Kwa\(\text{B}\) na\(\text{N}\) kuwa pande kipekee,\(P(\text{B AND N})\) lazima sifuri

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Shule ina wazee 200 ambao 140 wataenda chuo mwaka ujao. Arobaini itakuwa kwenda moja kwa moja kufanya kazi. Salio ni kuchukua mwaka pengo. Hamsini ya wazee kwenda chuo kucheza michezo. Thelathini ya wazee kwenda moja kwa moja na kazi kucheza michezo. Tano ya wazee kuchukua pengo mwaka kucheza michezo. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwandamizi anaenda chuo na anacheza michezo?

Jibu

Hebu\(\text{A} =\) mwanafunzi ni mwandamizi kwenda chuo kikuu.

Hebu\(\text{B} =\) mwanafunzi anacheza michezo.

\(P(\text{B}) = \dfrac{140}{200}\)

\(P(\text{B|A}) = \dfrac{50}{140}\)

\(P(\text{A AND B}) = P(\text{B|A})P(\text{A})\)

\(P(\text{A AND B}) = (\dfrac{140}{200}\)) (\(\dfrac{50}{140}) = \dfrac{1}{4}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Rejea habari katika Mfano\(\PageIndex{4}\). \(\text{P} =\)vipimo chanya.

1. Kutokana na kwamba mwanamke anaendelea saratani ya matiti, ni uwezekano gani kwamba anachunguza chanya. Kupata\(P(\text{P|B}) = 1 - P(\text{N|B})\).
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke anaendelea saratani ya matiti na vipimo vyema. Kupata\(P(\text{B AND P}) = P(\text{P|B})P(\text{B})\).
3. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke hawezi kuendeleza saratani ya matiti. Kupata\(P(\text{B′}) = 1 - P(\text{B})\).
4. Je! Ni uwezekano gani kwamba mwanamke anajaribu chanya kwa saratani ya matiti. Kupata\(P(\text{P}) = 1 - P(\text{N})\).

Jibu

a. 0.98; b. 0.1401; c 0.857; d. 0.15

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Mwanafunzi huenda kwenye maktaba. Hebu matukio\(\text{B} =\) mwanafunzi hundi nje kitabu na\(\text{D} =\) mwanafunzi hundi nje DVD. Tuseme kwamba\(P(\text{B}) = 0.40, P(\text{D}) = 0.30\) na\(P(\text{D|B}) = 0.5\).

1. Kupata\(P(\text{B′})\).
2. Kupata\(P(\text{D AND B})\).
3. Kupata\(P(\text{B|D})\).
4. Kupata\(P(\text{D AND B′})\).
5. Kupata\(P(\text{D|B′})\).

Jibu

1. \(P(\text{B′}) = 0.60\)
2. \(P(\text{D AND B}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = 0.20\)
3. \(P(\text{B|D}) = \dfrac{P(\text{B AND D})}{P(\text{D})} = \dfrac{(0.20)}{(0.30)} = 0.66\)
4. \(P(\text{D AND B′}) = P(\text{D}) - P(\text{D AND B}) = 0.30 - 0.20 = 0.10\)
5. \(P(\text{D|B′}) = P(\text{D AND B′})P(\text{B′}) = (P(\text{D}) - P(\text{D AND B}))(0.60) = (0.10)(0.60) = 0.06\)

Marejeo

1. DiCamillo, Mark, Mervin Field. “Uchaguzi wa Faili.” Shamba Utafiti Corporation. Inapatikana mtandaoni kwenye www.field.com/fieldpollonline... rs/Rls2443.pdf (imefikia Mei 2, 2013).
2. Rider, David, “Ford msaada kushuka, uchaguzi unaonyesha,” Star, Septemba 14, 2011. Inapatikana mtandaoni kwenye www.thestar.com/news/gta/2011... _suggests.html (imefikia Mei 2, 2013).
3. “Meya wa Idhini Down.” Habari Release na Forum Research Inc Inpatikana mtandaoni kwenye www.forumresearch.com/forms/News Archives/Habari Releases/74209_TO_ISSUES_-__MAYORAL_APPROVAL_%28forum_research% 29% 2820130320% 29.pdf (imefikia Mei 2, 2013).
4. “Roulette.” Wikipedia. Inapatikana mtandaoni kwenye http://en.Wikipedia.org/wiki/Roulette (imefikia Mei 2, 2013).
5. Shin, Hyon B., Robert A. “Matumizi ya lugha nchini Marekani: 2007.” Ofisi ya Sensa ya Marekani. Inapatikana mtandaoni kwenye www.census.gov/hhes/socdemo/l... acs/ACS-12.pdf (imefikia Mei 2, 2013).
6. Takwimu kutoka Baseball-Almanac, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.baseball-almanac.com (imefikia Mei 2, 2013).
7. Takwimu kutoka Ofisi ya Sensa ya Marekani.
8. Takwimu kutoka Wall Street Journal.
9. Takwimu kutoka Kituo cha Roper: Archives ya Maoni ya Umma katika Chuo Kikuu cha Conn Inapatikana mtandaoni kwenye www.ropercenter.uconn.edu/ (imefikiwa Mei 2, 2013).
10. Takwimu kutoka Shamba Utafiti Corporation. Inapatikana mtandaoni kwenye www.field.com/fieldpollonline (kupatikana Mei 2,2 013).

Mapitio

Utawala wa kuzidisha na utawala wa kuongeza hutumiwa kwa kompyuta uwezekano wa\(\text{A}\) na\(\text{B}\), pamoja na uwezekano wa\(\text{A}\) au\(\text{B}\) kwa matukio mawili yaliyotolewa\(\text{A}\),\(\text{B}\) hufafanuliwa kwenye nafasi ya sampuli. Katika sampuli na uingizwaji kila mwanachama wa idadi ya watu hubadilishwa baada ya kuchukuliwa, ili mwanachama huyo ana uwezekano wa kuchaguliwa zaidi ya mara moja, na matukio yanachukuliwa kuwa huru. Katika sampuli bila uingizwaji, kila mwanachama wa idadi ya watu anaweza kuchaguliwa mara moja tu, na matukio yanachukuliwa kuwa si huru. matukio\(\text{A}\) na\(\text{B}\) ni matukio pande kipekee wakati hawana matokeo yoyote kwa pamoja.

Mapitio ya Mfumo

Utawala wa kuzidisha:\(P(\text{A AND B}) = P(\text{A|B})P(\text{B})\)

Utawala wa kuongeza:\(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A AND B})\)

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi kumi ijayo. Asilimia arobaini na nane ya California wote waliosajiliwa wapiga kura wanapendelea maisha gerezani bila parole juu ya adhabu ya kifo kwa mtu na hatia ya mauaji ya shahada ya kwanza Miongoni mwa wapiga kura waliosajiliwa Latino California, 55% wanapendelea maisha gerezani bila parole juu ya adhabu ya kifo kwa mtu aliyehukumiwa mauaji ya shahada ya kwanza. 37.6% za Wakalifornia wote ni Latino.

Katika tatizo hili, hebu:

• \(\text{C} =\)Californians (wapiga kura waliosajiliwa) wakipendelea maisha gerezani bila parole juu ya adhabu ya kifo kwa mtu aliyehukumiwa na mauaji ya shahada ya kwanza.
• \(\text{L} =\)Wakalifornia wa Latino

Tuseme kwamba California moja huchaguliwa kwa nasibu.

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Kupata\(P(\text{C})\).

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Kupata\(P(\text{L})\).

Jibu

0.376

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Kupata\(P(\text{C|L})\).

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Kwa maneno, ni nini\(\text{C|L}\)?

Jibu

\(\text{C|L}\)njia, kutokana na mtu aliyechaguliwa ni Latino Californian, mtu ni wapiga kura waliosajiliwa ambaye anapendelea maisha gerezani bila parole kwa mtu na hatia ya mauaji ya shahada ya kwanza.

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Kupata\(P(\text{L AND C})\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Kwa maneno, ni nini\(\text{L AND C}\)?

Jibu

\(\text{L AND C}\)ni tukio ambalo mtu kuchaguliwa ni Latino California amesajiliwa wapiga kura ambaye anapendelea maisha bila parole juu ya adhabu ya kifo kwa mtu na hatia ya mauaji ya shahada ya kwanza.

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Je,\(\text{L}\) na matukio ya\(\text{C}\) kujitegemea? Onyesha kwa nini au kwa nini.

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Kupata\(P(\text{L OR C})\).

Jibu

0.6492

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Kwa maneno, ni nini\(\text{L OR C}\)?

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Je\(\text{L}\), na matukio ya\(\text{C}\) kipekee? Onyesha kwa nini au kwa nini.

Jibu

Hapana, kwa sababu\(P(\text{L AND C})\) si sawa 0.

faharasa

Matukio ya kujitegemea

Tukio la tukio moja halina athari juu ya uwezekano wa tukio la tukio lingine. Matukio\(\text{A}\) na\(\text{B}\) ni huru kama moja ya yafuatayo ni kweli:

1. \(P(\text{A|B}) = P(\text{A})\)
2. \(P(\text{B|A}) = P(\text{B})\)
3. \(P(\text{A AND B}) = P(\text{A})P(\text{B})\)

Pande Exclusive

Matukio mawili ni ya kipekee ikiwa uwezekano kwamba wote hutokea kwa wakati mmoja ni sifuri. Ikiwa matukio\(\text{A}\) na\(\text{B}\) ni ya kipekee, basi\(P(\text{A AND B}) = 0\).