10.4: Kutatua Maombi yaliyotokana na Ulinganisho wa Quadratic

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Kutatua maombi inatokana na Quadratic Equations

Kuwa tayari

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

1. Jumla ya namba mbili za mfululizo isiyo ya kawaida ni -100. Kupata idadi.
   Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
2. Eneo la mural ya triangular ni futi za mraba 64. Msingi ni miguu 16. Pata urefu.
   Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
3. Pata urefu wa hypotenuse ya pembetatu ya kulia na miguu 5 inchi na inchi 12.
   Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

Tatua Matumizi ya Mfumo wa Quadratic

Tulitatua baadhi ya programu ambazo zinatokana na equations quadratic mapema, wakati njia pekee tuliyopaswa kutatua ilikuwa factoring. Sasa kwa kuwa tuna mbinu zaidi za kutatua usawa wa quadratic, tutaangalia tena programu. Ili kutuanzisha, tutaiga nakala ya Mkakati wetu wa kawaida wa kutatua matatizo hapa ili tuweze kufuata hatua.

Ufafanuzi: TUMIA MKAKATI WA kutatua tatizo

1. Soma tatizo. Hakikisha maneno yote na mawazo yanaeleweka.
2. Tambua kile tunachotafuta.
3. Jina kile tunachotafuta. Chagua variable kuwakilisha kiasi hicho.
4. Tafsiri katika equation. Inaweza kuwa na manufaa kurejesha tatizo katika sentensi moja na taarifa zote muhimu. Kisha, tafsiri sentensi ya Kiingereza kwenye equation ya algebra.
5. Kutatua equation kutumia mbinu nzuri algebra.
6. Angalia jibu katika tatizo na uhakikishe kuwa ni busara.
7. Jibu swali kwa sentensi kamili.

Sisi kutatuliwa maombi ya idadi ambayo kushiriki mfululizo hata integers na integers mfululizo isiyo ya kawaida kwa modeling hali na equations linear. Kumbuka, tumeona kila integer hata ni 2 zaidi ya idadi iliyotangulia. Ikiwa tunaita kwanza n, basi ijayo ni\(n+2\). The next one would be \(n+2+2\) or \(n+4\). This is also true when we use odd integers. One set of even integers and one set of odd integers are shown below.

\[\begin{array}{cccc} {}&{\textbf{Consecutive even integers}}&{}&{\textbf{Consecutive odd integers}}\\ {}&{64, 66, 68}&{}&{77, 79, 81}\\ {n}&{1^{st} \text{even number}}&{n}&{1^{st} \text{odd number}}\\ {n+2}&{2^{nd} \text{even number}} &{n+2}&{2^{nd} \text{odd number}}\\ {n+4}&{3^{rd} \text{even number}}&{n+4}&{3^{rd} \text{odd number}}\\ \end{array}\]

Baadhi ya maombi ya integers isiyo ya kawaida ya mfululizo au integers mfululizo hata inatokana na equations quadratic. Nukuu hapo juu itakuwa na manufaa kama wewe jina vigezo.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Bidhaa ya integers mbili isiyo ya kawaida ya mfululizo ni 195. Pata integers.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.		Sisi ni kuangalia kwa integers mbili mfululizo isiyo ya kawaida.
Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta.		Hebu integer\(n=\) ya kwanza isiyo ya kawaida. \(n+2=\)ijayo isiyo ya kawaida integer
Hatua ya 4. Tafsiri katika equation. Sema tatizo katika sentensi moja.		“Bidhaa ya integers mbili mfululizo isiyo ya kawaida ni 195.” Bidhaa ya integer ya kwanza isiyo ya kawaida na integer ya pili isiyo ya kawaida ni 195.
Tafsiri katika equation.
Hatua ya 5. Kutatua equation. Kusambaza.
Ondoa 195 ili kupata equation katika fomu ya kawaida.
Tambua maadili, b, c.
Andika equation ya quadratic.
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c.
Kurahisisha.
Kurahisisha radical.
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili.
Kutatua kila equation.
Kuna maadili mawili ya n ambayo ni ufumbuzi. Hii itatupa jozi mbili za integers isiyo ya kawaida ya mfululizo kwa suluhisho letu.		Kwanza isiyo ya kawaida integer n=13 ijayo isiyo ya kawaida integer n+2 13+2 15
		Kwanza isiyo ya kawaida integer n=-15 ijayo isiyo ya kawaida integer n+2 -15+2 -13
Hatua ya 6. Angalia jibu. Je, jozi hizi zinafanya kazi? Je, wao mfululizo integers isiyo ya kawaida? Je, bidhaa zao 195?		13, 15, ndiyo -13, -15, ndiyo 1315=195, ndiyo -13 (-15) =195, ndiyo
Hatua ya 7. Jibu swali.		Nambari mbili za mfululizo zisizo za kawaida ambazo bidhaa zake ni 195 ni 13, 15, na -13, -15.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Bidhaa ya integers mbili isiyo ya kawaida ya mfululizo ni 99. Pata integers.

Jibu

Nambari mbili za mfululizo zisizo za kawaida ambazo bidhaa zake ni 99 ni 9 na 11, na -9 na -11.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Bidhaa ya integers mbili isiyo ya kawaida ya mfululizo ni 168. Pata integers.

Jibu

Nambari mbili za mfululizo hata bidhaa zake ni 168 ni 12 na 14, na -12 na 14-14.

Tutatumia formula kwa eneo la pembetatu ili kutatua mfano unaofuata.

Ufafanuzi: AREA YA TRIANGLE

Kwa pembetatu na msingi b na urefu h, eneo, A, linatolewa na formula\(A=\frac{1}{2}bh\).

Kumbuka kwamba, tunapotatua maombi ya jiometri, ni muhimu kuteka takwimu.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Mbunifu ni kubuni mlango wa mgahawa. Anataka kuweka dirisha la triangular juu ya mlango. Kutokana na vikwazo vya nishati, dirisha linaweza kuwa na eneo la miguu ya mraba 120 na mbunifu anataka upana uwe na futi 4 zaidi ya urefu mara mbili. Pata urefu na upana wa dirisha.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo. Chora picha.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.		Tunatafuta urefu na upana.
Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta.		Hebu\(h=\) urefu wa pembetatu. \(2h+4=\)upana wa pembetatu
Hatua ya 4. Tafsiri.		Tunajua eneo hilo. Andika formula kwa eneo la pembetatu.
Hatua ya 5. Kutatua equation. Mbadala katika maadili.
Kusambaza.
Hii ni equation quadratic, kuandika upya kwa fomu ya kawaida.
Tatua equation kwa kutumia Mfumo wa Quadratic. Tambua maadili, b, c.
Andika equation ya quadratic.
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c.
Kurahisisha.
Kurahisisha radical.
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili.
Kurahisisha.
Kwa kuwa h ni urefu wa dirisha, thamani ya\(h=−12\) haina maana.
		Urefu wa pembetatu:\(h=10\) Upana wa pembetatu:\(2h+4\) \(2⋅10+4\) \(24\)
Hatua ya 6. Angalia jibu. Je, pembetatu yenye urefu wa 10 na upana 24 ina eneo la 120? Ndiyo.
Hatua ya 7. Jibu swali.		Urefu wa dirisha la triangular ni miguu 10 na upana ni miguu 24.

Angalia kwamba ufumbuzi ulikuwa integers. Hiyo inatuambia kwamba tunaweza kuwa na kutatuliwa equation na factoring.

Wakati sisi aliandika equation katika hali ya kiwango\(h^2+2h−120=0\),, tunaweza kuwa factored yake. Kama tulifanya, tutakuwa na kutatuliwa equation\((h+12)(h−10)=0\).

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Pata vipimo vya pembetatu ambayo upana wake ni nne zaidi ya mara sita urefu wake na una eneo la inchi za mraba 208.

Jibu

Urefu wa pembetatu ni inchi 8 na upana ni inchi 52.

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Ikiwa pembetatu ambayo ina eneo la futi za mraba 110 ina urefu ambao ni futi mbili chini ya mara mbili upana, vipimo vyake ni vipi?

Jibu

Urefu wa pembetatu ni futi 20 na upana ni futi 11.

Katika mifano miwili iliyotangulia, idadi katika radical katika Mfumo wa Quadratic ilikuwa mraba kamili na hivyo ufumbuzi ulikuwa namba za busara. Ikiwa tunapata nambari isiyo ya maana kama suluhisho la tatizo la maombi, tutatumia calculator kupata thamani ya takriban.

Theorem ya Pythagorean inatoa uhusiano kati ya miguu na hypotenuse ya pembetatu sahihi. Tutatumia Theorem ya Pythagorean kutatua mfano unaofuata.

Ufafanuzi: THEOREM PYTHAGOREAN

Katika pembetatu yoyote ya kulia, ambapo a na b ni urefu wa miguu na c ni urefu wa hypotenuse,\(a^2+b^2=c^2\)

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Rene ni kuanzisha likizo mwanga kuonyesha. Anataka kutengeneza 'mti' katika umbo la pembetatu mbili za kulia, kama inavyoonyeshwa hapo chini, na ana masharti mawili ya taa ya miguu 10 ya kutumia kwa pande. Ataunganisha taa juu ya pole na kwa vipande viwili chini. Anataka urefu wa pole kuwa sawa na umbali kutoka msingi wa pole kwa kila mti. Je, pole inapaswa kuwa mrefu gani?

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo. Chora picha
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.		Tunatafuta urefu wa pole.
Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta.		Umbali kutoka kwa msingi wa pole hadi kwenye mti wowote ni sawa na urefu wa pole. Hebu\(x=\) urefu wa pole. \(x=\)umbali kutoka pole kwa hisa
Kila upande ni pembetatu sahihi. Tunapata picha ya mmoja wao.
Hatua ya 4. Tafsiri katika equation. Tunaweza kutumia Theorem ya Pythagorean kutatua kwa x.
Andika Theorem ya Pythagorean.		\(a^2+b^2=c^2\)
Hatua ya 5. Kutatua equation. Mbadala.		\(x^2+x^2=10^2\)
Kurahisisha.		\(2x^2=100\)
Gawanya na 2 ili kutenganisha kutofautiana.		\(\frac{2x^2}{2}=\frac{100}{2}\)
Kurahisisha.		\(x^2=50\)
Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba.		\(x=\pm\sqrt{50}\)
Kurahisisha radical.		\(x=\pm5\sqrt{2}\)
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili.		\(x=5\sqrt{2}\) \(\not{x=−5\sqrt{2}}\)
Takriban nambari hii hadi kumi ya karibu na calculator.		\(x \approx 7.1\)
Hatua ya 6. Angalia jibu. Angalia mwenyewe katika Theorem ya Pythagorean.
Hatua ya 7. Jibu swali.		Pigo lazima iwe juu ya urefu wa miguu 7.1.

Mfano\(\PageIndex{8}\)

Jua linatupa kivuli kutoka kwenye bendera ya bendera. Urefu wa pole ya bendera ni mara tatu urefu wa kivuli chake. Umbali kati ya mwisho wa kivuli na juu ya pole ya bendera ni futi 20. Find urefu wa kivuli na urefu wa pole bendera. Pande zote hadi kumi ya karibu ya mguu.

Jibu

Urefu wa kivuli ni futi 6.3 na urefu wa pole la bendera ni ft 18.9.

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Umbali kati ya pembe za kinyume za shamba la mstatili ni nne zaidi ya upana wa shamba. Urefu wa shamba ni mara mbili upana wake. Pata umbali kati ya pembe za kinyume. Pande zote hadi kumi ya karibu.

Jibu

Umbali wa kona kinyume ni 3.2.

Mfano\(\PageIndex{10}\)

Mike anataka kuweka 150 za mraba miguu ya Turf bandia katika yadi yake ya mbele. Hii ni eneo la juu la Turf bandia linaloruhusiwa na chama chake cha wamiliki wa nyumba. Anataka kuwa na eneo la mstatili wa turf na urefu mguu mmoja chini ya mara tatu upana. Pata urefu na upana. Pande zote hadi kumi ya karibu ya mguu.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo. Chora picha.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.		Tunatafuta urefu na upana.
Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta.		Hebu upana\(w=\) wa mstatili. \(3w−1=\)urefu wa mstatili
Hatua ya 4. Tafsiri katika equation. Tunajua eneo hilo. Andika formula kwa eneo la mstatili.
Hatua ya 5. Kutatua equation. Mbadala katika maadili.
Kusambaza.
Hii ni equation quadratic, kuandika upya kwa fomu ya kawaida.
Tatua equation kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
Tambua maadili, b, c.
Andika Mfumo wa Quadratic.
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c.
Kurahisisha.
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili.
Takriban majibu kwa kutumia calculator. Sisi kuondoa ufumbuzi hasi kwa upana.
Hatua ya 6. Angalia jibu. Hakikisha kwamba majibu yana maana.
Hatua ya 7. Jibu swali.		Upana wa mstatili ni takriban futi 7.2 na urefu wa futi 20.6.

Mfano\(\PageIndex{11}\)

urefu wa 200 mraba mguu mstatili bustani mboga ni miguu minne chini ya mara mbili upana. Pata urefu na upana wa bustani. Pande zote hadi kumi ya karibu ya mguu..

Jibu

Upana wa bustani ni futi 11 na urefu ni futi 18.

Mfano\(\PageIndex{12}\)

Tablecloth ya mstatili ina eneo la miguu ya mraba 80. Upana ni futi 5 mfupi kuliko urefu. Urefu na upana wa nguo ya meza ni nini? Pande zote hadi kumi ya karibu ya mguu.

Jibu

Upana wa kitambaa cha meza ni futi 6.8 na urefu ni futi 11.8.

Urefu wa projectile risasi juu ni mfano wa equation quadratic. Kasi ya awali\(v_{0}\), inasababisha kitu hadi mvuto husababisha kitu kuanguka chini.

Ufafanuzi: PROJECTILE MOTION

Urefu wa miguu, h, wa kitu kilichopigwa juu ndani ya hewa na kasi ya awali,\(v_{0}\), baada ya sekunde t hutolewa na formula:

\(h=−16t^2+v_{0}t\)

Tunaweza kutumia formula kwa ajili ya mwendo projectile kupata sekunde ngapi itachukua kwa ajili ya firework kufikia urefu maalum.

Mfano\(\PageIndex{13}\)

Firework ni risasi juu na kasi ya awali 130 miguu kwa pili. Itachukua sekunde ngapi kufikia urefu wa miguu 260? Pande zote hadi kumi ya karibu ya pili.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.	Tunatafuta idadi ya sekunde, ambayo ni wakati.
Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta.	Hebu idadi\(t=\) ya sekunde.
Hatua ya 4. Tafsiri katika equation.	Tumia formula.
	\(h=−16t^2+v_{0}t\)
Hatua ya 5. Kutatua equation. Tunajua kasi\(v_{0}\) ni 130 futi kwa sekunde.
Urefu ni futi 260. Badala ya maadili.
Hii ni equation quadratic, kuandika upya kwa fomu ya kawaida.
Tatua equation kwa kutumia Mfumo wa Quadratic.
Tambua maadili, b, c.
Andika Mfumo wa Quadratic.
Kisha mbadala katika maadili ya a, b, c.
Kurahisisha.
Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili.
Takriban majibu na calculator.	\(t \approx 4.6\)sekunde,\(t \approx 3.6\)
Hatua ya 6. Angalia jibu. Cheti imesalia kwako.
Hatua ya 7. Jibu swali.	Firework itakwenda na kisha kuanguka chini. Kama firework inakwenda juu, itafikia miguu 260 baada ya sekunde 3.6. Pia itapita urefu huo njiani chini ya sekunde 4.6.

Mfano\(\PageIndex{14}\)

Mshale unapigwa risasi kutoka ardhini hadi hewa kwa kasi ya awali ya 108 ft/sec. Tumia formula\(h=−16t^2+v_{0}t\) ili kuamua wakati mshale utakuwa miguu 180 kutoka chini. Pande karibu ya kumi ya pili.

Jibu

Mshale utafikia 180 juu ya njia yake hadi sekunde 3, na njiani chini katika sekunde 3.8.

Mfano\(\PageIndex{15}\)

Mtu hutupa mpira ndani ya hewa kwa kasi ya 96 ft/sec. Tumia formula\(h=−16t^2+v_{0}t\) ili kuamua wakati urefu wa mpira utakuwa miguu 48. Pande zote hadi kumi ya karibu ya pili.

Jibu

Mpira utafikia miguu 48 njiani juu katika sekunde .6 na njiani chini katika sekunde 5.5.

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutatua matatizo ya neno kwa kutumia equation ya quadratic:

• Matatizo ya Neno la Quadratic
• Tatizo la neno: Tatua tatizo la projectile kwa kutumia equation ya quadratic

Dhana muhimu

• Eneo la Triangle Kwa pembetatu na msingi, b, na urefu, h, eneo, A, linatolewa na formula:\(A=\frac{1}{2}bh\)
  
• Theorem ya Pythagorean Katika pembetatu yoyote ya kulia, ambapo a na b ni urefu wa miguu, na c ni urefu wa hypothenuse,\(a^2+b^2=c^2\)
  
• Projectile mwendo urefu katika miguu, h, ya kitu risasi juu katika hewa na kasi ya awali,\(v_{0}\), baada ya sekunde tt inaweza kuwa inatokana na formula

  \(h=−16t^2+v_{0}t\)

faharasa

mfululizo hata integers

Mstari hata integers ni hata integers zinazofuata haki baada ya mtu mwingine. Ikiwa hata integer inawakilishwa na n, mfululizo wa pili hata integer ni\(n+2\), na ijayo baada ya hapo ni\(n+4\).

mfululizo integers isiyo ya kawaida

Mstari integers isiyo ya kawaida ni integers isiyo ya kawaida kwamba kufuata haki baada ya mtu mwingine. Kama integer isiyo ya kawaida inawakilishwa na n, ya mfululizo isiyo ya kawaida integer ni\(n+2\), na ijayo baada ya kuwa ni\(n+4\).

​​​​​​​