Skip to main content
Global

10.2: Tatua Ulinganisho wa Quadratic kwa Kukamilisha Mraba

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177485

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Jaza mraba wa kujieleza kwa binomial
    • Tatua usawa wa quadratic wa fomu\(x^2+bx+c=0\) kwa kukamilisha mraba
    • Tatua usawa wa quadratic wa fomu\(ax^2+bx+c=0\) kwa kukamilisha mraba
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari. Ikiwa umepoteza tatizo, rudi kwenye sehemu iliyoorodheshwa na uhakiki nyenzo.

    1. Kurahisisha\((x+12)^2\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 6.4.1.
    2. Sababu\(y^2−18y+81\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 7.4.1.
    3. Sababu\(5n^2+40n+80\).
      Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 7.4.13.

    Hadi sasa, tuna kutatuliwa equations quadratic kwa factoring na kutumia Mizizi Square Mali. Katika sehemu hii, tutatatua equations quadratic kwa mchakato unaoitwa 'kukamilisha mraba. '

    Kukamilisha Mraba wa Kuelezea Binomial

    Katika sehemu ya mwisho, tuliweza kutumia Mizizi ya Square Mali ili kutatua equation\((y−7)^2=12\) kwa sababu upande wa kushoto ulikuwa mraba kamili.

    \[\begin{array}{l} {(y−7)^2=12}\\ {y−7=\pm\sqrt{12}}\\ {y−7=\pm2\sqrt{3}}\\ {y=7\pm2\sqrt{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Sisi pia kutatuliwa equation ambayo upande wa kushoto ilikuwa kamili mraba trinomial, lakini tulikuwa na kuandika upya\((x−k)^2\) fomu ili kutumia mali ya mizizi mraba.

    \[\begin{array}{l} {x^2−10x+25=18}\\ {(x−5)^2=18}\\ \nonumber \end{array}\]

    Nini kinatokea kama variable si sehemu ya mraba kamili? Je, tunaweza kutumia algebra kufanya mraba kamili?

    Hebu tujifunze muundo wa mraba wa binomial tuliyotumia mara nyingi. Tutaangalia mifano miwili.

    \[\begin{array}{ll} {(x+9)^2}&{(y−7)^2}\\ {(x+9)(x+9)}&{(y−7)(y−7)}\\ {x^2+9x+9x+81}&{y^2−7y−7y+49}\\ {x^2+18x+81}&{y^2−14y+49}\\ \nonumber \end{array}\]

    Ufafanuzi: BINOMIAL mraba PATTERN

    Kama, b ni idadi halisi,

    \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

    alt

    \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

    alt

    Tunaweza kutumia ruwaza hii “kufanya” mraba kamilifu.

    Tutaanza na maneno\(x^2+6x\). Kwa kuwa kuna ishara zaidi kati ya maneno mawili, tutatumia\((a+b)^2\) mfano.

    \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

    Kumbuka kwamba muda wa kwanza wa\(x^2+6x\) ni mraba,\(x^2\).

    Sasa tunajua\(a=x\).

    Nambari gani tunaweza kuongeza\(x^2+6x\) ili kufanya trinomial mraba kamili?

    Picha inaonyesha maneno ya mraba pamoja na mbili b pamoja na b squared. Chini ni maneno x squared pamoja na sita x pamoja na nafasi tupu. Squared x ni chini ya mraba, x sita ni chini ya mbili b na tupu ni chini ya b squared.

    Muda wa kati wa Pattern ya Mraba ya Binomial, 2ab, ni mara mbili ya bidhaa za maneno mawili ya binomial. Hii ina maana mara mbili bidhaa ya x na idadi fulani ni 6x. Kwa hiyo, mara mbili idadi fulani lazima iwe sita. Nambari tunayohitaji ni\(\frac{1}{2}·6=3\). Muda wa pili katika binomial, b, lazima iwe 3.

    Picha ni sawa na picha hapo juu. Inaonyesha maneno ya mraba pamoja na mbili b plus b squared. Chini ni maneno x squared pamoja na mara mbili mara tatu x pamoja nafasi tupu. Squared x ni chini ya mraba, mara mbili mara tatu x ni chini ya mbili b na tupu ni chini ya b squared.

    Sasa tunajua\(b=3\).

    Sasa, sisi tu mraba mrefu wa pili wa binomial kupata muda wa mwisho wa trinomial kamili mraba, hivyo sisi mraba tatu kupata muda wa mwisho, tisa.

    Picha inaonyesha maneno ya mraba pamoja na mbili b pamoja na b squared. Chini ni maneno x squared pamoja na sita x pamoja na tisa.

    Sasa tunaweza sababu ya

    Picha inaonyesha kiasi cha kujieleza a plus b squared. Chini ni kiasi cha kujieleza x pamoja na mraba tatu.

    Hivyo, tuligundua kwamba kuongeza tisa\(x^2+6x\) 'kutimiza mraba, 'na sisi kuandika kama\((x+3)^2\).

    Ufafanuzi: COMPLETE A SQUARE

    Ili kukamilisha mraba wa\(x^2+bx\):

    1. Tambua b, mgawo wa x.
    2. Kupata\((\frac{1}{2}b)^2\), idadi ya kukamilisha mraba.
    3. Kuongeza\( (\frac{1}{2}b)^2\) kwa\(x^2+bx\).
    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Kisha, andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(x^2+14x\)

    Jibu
    Mgawo wa x ni 14. .

    Kupata\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅14)^2\)

    \((7)^2\)

    49

    		  
    Ongeza 49 kwa binomial ili kukamilisha mraba. \(x^2+14x+49\)
    Andika upya kama mraba wa binomial. \((x+7)^2\)
    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(y^2+12y\)

    Jibu

    \((y+6)^2\)

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(z^2+8z\)

    Jibu

    \((z+4)^2\)

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Kisha, andika matokeo kama mraba wa binomial. \(m^2−26m\)

    Jibu
      Picha inaonyesha maneno m squared minus 26 m na x squared pamoja b x iliyoandikwa juu yake. Mgawo wa m ni hasi 26 hivyo b ni hasi 26. Pata nusu ya b na uifanye mraba. Nusu ya hasi 26 ni hasi 13 na hasi 13 squared ni 169. Ongeza 169 kwa binomial ili kukamilisha mraba na kupata maneno m mraba minus 26 m pamoja na 169, ambayo ni kiasi m minus 13 squared.

    Kupata\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅(−26))^2\)

    \((−13)^2\)

    169

    		  
    Ongeza 169 kwa binomial ili kukamilisha mraba. \(m^2−26m+169\)
    Andika upya kama mraba wa binomial. \((m−13)^2\)
    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(a^2−20a\)

    Jibu

    \((a−10)^2\)

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(b^2−4b\)

    Jibu

    \((b−2)^2\)

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Kisha, andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(u^2−9u\)

    Jibu
    Mgawo wa u ni -9. .

    Kupata\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅(−9))^2\)

    \((−\frac{9}{2})^2\)

    \(\frac{81}{4}\)

    		  
    \(\frac{81}{4}\)Ongeza kwenye binomial ili kukamilisha mraba. \(u^2−9u+\frac{81}{4}\)
    Andika upya kama mraba wa binomial. \((u−\frac{9}{2})^2\)
    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(m^2−5m\)

    Jibu

    \((m−\frac{5}{2})^2\)

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(n^2+13n\)

    Jibu

    \((n+\frac{13}{2})^2\)

    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Kisha, andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(p^2+12p\)

    Jibu
    Mgawo wa p ni\(\frac{1}{2}\) .

    Kupata\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅\frac{1}{2})^2\)

    \((\frac{1}{4})^2\)

    \(\frac{1}{16}\)

    		  
    \(\frac{1}{16}\)Ongeza kwenye binomial ili kukamilisha mraba. \(p^2+\frac{1}{2}p+\frac{1}{16}\)
    Andika upya kama mraba wa binomial. \((p+\frac{1}{4})^2\)
    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(p^2+\frac{1}{4}p\)

    Jibu

    \((p+\frac{1}{8})^2\)

    Mfano\(\PageIndex{12}\)

    Kukamilisha mraba kufanya trinomial mraba kamili. Andika matokeo kama mraba wa binomial.

    \(q^2−\frac{2}{3}q\)

    Jibu

    \((q−\frac{1}{3})^2\)

    Kutatua Equations Quadratic ya Fomu\(x^2 + bx + c = 0\) kwa kukamilisha mraba

    Katika kutatua equations, lazima daima kufanya kitu kimoja kwa pande zote mbili za equation. Hii ni kweli, bila shaka, wakati sisi kutatua equation quadratic kwa kukamilisha mraba, pia. Wakati sisi kuongeza mrefu kwa upande mmoja wa equation kufanya kamili mraba trinomial, ni lazima pia kuongeza muda huo kwa upande wa pili wa equation.

    Kwa mfano, kama sisi kuanza na equation\(x^2+6x=40\) na tunataka kukamilisha mraba upande wa kushoto, sisi kuongeza tisa kwa pande zote mbili za equation.

    Picha inaonyesha equation x squared pamoja sita x sawa 40. Chini kwamba equation imeandikwa upya kama x squared plus sita x plus nafasi tupu sawa 40 plus nafasi tupu. Chini kwamba equation imeandikwa upya tena kama x squared plus sita x plus tisa sawa 40 pamoja na tisa.

    Kisha, tunazingatia upande wa kushoto na kurahisisha upande wa kulia.

    \((x+3)^2=49\)

    Sasa equation iko katika fomu ya kutatua kutumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. Kukamilisha mraba ni njia ya kubadilisha equation katika fomu tunayohitaji kuwa na uwezo wa kutumia Mizizi ya Mraba Mali.

    Jinsi ya Kutatua Equation Quadratic ya Fomu\(x^2+bx+c=0\) kwa Kukamilisha Square.

    Mfano\(\PageIndex{13}\)

    Tatua\(x^2+8x=48\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    Picha inaonyesha hatua za kutatua equation x squared pamoja na nane x sawa 48. Hatua ya kwanza ni kutenganisha masharti ya kutofautiana kwa upande mmoja na masharti ya mara kwa mara kwa upande mwingine. Equation tayari ina vigezo vyote upande wa kushoto.Hatua mbili ni kupata kiasi nusu ya b squared, idadi ya kukamilisha mraba na kuongeza kwa pande zote mbili za equation. Mgawo wa x ni nane, hivyo b ni nane. Chukua nusu ya nane, ambayo ni nne na mraba ili kupata 16. Kuongeza 16 kwa pande zote mbili za equation kupata x squared pamoja na nane x pamoja 16 sawa 48 pamoja 16.Hatua ya tatu ni kuzingatia trinomial mraba kamili kama mraba binomial. Upande wa kushoto ni mraba kamili ya trinomial x squared pamoja na nane x pamoja na 16 ambayo sababu kwa wingi x pamoja na nne za mraba. Kuongeza upande wa kulia 48 pamoja 16 ni 64. equation sasa ni wingi x pamoja nne squared sawa 64.Hatua ya nne ni kutumia mizizi ya mraba mali ya kufanya equation x plus nne sawa plus au bala mizizi mraba ya 64.Hatua ya tano ni kurahisisha radical na kisha kutatua equations mbili kusababisha. Mzizi wa mraba wa 64 ni nane. Equation inaweza kuandikwa kama equations mbili: x pamoja na nne sawa nane na x pamoja na nne sawa hasi nane. Kutatua kila equation anatoa x sawa nne au hasi 12.Hatua ya sita ni kuangalia ufumbuzi. Kuangalia ufumbuzi kuweka kila jibu katika equation ya awali. Kubadilisha x sawa na nne katika equation awali kupata nne squared pamoja mara nane sawa na nne 48. upande wa kushoto simplifies kwa 16 pamoja 32 yaani 48. Kubadilisha x sawa na hasi 12 katika equation ya awali kupata hasi 12 squared pamoja mara nane hasi 12 sawa 48. upande wa kushoto simplifies kwa 144 minus 96 yaani 48.

    Mfano\(\PageIndex{14}\)

    Tatua\(c^2+4c=5\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(c=−5\),\(c=1\)

    Mfano\(\PageIndex{15}\)

    Tatua\(d^2+10d=−9\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(d=−9\),\(d=−1\)

    Ufafanuzi: SOLVE EQUATION QUADRATIC YA FOMU\(x^2+bx+c=0\) BY COMPLETING THE SQUARE.
    1. Sulua maneno ya kutofautiana kwa upande mmoja na masharti ya mara kwa mara kwa upande mwingine.
    2. Kupata\((\frac{1}{2}·b)^2\), idadi ya kukamilisha mraba. Kuongeza kwa pande zote mbili za equation.
    3. Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial.
    4. Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba.
    5. Kurahisisha radical na kisha kutatua equations mbili kusababisha.
    6. Angalia ufumbuzi.
    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    Tatua\(y^2−6y=16\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu
    Masharti ya kutofautiana ni upande wa kushoto. .

    Chukua nusu ya -6 na uifanye mraba. \((\frac{1}{2}(−6))^2=9\)    		 .
    Ongeza 9 kwa pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kurahisisha radical. .
    Kutatua kwa y. .
    Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. .
    Tatua equations. .

    Angalia.
    .    		  
    Mfano\(\PageIndex{17}\)

    Tatua\(r^2−4r=12\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(r=−2\),\(r=6\)

    Mfano\(\PageIndex{18}\)

    Kutatua\(t^2−10t=11\) by completing the square.

    Jibu

    \(t=−1\),\(t=11\)

    Mfano\(\PageIndex{19}\)

    Tatua\(x^2+4x=−21\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu
    Masharti ya kutofautiana ni upande wa kushoto. .

    Chukua nusu ya 4 na mraba. \((\frac{1}{2}(4))^2=4\)    		 .
    Ongeza 4 kwa pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Hatuwezi kuchukua mizizi ya mraba ya namba hasi. Hakuna suluhisho halisi.
    Mfano\(\PageIndex{20}\)

    Tatua\(y^2−10y=−35\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    hakuna ufumbuzi halisi

    Mfano\(\PageIndex{21}\)

    Tatua\(z^2+8z=−19\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    hakuna ufumbuzi halisi

    Katika mfano uliopita, hapakuwa na ufumbuzi halisi kwa sababu\((x+k)^2\) was equal to a negative number.

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Tatua\(p^2−18p=−6\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu
    Masharti ya kutofautiana ni upande wa kushoto. .
    Chukua nusu ya -18 na uifanye mraba. \((\frac{1}{2}(−18))^2=81\) .
    Ongeza 81 kwa pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kurahisisha radical. .
    Tatua kwa p. .
    Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. .

    Angalia.
    .

    		  

    Njia nyingine ya kuangalia hii itakuwa kutumia calculator. Tathmini\(p^2−18p\) kwa ufumbuzi wote. Jibu linapaswa kuwa -6.

    Mfano\(\PageIndex{23}\)

    Tatua\(x^2−16x=−16\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(x=8\pm4\sqrt{3}\)

    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Tatua\(y^2+8y=11\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(y=−4\pm3\sqrt{3}\)

    Tutaanza mfano unaofuata kwa kutenganisha maneno ya kutofautiana upande wa kushoto wa equation.

    Mfano\(\PageIndex{25}\)

    Tatua\(x^2+10x+4=15\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu
    Masharti ya kutofautiana ni upande wa kushoto. .
    Ondoa 4 ili kupata masharti ya mara kwa mara upande wa kulia. .

    Chukua nusu ya 10 na mraba. \((\frac{1}{2}(10))^2=25\)    		 .
    Ongeza 25 kwa pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kurahisisha radical. Mfano 10.22.jpg
    Kutatua kwa x. .
    Andika upya ili uonyeshe equations mbili. .
    Tatua equations. .

    Angalia.
    .

    		  
    Mfano\(\PageIndex{26}\)

    Tatua\(a^2+4a+9=30\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(a=−7\),\(a=3\)

    Mfano\(\PageIndex{27}\)

    Kutatua\(b^2+8b−4=16\) by completing the square.

    Jibu

    \(b=−10\),\(b=2\)

    Ili kutatua equation ijayo, ni lazima kwanza kukusanya maneno yote variable upande wa kushoto wa equation. Kisha, tunaendelea kama tulivyofanya katika mifano ya awali.

    Mfano\(\PageIndex{28}\)

    Tatua\(n^2=3n+11\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu
      .
    Ondoa 3 n kupata masharti variable upande wa kushoto. .
    Chukua nusu ya 1-3 na uifanye mraba. \((\frac{1}{2}(−3))^2= \frac{9}{4}\) .
    \(\frac{9}{4}\)Ongeza pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Ongeza sehemu ndogo upande wa kulia. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kurahisisha radical. .
    Kutatua kwa n. Mfano 10.23.jpg
    Andika upya ili uonyeshe equations mbili. .
    Angalia. Tunaacha hundi kwako!  
    Mfano\(\PageIndex{29}\)

    Tatua\(p^2=5p+9\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(p=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{61}}{2}\)

    Mfano\(\PageIndex{30}\)

    Kutatua\(q^2=7q−3\) by completing the square.

    Jibu

    \(q=\frac{7}{2}\pm\frac{\sqrt{37}}{2}\)

    Kumbuka kwamba upande wa kushoto wa equation ya ni katika hali factored. Lakini upande wa kulia sio sifuri, kwa hivyo hatuwezi kutumia Mali ya Bidhaa ya Zero. Badala yake, tunazidisha mambo na kisha kuweka equation katika fomu ya kawaida ya kutatua kwa kukamilisha mraba.

    Mfano\(\PageIndex{31}\)

    Tatua\((x−3)(x+5)=9\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu
      .
    Tunazidisha binomials upande wa kushoto. .
    Ongeza 15 ili kupata masharti ya kutofautiana upande wa kushoto. .

    Chukua nusu ya 2 na mraba. \((\frac{1}{2}(2))^2=1\)    		 .
    Ongeza 1 kwa pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kutatua kwa x. .
    Andika upya ili kuonyesha ufumbuzi mbili. .
    Kurahisisha. .
    Angalia. Tunaacha hundi kwako!  
    Mfano\(\PageIndex{32}\)

    Tatua\((c−2)(c+8)=7\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(c=−3\pm4\sqrt{2}\)

    Mfano\(\PageIndex{33}\)

    Tatua\((d−7)(d+3)=56\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(d=−7\),\(d=11\)

    Tatua Ulinganisho wa Quadratic wa fomu\( ax^2 + bx + c = 0\) kwa kukamilisha mraba

    Mchakato wa kukamilisha mraba unafanya kazi bora wakati mgawo wa kuongoza ni moja, hivyo upande wa kushoto wa equation ni wa fomu\(x^2+bx+c\). Ikiwa\(x^2\) neno lina mgawo, tunachukua hatua za awali ili kufanya mgawo sawa na moja.

    Wakati mwingine mgawo unaweza kuzingatiwa kutoka kwa masharti yote matatu ya trinomial. Hii itakuwa mkakati wetu katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{34}\)

    Tatua\(3x^2−12x−15=0\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    Ili kukamilisha mraba, tunahitaji mgawo\(x^2\) wa kuwa moja. Ikiwa tunazingatia mgawo wa\(x^2\) sababu ya kawaida, tunaweza kuendelea na kutatua equation kwa kukamilisha mraba.

      .
    Factor nje kubwa ya kawaida sababu. .
    Gawanya pande zote mbili kwa 3 ili kutenganisha trinomial. .
    Kurahisisha. .
    Ondoa 5 ili kupata masharti ya mara kwa mara juu ya haki. .

    Chukua nusu ya 4 na mraba. \((\frac{1}{2}(4))^2=4\)    		 .
    Ongeza 4 kwa pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kutatua kwa x. .
    Andika upya ili uonyeshe ufumbuzi wa 2. .
    Kurahisisha. .

    Angalia.
    .

    		  
    Mfano\(\PageIndex{35}\)

    Tatua\(2m^2+16m−8=0\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(m=−4\pm2\sqrt{5}\)

    Mfano\(\PageIndex{36}\)

    Tatua\(4n^2−24n−56=8\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(n=−2, 8\)

    Ili kukamilisha mraba, mgawo wa kuongoza lazima uwe mmoja. Wakati mgawo wa kuongoza sio sababu ya maneno yote, tutagawanya pande zote mbili za equation na mgawo wa kuongoza. Hii itatupa sehemu ya mgawo wa pili. Tumeona jinsi ya kukamilisha mraba na sehemu ndogo katika sehemu hii.

    Mfano\(\PageIndex{37}\)

    Tatua\(2x^2−3x=20\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    Tena, hatua yetu ya kwanza itakuwa kufanya mgawo wa\(x^2\) kuwa moja. Kwa kugawa pande zote mbili za equation na mgawo wa\(x^2\), tunaweza kisha kuendelea na kutatua equation kwa kukamilisha mraba.

      .
    Gawanya pande zote mbili kwa 2 ili kupata mgawo wa\(x^2\) kuwa 1. .
    Kurahisisha. .

    Chukua nusu\(−\frac{3}{2}\) na mraba. \((\frac{1}{2}(−\frac{3}{2}))^2=\frac{9}{16}\)    		 .
    \(\frac{9}{16}\)Ongeza pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Ongeza sehemu ndogo upande wa kulia. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kurahisisha radical. .
    Kutatua kwa x. .
    Andika upya ili uonyeshe ufumbuzi wa 2. .
    Kurahisisha. .
    Angalia. Tunaacha hundi kwako.  
    Mfano\(\PageIndex{38}\)

    Tatua\(3r^2−2r=21\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(r=−\frac{7}{3}\),\(r=3\)

    Mfano\(\PageIndex{39}\)

    Tatua\(4t^2+2t=20\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(t=−\frac{5}{2}\),\(t=2\)

    Mfano\(\PageIndex{40}\)

    Tatua\(3x^2+2x=4\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    Tena, hatua yetu ya kwanza itakuwa kufanya mgawo wa\(x^2\) kuwa moja. Kwa kugawa pande zote mbili za equation na mgawo wa\(x^2\), tunaweza kisha kuendelea na kutatua equation kwa kukamilisha mraba.

      .
    Gawanya pande zote mbili kwa 3 ili kufanya mgawo wa\(x^2\) sawa 1. .
    Kurahisisha. .

    Chukua nusu\(\frac{2}{3}\) na mraba. \((\frac{1}{2}⋅\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}\)

    		 .
    \(\frac{1}{9}\)Ongeza pande zote mbili. .
    Factor trinomial mraba kamili kama mraba binomial. .
    Tumia Mizizi ya Mizizi ya Mraba. .
    Kurahisisha radical. .
    Kutatua kwa x. .
    Andika upya ili uonyeshe ufumbuzi wa 2. .
    Angalia. Tunaacha hundi kwako. ​​​​​​​
    Mfano\(\PageIndex{41}\)

    Tatua\(4x^2+3x=12\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(x=−\frac{3}{8}\pm\frac{\sqrt{201}}{8}\)

    Mfano\(\PageIndex{42}\)

    Tatua\(5y^2+3y=10\) kwa kukamilisha mraba.

    Jibu

    \(y=−\frac{3}{10}\pm\frac{\sqrt{209}}{10}\)

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutatua usawa wa quadratic kwa kukamilisha mraba:

    Dhana muhimu

    • Binomial Mraba Pattern Kama, ba, b ni namba halisi,
      \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
      alt
      \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
      alt

    • Kukamilisha Square Kukamilisha mraba wa\(x^2+bx\):
      1. Tambua bb, mgawo wa x.
      2. Kupata\((\frac{1}{2}b)^2\), idadi ya kukamilisha mraba.
      3. Kuongeza\((\frac{1}{2}b)^2\) kwa\(x^2+bx\).

    faharasa

    kukamilisha mraba
    Kukamilisha mraba ni njia inayotumiwa kutatua equations quadratic.