# 8.4: Ongeza na Ondoa Maneno ya busara na Denominators tofauti

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

##### Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Find denominator angalau ya kawaida ya maneno ya busara
• Pata maneno sawa ya busara
• Ongeza maneno ya busara na madhehebu tofauti
• Ondoa maneno ya busara na madhehebu tofauti
##### Kumbuka

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Ikiwa umepoteza tatizo, rudi kwenye sehemu iliyoorodheshwa na uhakiki nyenzo.

1. Ongeza:$$\frac{7}{10}+\frac{8}{15}$$.
Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 1.7.13.
2. Ondoa:$$6(2x+1)−4(x−5)$$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 1.10.52.
3. Kupata Greatest Common Factor ya$$9x^{2}y^{3}$$ na$$12xy^{5}$$
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 7.1.7.
4. Sababu kabisa -48n-12
Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Zoezi 7.1.31.

## Pata Denominator ya kawaida ya maneno ya busara

Tunapoongeza au kuondoa maneno ya busara na tofauti na denominators tutahitaji kupata denominators ya kawaida. Ikiwa tunapitia utaratibu tuliotumia kwa sehemu ndogo za namba, tutajua nini cha kufanya na maneno ya busara.

Hebu tuangalie mfano$$\frac{7}{12}+\frac{5}{18}$$ kutoka Misingi. Kwa kuwa denominators si sawa, hatua ya kwanza ilikuwa kupata denominator ya kawaida (LCD). Kumbuka, LCD ni angalau kawaida nyingi ya denominators. Ni idadi ndogo tunaweza kutumia kama denominator ya kawaida.

Ili kupata LCD ya 12 na 18, tuliweka kila nambari katika primes, tukiweka safu yoyote ya kawaida katika nguzo. Kisha sisi “tulileta” mkuu mmoja kutoka kila safu. Hatimaye, tuliongeza sababu za kupata LCD.

12=2·2·3

18=2·3·3

LCD=2·2·3·3

LCD=36

Tunafanya kitu kimoja kwa maneno ya busara. Hata hivyo, sisi kuondoka LCD katika fomu factored.

##### Ufafanuzi: FIND DENOMINATOR ANGALAU YA MANENO YA busara.
1. Factor kila kujieleza kabisa.
2. Orodha ya mambo ya kila kujieleza. Mechi sababu wima ikiwezekana.
3. Kuleta chini nguzo.
4. Panua mambo.

Kumbuka, sisi daima hutenganisha maadili ambayo yangeweza kufanya sifuri ya denominator. Ni maadili gani ya xv tunapaswa kuwatenga katika mfano huu ujao?

##### Mfano$$\PageIndex{1}$$

Kupata LCD kwa$$\frac{8}{x^2−2x−3}$$,$$\frac{3x}{x^2+4x+3}$$

Jibu
 $$\frac{8}{x^2−2x−3}$$,$$\frac{3x}{x^2+4x+3}$$ Fanya kila kujieleza kabisa, kuunganisha mambo ya kawaida. Kuleta chini nguzo. $$x^2−2x−3=(x−3)(x+1)$$ $$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$$ Panua mambo. LCD= (x+1) (x-3) (x+3) LCD ni (x+1) (x-1) (x-3) (x+3).
##### Mfano$$\PageIndex{2}$$

Kupata LCD kwa$$\frac{2}{x^2−x−12},\frac{1}{x^2−16}$$

Jibu

(x-4) (x+4) (x+3)

##### Mfano$$\PageIndex{3}$$

Kupata LCD kwa$$\frac{x}{x^2+8x+15},\frac{5}{x^2+9x+18}$$

Jibu

(x+3) (x+6) (x+5)

## Pata Maneno sawa ya busara

Tunapoongeza sehemu ndogo za namba, mara tu tunapopata LCD, tunaandika upya kila sehemu kama sehemu sawa na LCD.

Tutafanya kitu kimoja kwa maneno ya busara.

##### Mfano$$\PageIndex{4}$$

Andika upya kama maneno sawa ya busara na denominator (x+1) (x-1) (x+3):$$\frac{8}{x^2−2x−3}$$,$$\frac{3x}{x^2+4x+3}$$.

Jibu
 Factor kila denominator. Kupata LCD. Kuzidisha kila denominator kwa sababu 'kukosa' na kuzidisha kila nambari kwa sababu sawa. Kurahisisha nambari.
##### Mfano$$\PageIndex{5}$$

Andika upya kama maneno sawa ya busara na denominator (x+3) (x-4) (x+4):
$$\frac{2}{x^2−x−12}$$,$$\frac{1}{x^2−16}$$.

Jibu

$$\frac{2x+8}{(x−4)(x+3)(x+4)}$$,
$$\frac{x+3}{(x−4)(x+3)(x+4)}$$

##### Mfano$$\PageIndex{6}$$

Andika upya kama maneno sawa ya busara na denominator (x+3) (x+5) (x+6)
$$\frac{x}{x^2+8x+15}$$,$$\frac{5}{x^2+9x+18}$$.

Jibu

$$\frac{x^2+6x}{(x+3)(x+5)(x+6)}$$,
$$\frac{x+3}{(x+3)(x+5)(x+6)}$$

## Ongeza Maneno ya busara na madhehebu tofauti

Sasa tuna hatua zote tunayohitaji kuongeza maneno ya busara na madhehebu tofauti. Kama tulivyofanya hapo awali, tutafanya mfano mmoja wa kuongeza sehemu ndogo za namba kwanza.

##### Mfano$$\PageIndex{7}$$

Ongeza:$$\frac{7}{12}+\frac{5}{18}$$.

Jibu
 Kupata LCD ya 12 na 18. Andika upya kila sehemu kama sehemu sawa na LCD. Ongeza sehemu ndogo. Sehemu haiwezi kuwa rahisi.
##### Mfano$$\PageIndex{8}$$

Ongeza:$$\frac{11}{30}+\frac{7}{12}$$.

Jibu

$$\frac{19}{20}$$

##### Mfano$$\PageIndex{9}$$

Ongeza:$$\frac{3}{8}+\frac{9}{20}$$.

Jibu

$$\frac{33}{40}$$

Sasa tutaongeza maneno ya busara ambayo denominators ni monomials.

##### Mfano$$\PageIndex{10}$$

Ongeza:$$\frac{5}{12x^{2}y}+\frac{4}{21xy^2}$$.

Jibu
 Kupata LCD ya$$12x^{2}y$$ na$$21xy^2$$ Andika upya kila kujieleza kwa busara kama sehemu sawa na LCD. Kurahisisha. Ongeza maneno ya busara. Hakuna mambo ya kawaida kwa nambari na denominator. Sehemu haiwezi kuwa rahisi.
##### Mfano$$\PageIndex{11}$$

Ongeza:$$\frac{2}{15a^{2}b}+\frac{5}{6ab^2}$$.

Jibu

$$\frac{4b+25a}{30a^{2}b^2}$$

##### Mfano$$\PageIndex{12}$$

Ongeza:$$\frac{5}{16c}+\frac{3}{8cd^2}$$.

Jibu

$$\frac{5d^2+6}{16cd^2}$$

Sasa tuko tayari kukabiliana na madhehebu ya polynomial.

Jinsi ya Kuongeza Maneno ya busara na Denominators tofauti

##### Mfano$$\PageIndex{13}$$

Ongeza:$$\frac{3}{x−3}+\frac{2}{x−2}$$.

Jibu

##### Mfano$$\PageIndex{14}$$

Ongeza:$$\frac{2}{x−2}+\frac{5}{x+3}$$.

Jibu

$$\frac{7x−4}{(x+3)(x−2)}$$

##### Mfano$$\PageIndex{15}$$

Ongeza:$$\frac{4}{m+3}+\frac{3}{m+4}$$.

Jibu

$$\frac{7m+25}{(m+3)(m+4)}$$

Hatua za kutumia ili kuongeza maneno ya busara zinafupishwa katika sanduku la utaratibu wafuatayo.

##### Ufafanuzi: ONGEZA MANENO YA MANENO.
1. Kuamua kama maneno yana denominator ya kawaida.
Ndiyo — nenda hatua ya 2.
Hapana — Andika upya kila kujieleza mantiki na LCD.
Kupata LCD.
Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD.
2. Ongeza maneno ya busara.
3. Kurahisisha, ikiwa inawezekana.
##### Mfano$$\PageIndex{16}$$

Ongeza:$$\frac{2a}{2ab+b^2}+\frac{3a}{4a^2−b^2}$$.

Jibu
 Je, maneno yana denominator ya kawaida? Hapana. Andika upya kila kujieleza na LCD. Kupata LCD. Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD. Kurahisisha nambari. Ongeza maneno ya busara. Kurahisisha nambari. Fanya namba. Hakuna mambo ya kawaida kwa nambari na denominator. Sehemu haiwezi kuwa rahisi.
##### Mfano$$\PageIndex{17}$$

Ongeza:$$\frac{5x}{xy−y^2}+\frac{2x}{x^2+y^2}$$.

Jibu

$$\frac{x(5x+7y)}{y(x−y)(x+y)}$$

##### Mfano$$\PageIndex{18}$$

Ongeza:$$\frac{7}{2m+6}+\frac{4}{m^2+4m+3}$$.

Jibu

$$\frac{7m+15}{2(m+3)(m+1)}$$

Epuka majaribu ya kurahisisha hivi karibuni! Katika mfano hapo juu, tunapaswa kuondoka kujieleza kwanza kwa busara kama$$\frac{2a(2a−b)}{b(2a+b)(2a−b)}$$ to be able to add it to $$\frac{3a·b}{(2a+b)(2a−b)·b}$$.

##### Mfano$$\PageIndex{19}$$

Ongeza:$$\frac{8}{x^2−2x−3}+\frac{3x}{x^2+4x+3}$$.

Jibu
 Je, maneno yana denominator ya kawaida? Hapana. Andika upya kila kujieleza na LCD. Kupata LCD. Andika upya kila kujieleza kwa busara kama sehemu sawa na LCD. Kurahisisha nambari. Ongeza maneno ya busara. Kurahisisha nambari. Nambari ni mkuu, kwa hiyo hakuna sababu za kawaida.
##### Mfano$$\PageIndex{20}$$

Ongeza:$$\frac{1}{m^2−m−2}+\frac{5m}{m^2+3m+2}$$.

Jibu

$$\frac{5m^2−9m+2}{(m−2)(m+1)(m+2)}$$

##### Mfano$$\PageIndex{21}$$

Ongeza:$$\frac{2n}{n^2−3n−10}+\frac{6}{n^2+5n+6}$$.

Jibu

$$\frac{2(n2+6n−15)}{(n+2)(n−5)(n+3)}$$

## Ondoa Maneno ya busara na Denominators tofauti

Mchakato tunayotumia kuondoa maneno ya busara na denominators tofauti ni sawa na kwa kuongeza. Tunapaswa tu kuwa makini sana kwa ishara wakati wa kuondoa nambari.

Jinsi ya Kuondoa Maneno ya busara na Denominators tofauti

##### Mfano$$\PageIndex{22}$$

Ondoa:$$\frac{x}{x−3}−\frac{x−2}{x+3}$$.

Jibu

##### Mfano$$\PageIndex{23}$$

Ondoa:$$\frac{y}{y+4}−\frac{y−2}{y−5}$$.

Jibu

$$\frac{−7y+8}{(y+4)(y−5)}$$

##### Mfano$$\PageIndex{24}$$

Ondoa:$$\frac{z+3}{z+2}−\frac{z}{z+3}$$.

Jibu

$$\frac{4z+9}{(z+2)(z+3)}$$

Hatua za kuchukua ili kuondoa maneno ya busara zimeorodheshwa hapa chini.

##### Ufafanuzi: Ondoa MANENO YA MANENO.
1. Kuamua kama wana denominator ya kawaida.
Ndiyo — nenda hatua ya 2.
Hapana — Andika upya kila kujieleza mantiki na LCD.
Kupata LCD.
Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD.
2. Ondoa maneno ya busara.
3. Kurahisisha, ikiwa inawezekana.
##### Mfano$$\PageIndex{25}$$

Ondoa:$$\frac{8y}{y^2−16}−\frac{4}{y−4}$$.

Jibu
 Je, maneno yana denominator ya kawaida? Hapana. Andika upya kila kujieleza na LCD. Kupata LCD. Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD. Kurahisisha nambari. Ondoa maneno ya busara. Kurahisisha nambari. Fanya namba ya kuangalia mambo ya kawaida. Ondoa mambo ya kawaida. Kurahisisha.
##### Mfano$$\PageIndex{26}$$

Ondoa:$$\frac{2x}{x^2−4}−\frac{1}{x+2}$$.

Jibu

$$\frac{1}{x−2}$$

##### Mfano$$\PageIndex{27}$$

Ondoa:$$\frac{3}{z+3}−\frac{6z}{z^2−9}$$.

Jibu

$$\frac{−3}{z−3}$$

Kuna ishara nyingi hasi katika mfano unaofuata. Kuwa makini zaidi!

##### Mfano$$\PageIndex{28}$$

Ondoa:$$\frac{−3n−9}{n^2+n−6}−\frac{n+3}{2−n}$$.

Jibu
 Sababu ya denominator. Kwa kuwa n-1 na 2—n ni kinyume, tutazidisha maneno ya pili ya busara na$$\frac{−1}{−1}$$. Kurahisisha. Je, maneno yana denominator ya kawaida? Hapana. Kupata LCD. Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD. Kurahisisha nambari. Kurahisisha maneno ya busara. Kurahisisha nambari. Fanya namba ya kuangalia mambo ya kawaida. Kurahisisha.
##### Mfano$$\PageIndex{29}$$

Ondoa:$$\frac{3x−1}{x^2−5x−6}−\frac{2}{6−x}$$.

Jibu

$$\frac{1}{x−6}$$

##### Mfano$$\PageIndex{30}$$

Ondoa:$$\frac{−2y−2}{y^2+2y−8}−\frac{y−1}{2−y}$$.

Jibu

$$\frac{y+3}{y+4}$$

Wakati kujieleza moja si katika sehemu fomu, tunaweza kuandika kama sehemu na denominator 1.

##### Mfano$$\PageIndex{31}$$

Ondoa:$$\frac{5c+4}{c−2}−3$$.

Jibu
 Andika 3 kama$$\frac{3}{1}$$ kuwa na maneno 2 ya busara. Je! Maneno ya busara yana denominator ya kawaida? Hapana. Kupata LCD ya c-1 na 1. LCD = c-1. Andika upya$$\frac{3}{1}$$ kama kujieleza sawa na LCD. Kurahisisha. Ondoa maneno ya busara. Kurahisisha. Sababu ya kuangalia kwa sababu za kawaida. Hakuna mambo ya kawaida; kujieleza kwa busara ni rahisi.
##### Mfano$$\PageIndex{32}$$

Ondoa:$$\frac{2x+1}{x−7}−3$$.

Jibu

$$\frac{−x+22}{x−7}$$

##### Mfano$$\PageIndex{33}$$

Ondoa:$$\frac{4y+3}{2y−1}−5$$.

Jibu

$$\frac{−2(3y−4)}{2y−1}$$

##### Ufafanuzi: Ongeza au Ondoa maneno ya busara.
1. Kuamua kama maneno yana denominator ya kawaida.
Ndiyo — nenda hatua ya 2.
Hapana — Andika upya kila kujieleza mantiki na LCD.
Kupata LCD.
Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD.
2. Ongeza au uondoe maneno ya busara.
3. Kurahisisha, ikiwa inawezekana.

Sisi kufuata hatua sawa na kabla ya kupata LCD wakati tuna maneno zaidi ya mbili busara. Katika mfano unaofuata tutaanza kwa kuzingatia madhehebu yote matatu ili kupata LCD yao.

##### Mfano$$\PageIndex{34}$$

Kurahisisha:$$\frac{2u}{u−1}+\frac{1}{u}−\frac{2u−1}{u^2−u}$$.

Jibu
 Je! Maneno ya busara yana denominator ya kawaida? Hapana. Kupata LCD. Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD. Andika kama kujieleza moja ya busara. Kurahisisha. Fanya namba, na uondoe mambo ya kawaida. Kurahisisha.
##### Mfano$$\PageIndex{35}$$

Kurahisisha:$$\frac{v}{v+1}+\frac{3}{v−1}−\frac{6}{v^2−1}$$.

Jibu

$$\frac{v+3}{v+1}$$

##### Mfano$$\PageIndex{36}$$

Kuongeza mazoezi maandishi hapa.kurahisisha:$$\frac{3w}{w+2}+\frac{2}{w+7}−\frac{17w+4}{w^2+9w+14}$$.

Jibu

$$\frac{3w}{w+7}$$

## Dhana muhimu

• Pata Denominator ya kawaida ya maneno ya busara
1. Factor kila kujieleza kabisa.
2. Orodha ya mambo ya kila kujieleza. Mechi sababu wima ikiwezekana.
3. Kuleta chini nguzo.
4. Panua mambo.
• Ongeza au Ondoa Maneno ya busara
1. Kuamua kama maneno yana denominator ya kawaida.
Ndiyo — nenda hatua ya 2.
Hapana — Andika upya kila kujieleza mantiki na LCD.
• Kupata LCD.
• Andika upya kila kujieleza kwa busara kama kujieleza sawa na LCD.
2. Ongeza au uondoe maneno ya busara.
3. Kurahisisha, ikiwa inawezekana.