Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

6.2: Tumia Mali ya kuzidisha ya Watazamaji

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

  • Kurahisisha maneno na watazamaji
  • Kurahisisha maneno kwa kutumia Mali ya Bidhaa kwa Watazamaji
  • Kurahisisha maneno kwa kutumia Mali ya Nguvu kwa Watazamaji
  • Kurahisisha maneno kwa kutumia Bidhaa kwa Mali ya Nguvu
  • Kurahisisha maneno kwa kutumia mali kadhaa
  • Kuzidisha monomials
Kumbuka

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

  1. kurahisisha:3434
    Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 1.6.13.
  2. Kurahisisha:(2)(2)(2).
    Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.5.13.

Kurahisisha Maneno na Watazamaji

Kumbuka kwamba exponent inaonyesha kuzidisha mara kwa mara ya kiasi sawa. Kwa mfano,24 ina maana ya bidhaa ya4 mambo ya2, hivyo24 ina maana2·2·2·2.

Hebu tuchunguze msamiati wa maneno na watazamaji.

NUKUU YA KIELELEZO

Takwimu hii ina nguzo mbili. Katika safu ya kushoto ni kwa nguvu m. m ni lebo katika bluu kama exponent. a ni kinachoitwa katika nyekundu kama msingi. Katika safu ya haki ni maandishi “kwa m nguvu ina maana kuzidisha m sababu za a.” Chini ya hii ni kwa m nguvu sawa mara mara a, ikifuatiwa na ellipsis, na “m sababu” iliyoandikwa hapa chini katika bluu.

Hii inasomaa kwamth nguvu.

Katika kujielezaam, exponentm inatuambia mara ngapi sisi kutumia msingi a kama sababu.

Takwimu hii ina nguzo mbili. Safu ya kushoto ina cubed 4. Chini ya hii ni mara 4 mara 4, na “mambo 3" yaliyoandikwa hapa chini katika bluu. Safu ya haki ina hasi 9 hadi nguvu ya tano. Chini ya hii ni hasi mara 9 hasi mara 9 hasi mara 9 hasi mara 9 hasi 9, na “sababu 5" zilizoandikwa hapa chini katika bluu.

Kabla ya kuanza kufanya kazi na maneno variable zenye exponents, hebu kurahisisha maneno machache kuwashirikisha idadi tu.

Mfano6.2.1

Kurahisisha:

  1. 43
  2. 71
  3. (56)2
  4. (0.63)2
Jibu
  1. 43 Multiply three factors of 4.444 Simplify. 64
  2. 71Multiply one factor of 7.7
  3. (56)2 Multiply two factors. (56)(56) Simplify. 2536
  4. (0.63)2 Multiply two factors. (0.63)(0.63) Simplify. 0.3969
Mfano6.2.2

Kurahisisha:

  1. 63
  2. 151
  3. (37)2
  4. (0.43)2
Jibu
  1. 216
  2. 15
  3. 949
  4. 0.1849
Mfano6.2.3

Kurahisisha:

  1. 25
  2. 211
  3. (25)3
  4. (0.218)2
Jibu
  1. 32
  2. 21
  3. 8125
  4. 0.047524
Mfano6.2.4

Kurahisisha:

  1. (5)4
  2. 54
Jibu
  1. (5)4 Multiply four factors of 5(5)(5)(5) Simplify. 625
  2. 54 Multiply four factors of 5.(5555) Simplify. 625

Angalia kufanana na tofauti katika Mfano6.2.4 sehemu 1 na Mfano6.2.4 sehemu 2! Kwa nini majibu ni tofauti? Kama sisi kufuata utaratibu wa shughuli katika sehemu ya 1 mabano kutuambia kuongeza(5) kwa 4 th nguvu. Katika sehemu ya 2 sisi kuongeza tu5 kwa 4 th nguvu na kisha kuchukua kinyume.

Mfano6.2.5

Kurahisisha:

  1. (3)4
  2. 34
Jibu
  1. 81
  2. -81
Mfano6.2.6

Kurahisisha:

  1. (13)4
  2. 134
Jibu
  1. 169
  2. -169

Kurahisisha Maneno Kutumia Mali ya Bidhaa kwa Watazamaji

Umeona kwamba unapochanganya maneno kama hayo kwa kuongeza na kutoa, unahitaji kuwa na msingi sawa na kielelezo sawa. Lakini wakati wewe kuzidisha na kugawanya, exponents inaweza kuwa tofauti, na wakati mwingine besi inaweza kuwa tofauti, pia.

Tutaweza hupata mali ya exponents kwa kuangalia kwa mwelekeo katika mifano kadhaa.

Kwanza, tutaangalia mfano unaoongoza kwenye Mali ya Bidhaa.

  x mara za mraba x cubed.
Hii ina maana gani?
Ni mambo ngapi kabisa?
x mara x, kuzidisha kwa mara x x. x mara x ina sababu mbili. x mara x mara x ina mambo matatu. 2 pamoja 3 ni sababu tano.
Hivyo, tuna x kwa nguvu ya tano.
Kumbuka kwamba 5 ni jumla ya exponents, 2 na 3. x mara za mraba x cubed ni x kwa nguvu ya 2 pamoja na 3, au x kwa nguvu ya tano.

Tunaandika:x2x3x2+3x5

Msingi ulikaa sawa na sisi aliongeza exponents. Hii inasababisha Bidhaa Mali kwa Exponents.

BIDHAA MALI KWA EXPONENTS

Kamaa ni idadi halisi,m nan ni kuhesabu idadi, basi

aman=am+n

Ili kuzidisha na besi kama, ongeza vielelezo.

Mfano na namba husaidia kuthibitisha mali hii.

2322?=22+348?=2532=32

Mfano6.2.7

Kurahisisha:y5y6

Jibu
  y kwa nguvu ya tano mara y kwa nguvu ya sita.
Tumia mali ya bidhaa,aman=am+n. y kwa nguvu ya 5 pamoja na 6.
Kurahisisha. y kwa nguvu ya kumi na moja.
Mfano6.2.8

Kurahisisha:b9b8

Jibu

b17

Mfano6.2.9

Kurahisisha:x12x4

Jibu

x16

Mfano6.2.10

Kurahisisha:

  1. 2529
  2. 334
Jibu

a.

  2 kwa mara ya tano nguvu 2 kwa nguvu ya tisa.
Tumia mali ya bidhaa,aman=am+n. 2 kwa nguvu ya 5 pamoja na 9.
Kurahisisha. 2 kwa nguvu ya 14.

b.

  3 kwa mara ya tano nguvu 3 kwa nguvu ya nne.
Tumia mali ya bidhaa,aman=am+n. 3 kwa nguvu ya 5 pamoja na 4.
Kurahisisha. 3 kwa nguvu ya tisa.
Mfano6.2.11

Kurahisisha:

  1. 555
  2. 4949
Jibu
  1. 56
  2. 418
Mfano6.2.12

Kurahisisha:

  1. 7678
  2. 101010
Jibu
  1. 714
  2. 1011
Mfano6.2.13

Kurahisisha:

  1. a7a
  2. x27x13
Jibu

a.

  a kwa mara saba nguvu a.
Andika upya,a=a1 a kwa mara saba nguvu kwa nguvu ya kwanza.
Tumia mali ya bidhaa,aman=am+n. a kwa nguvu ya 7 pamoja na 1.
Kurahisisha. a kwa nguvu ya nane.

b.

  x kwa mara ishirini na saba nguvu x kwa nguvu kumi na tatu.
Angalia, besi ni sawa, hivyo kuongeza exponents. x kwa nguvu ya 27 pamoja na 13.
Kurahisisha. x kwa nguvu ya arobaini.
Mfano6.2.14

Kurahisisha:

  1. p5p
  2. y14y29
Jibu
  1. p6
  2. y43
Mfano6.2.15

Kurahisisha:

  1. zz7
  2. b15b34
Jibu
  1. z8
  2. b49

Tunaweza kupanua Bidhaa Mali kwa Exponents kwa sababu zaidi ya mbili.

Mfano6.2.16

Kurahisisha:d4d5d2

Jibu
  d kwa mara ya nne ya nguvu d kwa mara ya nguvu ya tano d squared.
Kuongeza exponents, tangu besi ni sawa. d kwa nguvu ya 4 pamoja na 5 pamoja na 2.
Kurahisisha. d kwa nguvu ya kumi na moja.
Mfano6.2.17

Kurahisisha:x6x4x8

Jibu

x18

Mfano6.2.18

Kurahisisha:b5b9b5

Jibu

b19

Kurahisisha Maneno Kutumia Mali ya Nguvu kwa Wasanii

Sasa hebu tuangalie usemi wa kielelezo ambao una nguvu iliyoinuliwa kwa nguvu. Angalia kama unaweza kugundua mali ya jumla.

  x mraba, katika mabano, cubed.
Hii ina maana gani?
Ni mambo ngapi kabisa?
x squared cubed ni x mara squared x mara x squared, ambayo ni x mara x, kuongezeka kwa x mara x, kuongezeka kwa x mara x. x mara x ina sababu mbili. Mbili pamoja na mbili pamoja na mbili ni sababu sita.
Hivyo tuna x kwa nguvu ya sita.
Kumbuka kwamba 6 ni bidhaa ya exponents, 2 na 3. x squared cubed ni x kwa nguvu ya mara 2 3, au x kwa nguvu ya sita.

Tunaandika:

(x2)3x23x6

Sisi kuzidisha exponents. Hii inasababisha Power Mali kwa Exponents.

NGUVU MALI KWA EXPONENTS

Ikiwaa ni idadi halisi,m nan ni namba nzima, basi

(am)n=amn

Ili kuongeza nguvu kwa nguvu, kuzidisha wafuasi.

Mfano na namba husaidia kuthibitisha mali hii.

(32)3?=323(9)3?=36729=729

Mfano6.2.19

Kurahisisha:

  1. (y5)9
  2. (44)7
Jibu

a.

  y kwa nguvu ya tano, katika mabano, kwa nguvu ya tisa.
Tumia mali ya nguvu,(am)n=amn. y kwa nguvu ya mara 5 9.
Kurahisisha. y kwa nguvu 45.

b.

  4 kwa nguvu ya nne, katika mabano, kwa nguvu ya 7.
Tumia mali ya nguvu. 4 kwa nguvu ya mara 4 7.
Kurahisisha. 4 kwa nguvu ishirini na nane.
Mfano6.2.20

Kurahisisha:

  1. (b7)5
  2. (54)3
Jibu
  1. b35
  2. 512
Mfano6.2.21

Kurahisisha:

  1. (z6)9
  2. (37)7
Jibu
  1. z54
  2. 349

Kurahisisha Maneno Kutumia Bidhaa kwa Mali ya Nguvu

Sasa tutaangalia maneno yaliyo na bidhaa inayofufuliwa kwa nguvu. Je, unaweza kupata ruwaza hii?

 What does this mean?  (2x) 3 We group the like factors together. 2x2x2x How many factors of 2 and of x?22x3 Notice that each factor was raised to the power and (2x)3 is 23x3

We write:(2x)323x3

Mtazamo hutumika kwa kila sababu! Hii inasababisha Bidhaa kwa Power Mali kwa Exponents.

BIDHAA KWA MALI NGUVU KWA EXPONENTS

Kamaa nab ni idadi halisi nam ni idadi nzima, basi

(ab)m=ambm

Ili kuongeza bidhaa kwa nguvu, ongeza kila sababu kwa nguvu hiyo.

Mfano na namba husaidia kuthibitisha mali hii:

\ [kuanza {safu} {lll} (2\ cdot 3) ^ {2} &\ stackrel {?} {=} &2 ^ {2}\ cdot 3^ {2}\ 6 ^ {2} &\ stackrel {?} {=} &4\ cdot 9\\ 36 &=&36
\ checkmark\ mwisho {array}\]

Mfano6.2.22

Kurahisisha:

  1. (9d)2
  2. (3mn)3.
Jibu

a.

  Hasi 9 d mraba.
Matumizi Nguvu ya Bidhaa Mali,(ab)m=ambm. hasi 9 squared d mraba.
Kurahisisha. 81 d mraba.
b.
  30 m katika cubed.
Matumizi Nguvu ya Bidhaa Mali,(ab)m=ambm. 3 m cubed cubed katika cubed.
Kurahisisha. 27 mm cubed katika cubed.
Mfano6.2.23

Kurahisisha:

  1. (12y)2
  2. (2wx)5
Jibu
  1. 144y2
  2. 32w5x5
Mfano6.2.24

Kurahisisha:

  1. (5wx)3
  2. (3y)3
Jibu
  1. 125w3x3
  2. 27y3

Kurahisisha Maneno kwa kutumia Mali kadhaa

Sisi sasa kuwa na mali tatu kwa ajili ya kuzidisha maneno na exponents. Hebu muhtasari yao na kisha tutaweza kufanya baadhi ya mifano kwamba matumizi ya zaidi ya moja ya mali.

MALI YA WAPIGANAJI

Ikiwaa nab ni namba halisi,m nan ni namba nzima, basi

Product Property aman=am+nPower Property (am)n=amnProduct to a Power (ab)m=ambm

Mali zote exponent kushikilia kweli kwa idadi yoyote halisim nan. Hivi sasa, sisi tu kutumia idadi nzima exponents.

Mfano6.2.25

Kurahisisha:

  1. (y3)6(y5)4
  2. (6x4y5)2
Jibu
  1. (y3)6(y5)4 Use the Power Property. y18y20 Add the exponents. y38
  2. (6x4y5)2 Use the Product to a Power Property. (6)2(x4)2(y5)2 Use the Power Property. (6)2(x8)(y10)2 Simplify. 36x8y10
Mfano6.2.26

Kurahisisha:

  1. (a4)5(a7)4
  2. (2c4d2)3
Jibu
  1. a48
  2. 8c12d6
Mfano6.2.27

Kurahisisha:

  1. (3x6y7)4
  2. (q4)5(q3)3
Jibu
  1. 81x24y28
  2. q29
Mfano6.2.28

Kurahisisha:

  1. (5m)2(3m3)
  2. (3x2y)4(2xy2)3
Jibu
  1. (5m)2(3m3) Raise 5m to the second power. 52m23m3 Simplify. 25m23m3 Use the Commutative Property. 253m2m3 Multiply the constants and add the exponents. 75m5
  2. (3x2y)4(2xy2)3Use the Product to a Power Property.(34x8y4)(23x3y6)Simplify.(81x8y4)(8x3y6)Use the Commutative Property.818x8x3y4y6Multiply the constants and add the exponents.648x11y10
Mfano6.2.29

Kurahisisha:

  1. (5n)2(3n10)
  2. (c4d2)5(3cd5)4
Jibu
  1. 75n12
  2. 81c24d30
Mfano6.2.30

Kurahisisha:

  1. (a3b2)6(4ab3)4
  2. (2x)3(5x7)
Jibu
  1. 256a22b24
  2. 40x10

Kuzidisha Monomials

Kwa kuwa monomial ni kujieleza algebraic, tunaweza kutumia mali ya exponents kuzidisha monomials.

Mfano6.2.31

Kuzidisha:(3x2)(4x3)

Jibu

\ (\ kuanza {safu} {ll} &\ kushoto (3 x ^ {2}\ kulia)\ kushoto (-4 x^ {3}\ kulia)\\ Nakala {Tumia Mali ya Kubadilisha upya masharti.} & 3\ cdot (-4)\ cdot x ^ {2}\ cdot x ^ {3}\
\ maandishi {Kuzidisha.} & -12 x^ {5}\ mwisho {safu}\)

Mfano6.2.32

Kuzidisha:(5y7)(7y4)

Jibu

35y11

Mfano6.2.33

Kuzidisha:(6b4)(9b5)

Jibu

54b9

Mfano6.2.34

Kuzidisha:(56x3y)(12xy2)

Jibu

(56x3y)(12xy2)Use the Commutative Property to rearrange the terms.5612x3xyy2Multiply.10x4y3

Mfano6.2.35

Kuzidisha:(25a4b3)(15ab3)

Jibu

6a5b6

Mfano6.2.36

Kuzidisha:(23r5s)(12r6s7)

Jibu

8r11s8

Kumbuka

Kupata rasilimali hizi online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi kwa kutumia mali kuzidisha ya exponents:

  • Kuzidisha Mali ya Watazamaji

Dhana muhimu

  • Nukuu ya kielelezo
    Takwimu hii ina nguzo mbili. Katika safu ya kushoto ni kwa nguvu m. m ni lebo katika bluu kama exponent. a ni kinachoitwa katika nyekundu kama msingi. Katika safu ya kulia ni maandishi “a kwa poda m inamaanisha kuzidisha mambo m ya a.” Chini ya hii ni kwa m nguvu sawa mara mara a, ikifuatiwa na ellipsis, na “m sababu” iliyoandikwa hapa chini katika bluu.
  • Mali ya Watazamaji
    • Ikiwaa nab ni namba halisim nan ni namba nzima, basi

Product Property aman=am+nPower Property (am)n=amnProduct to a Power (ab)m=ambm