Skip to main content
Global

2.7: Kutatua Usawa wa Linear

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177538

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Usawa wa Grafu kwenye mstari wa nambari
    • Kutatua usawa kwa kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya kukosekana kwa usawa
    • Kutatua usawa kwa kutumia Idara na Kuzidisha Mali ya kukosekana kwa usawa
    • Kutatua usawa ambayo yanahitaji kurahisisha
    • Tafsiri kwa usawa na kutatua
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tafsiri kutoka algebra hadi Kiingereza:\(15>x\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.3.1.
    2. Kutatua:\(n−9=−42\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 2.1.7.
    3. Kutatua:\(−5p=−23\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 2.2.1.
    4. Kutatua:\(3a−12=7a−20\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 2.3.22.

    Usawa wa Grafu kwenye Mstari wa Idadi

    Je, unakumbuka nini maana kwa idadi kuwa suluhisho la equation? Suluhisho la equation ni thamani ya kutofautiana ambayo inafanya taarifa ya kweli wakati kubadilishwa katika equation.

    Nini kuhusu ufumbuzi wa usawa? Nambari gani ingeweza kufanya usawa\(x > 3\) kuwa kweli? Je, unafikiri, 'x inaweza kuwa 4'? Hiyo ni sahihi, lakini x inaweza kuwa 5 pia, au 20, au hata 3.001. Nambari yoyote kubwa kuliko 3 ni suluhisho la kutofautiana\(x > 3\).

    Tunaonyesha ufumbuzi wa kutofautiana\(x > 3\) kwenye mstari wa nambari kwa kuzingatia namba zote kwa haki ya 3, ili kuonyesha kwamba namba zote zaidi ya 3 ni ufumbuzi. Kwa sababu namba 3 yenyewe sio suluhisho, tunaweka mabano ya wazi saa 3. Grafu ya\(x > 3\) inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Tafadhali kumbuka kuwa mkataba unaofuata unatumiwa: mishale ya bluu ya mwanga inaelezea mwelekeo mzuri na mishale ya bluu ya giza inaelezea mwelekeo hasi.

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko 3 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na 3, na mstari mwembamba unaoelekea haki ya mabano.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): kukosekana\(x > 3\) kwa usawa ni graphed juu ya mstari huu idadi.

    Grafu ya usawa\(x \geq 3\) ni sana kama grafu ya\(x > 3\), lakini sasa tunahitaji kuonyesha kwamba 3 ni suluhisho, pia. Sisi kufanya hivyo kwa kuweka bracket katika\(x = 3\), kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko au sawa na 3 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi katika x sawa na 3, na mstari mwekundu-kupanua hadi haki ya bracket.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): kukosekana\(x \geq 3\) kwa usawa ni graphed juu ya mstari huu idadi.

    Kumbuka kwamba alama ya wazi ya mabano, (, inaonyesha kwamba mwisho wa usawa haujajumuishwa. wazi mabano ishara, [, inaonyesha kwamba endpoint ni pamoja na.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Grafu kwenye mstari wa nambari:

    1. \(x\leq 1\)
    2. \(x<5\)
    3. \(x>−1\)
    Jibu

    1. \(x\leq 1\)Hii ina maana namba zote chini ya au sawa na 1. Sisi kivuli katika namba zote kwenye mstari wa nambari upande wa kushoto wa 1 na kuweka bracket saa x=1 ili kuonyesha kuwa imejumuishwa.
    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya au sawa na 1 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa na 1, na mstari mwekundu-kupanua upande wa kushoto wa bracket.

    2. \(x<5\)Hii ina maana namba zote chini ya 5, lakini si pamoja na 5. Sisi kivuli katika namba zote kwenye mstari wa nambari upande wa kushoto wa 5 na kuweka mabano katika x=5 ili kuonyesha haijumuishwa.
    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya 5 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na 5, na mstari mwembamba unaoelekea haki ya mabano.

    3. \(x>−1\)Hii inamaanisha namba zote kubwa kuliko -1, lakini si pamoja na -1. Sisi kivuli katika namba zote kwenye mstari wa namba kwa haki ya -1, kisha kuweka mabano katika x=-1 ili kuonyesha haijumuishwa.
    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko hasi 1 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na hasi 1, na mstari mwembamba unaoenea kwa haki ya mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Grafu kwenye mstari wa nambari:

    1. \(x\leq −1\)
    2. \(x>2\)
    3. \(x<3\)
    Jibu
    1. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya au sawa na hasi 1 hupigwa kwenye mstari wa namba, na bracket wazi saa x sawa na hasi 1, na mstari wa giza unaenea upande wa kushoto wa bracket.
    2. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko 2 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na 2, na mstari wa giza unaendelea kwa haki ya mabano.
    3. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya 3 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na 3, na mstari wa giza unaendelea upande wa kushoto wa mabano.
    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Grafu kwenye mstari wa nambari:

    1. \(x>−2\)
    2. \(x<−3\)
    3. \(x\geq −1\)
    Jibu
    1. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko hasi 2 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na hasi 2, na mstari wa giza unaenea kwa haki ya mabano.
    2. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya hasi 3 hupigwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na hasi 3, na mstari wa giza unaendelea upande wa kushoto wa mabano.
    3. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko au sawa na hasi 1 hupigwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa na hasi 1, na mstari wa giza unaenea kwa haki ya bracket.

    Tunaweza pia kuwakilisha usawa kwa kutumia muda nukuu. Kama tulivyoona hapo juu, usawa\(x>3\) unamaanisha namba zote zaidi ya 3. Hakuna mwisho juu ya ufumbuzi wa usawa huu. Katika nukuu ya muda, tunaelezea\(x>3\) kama\((3, \infty)\). Ishara\(\infty\) inasomewa kama 'infinity'. Si idadi halisi. Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha mstari wa nambari na notation ya muda.

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko 3 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na 3, na mstari mwembamba unaoelekea haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, 3 comma infinity, mabano.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Ukosefu wa usawa\(x>3\) umewekwa kwenye mstari huu wa nambari na imeandikwa katika nukuu ya muda.

    Ukosefu wa usawa\(x\leq 1\) unamaanisha namba zote chini ya au sawa na 1. Hakuna mwisho chini ya idadi hizo. Tunaandika\(x\leq 1\) katika nukuu ya muda kama\((-\infty, 1]\). Ishara\(-\infty\) inasomewa kama 'infinity hasi '. Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha mstari wa nambari na notation ya muda.

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya au sawa na 1 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa na 1, na mstari mwekundu-kupanua upande wa kushoto wa bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, hasi infinity comma 1, bracket.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Ukosefu wa usawa\(x\leq 1\) umewekwa kwenye mstari huu wa nambari na imeandikwa katika nukuu ya muda.
    UKOSEFU WA USAWA, MISTARI YA IDADI, NA NOTATION

    Takwimu hii inaonyesha mistari minne ya namba, yote bila alama za alama. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko umewekwa kwenye mstari wa kwanza wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa, na mstari mwembamba unaoelekea haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, infinity comma, mabano. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko au sawa na ni graphid kwenye mstari wa pili wa namba, na mabano ya wazi katika x sawa na, na mstari mwembamba unaoelekea kulia wa bracket. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama bracket, infinity comma, mabano. Ukosefu wa usawa x ni chini ya a umewekwa kwenye mstari wa namba ya tatu, na mabano ya wazi katika x sawa na, na mstari mwembamba unaoenea upande wa kushoto wa mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma a, mabano. Ukosefu wa usawa x ni chini ya au sawa na ni graphed kwenye mstari wa mwisho wa namba, na bracket wazi katika x sawa na, na mstari mwembamba kupanua upande wa kushoto wa bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, hasi infinity comma a, mabano.

    Je! Umeona jinsi mabano au bracket katika notation ya muda inafanana na ishara kwenye mwisho wa mshale? Mahusiano haya yanaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{5}\).

    Takwimu hii inaonyesha mistari minne sawa ya namba kama hapo juu, na maandiko sawa ya muda wa notation. Chini ya notation ya muda kwa kila mstari wa nambari, kuna maandishi yanayoonyesha jinsi notation kwenye mistari ya nambari ni sawa na notation ya muda. Nambari ya kwanza ya mstari ni grafu ya x ni kubwa kuliko, na notation ya muda ni mabano, infinity comma, mabano. Nakala hapa chini inasoma: “Wote wana mabano ya kushoto.” Nambari ya pili ya mstari ni grafu ya x ni kubwa kuliko au sawa na, na notation ya muda ni bracket, infinity comma, mabano. Nakala hapa chini inasoma: “Wote wana mabano ya kushoto.” Nambari ya tatu ya mstari ni grafu ya x ni chini ya, na notation ya muda ni mabano, hasi infinity comma a, mabano. Nakala hapa chini inasoma: “Wote wana mabano sahihi.” Nambari ya mwisho ya mstari ni grafu ya x ni chini ya au sawa na, na nukuu ya muda ni mabano, hasi infinity comma a, bracket. Nakala hapa chini inasoma: “Wote wana bracket sahihi.”
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Nukuu ya kutofautiana kwenye mstari wa namba na katika nukuu ya muda hutumia alama sawa ili kuelezea mwisho wa vipindi.
    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Grafu kwenye mstari wa nambari na uandike katika maelezo ya muda.

    1. \(x \geq -3\)
    2. \(x<2.5\)
    3. \(x\leq \frac{3}{5}\)
    Jibu

    1.

      .
    Kivuli upande wa kulia wa 1-3, na kuweka bracket saa 1-3. .
    Andika katika notation ya muda. .
    2.
      .
    Kivuli upande wa kushoto wa 2.5, na kuweka mabano saa 2.5. .
    Andika katika notation ya muda. .
    3.
      .
    Kivuli upande wa kushoto wa\(-\frac{3}{5}\), na kuweka mabano katika\(-\frac{3}{5}\). .
    Andika katika notation ya muda. .
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Grafu kwenye mstari wa nambari na uandike katika maelezo ya muda:

    1. \(x>2\)
    2. \(x\leq −1.5\)
    3. \(x\geq \frac{3}{4}\)
    Jibu
    1. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko 2 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika x sawa na 2, na mstari wa giza unaendelea kwa haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, 2 comma infinity, mabano.
    2. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya au sawa na 1.5 hasi ni graphid kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa na hasi 1.5, na mstari wa giza unaoenea upande wa kushoto wa bracket. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma hasi 1.5, bracket.
    3. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko au sawa na 3/4 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa 3/4, na mstari wa giza unapanua hadi haki ya bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, 3/4 comma infinity, mabano.
    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Grafu kwenye mstari wa nambari na uandike katika maelezo ya muda:

    1. \(x\leq −4\)
    2. \(x\geq 0.5\)
    3. \(x<-\frac{2}{3}\)
    Jibu
    1. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya au sawa na 4 hasi ni graphid kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa na hasi 4, na mstari wa giza unaoenea upande wa kushoto wa bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, hasi infinity comma hasi 4, mabano.
    2. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko au sawa na 0.5 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa x sawa na 0.5, na mstari wa giza unaenea kwa haki ya bracket. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama bracket, o.5 comma infinity, mabano.
    3. Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 5 hadi 5 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa x ni chini ya hasi 2/3 umewekwa kwenye mstari wa namba, na mabano ya wazi katika x sawa na hasi 2/3, na mstari wa giza unaoenea upande wa kushoto wa mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma hasi 2/3, mabano.

    Kutatua Usawa kwa kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa

    Mali ya Kuondoa na Kuongeza ya Usawa inasema kwamba ikiwa kiasi mbili ni sawa, tunapoongeza au kuondoa kiasi sawa kutoka kwa wingi wote, matokeo yatakuwa sawa.

    MALI YA USAWA

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}\]

    Sawa mali kushikilia kweli kwa kukosekana kwa usawa.

    Kwa mfano, tunajua kwamba -4 ni chini ya 2. .
    Ikiwa tunaondoa 5 kutoka kwa wingi wote, ni upande wa kushoto bado chini ya upande wa kulia? .
    Tunapata -9 upande wa kushoto na -3 upande wa kulia. .
    Na tunajua -9 ni chini ya 1-3. .
     

    Ishara ya kukosekana kwa usawa ilikaa sawa.

    Jedwali\(\PageIndex{1}\)

    Vile vile tunaweza kuonyesha kwamba usawa pia unakaa sawa kwa kuongeza.

    Hii inatuongoza kwenye Mali ya Kuondoa na Kuongeza ya Usawa.

    MALI YA KUTOFAUTIANA

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a < b } & { \text { if } \qquad \quad a < b } \\ { \text { then } a - c < b - c . } & { \text { then } a + c < b + c } \\\\ { \text { if } \qquad \quad a > b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}\]

    Tunatumia mali hizi kutatua kutofautiana, kuchukua hatua sawa tulizotumia kutatua equations. Kutatua usawa\(x+5>9\), hatua ingeonekana kama hii:

    \[\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}\]

    Nambari yoyote kubwa kuliko 4 ni suluhisho la usawa huu.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Tatua usawa\(n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    \(\frac{1}{2}\)Ongeza pande zote mbili za usawa. .
    Kurahisisha. .
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda.  
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha kukosekana kwa usawa p ni kubwa kuliko au sawa na 11/12. Chini ya usawa huu ni usawa uliowekwa kwenye mstari wa namba kuanzia 0 hadi 4, na alama za alama katika kila integer. Kuna mabano katika p sawa 11/12, na mstari giza inaenea na haki kutoka 11/12. Chini ya mstari wa nambari ni suluhisho lililoandikwa katika nukuu ya muda: bracket, 11/12 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha kukosekana kwa usawa r ni chini ya au sawa na 11/12. Chini ya usawa huu ni usawa uliowekwa kwenye mstari wa namba kuanzia 0 hadi 4, na alama za alama katika kila integer. Kuna mabano katika r sawa 11/12, na mstari giza inaenea kwa upande wa kushoto kutoka 11/12. Chini ya mstari wa nambari ni suluhisho lililoandikwa katika maelezo ya muda: mabano, comma hasi infinity 11/12, bracket.

    Kutatua Usawa kwa kutumia Idara na Kuzidisha Mali ya Usawa

    Mali ya Idara na Kuzidisha ya Usawa inasema kwamba ikiwa kiasi mbili ni sawa, tunapogawanya au kuzidisha wingi wote kwa kiasi sawa, matokeo pia yatakuwa sawa (isipokuwa hatugawanya na 0).

    MALI YA USAWA

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}\]

    Je, kuna mali sawa kwa kukosekana kwa usawa? Ni nini kinachotokea kwa kukosekana kwa usawa tunapogawanya au kuzidisha pande zote mbili kwa mara?

    Fikiria baadhi ya mifano ya namba.

      .   .
    Gawanya pande zote mbili kwa 5. . Panua pande zote mbili kwa 5. .
    Kurahisisha. .   .
    Jaza ishara za kukosekana kwa usawa. .   .
    Jedwali\(\PageIndex{2}\)

    Ishara za kutofautiana zilikaa sawa.

    Je, usawa hukaa sawa wakati tunapogawanya au kuzidisha kwa idadi hasi?

      .   .
    Gawanya pande zote mbili na -5. . Panua pande zote mbili kwa -5. .
    Kurahisisha. .   .
    Jaza ishara za kukosekana kwa usawa. .   .
    Jedwali\(\PageIndex{3}\)

    Ishara za kutofautiana zimebadilisha mwelekeo wao.

    Tunapogawanya au kuzidisha usawa kwa idadi nzuri, ishara ya usawa inabakia sawa. Tunapogawanya au kuzidisha usawa kwa idadi hasi, ishara ya usawa inarudi.

    Hapa ni Idara na kuzidisha Mali ya kukosekana kwa usawa kwa ajili ya kumbukumbu rahisi.

    MGAWANYIKO NA KUZIDISHA MALI YA USAWA

    Kwa idadi yoyote halisi a, b, c

    \[\begin{array}{ll} {\text{if } a < b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a < b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}\]

    Wakati sisi kugawanya au kuzidisha usawa na:

    • idadi chanya, kukosekana kwa usawa anakaa sawa.
    • idadi hasi, kukosekana kwa usawa reverses.
    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Tatua usawa\(7y<​​42\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    Gawanya pande zote mbili za usawa na 7.
    Tangu\(7>0\), ukosefu wa usawa unakaa sawa.    		 .
    Kurahisisha. .
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. .
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(9c>72\)

    Jibu

    \(c>8\)

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia 6 hadi 10 na alama za alama za kila integer. Ukosefu wa usawa c ni mkubwa kuliko 8 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mabano ya wazi katika c sawa na 8, na mstari wa giza unaendelea kwa haki ya mabano.

    \((8, \infty)\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(12d\leq 60\)

    Jibu

    \(d\leq 5\)

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia 3 hadi 7 na alama za alama za kila integer. Ukosefu wa usawa d ni chini ya au sawa na 5 umewekwa kwenye mstari wa namba, na bracket wazi katika d sawa na 5, na mstari wa giza unaendelea upande wa kushoto wa bracket. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma 5, bracket.

    \((-\infty, 5]\)

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Tatua usawa\(−10a\geq 50\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    Gawanya pande zote mbili za usawa kwa -10.
    Tangu\(−10<0\), ukosefu wa usawa unarudi.    		 .
    Kurahisisha. .
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. .
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Tatua kila usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(−8q<32\)

    Jibu

    \(q>−4\)

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia hasi 6 hadi hasi 3 na alama za kupe kwa kila integer. Ukosefu wa usawa q ni mkubwa kuliko hasi 4 umewekwa kwenye mstari wa namba, na mabano ya wazi katika q sawa na hasi 4, na mstari wa giza unaoelekea haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi 4 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Tatua kila usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(−7r\leq −70\)

    Jibu

    Takwimu hii ni mstari wa namba kuanzia 9 hadi 13 na alama za alama za kila integer. kukosekana kwa usawa r ni kubwa kuliko au sawa na 10 ni graphed kwenye mstari idadi, na mabano wazi katika r sawa 10, na mstari giza kupanua na haki ya mabano. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, 10 comma infinity, mabano.

    KUTATUA USAWA
    Wakati mwingine wakati wa kutatua usawa, kutofautiana huisha juu ya haki. Tunaweza kuandika upya kukosekana kwa usawa katika reverse kupata variable kwa upande wa kushoto.

    \[\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}\]

    Fikiria juu yake kama “Ikiwa Xavier ni mrefu kuliko Alex, basi Alex ni mfupi kuliko Xavier.”

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Tatua usawa\(-20 < \frac{4}{5}u\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    Kuzidisha pande zote mbili za kukosekana kwa usawa na\(\frac{5}{4}\).
    Tangu\(\frac{5}{4} > 0\), ukosefu wa usawa unakaa sawa.    		 .
    Kurahisisha. .
    Andika upya variable upande wa kushoto. .
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. .
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(24 \leq \frac{3}{8}m\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa m ni kubwa kuliko au sawa na 64. Chini ya usawa huu ni mstari wa namba unaoanzia 63 hadi 67 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa m ni mkubwa kuliko au sawa na 64 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi saa m sawa na 64, na mstari wa giza unaenea kwa haki ya bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, 64 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(-24 < \frac{4}{3}n\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa n ni kubwa kuliko hasi 18. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia hasi 20 hadi hasi 16 na alama za alama za kila integer. kukosekana kwa usawa n ni kubwa kuliko hasi 18 ni graphed kwenye mstari idadi, na mabano wazi katika n sawa hasi 18, na mstari giza kupanua na haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi 18 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Tatua usawa\(\frac{t}{-2} \geq 8\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    Panua pande zote mbili za usawa kwa -2.
    Tangu\(−2<0\), ukosefu wa usawa unarudi.    		 .
    Kurahisisha. .
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. .
    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(\frac{k}{-12}\leq 15\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha kukosekana kwa usawa k ni kubwa kuliko au sawa na hasi 180. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia hasi 181 hadi hasi 177 na alama za alama kwa kila integer. kukosekana kwa usawa k ni kubwa kuliko au sawa na hasi 180 ni graphed juu ya mstari idadi, na mabano wazi katika n sawa hasi 180, na mstari giza kupanua na haki ya mabano. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, hasi 180 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{21}\)

    Tatua usawa, graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    \(\frac{u}{-4}\geq -16\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa u ni chini ya au sawa na 64. Chini ya usawa huu ni mstari wa namba unaoanzia 62 hadi 66 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa u ni chini ya au sawa na 64 umewekwa kwenye mstari wa namba, na bracket wazi saa u sawa na 64, na mstari wa giza unaendelea upande wa kushoto wa bracket. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma 64, bracket.

    ​​​​​

    Kutatua Ukosefu wa usawa ambayo yanahitaji kurahisisha

    Ukosefu wa usawa zaidi utachukua hatua zaidi ya moja kutatua. Tunafuata hatua sawa tulizotumia katika mkakati wa jumla wa kutatua equations linear, lakini hakikisha kulipa kipaumbele karibu wakati wa kuzidisha au mgawanyiko.

    Zoezi\(\PageIndex{22}\)

    Tatua usawa\(4m\leq 9m+17\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    Ondoa 9m kutoka pande zote mbili kukusanya vigezo upande wa kushoto. .
    Kurahisisha. .
    Gawanya pande zote mbili za usawa kwa -5, na urekebishe usawa. .
    Kurahisisha. .
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. .
    Zoezi\(\PageIndex{23}\)

    Tatua usawa\(3q\geq 7q−23\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa q ni chini ya au sawa na 23/4. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia 4 hadi 8 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa q ni chini ya au sawa na 23/4 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi katika q sawa 23/4 (imeandikwa), na mstari wa giza unaoenea upande wa kushoto wa bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, hasi infinity comma 23/4, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{24}\)

    Tatua usawa\(6x<10x+19\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha kukosekana kwa usawa x ni kubwa kuliko hasi 19/4. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia hasi 7 hadi hasi 3, na alama za alama za kila integer. Ukosefu wa usawa x ni mkubwa kuliko hasi 19/4 umewekwa kwenye mstari wa namba, na mabano ya wazi katika x sawa na hasi 19/4 (imeandikwa), na mstari wa giza unaoenea kwa haki ya mabano. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, hasi 19/4 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{25}\)

    Tatua\(8p+3(p−12)>7p−28\) graph ya usawa ufumbuzi kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
    Kurahisisha kila upande iwezekanavyo. 8p+3 (p-12) >7p-28
    Kusambaza. 8p+3p-36>7p-28
    Kuchanganya kama maneno. 11p-36>7p-28
    Ondoa 7p kutoka pande zote mbili kukusanya vigezo upande wa kushoto. 11p-36,17p>7p>28-7p
    Kurahisisha. 4p-36>—28
    Ongeza 36 kwa pande zote mbili kukusanya mara kwa mara upande wa kulia. 4p-36+36>-28+36
    Kurahisisha. 4p>8
    Gawanya pande zote mbili za usawa na 4; usawa unakaa sawa. \(\frac{4p}{4}>84\)
    Kurahisisha. \(p>2\)
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. \((2, \infty)\)
    Zoezi\(\PageIndex{26}\)

    Tatua usawa\(9y+2(y+6)>5y−24\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha ukosefu wa usawa y ni mkubwa kuliko hasi 6. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia hasi 7 hadi hasi 3 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa y ni mkubwa kuliko hasi 6 umewekwa kwenye mstari wa namba, na mabano ya wazi katika y sawa na hasi 6, na mstari wa giza unaenea kwa haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi 6 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{27}\)

    Tatua usawa\(6u+8(u−1)>10u+32\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa u ni mkubwa kuliko 10. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia 9 hadi 13 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa u ni mkubwa kuliko 10 umewekwa kwenye mstari wa namba, na mabano ya wazi katika u sawa na 10, na mstari wa giza unaenea kwa haki ya mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, 10 comma infinity, mabano.

    Kama vile baadhi ya equations ni utambulisho na baadhi ni utata, kutofautiana inaweza kuwa utambulisho au utata, pia. Tunatambua aina hizi wakati sisi ni wa kushoto na constants tu kama sisi kutatua usawa. Ikiwa matokeo ni taarifa ya kweli, tuna utambulisho. Ikiwa matokeo ni taarifa ya uongo, tuna utata.

    Zoezi\(\PageIndex{28}\)

    Tatua usawa\(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
    Kurahisisha kila upande iwezekanavyo. 8x-2 (5,1x) <4 (x+9) +6x
    Kusambaza. 8x-10+2x<4x+36+6x
    Kuchanganya kama maneno. 10x-10<10x+36
    Ondoa 10x kutoka pande zote mbili kukusanya vigezo upande wa kushoto. 10x-10,1x<10x+36,110x
    Kurahisisha. -10<36
    xx ya ni gone, na tuna taarifa ya kweli. Ukosefu wa usawa ni utambulisho.
    Suluhisho ni namba zote halisi.
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. \((-\infty, \infty)\)
    Zoezi\(\PageIndex{29}\)

    Tatua usawa\(4b−3(3−b)>5(b−6)+2b\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa ambao ni utambulisho. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia hasi 2 hadi 2 na alama za alama kwa kila integer. Utambulisho umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mstari wa giza unapanua kwa njia zote mbili. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{30}\)

    Tatua usawa\(9h−7(2−h)<8(h+11)+8h\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa ambao ni utambulisho. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia hasi 2 hadi 2 na alama za alama kwa kila integer. Utambulisho umewekwa kwenye mstari wa nambari, na mstari wa giza unapanua kwa njia zote mbili. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{31}\)

    Tatua usawa\(\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu
      .
    Kuzidisha pande zote mbili na LCD, 24, ili kufuta sehemu ndogo. .
    Kurahisisha. .
    Kuchanganya kama maneno. .
    Ondoa 5a kutoka pande zote mbili kukusanya vigezo upande wa kushoto. .
    Kurahisisha. .
    Taarifa hiyo ni ya uongo! Ukosefu wa usawa ni utata.
      Hakuna suluhisho.
    Grafu suluhisho kwenye mstari wa nambari. .
    Andika suluhisho katika maelezo ya muda. Hakuna suluhisho.
    Zoezi\(\PageIndex{32}\)

    Tatua usawa\(\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa ambao ni utata. Chini hii ni mstari wa nambari kuanzia hasi 2 hadi 2 na alama za alama za kila integer. Hakuna usawa umewekwa kwenye mstari wa nambari. Chini ya mstari wa nambari ni taarifa: “Hakuna suluhisho.”

    Zoezi\(\PageIndex{33}\)

    Tatua usawa\(\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}\), graph suluhisho kwenye mstari wa nambari, na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa ambao ni utata. Chini hii ni mstari wa nambari kuanzia hasi 2 hadi 2 na alama za alama za kila integer. Hakuna usawa umewekwa kwenye mstari wa nambari. Chini ya mstari wa nambari ni taarifa: “Hakuna suluhisho.”

    Tafsiri kwa Usawa na Kutatua

    Ili kutafsiri sentensi za Kiingereza kwa kutofautiana, tunahitaji kutambua misemo inayoonyesha usawa. Maneno mengine ni rahisi, kama 'zaidi ya' na 'chini ya'. Lakini wengine si kama dhahiri.

    Fikiria juu ya maneno 'angalau' - inamaanisha kuwa 'angalau miaka 21'? Ina maana 21 au zaidi. Maneno 'angalau' ni sawa na 'kubwa kuliko au sawa na'.

    Jedwali\(\PageIndex{4}\) [1]linaonyesha baadhi ya misemo ya kawaida ambayo yanaonyesha kutofautiana.

    > \(\geq\) < \(\leq\)
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni kubwa kuliko \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni kubwa kuliko au sawa ni chini ya \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni chini ya au sawa
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni zaidi ya \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni angalau ni ndogo kuliko \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni zaidi
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni kubwa kuliko \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">si chini ya ina wachache \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">si zaidi
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">inazidi \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni kiwango cha chini ni chini kuliko \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">ni kiwango cha juu
    Jedwali\(\PageIndex{4}\)
    Zoezi\(\PageIndex{34}\)

    Tafsiri na kutatua. Kisha kuandika suluhisho katika notation ya muda na grafu kwenye mstari wa nambari.

    Mara kumi na mbili c si zaidi ya 96.

    Jibu
    Tafsiri. .
    Kutatua - Gawanya pande zote mbili kwa 12. .
    Kurahisisha. .
    Andika katika notation ya muda. .
    Grafu kwenye mstari wa nambari. .
    Zoezi\(\PageIndex{35}\)

    Tafsiri na kutatua. Kisha kuandika suluhisho katika notation ya muda na grafu kwenye mstari wa nambari.

    Mara ishirini y ni zaidi ya 100

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa 20y ni chini ya au sawa na 100, na kisha ufumbuzi wake: y ni chini ya au sawa na 5. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia 4 hadi 8 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa y ni chini ya au sawa na 5 umewekwa kwenye mstari wa namba, na bracket wazi saa y sawa na 5, na mstari wa giza unaendelea upande wa kushoto wa bracket. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, hasi infinity comma 5, bracket.

    Zoezi\(\PageIndex{36}\)

    Tafsiri na kutatua. Kisha kuandika suluhisho katika notation ya muda na grafu kwenye mstari wa nambari.

    Mara tisa z si chini ya 135

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa 9z ni mkubwa kuliko au sawa na 135, na kisha suluhisho lake: z ni kubwa kuliko au sawa na 15. Chini ya usawa huu ni mstari wa namba kuanzia 14 hadi 18 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa z ni mkubwa kuliko au sawa na 15 umewekwa kwenye mstari wa nambari, na bracket wazi katika z sawa na 15, na mstari wa giza unaendelea hadi haki ya bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, 15 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{37}\)

    Tafsiri na kutatua. Kisha kuandika suluhisho katika notation ya muda na grafu kwenye mstari wa nambari.

    Thelathini chini ya x ni angalau 45.

    Jibu
    Tafsiri. .
    Kutatua - Ongeza 30 kwa pande zote mbili. .
    Kurahisisha. .
    Andika katika notation ya muda. .
    Grafu kwenye mstari wa nambari. .
    Zoezi\(\PageIndex{38}\)

    Tafsiri na kutatua. Kisha kuandika suluhisho katika notation ya muda na grafu kwenye mstari wa nambari.

    Kumi na tisa chini ya p sio chini ya 47

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa p minus 19 ni kubwa kuliko au sawa na 47, na kisha ufumbuzi wake: p ni kubwa kuliko au sawa na 66. Chini ya usawa huu ni mstari wa namba unaoanzia 65 hadi 69 na alama za alama kwa kila integer. Ukosefu wa usawa p ni mkubwa kuliko au sawa na 66 umewekwa kwenye mstari wa namba, na bracket wazi katika p sawa na 66, na mstari wa giza unaendelea hadi haki ya bracket. kukosekana kwa usawa pia imeandikwa katika muda nukuu kama mabano, 66 comma infinity, mabano.

    Zoezi\(\PageIndex{39}\)

    Tafsiri na kutatua. Kisha kuandika suluhisho katika notation ya muda na grafu kwenye mstari wa nambari.

    Nne zaidi ya ni saa zaidi 15.

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha usawa pamoja na 4 ni chini ya au sawa na 15, na kisha ufumbuzi wake: a ni chini ya au sawa na 11. Chini ya usawa huu ni mstari wa nambari unaoanzia 10 hadi 14 na alama za alama kwa kila integer. kukosekana kwa usawa a ni chini ya au sawa na 11 ni graphed juu ya mstari idadi, na mabano wazi katika sawa 11, na mstari giza kupanua kwa upande wa kushoto wa mabano. Ukosefu wa usawa pia umeandikwa katika nukuu ya muda kama mabano, infinity hasi 11, bracket.

    Dhana muhimu

    • Kutoa Mali ya Kukosekana
      kwa usawa       Kwa idadi yoyote a, b, na c,
      ikiwa a<b basi a-c<b-c na
      kama a> b kisha a-c> b-c.
    • Kuongezea Mali ya Usawa
      Kwa idadi yoyote a, b, na c,
      ikiwa <b basi a+c<b+c na
      kama a> b basi a+c> b+c.
    • Idara na kuzidisha Mali ya Usawa y
      Kwa idadi yoyote a, b, na c,
      kama <b and c>0, basi ac <bc and ac>bc.
      kama a> b na c>0, basi ac>bc na ac>bc.
      kama <b na cbc<0, then ac> na ac>bc.
      kama a> b na c<0, basi ac<bc na ac<bc.
    • Wakati sisi kugawanya au kuzidisha kukosekana kwa usawa na:
      • idadi chanya, kukosekana kwa usawa anakaa sawa.
      • idadi hasi, kukosekana kwa usawa reverses.