14.7E: Mazoezi ya Sehemu ya 14.7

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178599

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kupata Pointi muhimu

Katika mazoezi 1 - 5, pata pointi zote muhimu.

1)$ f(x,y)=1+x^2+y^2$

Jibu: $ (0,0)$

2)$ f(x, y) = 1 - (x -2)^2 + (y+3)^2$

3)$ f(x,y)=(3x−2)^2+(y−4)^2$

Jibu: $ \left(\frac{2}{3},4\right)$

4)$ f(x,y)=x^4+y^4−16xy$

Jibu: $ (0,0), \quad (-2,-2), \quad (2,2)$

5)$ f(x,y)=15x^3−3xy+15y^3$

Jibu: $ (0,0), \quad \left(\frac{1}{15},\frac{1}{15}\right)$

Kutafuta Extrema & Mtihani wa Pili wa Sehemu

Katika mazoezi ya 6 - 9, pata pointi muhimu za kazi na mtihani kwa pointi za extrema au saruji kwa kutumia mbinu za algebraic (kukamilisha mraba) au kwa kuchunguza fomu ya equation. Ikiwezekana, thibitisha matokeo yako kwa kutumia Mtihani wa Pili wa Partials.

6)$ f(x,y)=-\sqrt{x^2+y^2}$

Jibu: Crit. pts.:$ (0, 0) $
Extrema:$ f$ ina upeo wa jamaa wa$0$ saa$ (0, 0)$.
Ili kuhalalisha hili, fikiria ukweli kwamba kazi ya mizizi ya mraba haiwezi kutoa thamani hasi, hivyo kazi hii haiwezi kurudi thamani nzuri. Kwa kuwa ni thamani ni$0$ katika hatua muhimu$ (0, 0)$, tunajua ni lazima kazi ya kabisa upeo thamani.

7)$ f(x,y)=−x^2−5y^2+8x−10y−13$

Jibu: Crit. pts.:$ (4, -1) $
Extrema:$ f$ ina upeo wa jamaa wa$8$ saa$ (4,−1)$.
Ili kuhalalisha hili, tunamaliza mraba juu ya kazi hii, kuwa makini kuzingatia mgawo wa maneno ya mraba kabla ya kukamilisha mraba.
\[\begin{align*} f(x, y) &= −x^2−5y^2+8x−10y−13 \\ &= −(x^2-8x\quad\quad)−5(y^2+2y\quad\quad)−13 \\ &= −(x^2-8x+16)−5(y^2+2y+1)−13+16+5 \\ &= -(x-4)^2 -5(y+1)^2+8\end{align*}\]
Kumbuka kuwa kazi hii ya quadratic polynomial inachukua fomu$ z = -(x^2 + y^2)$, hivyo tunaweza kuona kwamba itakuwa na jamaa (na, kwa kweli, kabisa) upeo katika vertex yake (hatua muhimu$ (4, -1) $). Tunaweza pia wanasema kuwa tangu sisi ni kutoa suala squared kutoka 8, hatuwezi uwezekano wa kupata thamani ya kazi kubwa kuliko 8, na tangu sisi kupata thamani ya 8 katika hatua muhimu$ (4, -1) $, tunajua itakuwa kabisa thamani ya juu ya kazi hii.

8)$ f(x,y)=x^2+y^2+2x−6y+6$

9)$ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+1$

Jibu: Crit. Pts.:$ (0, 0) $
Extrema:$ f$ ina kiwango cha chini cha jamaa cha$1$ saa$ (0,0)$.
Ili kuhalalisha hili, fikiria ukweli kwamba kazi ya mizizi ya mraba haiwezi kutoa thamani hasi, hivyo kazi hii haiwezi kurudi thamani chini ya$1$. Kwa kuwa ni thamani ni$1$ katika hatua muhimu$ (0, 0)$, tunajua$1$ lazima kazi ya kabisa thamani ya chini.

Katika mazoezi 10 - 34, kutambua pointi yoyote muhimu na kutumia Pili Patials mtihani kuamua tabia ya kazi katika kila hatua muhimu, kama kuna kiwango cha juu, kiwango cha chini, saruji uhakika, au hakuna hata haya. Ikiwa Mtihani wa Pili wa Partials unashindwa, tambua tabia ya kazi wakati huo ukitumia njia nyingine na uhakikishe jibu lako wazi.

10)$ f(x,y)=−x^3+4xy−2y^2+1$

11)$ f(x,y)=x^2y^2$

Jibu: Crit. pts.: pointi zote kwenye mistari$ x = 0 $ na$ y = 0$ ni pointi muhimu ya kazi hii.
Exrema: Pili Partials mtihani inashindwa.
$ x^2y^2>0$Kwa kuwa kwa wote$ x$ na$ y$ tofauti na sifuri, na$ x^2y^2=0$ wakati ama$ x$ au$ y$ sawa na sifuri (au wote wawili), basi kiwango cha chini kabisa cha$0$ hutokea wakati wote juu ya$x$ - au$y$ -axes, yaani, kwa pointi zote kwenye mistari$ x = 0 $ na$ y = 0$.

12)$ f(x,y)=x^2−6x+y^2+4y−8$

13)$ f(x,y)=2xy+3x+4y$

Jibu: Crit. pts.:$ \left(−2,−\frac{3}{2}\right) $
Exrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ \left(−2,−\frac{3}{2},−6\right) $.

14)$ f(x,y)=8xy(x+y)+7$

15)$ f(x,y)=x^2+4xy+y^2$

Jibu: Crit. pts.:$ (0,0) $
Exrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ (0,0,0)$.

16)$ f(x,y)=x^3+y^3−300x−75y−3$

17)$ f(x,y)=9−x^4y^4$

Jibu: Crit. pts.: pointi zote kwenye mistari$ x = 0 $ na$ y = 0$ ni pointi muhimu ya kazi hii.
Extrema: Pili Partials mtihani inashindwa.
Tangu neno$ -x^4y^4<0$ kwa wote$ x$ na$ y$ tofauti na sifuri, na$ -x^4y^4=0$ wakati ama$ x$ au$ y$ sawa na sifuri (au wote wawili), basi kazi hii haiwezi kufikia thamani kubwa kuliko$9$ mahali popote, lakini$9$ iko kwenye pointi muhimu. Hivyo$f$ ina upeo$9$ kabisa wa pointi zote juu ya$x$ - au$y$ -axes, yaani, kwa pointi zote kwenye mistari$ x = 0 $ na$ y = 0$.

18)$ f(x,y)=x^2+10xy+y^2$

Jibu: Crit. pts.:$ (0,0) $
Extrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ (0,0,0)$.

19)$f(x,y) = x^4 + y^2 + 2xy + 3$

Jibu: Crit. pts.:$ (0,0), \quad \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \quad \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $
Extrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ (0, 0, 3) $,
$f$ ina kiwango cha chini ndani ya$ 2.75$ katika hatua$ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.
$f$ina kiwango cha chini ya ndani ya katika$ 2.75$ hatua$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

20)$ f(x,y)=7x^2y+9xy^2$

21)$ f(x,y)=3x^2−2xy+y^2−8y$

Jibu: Crit. pts.:$ (2,6) $
Extrema:$f$ ina kiwango cha chini cha jamaa$ -24$ kilichopo$ (2,6)$.

22)$ f(x,y)=3x^2+2xy+y^2$

23)$ f(x,y)=y^2+xy+3y+2x+3$

Jibu: Crit. pts.:$ (1,−2) $
Extrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ (1,−2,1)$.

24)$ f(x,y)=x^2+xy+y^2−3x$

25)$ f(x,y)=x^2+2y^2−x^2y$

Jibu: Crit. pts.:$ (0,0), \quad (-2,1), \quad (2,1)$
Extrema:$f$ ina kiwango cha chini cha jamaa cha$0$ saa$ (0,0) $ na saruji pointi katika$ (2,1,2)$ na$ (−2,1,2)$.

26)$ f(x,y)=x^2+y−e^y$

27)$ f(x,y)=e^{−(x^2+y^2+2x)}$

Jibu: Crit. pts.:$ (-1,0) $
Extrema:$f$ ina upeo wa jamaa wa$ e $ iko katika$ (-1,0)$.
Angalia tatizo hili mfano katika CalcPlot3D.

28)$ f(x,y)=x^2+xy+y^2−x−y+1$

29)$f(x,y) = x^2y(9 - x + y)$

Jibu: Crit. pts.:$ \left(\frac{9}{2},-\frac{9}{4}\right), \quad (9,0)$, na pointi zote kwenye mstari$x = 0$
Extrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ (9,0,0)$ na jamaa chini ya$-102.515625$ saa$ \left(\frac{9}{2},-\frac{9}{4}\right)$.
Katika pointi muhimu kwenye mstari$x = 0$,$f$ hana extrema jamaa wala pointi saruji, lakini hawana kuwakilisha aina ya kupitia nyimbo juu ya uso.

30)$ f(x,y)=−x^2−5y^2+10x−30y−62$

31)$ f(x,y)=120x+120y−xy−x^2−y^2$

Jibu: Crit. pts.:$ (40,40) $
Extrema:$f$ ina upeo wa jamaa wa$ 4800 $ iko katika$ (40,40)$.

32)$ f(x,y)=2x^2+2xy+y^2+2x−3$

33)$ f(x,y)=x^2+x−3xy+y^3−5$

Jibu: Crit. pts.:$ \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ na$(1, 1) $
Extrema:$f$ ina saruji uhakika katika$ \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}, -\frac{79}{16}\right)$ na jamaa chini ya$ -5 $ saa$ (1,1)$.

34)$ f(x,y)=2xye^{−x^2−y^2}$

Katika mazoezi 35 - 37, tambua maadili uliokithiri na pointi za kitanda. Tumia CAS ili graph kazi.

35) [T]$ f(x,y)=ye^x−e^y$

Jibu

Sehemu ya kitanda iko$ (0,0,-1).$

36) [T]$ f(x,y)=x\sin(y)$

37) [T]$ f(x,y)=\sin(x)\sin(y),\quad x∈(0,2π),\quad y∈(0,2π)$

Jibu

Kuna saruji uhakika katika maxima$ (π,π),$ ndani katika$ \left(\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right)$ na$ \left(\frac{3π}{2},\frac{3π}{2}\right)$, na minima ndani katika$ \left(\frac{π}{2},\frac{3π}{2}\right)$ na$ \left(\frac{3π}{2},\frac{π}{2}\right)$.

$Mpango wa uso wa kazi f (x, y) = dhambi (x) dhambi (y)$

Katika mazoezi 38 - 41, pata extrema kabisa ya kazi iliyotolewa kwenye kuweka iliyofungwa na imefungwa$R$.

38)$f(x,y)=xy−x−3y$ wapi$R$ kanda ya triangular yenye vipeo$(0,0), \, (0,4),$ na$(5,0)$.

39) Pata maadili ya juu kabisa na ya$f(x,y)=x^2+y^2−2y+1$ chini ya kanda$R=\big\{(x,y) \, | \, x^2+y^2≤4\big\}.$

Jibu: $(0,1,0)$ni kiwango cha chini kabisa na$(0,−2,9)$ ni kiwango cha juu kabisa.

40)$f(x,y)=x^3−3xy−y^3$ juu$R=\big\{(x,y) \, | \, −2≤x≤2,\;−2≤y≤2\big\}$

41)$f(x,y)=\dfrac{−2y}{x^2+y^2+1}$ juu$R=\big\{(x,y) \, | \, x^2+y^2≤4\big\}$

Jibu: Kuna kiwango cha chini kabisa$(0,1,−1)$ na kiwango cha juu kabisa saa$(0,−1,1)$.

42) Pata namba tatu nzuri$27$, jumla ya ambayo ni, kiasi cha mraba wao ni ndogo iwezekanavyo.

43) Pata pointi juu ya uso$x^2−yz=5$ ulio karibu na asili.

Jibu: $\left(\sqrt{5},0,0\right), \; \left(−\sqrt{5},0,0\right)$

44) Pata kiasi cha juu cha sanduku la mstatili na nyuso tatu katika ndege za kuratibu na vertex katika octant ya kwanza kwenye mstari$x+y+z=1$.

45) Jumla ya urefu na girth (mzunguko wa sehemu ya msalaba) wa mfuko uliofanywa na huduma ya utoaji hauwezi kuzidi$108$. Pata vipimo vya mfuko wa mstatili wa kiasi kikubwa ambacho kinaweza kutumwa.

Jibu: $18$na$36$ kwa$18$ ndani.

46) Sanduku la kadi bila kifuniko linapaswa kufanywa kwa kiasi cha$4$ ft ³. Pata vipimo vya sanduku ambayo inahitaji kiasi kidogo cha kadi.

47) Pata uhakika juu ya uso$f(x,y)=x^2+y^2+10$ karibu na ndege$x+2y−z=0.$ Tambua uhakika kwenye ndege.

Jibu: $\left(\frac{47}{24},\frac{47}{12},\frac{235}{24}\right)$

48) Pata uhakika katika ndege$2x−y+2z=16$ iliyo karibu na asili.

49) Kampuni inazalisha aina mbili za viatu vya riadha: viatu vya kutembea na wakufunzi wa msalaba. Mapato ya jumla kutoka kwa$x$ vitengo vya viatu vya kutembea na$y$ vitengo vya wakufunzi wa msalaba hutolewa$x$ na$R(x,y)=−5x^2−8y^2−2xy+42x+102y,$ wapi na$y$ ni katika maelfu ya vitengo. Kupata maadili ya$x$ na$y$ kuongeza jumla ya mapato.

Jibu: $x=3$na$y=6$

50) kampuni ya meli inashughulikia masanduku mstatili zinazotolewa jumla ya urefu, upana, na urefu wa sanduku hayazidi$96$ katika. Pata vipimo vya sanduku linalokutana na hali hii na ina kiasi kikubwa zaidi.

51) Pata kiasi cha juu cha soda ya cylindrical inaweza kuwa kiasi cha urefu wake na mduara ni$120$ cm.

Jibu: $V=\dfrac{64,000}{π}≈20,372\text{ cm}^3$

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc
Paul Seeburger (Monroe Community College) kuundwa matatizo 19 na 29, na kuongeza takwimu nguvu kwa ajili ya matatizo 27 na 35.