14.5E: Mazoezi ya Sehemu ya 14.5

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178586

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 6, tumia taarifa iliyotolewa ili kutatua tatizo.

1) Hebu$ w(x,y,z)=xy\cos z,$ wapi$ x=t,y=t^2,$ na$ z=\arcsin t.$ Tafuta$ \dfrac{dw}{dt}$.

Jibu: $ \dfrac{dw}{dt}=y\cos z+x\cos z(2t)−\dfrac{xy\sin z}{\sqrt{1−t^2}}$

2) Hebu$ w(t,v)=e^{tv}$ wapi$ t=r+s$ na$ v=rs$. Kupata$ \dfrac{∂w}{∂r}$ na$ \dfrac{∂w}{∂s}$.

3) Kama$ w=5x^2+2y^2, \quad x=−3u+v,$ na$ y=u−4v,$ kupata$ \dfrac{∂w}{∂u}$ na$ \dfrac{∂w}{∂v}$.

Jibu: $ \dfrac{∂w}{∂u}=−30x+4y \quad\ = \quad -30(-3u + v) + 4(u - 4v) \quad = \quad 90u -30v + 4u - 16v \quad = \quad 94u - 46v$,
$\dfrac{∂w}{∂v}=10x−16y \quad\ = \quad 10(-3u + v) - 16(u - 4v) \quad = \quad -30u +10v - 16u + 64v \quad = \quad -46u + 74v$

4) Kama$ w=xy^2,x=5\cos(2t),$ na$ y=5\sin(2t)$, kupata$ \dfrac{∂w}{∂t}$.

5) Kama$ f(x,y)=xy,x=r\cos θ,$ na$ y=r\sin θ$, kupata$\dfrac{∂f}{∂r}$ na kueleza jibu katika suala la$ r$ na$ θ$.

Jibu: $ \dfrac{∂f}{∂r}=r\sin(2θ)$

6) Tuseme$ f(x,y)=x+y,u=e^x\sin y,\quad x=t^2$ na$ y=πt$, wapi$ x=r\cos θ$ na$ y=r\sin θ$. Kupata$ \dfrac{∂f}{∂θ}$.

Katika mazoezi 7 - 12,$ \dfrac{dz}{dt}$ tafuta kwa njia mbili, kwanza kutumia utawala wa mnyororo na kisha kwa ubadilishaji wa moja kwa moja.

7)$ z=x^2+y^2, \quad x=t,y=t^2$

Jibu: $ \dfrac{dz}{dt}=2t+4t^3$

8)$ z=\sqrt{x^2+y^2},\quad y=t^2,x=t$

9)$ z=xy,\quad x=1−\sqrt{t},y=1+\sqrt{t}$

Jibu: $ \dfrac{dz}{dt}=−1$

10)$ z=\frac{x}{y},\quad x=e^t,y=2e^t$

11)$ z=\ln(x+y), \quad x=e^t,y=e^t$

Jibu: $ \dfrac{dz}{dt}=1$

12)$ z=x^4,\quad x=t,y=t$

13) Hebu$ w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, \quad x=cost,y=sint,$ na$ z=e^t$. Express$ w$ kama kazi ya$ t$ na kupata$ \dfrac{dw}{dt}$ moja kwa moja. Kisha, tafuta$ \dfrac{dw}{dt}$ kutumia utawala wa mnyororo.

Jibu: $ \dfrac{dw}{dt}=2e^{2t}$katika kesi zote mbili

14) Hebu$ z=x^2y,$ wapi$ x=t^2$ na$ y=t^3$. Kupata$ \dfrac{dz}{dt}$.

15) Hebu$ u=e^x\sin y,$ wapi$ x=-\ln 2t$ na$ y=πt$. Pata$ \dfrac{du}{dt}$$ x=\ln 2$ lini na$ y=\frac{π}{4}$.

Jibu: $ \dfrac{du}{dt} = \sqrt{2}\big(\pi - 4\big)$

Katika mazoezi 16 - 33, pata$ \dfrac{dy}{dx}$ kutumia derivatives ya sehemu.

16)$ \sin(6x)+\tan(8y)+5=0$

17)$ x^3+y^2x−3=0$

Jibu: $ \dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{3x^2+y^2}{2xy}$

18)$ \sin(x+y)+\cos(x−y)=4$

19)$ x^2−2xy+y^4=4$

Jibu: $ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y−x}{−x+2y^3}$

20)$ xe^y+ye^x−2x^2y=0$

21)$ x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$

Jibu: $ \dfrac{dy}{dx}=−\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

22)$ x\cos(xy)+y\cos x=2$

23)$ e^{xy}+ye^y=1$

Jibu: $ \dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{ye^{xy}}{xe^{xy}+e^y(1+y)}$

24)$ x^2y^3+\cos y=0$

25) Kupata$ \dfrac{dz}{dt}$ kutumia utawala mnyororo ambapo$ z=3x^2y^3,\,\,x=t^4,$ na$ y=t^2$.

Jibu: $ \dfrac{dz}{dt}=42t^{13}$

26) Hebu$ z=3\cos x−\sin(xy),x=\frac{1}{t},$ na$ y=3t.$ Tafuta$ \dfrac{dz}{dt}$.

27) Hebu$ z=e^{1−xy},\,\, x=t^{1/3},$ na$ y=t^3$. Kupata$ \dfrac{dz}{dt}$.

Jibu: $ \dfrac{dz}{dt}=−\frac{10}{3}t^{7/3}×e^{1−t^{10/3}}$

28) Tafuta$ \dfrac{dz}{dt}$ kwa utawala wa mnyororo wapi$ z=\cosh^2(xy),\,\,x=\frac{1}{2}t,$ na$ y=e^t$.

29) Hebu$ z=\dfrac{x}{y},\,\, x=2\cos u,$ na$ y=3\sin v.$ Tafuta$ \dfrac{∂z}{∂u}$ na$ \dfrac{∂z}{∂v}$.

Jibu: $ \dfrac{∂z}{∂u}=\dfrac{−2\sin u}{3\sin v}$na$ \dfrac{∂z}{∂v}=\dfrac{−2\cos u\cos v}{3\sin^2v}$

30) Hebu$ z=e^{x^2y}$, wapi$ x=\sqrt{uv}$ na$ y=\frac{1}{v}$. Kupata$ \dfrac{∂z}{∂u}$ na$ \dfrac{∂z}{∂v}$.

31) Kama$ z=xye^{x/y},\,\, x=r\cos θ,$ na$ y=r\sin θ$, kupata$ \dfrac{∂z}{∂r}$ na$ \dfrac{∂z}{∂θ}$ wakati$ r=2$ na$ θ=\frac{π}{6}$.

Jibu: $ \dfrac{∂z}{∂r}=\sqrt{3}e^{\sqrt{3}}, \dfrac{∂z}{∂θ}=(2−4\sqrt{3})e^{\sqrt{3}}$

32) Tafuta$ \dfrac{∂w}{∂s}$ ikiwa$ w=4x+y^2+z^3,\,\,x=e^{rs^2},\,\,y=\ln(\frac{r+s}{t}),$ na$ z=rst^2$.

33) Kama$ w=\sin(xyz),\,\,x=1−3t,\,\,y=e^{1−t},$ na$ z=4t$, kupata$ \dfrac{∂w}{∂t}$.

Jibu: $ \dfrac{∂w}{∂t}=-3yz\cos(xyz)−xze^{1−t}\cos(xyz)+4xy\cos(xyz)$

Katika mazoezi 34 - 36, tumia habari hii: Kazi$ f(x,y)$ inasemekana kuwa sawa ya shahada$ n$ kama$ f(tx,ty)=t^nf(x,y)$. Kwa kazi zote zinazofanana za shahada$ n$, equation ifuatayo ni ya kweli:$ x\dfrac{∂f}{∂x}+y\dfrac{∂f}{∂y}=nf(x,y)$. Onyesha kwamba kazi iliyotolewa ni sawa na uhakikishe kuwa$ x\dfrac{∂f}{∂x}+y\dfrac{∂f}{∂y}=nf(x,y)$.

34)$ f(x,y)=3x^2+y^2$

35)$ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$

Jibu: $ f(tx,ty)=\sqrt{t^2x^2+t^2y^2}=t^1f(x,y), \quad \dfrac{∂f}{∂y}=x\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{−1/2}×2x+y\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{−1/2}×2y=1f(x,y)$

36)$ f(x,y)=x^2y−2y^3$

37) Kiasi cha silinda ya mviringo sahihi hutolewa na$ V(x,y)=πx^2y,$ wapi$ x$ radius ya silinda na$ y$ ni urefu wa silinda. Tuseme$ x$ na$ y$ ni kazi ya$ t$ kutolewa$ x=\frac{1}{2}t$ na$ y=\frac{1}{3}t$ hivyo kwamba$ x$ na wote$ y$ ni kuongezeka kwa muda. Je! Kiwango kinaongezeka kwa kasi wakati$ x=2$ na$ y=5$? Tuseme muda unapimwa kwa sekunde.

Jibu: $ \ddfrac{dV}{dt} = \frac{34π}{3}\,\text{units}^3/\text{s}$

38) Shinikizo$ P$ la gesi linahusiana na kiasi na joto kwa formula$ PV=kT$, ambapo joto linaelezwa katika kelvins. Eleza shinikizo la gesi kama kazi ya wote wawili$ V$ na$ T$. Kupata$ \dfrac{dP}{dt}$ wakati$ k=1, \dfrac{dV}{dt}=2$ cm ³ /min,$ \dfrac{dT}{dt}=12$ K/min,$ V=20 cm^3$, na$ T=20°F$.

39) Radius ya koni ya mviringo ya mviringo inaongezeka kwa$ 3$ cm/min wakati urefu wa koni unapungua kwa$ 2$ cm/min. Pata kiwango cha mabadiliko ya kiasi cha koni wakati radius ni$ 13$ cm na urefu ni$ 18$ cm.

Jibu: $ \dfrac{dV}{dt}=\frac{1066π}{3}\,\text{cm}^3/\text{min}$

40) Kiasi cha frustum ya koni kinatolewa na formula$ V=\frac{1}{3}πz(x^2+y^2+xy),$ ambapo$ x$ ni radius ya mduara mdogo,$ y$ ni radius ya mduara mkubwa, na$ z$ ni urefu wa frustum (angalia takwimu). Pata kiwango cha mabadiliko ya kiasi cha frustum hii wakati$ x=10$ unapoingia.,$y=12$ in., na$ z=18$ ndani.

$Frustum ya koni yenye urefu z, radius ya juu ya x na radius ya chini ya y.$

41) Sanduku lililofungwa liko katika sura ya imara ya mstatili na vipimo$ x,y,$ na$ z$. (Vipimo ni katika inchi.) Tuseme kila mwelekeo ni kubadilisha kwa kiwango cha$ 0.5$ katika. /min. Pata kiwango cha mabadiliko ya eneo la jumla la eneo la sanduku wakati$ x=2$ unapoingia.,$y=3$ ndani., na$ z=1$ ndani.

Jibu: $ \dfrac{dA}{dt}=12\, \text{in.}^2/\text{min}$

42) Upinzani wa jumla katika mzunguko una upinzani wa mtu binafsi unaowakilishwa$ x,y,$ na$ z$ hutolewa na formula$ R(x,y,z)=\dfrac{xyz}{yz+xz+xy}$. Tuseme kwa wakati fulani$ x$ upinzani ni$ 100\,Ω$,$ y$ upinzani ni$ 200\,Ω,$ na$ z$ upinzani$ 300\,Ω.$ pia, tuseme$ x$ upinzani unabadilika kwa kiwango$ 2\,Ω/\text{min},$ cha$ y$ upinzani unabadilika kwa kiwango cha$ 1\,Ω/\text{min}$, na $ z$upinzani hana mabadiliko. Pata kiwango cha mabadiliko ya upinzani wa jumla katika mzunguko huu kwa wakati huu.

43) Joto$ T$ katika hatua$ (x,y)$ ni$ T(x,y)$ na linapimwa kwa kutumia kiwango cha Celsius. Kuruka kwa kuruka ili msimamo wake baada ya$ t$ sekunde utolewe$ x=\sqrt{1+t}$ na$ y=2+\frac{1}{3}t$, wapi$ x$ na$ y$ hupimwa kwa sentimita. Kazi ya joto hutimiza$ T_x(2,3)=4$ na$ T_y(2,3)=3$. Je! Joto linaongezeka kwa kasi kwa njia ya kuruka baada ya$ 3$ sec?

Jibu: $ 2$°C/sec

44)$ y$ Vipengele$ x$ na vipengele vya maji yanayohamia katika vipimo viwili vinatolewa na kazi zifuatazo:$ u(x,y)=2y$$ v(x,y)=−2x$ na kwa$x≥0$ na$y≥0$. Kasi ya maji katika hatua$ (x,y)$ ni$ s(x,y)=\sqrt{u(x,y)^2+v(x,y)^2}$. Pata$ \dfrac{∂s}{∂x}$ na$ \dfrac{∂s}{∂y}$ kutumia utawala wa mnyororo.

45) Hebu$ u=u(x,y,z),$ wapi$ x=x(w,t),\, y=y(w,t),\, z=z(w,t),\, w=w(r,s)$, na$ t=t(r,s).$ Matumizi mti mchoro na utawala mnyororo kupata kujieleza kwa$ \dfrac{∂u}{∂r}$.

Jibu: $ \frac{∂u}{∂r}=\frac{∂u}{∂x}(\frac{∂x}{∂w}\frac{∂w}{∂r}+\frac{∂x}{∂t}\frac{∂t}{∂r})+\frac{∂u}{∂y}(\frac{∂y}{∂w}\frac{∂w}{∂r}+\frac{∂y}{∂t}\frac{∂t}{∂r})+\frac{∂u}{∂z}(\frac{∂z}{∂w}\frac{∂w}{∂r}+\frac{∂z}{∂t}\frac{∂t}{∂r})$