14.1: Kazi za Vigezo kadhaa

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178600

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Tambua kazi ya vigezo viwili na kutambua uwanja wake na upeo.
Mchoro grafu ya kazi ya vigezo viwili.
Mchoro athari kadhaa au curves ngazi ya kazi ya vigezo mbili.
Tambua kazi ya vigezo vitatu au zaidi na kutambua nyuso zake za ngazi.

Hatua yetu ya kwanza ni kuelezea kazi gani ya kutofautiana zaidi ya moja, kuanzia na kazi za vigezo viwili vya kujitegemea. Hatua hii ni pamoja na kutambua uwanja na aina mbalimbali za kazi hizo na kujifunza jinsi ya kuzipiga. Sisi pia kuchunguza njia za kuhusisha grafu ya kazi katika vipimo vitatu kwa grafu ya kazi zaidi ya kawaida planar.

Kazi za Vigezo viwili

Ufafanuzi wa kazi ya vigezo viwili ni sawa na ufafanuzi wa kazi ya kutofautiana moja. Tofauti kuu ni kwamba, badala ya maadili ya ramani ya kutofautiana moja kwa maadili ya kutofautiana mwingine, sisi ramani awali jozi ya vigezo kwa variable mwingine.

Ufafanuzi: kazi ya vigezo viwili

kazi ya vigezo mbili$z=f(x,y)$ ramani kila jozi awali$(x,y)$ katika subset$D$ ya ndege halisi$R^2$ ya kipekee ya idadi halisi z. Seti$D$ inaitwa uwanja wa kazi. mbalimbali ya$f$ ni seti ya namba zote halisi z ambayo ina angalau moja kuamuru jozi$f(x,y)=z$ kama kwamba$(x,y)∈D$ kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{1}$.

Sura ya bulbous ni alama ya kikoa na ina uhakika (x, y). Kutoka hatua hii, kuna mshale alama f kwamba pointi kwa uhakika z juu ya mstari wa moja kwa moja alama mbalimbali. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: uwanja wa kazi ya vigezo viwili lina jozi zilizoamriwa$(x,y)$.

Kuamua uwanja wa kazi ya vigezo viwili kunahusisha kuzingatia vikwazo vyovyote vya kikoa ambavyo vinaweza kuwepo. Hebu tuangalie.

Mfano$\PageIndex{1}$: Domains and Ranges for Functions of Two Variables

Pata kikoa na upeo wa kila kazi zifuatazo:

$f(x,y)=3x+5y+2$
$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$

Suluhisho

a Hii ni mfano wa kazi linear katika vigezo viwili. Hakuna maadili au mchanganyiko wa$x$ na$y$ kwamba sababu ya$f(x,y)$ kuwa undefined, hivyo uwanja wa$f$ ni$R^2$. Kuamua upeo, kwanza chagua thamani kwa z. Tunahitaji kupata suluhisho la equation$f(x,y)=z,$ au Suluhisho$3x−5y+2=z.$ moja kama hiyo inaweza kupatikana kwa kuweka kwanza$y=0$, ambayo huzaa equation$3x+2=z$. ufumbuzi wa equation hii ni$x=\dfrac{z−2}{3}$, ambayo inatoa jozi kuamuru$\left(\dfrac{z−2}{3},0\right)$ kama ufumbuzi wa equation$f(x,y)=z$ kwa thamani yoyote ya$z$. Kwa hiyo, kazi mbalimbali ni namba zote halisi, au$R$.

b Kwa kazi$g(x,y)$ kuwa na thamani halisi, wingi chini ya mizizi ya mraba lazima iwe isiyo na hasi:

\[ 9−x^2−y^2≥0. \nonumber \]

Ukosefu huu unaweza kuandikwa kwa fomu

\[ x^2+y^2≤9. \nonumber \]

Kwa hiyo, uwanja wa$g(x,y)$ sisi$\{(x,y)∈R^2∣x^2+y^2≤9\}$. Grafu ya seti hii ya pointi inaweza kuelezewa kama disk ya radius 3 iliyozingatia asili. Kikoa kinajumuisha mduara wa mipaka kama inavyoonekana kwenye grafu ifuatayo.

Mduara wa radius tatu na kituo cha asili. Equation x2 + y2 = 9 inapewa. — Kielelezo$\PageIndex{2}$: Kikoa cha kazi$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$ ni disk iliyofungwa ya radius 3.

Kuamua aina mbalimbali ya$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$ sisi kuanza na uhakika$(x_0,y_0)$ juu ya mipaka ya uwanja, ambayo inaelezwa na uhusiano$x^2+y^2=9$. Inafuata kwamba$x^2_0+y^2_0=9$ na

\[ \begin{align*} g(x_0,y_0) =\sqrt{9−x^2_0−y^2_0} \\[4pt] =\sqrt{9−(x^2_0+y^2_0)}\\[4pt] =\sqrt{9−9}\\[4pt] =0. \end{align*}\]

Ikiwa$x^2_0+y^2_0=0$ (kwa maneno mengine$x_0=y_0=0)$, basi

\[ \begin{align*} g(x_0,y_0) =\sqrt{9−x^2_0−y^2_0}\\[4pt] =\sqrt{9−(x^2_0+y^2_0)}\\[4pt] =\sqrt{9−0}=3. \end{align*}\]

Hii ni thamani ya juu ya kazi. Kutokana na thamani yoyote$c$ kati$0$ na$3$, tunaweza kupata seti nzima ya pointi ndani ya uwanja wa$g$ vile$g(x,y)=c:$

\[\begin{align*} \sqrt{9−x^2−y^2} =c \\[4pt] 9−x^2−y^2 =c^2 \\[4pt] x^2+y^2 =9−c^2. \end{align*}\]

Tangu$9−c^2>0$, hii inaelezea mduara wa radius$\sqrt{9−c^2}$ unaozingatia asili. Hatua yoyote juu ya mduara huu satisfies equation$g(x,y)=c$. Kwa hiyo, aina mbalimbali ya kazi hii inaweza kuandikwa katika nukuu ya muda kama$[0,3].$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Pata uwanja na aina mbalimbali za kazi$f(x,y)=\sqrt{36−9x^2−9y^2}$.

Kidokezo

Tambua seti ya jozi zilizoamriwa ambazo hazifanyi radicna hasi.

Suluhisho

Kikoa ni mduara$\{(x, y) | x^2+y^2≤4 \}$ wa kivuli unaofafanuliwa na usawa$x^2+y^2≤4$, ambao una mduara wa radius$2$ kama mipaka yake. Mipangilio ni$[0,6].$

$Mduara wa radius mbili na kituo cha asili. Equation x2 + y2 ≤ 4 inapewa.$

Graphing Kazi ya Vigezo viwili

Tuseme tunataka graph kazi Kazi$z=f(x,y).$ hii ina vigezo mbili huru ($x$na$y$) na moja tegemezi variable$(z)$. Wakati wa kuchora kazi$y=f(x)$ ya kutofautiana moja, tunatumia ndege ya Cartesian. Tuna uwezo wa kuchora jozi$(x,y)$ yoyote iliyoamriwa kwenye ndege, na kila hatua katika ndege ina jozi iliyoamriwa$(x,y)$ inayohusishwa nayo. Pamoja na kazi ya vigezo viwili, kila jozi$(x,y)$ iliyoamriwa katika uwanja wa kazi ni mapped kwa idadi halisi$z$. Kwa hiyo, grafu ya kazi$f$ ina triples zilizoamriwa$(x,y,z)$. Grafu ya kazi$z=f(x,y)$ ya vigezo viwili inaitwa uso.

Ili kuelewa kabisa dhana ya kupanga njama ya triples zilizoamriwa ili kupata uso katika nafasi tatu-dimensional, fikiria mfumo wa$(x,y)$ kuratibu uliowekwa gorofa. Kisha, kila hatua katika uwanja wa kazi f ina$z$ thamani ya kipekee inayohusishwa nayo. Ikiwa$z$ ni chanya, basi hatua iliyochapishwa iko juu ya$xy$ -ndege, ikiwa$z$ ni hasi, basi hatua iliyopigwa iko chini ya$xy$ -ndege. Seti ya pointi zote zilizopigwa huwa uso wa pande mbili ambazo ni grafu ya kazi$f$.

Mfano$\PageIndex{2}$: Graphing Functions of Two Variables

Unda grafu ya kila kazi zifuatazo:

$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$
$f(x,y)=x^2+y^2$

Suluhisho

a Katika Mfano$\PageIndex{2}$, tuliamua kwamba uwanja wa$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$ ni$\{(x,y)∈R^2∣x^2+y^2≤9\}$ na upeo ni$\{z∈R^2∣0≤z≤3\}$. Wakati$x^2+y^2=9$ tuna$g(x,y)=0$. Kwa hiyo hatua yoyote kwenye mduara wa Radius$3$ unaozingatia katika asili katika ramani$xy$ -plane$z=0$ katika$R^3$. Kama$x^2+y^2=8$, basi$g(x,y)=1,$ hivyo hatua yoyote juu ya mduara wa Radius$2\sqrt{2}$ unaozingatia katika asili katika ramani$xy$ -plane$z=1$ katika$R^3$. Kama$x^2+y^2$ anapata karibu na sifuri, thamani ya$z$ mbinu$3$. Wakati$x^2+y^2=0$, basi$g(x,y)=3$. Hii ni asili katika$xy$ -plane Kama$x^2+y^2$ ni sawa na thamani nyingine yoyote kati ya$0$ na$9$, kisha$g(x,y)$ sawa na baadhi ya mara kwa mara nyingine kati$0$ na$3$. Uso ulioelezwa na kazi hii ni hemisphere iliyozingatia asili na radius$3$ kama inavyoonekana kwenye grafu ifuatayo.

Hemisphere iliyo na kituo cha asili. Ulinganisho z = g (x, y) = mzizi wa mraba wa wingi (9 — x2 — y2) hutolewa. — Kielelezo$\PageIndex{3}$: Grafu ya hemisphere iliyowakilishwa na kazi iliyotolewa ya vigezo viwili.

b. kazi hii pia ina kujieleza$x^2+y^2$. Kuweka maneno haya sawa na maadili mbalimbali kuanzia saa sifuri, tunapata miduara ya radius inayoongezeka. Thamani ya chini ya$f(x,y)=x^2+y^2$ ni sifuri (kupatikana wakati$x=y=0.$. Wakati$x=0$, kazi inakuwa$z=y^2$, na wakati$y=0$, basi kazi inakuwa$z=x^2$. Hizi ni sehemu ya msalaba wa grafu, na ni parabolas. Kumbuka kutoka Utangulizi wa Vectors katika Nafasi kwamba jina la grafu ya$f(x,y)=x^2+y^2$ ni paraboloid. Grafu ya$f$ inaonekana katika grafu ifuatayo.

Paraboloid yenye vertex katika asili. Equation z = f (x, y) = x2 + y2 inapewa. — Kielelezo$\PageIndex{4}$: paraboloid ni grafu ya kazi iliyotolewa ya vigezo viwili.

Mfano$\PageIndex{3}$: Nuts and Bolts

Kazi ya faida kwa mtengenezaji wa vifaa hutolewa na

\[f(x,y)=16−(x−3)^2−(y−2)^2, \nonumber \]

$x$wapi idadi ya karanga zinazouzwa kwa mwezi (kipimo kwa maelfu) na$y$ inawakilisha idadi ya bolts zinazouzwa kwa mwezi (kipimo kwa maelfu). Faida hupimwa kwa maelfu ya dola. Mchoro grafu ya kazi hii.

Suluhisho

Kazi hii ni kazi ya polynomial katika vigezo viwili. Kikoa cha$f$ lina jozi za$(x,y)$ kuratibu zinazotoa faida isiyo ya hasi:

\[ \begin{align*} 16−(x−3)^2−(y−2)^2 ≥ 0 \\[4pt] (x−3)^2+(y−2)^2 ≤ 16. \end{align*}\]

Hii ni disk ya radius$4$ unaozingatia$(3,2)$. Kizuizi zaidi ni kwamba wote wawili$x$ na$y$ lazima wasio na hasi. Wakati$x=3$ na$y=2, f(x,y)=16.$ Kumbuka kwamba inawezekana kwa thamani yoyote kuwa noninteger; kwa mfano, inawezekana kuuza karanga$2.5$ elfu kwa mwezi. Kwa hiyo, uwanja huo una maelfu ya pointi, hivyo tunaweza kufikiria pointi zote ndani ya diski. Kwa yoyote$z<16$, tunaweza kutatua equation$f(x,y)=16:$

\[ \begin{align*} 16−(x−3)^2−(y−2)^2 =z \\[4pt] (x−3)^2+(y−2)^2 =16−z. \end{align*}\]

Kwa kuwa$z<16,$ tunajua kwamba$16−z>0,$ hivyo equation uliopita inaeleza mduara na Radius$\sqrt{16−z}$ unaozingatia katika hatua$(3,2)$. Kwa hiyo. mbalimbali ya$f(x,y)$ ni graph$\{z∈\mathbb{R}|z≤16\}.$ ya$f(x,y)$ pia paraboloid, na hii paraboloid pointi chini kama inavyoonekana.

Kituo cha paraboloid inaonekana kwenye mhimili z chanya. Ulinganisho z = f (x, y) = 16 - (x - 3) 2 - (y - 2) 2 hutolewa. — Kielelezo$\PageIndex{5}$: Grafu ya kazi iliyotolewa ya vigezo viwili pia ni paraboloid.

Ngazi Curves

Kama hikers kutembea pamoja trails rugged, wanaweza kutumia ramani topographical ambayo inaonyesha jinsi steeply trails mabadiliko. Ramani ya kijiografia ina mistari iliyopigwa inayoitwa mistari ya contour. Kila mstari wa contour unafanana na pointi kwenye ramani ambayo ina mwinuko sawa (Kielelezo$\PageIndex{6}$). Curve ya ngazi ya kazi ya vigezo viwili$f(x,y)$ ni sawa kabisa na mstari wa contour kwenye ramani ya kijiografia.

Takwimu hii ina takwimu mbili alama a na b Kielelezo inaonyesha ramani topographic ya mnara wa Ibilisi, ambayo ina mistari yake karibu sana pamoja ili kuonyesha ardhi ya eneo mwinuko sana. Kielelezo b kinaonyesha picha ya mnara wa Ibilisi, ambayo ina pande nyingi sana. — Kielelezo$\PageIndex{6}$: (a) Ramani ya ramani ya mnara wa Ibilisi, Wyoming. Mistari iliyo karibu pamoja inaonyesha eneo la mwinuko sana. (b) Picha ya mtazamo wa mnara wa Ibilisi inaonyesha jinsi pande zake zilivyo mwinuko. Angalia juu ya mnara ina sura sawa na katikati ya ramani topographical.

Ufafanuzi: curves ngazi

Kutokana na kazi$f(x,y)$ na idadi$c$ katika aina mbalimbali ya$f$, Curve ngazi ya kazi ya vigezo mbili kwa thamani$c$ hufafanuliwa kuwa seti ya pointi kuridhisha equation$f(x,y)=c.$

Kurudi kwenye kazi$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$, tunaweza kuamua viwango vya ngazi ya kazi hii. Aina mbalimbali$g$ ni muda uliofungwa$[0,3]$. Kwanza, sisi kuchagua idadi yoyote katika kipindi hiki kufungwa-kusema,$c=2$. Curve ngazi sambamba na$c=2$ ni ilivyoelezwa na equation

\[ \sqrt{9−x^2−y^2}=2. \nonumber \]

Ili kurahisisha, mraba pande zote mbili za equation hii:

\[ 9−x^2−y^2=4. \nonumber \]

Sasa, kuzidisha pande zote mbili za equation$−1$ na kuongeza$9$ kwa kila upande:

\[ x^2+y^2=5. \nonumber \]

Equation hii inaelezea mduara unaozingatia katika asili na radius$\sqrt{5}$. Kutumia maadili ya$c$ kati$0$ na$3$ mavuno miduara mingine pia katikati ya asili. Ikiwa$c=3$, basi mduara una radius$0$, hivyo inajumuisha tu asili. Kielelezo$\PageIndex{7}$ ni grafu ya curves ngazi ya kazi hii sambamba$c=0,1,2,$ na$3$. Kumbuka kuwa katika derivation ya awali inaweza kuwa inawezekana kwamba sisi ilianzisha ufumbuzi wa ziada kwa squaring pande zote mbili. Hii sio hapa kwa sababu aina mbalimbali za kazi ya mizizi ya mraba sio hasi.

Duru tatu za makini na kituo cha asili. Mduara mkubwa uliowekwa c = 0 una radius ya 3. Mzunguko wa kati uliowekwa c = 1 una radius kidogo chini ya 3. Mduara mdogo zaidi uliowekwa c = 2 una radius kidogo zaidi ya 2. — Kielelezo$\PageIndex{7}$: Ngazi ya curves ya kazi$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$, kutumia$c=0,1,2,$ na$3 (c=3$ inalingana na asili).

Grafu ya curves mbalimbali za ngazi ya kazi inaitwa ramani ya contour.

Mfano$\PageIndex{4}$: Making a Contour Map

Kutokana na kazi$f(x,y)=\sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}$, pata safu ya ngazi inayofanana na$c=0$. Kisha uunda ramani ya contour kwa kazi hii. Je, ni uwanja na aina gani$f$?

Suluhisho

Ili kupata curve ngazi kwa$c=0,$ sisi kuweka$f(x,y)=0$ na kutatua. Hii inakupa

$0=\sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}$.

Sisi kisha mraba pande zote mbili na kuzidisha pande zote mbili za equation na$−1$:

$4x^2+y^2−8x+4y−8=0.$

Sasa, tunapanga upya masharti, kuweka$x$ maneno pamoja na$y$ masharti pamoja, na$8$ kuongeza kila upande:

$4x^2−8x+y^2+4y=8.$

Kisha, tunakusanya jozi ya maneno yaliyo na tofauti sawa katika mabano, na sababu$4$ kutoka kwa jozi ya kwanza:

$4(x^2−2x)+(y^2+4y)=8.$

Kisha tunamaliza mraba katika kila jozi ya mabano na kuongeza thamani sahihi upande wa kulia:

$4(x^2−2x+1)+(y^2+4y+4)=8+4(1)+4.$

Kisha, tunaweka upande wa kushoto na kurahisisha upande wa kulia:

$4(x−1)^2+(y+2)^2=16.$

Mwisho, tunagawanya pande zote mbili$16:$

$\dfrac{(x−1)^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{16}=1.\label{conteq0}$

Equation hii inaelezea duaradufu unaozingatia katika$(1,−2).$ Grafu ya duaradufu hii inaonekana katika grafu ifuatayo.

duaradufu na kituo cha (1, —2), kuu mhimili wima na urefu 8, na ndogo mhimili usawa wa urefu 4. — Kielelezo$\PageIndex{8}$: Level Curve ya kazi$f(x,y)=\sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}$ sambamba na$c=0$

Tunaweza kurudia derivation sawa kwa maadili ya$c$ chini ya$4.$ Kisha, Equation\ ref {conteq0} inakuwa

$\dfrac{4(x−1)^2}{16−c^2}+\dfrac{(y+2)^2}{16−c^2}=1$

kwa thamani holela ya$c$. Kielelezo$\PageIndex{9}$ kinaonyesha ramani ya contour kwa$f(x,y)$ kutumia maadili$c=0,1,2,$ na$3$. Wakati$c=4,$ Curve ngazi ni hatua$(−1,2)$.

mfululizo wa duaradufu nne makini na kituo cha (1, -2). Moja kubwa ni alama c = 0 na ina mhimili mkubwa wima na urefu 8 na mhimili mdogo usawa wa urefu 4. Moja ndogo zaidi ni alama c = 1 na ni ndogo kidogo tu. Ya pili ni alama c = 2 na c = 3 na inazidi kuwa ndogo. Hatimaye, kuna hatua alama c = 4 katika kituo cha (1, —2). — Kielelezo$\PageIndex{9}$: Contour ramani kwa ajili ya kazi kwa$f(x,y)=\sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}$ kutumia maadili$c=0,1,2,3,$ na$4$.

Kutafuta Domain & Range

Kwa kuwa hii ni kazi ya mizizi ya mraba, radicana haipaswi kuwa hasi. Hivyo tuna

\[8+8x−4y−4x^2−y^2\ge 0 \nonumber \]

Kutambua kwamba mipaka ya kikoa ni ellipse, tunarudia hatua tulizoonyesha hapo juu ili kupata

\[\dfrac{(x−1)^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{16}\le 1 \nonumber \]

Hivyo uwanja wa$f$ inaweza kuandikwa:$\big\{ (x,y) \,|\, \frac{(x−1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{16}\le 1 \big\}.$

Ili kupata aina mbalimbali ya$f,$ tunahitaji kufikiria matokeo iwezekanavyo ya kazi hii ya mizizi ya mraba. Tunajua pato hawezi kuwa hasi, hivyo tunahitaji kuangalia ijayo kama pato lake ni milele$0.$ Kutoka kazi sisi kukamilika juu ya kupata Curve ngazi kwa$c = 0,$ tunajua thamani ya$f$ ni$0$ kwa hatua yoyote juu ya kwamba Curve ngazi (juu ya duaradufu,$\frac{(x−1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{16}=1$). Hivyo tunajua chini amefungwa ya aina mbalimbali ya kazi hii ni$0.$

Kuamua juu ya kufungwa kwa aina mbalimbali ya kazi katika tatizo hili, ni rahisi kama sisi kwanza kukamilisha mraba chini ya radical.

\ [kuanza {align*} f (x, y) &=\ sqrt {8+8x-4y-4x^2y-y ^ 2}\\ [5pt]
&=\ sqrt {8 - 4 (x ^ 2 - 2x\ quad) - (y ^ 2 + 4y\ quad)}\\ [5pt]
&=\ sqrt {8 - 4 (x ^ 2 - 2 x +1 - 1) - (y ^ 2 + 4y + 4 - 4)}\\ [5pt]
&=\ sqrt {8 - 4 (x ^ 2 - 2x +1) + 4 - (y ^ 2 + 4y + 4) +4}\\ [5pt]
&=\ sqrt {16 - 4 (x-1) ^2 - (y+2) ^2}\ mwisho {align*}\]

Sasa kwa kuwa tuna$f$ fomu hii, tunaweza kuona jinsi radicand kubwa inaweza kuwa. Kwa kuwa tunatoa viwanja viwili kamili kutoka$16,$ tunajua kwamba thamani ya radicana haiwezi kuwa kubwa kuliko$16.$ Wakati$(1, -2),$ tunaweza kuona radicand itakuwa 16 (tangu tutatoa$0$ kutoka$16$ wakati huu. Hii inatupa thamani ya juu ya$f$, yaani$f(1, -2) = \sqrt{16} = 4.$

Hivyo mbalimbali ya kazi hii ni$[0, 4].$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Pata na graph safu ya ngazi ya kazi$g(x,y)=x^2+y^2−6x+2y$ inayofanana na$c=15.$

Kidokezo

Kwanza, weka$g(x,y)=15$ na kisha ukamilisha mraba.

Suluhisho

Equation ya Curve ngazi inaweza kuandikwa kama$(x−3)^2+(y+1)^2=25,$ ambayo ni mduara na radius$5$ unaozingatia$(3,−1).$

$Mduara wa radius 5 na kituo cha (3, -1).$

Chombo kingine muhimu cha kuelewa grafu ya kazi ya vigezo viwili inaitwa kufuatilia wima. Ngazi curves daima graphed katika$xy-plane$, lakini kama jina lao ina maana, athari wima ni graphed katika$xz$ - au$yz$ -ndege.

Ufafanuzi: athari za wima

Fikiria kazi$z=f(x,y)$ na kikoa$D⊆\mathbb{R}^2$. Mtazamo wa wima wa kazi unaweza kuwa ama seti ya pointi ambazo hutatua equation$f(a,y)=z$ kwa mara kwa mara fulani$x=a$ au$f(x,b)=z$ kwa mara kwa mara$y=b.$

Mfano$\PageIndex{5}$: Finding Vertical Traces

Kupata athari wima kwa ajili ya kazi$f(x,y)=\sin x \cos y$ sambamba$x=−\dfrac{π}{4},0,$ na$\dfrac{π}{4}$, na$y=−\dfrac{π}{4},0$, na$\dfrac{π}{4}$.

Suluhisho

Kuweka kwanza$x=−\dfrac{π}{4}$ katika equation$z=\sin x \cos y:$

$z=\sin(−\dfrac{π}{4})\cos y=−\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}≈−0.7071\cos y.$

Hii inaelezea grafu ya cosine katika ndege$x=−\dfrac{π}{4}$. Maadili mengine ya z yanaonekana katika meza ifuatayo.

Mwelekeo wa$xz-Plane$ wima Sambamba na Kazi$f(x,y)=\sin x \cos y$
$c$	Wima Trace kwa$x=c$
\ (c\)” style="wima align:katikati; ">$−\dfrac{π}{4}$	\ (x=c\)” style="wima align:middle; ">$z=−\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}$
\ (c\)” style="wima align:katikati; "> 0	\ (x=c\)” style="wima align:middle; ">$z=0$
\ (c\)” style="wima align:katikati; ">$\dfrac{π}{4}$	\ (x=c\)” style="wima align:middle; ">$z=\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}$

Kwa mtindo kama huo, tunaweza mbadala$y-values$ katika equation$f(x,y)$ kupata athari katika$yz-plane,$ kama waliotajwa katika meza zifuatazo.

Mwelekeo wa$yz-Plane$ wima Sambamba na Kazi$f(x,y)=\sin x \cos y$
$d$	Wima Trace kwa$y=d$
\ (d\)” style="wima align:katikati; ">$\dfrac{π}{4}$	\ (y=d\)” style="wima align:middle; ">$z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}$
\ (d\)” style="wima align:katikati; "> 0	\ (y=d\)” style="wima align:middle; ">$z=\sin x$
\ (d\)” style="wima align:katikati; ">$−\dfrac{π}{4}$	\ (y=d\)” style="wima align:middle; ">$z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}$

athari tatu katika$xz-plane$ ni kazi cosine; athari tatu katika$yz-plane$ ni kazi sine. Curves hizi zinaonekana katika makutano ya uso na ndege$x=−\dfrac{π}{4},x=0,x=\dfrac{π}{4}$ na$y=−\dfrac{π}{4},y=0,y=\dfrac{π}{4}$ kama inavyoonekana katika takwimu ifuatayo.

Takwimu hii ina takwimu mbili zilizowekwa alama a na b Katika takwimu a, kazi hutolewa kwa vipimo vitatu na inaingiliana na ndege tatu za sambamba x-z saa y = ± π/4 na 0. Katika takwimu b, kazi hutolewa kwa vipimo vitatu na inaingiliana na ndege tatu za sambamba za y-z saa x = ± π/4 na 0. — Kielelezo$\PageIndex{10}$: athari wima ya kazi$f(x,y)$ ni cosine curves katika$xz-planes$ (a) na sine curves katika$yz-planes$ (b).

Zoezi$\PageIndex{3}$

Kuamua equation ya kufuatilia wima ya kazi$g(x,y)=−x^2−y^2+2x+4y−1$ sambamba na$y=3$, na kuelezea grafu yake.

Kidokezo: Weka$y=3$ katika equation$z=−x^2−y^2+2x+4y−1$ na kukamilisha mraba.
Suluhisho: $z=3−(x−1)^2$. Kazi hii inaelezea parabola kufungua chini katika ndege$y=3$.

Kazi ya vigezo viwili vinaweza kuzalisha nyuso zenye kushangaza. Kielelezo$\PageIndex{11}$ kinaonyesha mifano miwili.

Takwimu hii ina takwimu mbili zilizowekwa alama a na b Katika takwimu a, kazi f (x, y) = x2 dhambi y inapewa; ina baadhi ya mali sinusoidal na ongezeko kama mraba pamoja na maximums ya kazi sine. Katika takwimu b, kazi f (x, y) = dhambi (ex) cos (ln y) inapewa kwa vipimo vitatu; inapungua kwa upole kutoka kona karibu (—2, 20) lakini kisha inaonekana kuungana katika mfululizo wa mikunjo ambayo ni sambamba na shoka x na y. — Kielelezo$\PageIndex{11}$: Mifano ya nyuso anayewakilisha kazi ya vigezo viwili: (a) mchanganyiko wa kazi ya nguvu na kazi ya sine na (b) mchanganyiko wa kazi za trigonometric, kielelezo, na logarithmic.

Kazi za Vigezo Zaidi ya mbili

Hadi sasa, tuna kuchunguza kazi tu ya vigezo mbili. Hata hivyo, ni muhimu kuangalia kwa kifupi kazi za vigezo zaidi ya mbili. Mifano miwili kama hiyo ni

\[ \underbrace{f(x,y,z)=x^2−2xy+y^2+3yz−z^2+4x−2y+3x−6}_{\text{a polynomial in three variables}} \nonumber \]

\[g(x,y,t)=(x^2−4xy+y^2)\sin t−(3x+5y)\cos t. \nonumber \]

Katika kazi ya kwanza,$(x,y,z)$ inawakilisha hatua katika nafasi, na kazi$f$ ramani kila hatua katika nafasi kwa wingi wa nne, kama vile joto au kasi ya upepo. Katika kazi ya pili,$(x,y)$ inaweza kuwakilisha hatua katika ndege, na$t$ inaweza kuwakilisha wakati. Kazi inaweza ramani uhakika katika ndege kwa wingi wa tatu (kwa mfano, shinikizo) kwa wakati fulani$t$. Njia ya kutafuta uwanja wa kazi ya vigezo zaidi ya mbili ni sawa na njia ya kazi za vigezo moja au mbili.

Mfano$\PageIndex{6}$: Domains for Functions of Three Variables

Pata uwanja wa kila kazi zifuatazo:

$f(x,y,z)=\dfrac{3x−4y+2z}{\sqrt{9−x^2−y^2−z^2}}$
$g(x,y,t)=\dfrac{\sqrt{2t−4}}{x^2−y^2}$

Suluhisho:

a. kazi ya$f(x,y,z)=\dfrac{3x−4y+2z}{\sqrt{9−x^2−y^2−z^2}}$ kuelezwa (na kuwa thamani halisi), hali mbili lazima kushikilia:

Denominator haiwezi kuwa sifuri.
Radicand haiwezi kuwa hasi.

Kuchanganya hali hizi husababisha kukosekana kwa usawa

\[9−x^2−y^2−z^2>0.\nonumber \]

Kuhamisha vigezo kwa upande mwingine na kugeuza usawa hutoa uwanja kama

\[domain(f)=\{(x,y,z)∈R^3∣x^2+y^2+z^2<9\},\nonumber \]

ambayo inaelezea mpira wa Radius$3$ unaozingatia katika asili. (Kumbuka: Uso wa mpira haujumuishwa katika uwanja huu.)

b Kwa kazi ya$g(x,y,t)=\dfrac{\sqrt{2t−4}}{x^2−y^2}$ kufafanuliwa (na kuwa thamani halisi), hali mbili zinapaswa kushikilia:

Radicand haiwezi kuwa hasi.
Denominator haiwezi kuwa sifuri.

Kwa kuwa radicand haiwezi kuwa hasi, hii ina maana$2t−4≥0$, na kwa hiyo hiyo$t≥2$. Kwa kuwa denominator haiwezi kuwa sifuri$x^2−y^2≠0$,, au$x^2≠y^2$, Ambayo inaweza kuandikwa upya kama$y=±x$, ambayo ni milinganyo ya mistari miwili inayopitia asili. Kwa hiyo, uwanja wa$g$ ni

\[ domain(g)=\{(x,y,t)|y≠±x,t≥2\}. \nonumber \]

Zoezi$\PageIndex{4}$

Pata uwanja wa kazi$h(x,y,t)=(3t−6)\sqrt{y−4x^2+4}$.

Kidokezo: Angalia maadili ambayo hufanya radicands hasi au denominators sawa na sifuri.
Suluhisho: \[domain(h)=\{(x,y,t)\in \mathbb{R}^3∣y≥4x^2−4\} \nonumber \]

Kazi ya vigezo mbili na curves ngazi, ambayo ni umeonyesha kama curves katika$xy-plane.$ Hata hivyo, wakati kazi ina vigezo tatu, curves kuwa nyuso, ili tuweze kufafanua nyuso ngazi kwa ajili ya kazi ya vigezo tatu.

Ufafanuzi: kiwango cha uso wa kazi ya vigezo vitatu

Kutokana na kazi$f(x,y,z)$ na idadi$c$ katika aina mbalimbali ya$f$, uso ngazi ya kazi ya vigezo tatu hufafanuliwa kuwa seti ya pointi kuridhisha equation$f(x,y,z)=c.$

Mfano$\PageIndex{7}$: Finding a Level Surface

Pata uso wa ngazi kwa kazi$f(x,y,z)=4x^2+9y^2−z^2$ inayofanana na$c=1$.

Suluhisho

Uso wa ngazi hufafanuliwa na equation Equation$4x^2+9y^2−z^2=1.$ Hii inaelezea hyperboloid ya karatasi moja kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{12}$.

Takwimu hii ina takwimu nne. Ya kwanza ni alama c = 0 na ina koni mbili (yaani, nappes mbili) na kilele chao katika asili. Ya pili ni alama c = 1 na inaonekana inashangaza sawa na ya kwanza isipokuwa kwamba hakuna kilele ambacho mbegu hukutana: badala yake, nappes mbili zinaunganishwa. Vile vile, takwimu inayofuata iliyowekwa c = 2 ina nappes mbili zinaunganisha, lakini wakati huu uhusiano wao ni mkubwa (yaani, radius ya uhusiano wao ni mkubwa). takwimu ya mwisho alama c = 3 pia ina nappes mbili kuungana katika mtindo hata kubwa. — Kielelezo$\PageIndex{12}$: Hyperboloid ya karatasi moja na baadhi ya nyuso zake za ngazi.

Zoezi$\PageIndex{5}$

Pata equation ya uso wa ngazi ya kazi

\[ g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2−2x+4y−6z \nonumber \]

sambamba$c=2,$ na kuelezea uso, kama inawezekana.

Kidokezo: Weka$g(x,y,z)=c$ na ukamilisha mraba.
Suluhisho: (x-1) ^2+ (y+2) ^2+ (z-3) ^2=16\) inaelezea nyanja ya radius$4$ iliyozingatia katika hatua$(1,−2,3).$

Muhtasari

Grafu ya kazi ya vigezo viwili ni uso ndani$\mathbb{R}^3$ na inaweza kujifunza kwa kutumia curves ngazi na athari wima.
Seti ya curves ya ngazi inaitwa ramani ya contour.

Mlinganyo muhimu

Wima kufuatilia

$f(a,y)=z$kwa$x=a$ au$f(x,b)=z$ kwa$y=b$

Ngazi ya uso wa kazi ya vigezo vitatu

$f(x,y,z)=c$

faharasa

ramani ya contour: njama ya curves mbalimbali za ngazi ya kazi iliyotolewa$f(x,y)$

kazi ya vigezo viwili: kazi$z=f(x,y)$ ambayo ramani kila jozi awali$(x,y)$ katika subset$D$$R^2$ ya kipekee idadi halisi$z$

grafu ya kazi ya vigezo viwili: seti ya triples zilizoamriwa$(x,y,z)$ ambazo zinatimiza equation$z=f(x,y)$ iliyopangwa katika nafasi tatu-dimensional Cartesian

kiwango Curve ya kazi ya vigezo viwili: seti ya pointi kuridhisha equation$f(x,y)=c$ kwa baadhi ya idadi halisi$c$ katika aina mbalimbali ya$f$

ngazi ya uso wa kazi ya vigezo vitatu: seti ya pointi kuridhisha equation$f(x,y,z)=c$ kwa baadhi ya idadi halisi$c$ katika aina mbalimbali ya$f$

uso: grafu ya kazi ya vigezo viwili,$z=f(x,y)$

kufuatilia wima: seti ya triples awali$(c,y,z)$ kwamba kutatua equation$f(c,y)=z$ kwa mara kwa mara kupewa$x=c$ au seti ya triples awali$(x,d,z)$ kwamba kutatua equation$f(x,d)=z$ kwa mara kutokana$y=d$

\(c\)	Wima Trace kwa\(x=c\)
\ (c\)” style="wima align:katikati; ">\(−\dfrac{π}{4}\)	\ (x=c\)” style="wima align:middle; ">\(z=−\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}\)
\ (c\)” style="wima align:katikati; "> 0	\ (x=c\)” style="wima align:middle; ">\(z=0\)
\ (c\)” style="wima align:katikati; ">\(\dfrac{π}{4}\)	\ (x=c\)” style="wima align:middle; ">\(z=\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}\)

\(d\)	Wima Trace kwa\(y=d\)
\ (d\)” style="wima align:katikati; ">\(\dfrac{π}{4}\)	\ (y=d\)” style="wima align:middle; ">\(z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}\)
\ (d\)” style="wima align:katikati; "> 0	\ (y=d\)” style="wima align:middle; ">\(z=\sin x\)
\ (d\)” style="wima align:katikati; ">\(−\dfrac{π}{4}\)	\ (y=d\)” style="wima align:middle; ">\(z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}\)

Ufafanuzi: kazi ya vigezo viwili

Mfano\(\PageIndex{1}\): Domains and Ranges for Functions of Two Variables

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mfano\(\PageIndex{2}\): Graphing Functions of Two Variables

Mfano\(\PageIndex{3}\): Nuts and Bolts

Ufafanuzi: curves ngazi

Mfano\(\PageIndex{4}\): Making a Contour Map

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Ufafanuzi: athari za wima

Mfano\(\PageIndex{5}\): Finding Vertical Traces

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\): Domains for Functions of Three Variables

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Ufafanuzi: kiwango cha uso wa kazi ya vigezo vitatu

Mfano\(\PageIndex{7}\): Finding a Level Surface

Zoezi\(\PageIndex{5}\)