14.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 14.1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178617

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini kila kazi kwenye maadili yaliyoonyeshwa.

1)$ W(x,y)=4x^2+y^2.$ Tafuta$ W(2,−1), W(−3,6)$.

Jibu: $ W(2,−1) = 17,\quad W(−3,6) = 72$

2)$ W(x,y)=4x^2+y^2$. Kupata$ W(2+h,3+h).$

3) Kiasi cha silinda ya mviringo ya mviringo inahesabiwa na kazi ya vigezo viwili,$ V(x,y)=πx^2y,$ wapi$ x$ radius ya silinda ya mviringo sahihi na$ y$ inawakilisha urefu wa silinda. Tathmini$ V(2,5)$ na kuelezea nini hii inamaanisha.

Jibu: $ V(2,5) = 20π\,\text{units}^3$Hii ni kiasi wakati radius ni$ 2$ na urefu ni$ 5$.

4) Tangi ya oksijeni imejengwa kwa silinda sahihi ya urefu$ y$ na radius$ x$ yenye hemispheres mbili za radius$ x$ zilizopandwa juu na chini ya silinda. Eleza kiasi cha silinda kama kazi ya vigezo viwili,$ x$ na, pata$ y$$ V(10,2)$, na ueleze nini hii inamaanisha.

Kwa mazoezi ya 5 - 10, tafuta uwanja na upeo wa kazi iliyotolewa. Weka kikoa katika uhalali wa wajenzi wa kuweka na upeo katika maelezo ya muda.

5)$ V(x,y)=4x^2+y^2$

Jibu: Domain:$\big\{(x, y) \, | \, x \in \rm I\!R, y \in \rm I\!R\big\}$ Hiyo ni, pointi zote katika$xy$ -ndege
Range:$ [0, \infty) $

6)$ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2−4}$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y) \, | \, x^2+y^2 \ge 4\big\}$
Range:$ [0, \infty) $

7)$ f(x,y)=4\ln(y^2−x)$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y) \, | \, x<y^2 \big\}$
Range:$ (-\infty, \infty) $

8)$ g(x,y)=\sqrt{16−4x^2−y^2}$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y) \, | \, \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} \le 1\big\}$
Range:$ [0, 4] $

9)$ z=\arccos(y−x)$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y) \, | \, x - 1 \le y \le x + 1\big\}$ Hiyo ni, pointi zote kati ya grafu ya$y = x -1$ na$y = x +1 $.
Mipangilio:$ [0, \pi] $

10)$ f(x,y)=\dfrac{y+2}{x^2}$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y) \, | \, x\neq 0 \big\}$
Range:$ (-\infty, \infty) $

Pata kazi mbalimbali.

11)$ g(x,y)=\sqrt{16−4x^2−y^2}$

Jibu: $ \big\{z \, | \, 0≤z≤4\big\}$au katika notation ya muda:$[0,4]$

12)$ V(x,y)=4x^2+y^2$

13)$ z=y^2−x^2$

Jibu: Seti$\rm I\!R$

Katika mazoezi 14 - 29, tafuta viwango vya ngazi ya kila kazi kwenye maadili yaliyoonyeshwa ya$ c$ kutazama kazi iliyotolewa. Mchoro njama contour kwa mazoezi hayo ambapo wewe ni aliuliza kwa zaidi ya 3 maadili ya$c$.

14)$ z(x,y)=y^2−x^2, \quad c=1$

15)$ z(x,y)=y^2−x^2,\quad c=4$

Jibu: $ y^2−x^2=4,$hyperbola

16)$ g(x,y)=x^2+y^2;\quad c=0, 1, 2, 3, 4, 9$

17)$ g(x,y)=4−x−y;\quad c=0,1, 2, 3, 4$

Jibu: Ngazi curves ni mistari na$ y = -x + (4 - c) $.
Kwa kila thamani ya$c$ haya ni:
$ c = 0: \, y = -x + 4$,
$ c = 1: \, y = -x + 3$,
$ c = 2: \, y = -x + 2$,
$ c = 3: \, y = -x + 1$,
$ c = 4: \, y = -x $.
Mpango wa contour una mfululizo wa mistari sambamba.
$Mpango wa mpangilio wa kazi g (x, y) =4,1x-y$

18)$ f(x,y)=xy;c=1;\quad c=−1$

19)$ h(x,y)=2x−y;\quad c=-2,0,2$

Jibu: $ 2x−y=0,2x−y=−2,2x−y=2;$mistari mitatu

20)$ f(x,y)=x^2−y;\quad c=1,2$

21)$ g(x,y)=\dfrac{x}{x+y};c=−1,0,1,2$

Jibu: Vipande vya ngazi ni mistari na fomu$ y = x \left( \dfrac{1-c}{c} \right) $. Katika$c = 0$, sisi kutatua moja kwa moja kutoka equation$\dfrac{x}{x+y}=0$ kupata$x = 0$.
Kwa kila thamani ya$c$ haya ni:
$ c = -1: \, y = -2x$,
$ c = 0: \, x = 0,\text{ with }y \ne 0$,
$ c = 1: \, y = 0,\text{ with }x \ne 0$,
$ c = 2: \, y = -\frac{1}{2}x$.
$Mpangilio wa Plot ya kazi g (x, y) = x/ (x+y)$

22)$ g(x,y)=x^3−y;\quad c=−1,0,2$

23)$ g(x,y)=e^{xy};\quad c=\frac{1}{2},3$

Jibu: Curves ngazi na fomu,$ y = \dfrac{\ln c}{x}$.
Kwa kila thamani ya$c$ haya ni:
$ c = \frac{1}{2}: \, y = \dfrac{\ln \frac{1}{2}}{x}$ ambayo inaweza kuandikwa upya kama,$y = -\dfrac{\ln 2}{x}$

$ c = 3: \, y = \dfrac{\ln 3}{x}$.

24)$ f(x,y)=x^2;\quad c=4,9$

25)$ f(x,y)=xy−x;\quad c=−2,0,2$

Jibu: Ngazi curves na fomu:$ y = \dfrac{c}{x} + 1$.
Hapa$y = \dfrac{-2}{x} + 1,\quad y = 1,\quad y = \dfrac{2}{x} + 1$ au$ xy−x=−2,\,xy−x=0,\,xy−x=2$

26)$ h(x,y)=\ln(x^2+y^2);\quad c=−1,0,1$

27)$ g(x,y)=\ln\left(\dfrac{y}{x^2}\right);\quad c=−2,0,2$

Jibu: Curves ngazi na fomu,$ y =e^c x^2$.
Kwa kila thamani ya$c$ haya ni:
$ c = -2: \, y = e^{-2} x^2 $,
$ c = 0: \, y = x^2 $,
$ c = 2: \, y = e^{2} x^2 $.

28)$ z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},\quad c=3$

29)$ f(x,y)=\dfrac{y+2}{x^2},\quad c=$ yoyote ya mara kwa mara

Jibu: Curves ngazi ni parabolas ya fomu$ y=cx^2−2,\text{ with }x \ne 0$.
$Mpango wa mpangilio wa kazi f (x, y) = (y + 2) /x ^ 2$

Katika mazoezi 30-32, pata athari za wima za kazi kwenye maadili yaliyoonyeshwa ya$ x$ na$ y$, na ufanyie njama.

30)$ z=4−x−y, \quad x=2$

31)$ f(x,y)=3x+y^3, \quad x=1$

Jibu

$ z=3+y^3,$curve katika $zy$-ndege na maamuzi sambamba na$x$ -axis

$Mpango wa uso wa kazi f (x, y) =3x+y ^ 3$

32)$ z=\cos\sqrt{x^2+y^2}, \quad x=1$

Katika mazoezi 33 - 38, tafuta uwanja na upeo wa kila kazi.

33)$ z=\sqrt{100−4x^2−25y^2}$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y) \, | \, \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{4}≤1\big\}$
Range:$ [0, 10] $

34)$ z=\ln(x−y^2)$

35)$ f(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{36−4x^2−9y^2−z^2}}$

Jibu: Domain:$ \big\{(x, y, z) \, | \, \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{36}<1\big\}$
Range:$ \big[\frac{1}{6}, \infty\big) $

36)$ f(x,y,z)=\sqrt{49−x^2−y^2−z^2}$

37)$ f(x,y,z)=\sqrt[3]{16−x^2−y^2−z^2}$

Jibu: Domain: All pointi katika$ xyz$ -nafasi
Range:$ \big(-\infty, \sqrt[3]{16}\,\big] $

38)$ f(x,y)=\cos\sqrt{x^2+y^2}$

Katika mazoezi 39 - 40, fanya grafu ya kazi.

39)$ z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$

Jibu: $Mpango wa uso wa uso f (x, y) =sqrt (x ^ 2+y ^ 2)$

40)$ z=x^2+y^2$

41) Tumia teknolojia kwa grafu$ z=x^2y.$

Jibu: $Mpango wa uso wa kazi z=x ^ 2y$

Katika mazoezi 42 - 46, mchoro kazi kwa kutafuta curves ngazi yake. Thibitisha grafu kwa kutumia teknolojia, kama vile CalcPlot3D.

42)$ f(x,y)=\sqrt{4−x^2−y^2}$

43)$ f(x,y)=2−\sqrt{x^2+y^2}$

Jibu: $Mpango wa uso wa kazi f (x, y) =2,1sqrt (x ^ 2+y ^ 2)$

44)$ z=1+e^{−x^2−y^2}$

45)$ z=\cos\sqrt{x^2+y^2}$

Jibu: $Mpango wa uso wa kazi z=cos (sqrt (x ^ 2+y ^ 2))$

46)$ z=y^2−x^2$

47) Eleza mistari ya contour kwa maadili kadhaa ya$ c$ kwa$ z=x^2+y^2−2x−2y.$

Jibu: Mistari ya contour ni miduara ya makini inayozingatia hatua,$ (1, 1) $.
Unaweza kuona hii kwa kukamilisha mraba baada ya kuweka kazi hii sawa na$c$.
Hiyo ni, tunaandika$ x^2-2x+1+y^2−2y+1 = c + 2 $ ambayo inaweza kuandikwa upya kama,$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = c + 2 $.
Hii inatupa duru unaozingatia katika hatua$ (1, 1) $,, kila na eneo la$ \sqrt{c+2} $.

Katika mazoezi, 48 - 52, pata uso wa ngazi kwa thamani iliyotolewa ya$c$ kila kazi ya vigezo vitatu na ueleze.

48)$ w(x,y,z)=x−2y+z,\quad c=4$

49)$ w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,\quad c=9$

Jibu: $ x^2+y^2+z^2=9$, nyanja ya radius$ 3$

50)$ w(x,y,z)=x^2+y^2−z^2,\quad c=−4$

51)$ w(x,y,z)=x^2+y^2−z^2,\quad c=4$

Jibu: $ x^2+y^2−z^2=4,$hyperboloid ya karatasi moja

52)$ w(x,y,z)=9x^2−4y^2+36z^2,\quad c=0$

Katika mazoezi 53 - 55, kupata equation ya Curve ngazi ya$ f$ kwamba ina uhakika$ P$.

53)$ f(x,y)=1−4x^2−y^2,\quad P(0,1)$

Jibu: $ 4x^2+y^2=1,$

54)$ g(x,y)=y^2\arctan x,\quad P(1,2)$

55)$ g(x,y)=e^{xy}(x^2+y^2),\quad P(1,0)$

Jibu: $ 1=e^{xy}(x^2+y^2)$

56) Nguvu$ E$ ya uwanja wa umeme kwa uhakika$ (x,y,z)$ unaosababishwa na waya wa kushtakiwa kwa muda mrefu ulio karibu na$y$ -axis hutolewa na$ E(x,y,z)=k/\sqrt{x^2+y^2}$, wapi$ k$ mara kwa mara nzuri. Kwa unyenyekevu, basi$ k=1$ na upate usawa wa nyuso za ngazi$ E=10$ na$ E=100.$

57) Sahani nyembamba iliyofanywa kwa chuma iko katika$xy$ -ndege Joto$ T$ la digrii Celsius kwa uhakika$ P(x,y)$ ni kinyume na mraba wa umbali wake kutoka asili. Express$ T$ kama kazi ya$ x$ na$ y$.

Jibu: $ T(x,y)=\dfrac{k}{x^2+y^2}$

58) Rejea tatizo lililotangulia. Kutumia kazi ya joto iliyopatikana pale, onyesha uwiano wa mara kwa mara ikiwa hali ya joto$ P(1,2)$ ni$ 50°C.$ Tumia mara kwa mara ili kuamua joto katika hatua$ Q(3,4).$

59) Rejea tatizo lililotangulia. Kupata curves ngazi kwa$ T=40°C$$ T=100°C,$ na kuelezea nini curves ngazi kuwakilisha.

Jibu: $ x^2+y^2=\dfrac{k}{40}, \quad x^2+y^2=\dfrac{k}{100}$. Curves ngazi inawakilisha miduara ya radii$ \sqrt{10k}/20$ na$ \sqrt{k}/10$

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc
Paul Seeburger (Monroe Community College) added the contour plots to answers for problems 17, 21 and 29.