Skip to main content
Global

12.8: Sura ya 12 Mazoezi ya Mapitio

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178141

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Kwa mazoezi 1 - 4, onyesha kama taarifa hiyo ni ya kweli au ya uongo. Thibitisha jibu kwa ushahidi au mfano wa kukabiliana.

    1) Kwa vectors\(\vecs a\)\(\vecs b\) na scalar yoyote iliyotolewa\( c, \, c(\vecs a⋅\vecs b)=(c\vecs a)⋅\vecs b.\)

    Jibu
    Kweli; Angalia ushahidi katika Sehemu ya 11.3

    2) Kwa wadudu\(\vecs a\) na\(\vecs b\) na scalar yoyote iliyotolewa\( c, \, c(\vecs a×\vecs b)=(c\vecs a)×\vecs b\).

    3) Equation ya ulinganifu kwa mstari wa makutano kati ya ndege mbili\( x+y+z=2\) na\( x+2y−4z=5\) hutolewa na\( −\frac{x−1}{6}=\frac{y−1}{5}=z.\)

    Jibu
    Uongo, Kubadilisha equations ulinganifu hapo juu kwa equations parametric ya mstari, tunapata:
    \(x = 1 - 6t\)
    \(y = 1 + 5t\)
    \(z = t\)

    Kama mstari huu uongo juu ya kila ndege, tunapaswa kupata utambulisho (kama 5 = 5) wakati sisi mbadala kila usemi wa\(t\) katika equation kila ndege ya.

    Kubadilisha katika equation ya kwanza ya ndege, tunapata:\( (1-6t) + (1+5t) + t = 2\,\checkmark\)

    Hivyo tunajua kwamba mstari huu haina uongo juu ya ndege ya kwanza.

    Lakini wakati sisi mbadala katika ndege ya pili equation, tunapata:\( (1 - 6t) + 2(1 + 5t) - 4(t) = 1 - 6t + 2 + 10t - 4t = 3 \neq 5\)

    Kwa kuwa hatuwezi kupata utambulisho, tunajua mstari huu si kwenye ndege ya pili na kwa hiyo inaweza kuwa mstari wa makutano ya ndege mbili.

    4) Ikiwa\(\vecs a⋅\vecs b=0,\) basi\(\vecs a\) ni perpendicular kwa\(\vecs b\).

    Jibu
    Uongo, tangu\(\vecs a\) au\(\vecs b\) inaweza pia kuwa vector sifuri.

    Kwa mazoezi ya 5 na 6, tumia vectors zilizopewa ili kupata kiasi.

    5)\(\vecs a=9\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}},\quad \vecs b=−3\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{k}}\)

    a.\( 3\vecs a+\vecs b\)

    b.\( \|\vecs a\|\)

    c.\(\vecs a×\|\vecs b×\vecs a\|\)

    d.\( \|\vecs b×\vecs a\|\)

    Jibu
    a.\( ⟨24,−6, 1⟩\)
    b.\( \sqrt{85}\)
    c. Haiwezi kuvuka vector na
    d scalar.\( 11\)

    6)\(\vecs a=2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}−9\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs c=4\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}\)

    a.\( 2\vecs a−\vecs b\)

    b.\( \|\vecs b×\vecs c\|\)

    c.\( \vecs b×\left(\vecs b×\vecs c\right)\)

    d.\( \vecs c×\|\vecs b×\vecs a\|\)

    e.\( \text{Proj}_\vecs{a}\vecs b\)

    7) Pata maadili ya vectors\(a\) vile\( ⟨2,4,a⟩\) na\( ⟨0,−1,a⟩\) ni orthogonal.

    Jibu
    \( a=±2\)

    Kwa mazoezi ya 8 na 9, pata vectors ya kitengo.

    8) Pata vector kitengo ambacho kina mwelekeo sawa na vector\(\vecs v\) ambayo huanza saa\( (0,−3)\) na kuishia\( (4,10).\)

    9) Pata vector kitengo ambacho kina mwelekeo sawa na vector\(\vecs v\) ambayo huanza saa\( (1,4,10)\) na kuishia\( (3,0,4).\)

    Jibu
    \( ⟨\frac{1}{\sqrt{14}},−\frac{2}{\sqrt{14}},−\frac{3}{\sqrt{14}}⟩ = ⟨\frac{\sqrt{14}}{14},−\frac{\sqrt{14}}{7},−\frac{3\sqrt{14}}{14}⟩ \)

    Kwa mazoezi 10 na 11, tafuta eneo au kiasi cha maumbo yaliyotolewa.

    10) Parallelogram iliyowekwa na vectors\(\vecs a=⟨1,13⟩\) na\(\vecs b=⟨3,21⟩\)

    11) Parallelepiped iliyoundwa\(\vecs a=⟨1,4,1⟩\) na na\(\vecs b=⟨3,6,2⟩,\) na\(\vecs c=⟨−2,1,−5⟩\)

    Jibu
    \( 27\)vitengo\(^2\)

    Kwa mazoezi 12 na 13, pata usawa wa parametric na equation ya vector ya mstari na mali iliyotolewa.

    12) Mstari unaopita kupitia hatua\( (2,−3,7)\) ambayo ni sawa na vector\( ⟨1,3,−2⟩\)

    13) Mstari unaopita kupitia pointi\( (1,3,5)\) na\( (−2,6,−3)\)

    Jibu
    \( x=1−3t,y=3+3t,z=5−8t,\quad \vecs r(t)=(1−3t)\hat{\mathbf{i}}+3(1+t)\hat{\mathbf{j}}+(5−8t)\hat{\mathbf{k}}\)

    Kwa mazoezi 14 na 15, pata usawa wa ndege na mali zilizopewa.

    14) Ndege inayopita kupitia hatua\( (4,7,−1)\) na ina vector ya kawaida\(\vecs n=⟨3,4,2⟩\)

    15) Ndege inayopita kupitia pointi\( (0,1,5),(2,−1,6),\) na\( (3,2,5).\)

    Jibu
    \( −x+3y+8z=43\)

    Kwa mazoezi 16 na 17, pata athari za nyuso katika ndege\( x=k,y=k\), na\( z=k.\) Kisha, kuelezea na kuteka nyuso.

    16)\( 9x^2+4y^2−16y+36z^2=20\)

    17)\( x^2=y^2+z^2\)

    Jibu
    \( x=k\)kufuatilia:\( k^2=y^2+z^2\) ni mduara,\( y=k\) kufuatilia:\( x^2−z^2=k^2\) ni hyperbola (au jozi ya mistari kama\( k=0), z=k\) kuwaeleza:\( x^2−y^2=k^2\) ni hyperbola (au jozi ya mistari kama\( k=0\)). Uso ni koni.

    Kwa mazoezi 18 na 19, andika equation iliyotolewa katika kuratibu cylindrical na kuratibu spherical.

    18)\( x^2+y^2+z^2=144\)

    19)\( z=x^2+y^2−1\)

    Jibu
    \( z=r^2−1,\)Cylindrical: mviringo:\( \cos φ=ρ\sin^2 φ−\frac{1}{ρ}\)

    Kwa mazoezi 20 na 21, kubadilisha usawa uliopewa kutoka kwa kuratibu za cylindrical au spherical kwa kuratibu mstatili. Tambua uso uliotolewa.

    20)\( ρ^2(\sin^2(φ)−\cos^2(φ))=1\)

    21)\( r^2−2r\cos(θ)+z^2=1\)

    Jibu
    \( x^2−2x+y^2+z^2=1\), nyanja

    Kwa mazoezi 22 na 23, fikiria mashua madogo yanayovuka mto.

    22) Kama kasi ya mashua ni\( 5\) km/h kutokana kaskazini katika maji bado na maji ina sasa ya\( 2\) km/h kutokana magharibi (angalia takwimu zifuatazo), ni kasi gani ya mashua jamaa na pwani? Je! Ni pembe gani\( θ\) ambayo mashua ni kweli kusafiri?

    23) Wakati mashua inakaribia pwani, kamba mbili zinatupwa kwa watu ili kusaidia kuvuta mashua pwani. Kamba moja iko kwenye pembe ya\( 25°\) na nyingine iko\( 35°\). Ikiwa mashua inapaswa kuvutwa moja kwa moja na kwa nguvu ya\( 500\) N, pata ukubwa wa nguvu kwa kila kamba (angalia takwimu zifuatazo).

    Jibu
    331 N na 244 N

    24) Ndege inaruka katika mwelekeo wa 52° mashariki mwa kaskazini ikiwa na kasi ya 450 mph. Upepo mkali una kuzaa 33° mashariki mwa kaskazini na kasi ya 50 mph. Je! Ni kasi gani ya ardhi na kuzaa kwa ndege?

    25) Tumia kazi iliyofanywa kwa kusonga chembe kutoka nafasi\( (1,2,0)\) hadi\( (8,4,5)\) kwenye mstari wa moja kwa moja na nguvu\(\vecs F=2\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}−\hat{\mathbf{k}}.\)

    Jibu
    \( 15\)J

    Katika matatizo 26 na 27, fikiria jaribio lako lisilofanikiwa la kuchukua tairi mbali na gari lako kwa kutumia wrench ili kufungua bolts. Fikiria wrench ni\( 0.3\) m mrefu na unaweza kutumia nguvu 200-N.

    26) Kwa sababu tairi yako ni gorofa, wewe ni uwezo tu kutumia nguvu yako kwa\( 60°\) pembeni. Je! Ni wakati gani katikati ya bolt? Fikiria nguvu hii haitoshi kufungua bolt.

    27) Mtu anakupa jack ya tairi na sasa una uwezo wa kutumia nguvu ya 200-N kwa\( 80°\) pembe. Je, moment yako kusababisha itakuwa zaidi au chini? Je, ni wakati gani mpya unaosababisha katikati ya bolt? Fikiria nguvu hii haitoshi kufungua bolt.

    Jibu
    Zaidi,\( 59.09\) J