Skip to main content
Global

12.7E: Mazoezi ya Sehemu ya 12.7

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178105

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Tumia takwimu zifuatazo kama msaada katika kutambua uhusiano kati ya mifumo ya kuratibu mstatili, cylindrical, na spherical.

    Kwa mazoezi ya 1 - 4, kuratibu cylindrical\( (r,θ,z)\) ya uhakika hutolewa. Pata kuratibu\( (x,y,z)\) za mstatili wa uhakika.

    1)\( \left(4,\frac{π}{6},3\right)\)

    Jibu
    \( (2\sqrt{3},2,3)\)

    2)\( \left(3,\frac{π}{3},5\right)\)

    3)\( \left(4,\frac{7π}{6},3\right)\)

    Jibu
    \( (−2\sqrt{3},−2,3)\)

    4)\( (2,π,−4)\)

    Kwa mazoezi ya 5 - 8, kuratibu mstatili\( (x,y,z)\) wa uhakika hutolewa. Pata kuratibu\( (r,θ,z)\) za cylindrical za uhakika.

    5)\( (1,\sqrt{3},2)\)

    Jibu
    \( \left(2,\frac{π}{3},2\right)\)

    6)\( (1,1,5)\)

    7)\( (3,−3,7)\)

    Jibu
    \( \left(3\sqrt{2},−\frac{π}{4},7\right)\)

    8)\( (−2\sqrt{2},2\sqrt{2},4)\)

    Kwa mazoezi 9 - 16, usawa wa uso katika kuratibu za cylindrical hutolewa. Pata usawa wa uso katika kuratibu za mstatili. Tambua na grafu ya uso.

    9) [T]\( r=4\)

    Jibu

    Silinda ya equation\( x^2+y^2=16,\) na kituo chake katika asili na maamuzi sambamba na\(z\) -axis,

    10) [T]\( z=r^2\cos^2θ\)

    11) [T]\( r^2\cos(2θ)+z^2+1=0\)

    Jibu

    Hyperboloid ya karatasi mbili za equation\( −x^2+y^2−z^2=1,\) na\(y\) -axis kama mhimili wa ulinganifu,

    12) [T]\( r=3\sin θ\)

    13) [T]\( r=2\cos θ\)

    Jibu

    Silinda ya equation\( x^2−2x+y^2=0,\) na kituo cha saa\( (1,0,0)\) na radius\( 1\), na maamuzi sambamba na\(z\) -axis,

    14) [T]\( r^2+z^2=5\)

    15) [T]\( r=2\sec θ\)

    Jibu

    Ndege ya equation\( x=2,\)

    16) [T]\( r=3\csc θ\)

    Kwa mazoezi 17 - 22, usawa wa uso katika kuratibu mstatili hutolewa. Pata usawa wa uso katika kuratibu za cylindrical.

    17)\( z=3\)

    Jibu
    \( z=3\)

    18)\( x=6\)

    19)\( x^2+y^2+z^2=9\)

    Jibu
    \( r^2+z^2=9\)

    20)\( y=2x^2\)

    21)\( x^2+y^2−16x=0\)

    Jibu
    \( r=16\cos θ,\quad r=0\)

    22)\( x^2+y^2−3\sqrt{x^2+y^2}+2=0\)

    Kwa mazoezi 23 - 26, kuratibu spherical\( (ρ,θ,φ)\) ya uhakika hutolewa. Pata kuratibu\( (x,y,z)\) za mstatili wa uhakika.

    23)\( (3,0,π)\)

    Jibu
    \( (0,0,−3)\)

    24)\( \left(1,\frac{π}{6},\frac{π}{6}\right)\)

    25)\( \left(12,−\frac{π}{4},\frac{π}{4}\right)\)

    Jibu
    \( (6,−6,\sqrt{2})\)

    26)\( \left(3,\frac{π}{4},\frac{π}{6}\right)\)

    Kwa mazoezi 27 - 30, kuratibu mstatili\( (x,y,z)\) wa uhakika hutolewa. Pata kuratibu\( (ρ,θ,φ)\) za spherical za uhakika. Eleza kipimo cha pembe katika digrii zilizozunguka kwa integer iliyo karibu.

    27)\( (4,0,0)\)

    Jibu
    \( (4,0,90°)\)

    28)\( (−1,2,1)\)

    29)\( (0,3,0)\)

    Jibu
    \( (3,90°,90°)\)

    30)\( (−2,2\sqrt{3},4)\)

    Kwa mazoezi 31 - 36, equation ya uso katika kuratibu spherical hutolewa. Pata usawa wa uso katika kuratibu za mstatili. Tambua na grafu ya uso.

    31) [T]\( ρ=3\)

    Jibu

    Sphere ya equation\( x^2+y^2+z^2=9\) unaozingatia katika asili na radius\( 3\),

    32) [T]\( φ=\frac{π}{3}\)

    33) [T]\( ρ=2\cos φ\)

    Jibu

    Sphere ya equation\( x^2+y^2+(z−1)^2=1\) unaozingatia\( (0,0,1)\) na radius\( 1\),

    34) [T]\( ρ=4\csc φ\)

    35) [T]\( φ=\frac{π}{2}\)

    Jibu

    \(xy\)Ndege ya equation\( z=0,\)

    36) [T]\( ρ=6\csc φ\sec θ\)

    Kwa mazoezi 37 - 40, equation ya uso katika kuratibu mstatili hutolewa. Pata usawa wa uso katika kuratibu za spherical. Tambua uso.

    37)\( x^2+y^2−3z^2=0, \quad z≠0\)

    Jibu
    \( φ=\frac{π}{3}\)au koni\( φ=\frac{2π}{3};\) ya elliptic

    38)\( x^2+y^2+z^2−4z=0\)

    39)\( z=6\)

    Jibu
    \( ρ\cos φ=6;\)Ndege katika\( z=6\)

    40)\( x^2+y^2=9\)

    Kwa mazoezi 41 - 44, kuratibu cylindrical ya uhakika hutolewa. Pata kuratibu zake za spherical zinazohusiana, na kipimo cha angle φ katika radians iliyozunguka maeneo manne ya decimal.

    41) [T]\( \left(1,\frac{π}{4},3\right)\)

    Jibu
    \( \left(\sqrt{10},\frac{π}{4},0.3218\right)\)

    42) [T]\( (5,π,12)\)

    43)\( \left(3,\frac{π}{2},3\right)\)

    Jibu
    \( (3\sqrt{2},\frac{π}{2},\frac{π}{4})\)

    44)\( \left(3,−\frac{π}{6},3\right)\)

    Kwa mazoezi 45 - 48, kuratibu spherical ya uhakika hutolewa. Pata kuratibu za cylindrical zinazohusiana.

    45)\( \left(2,−\frac{π}{4},\frac{π}{2}\right)\)

    Jibu
    \( \left(2,−\frac{π}{4},0\right)\)

    46)\( \left(4,\frac{π}{4},\frac{π}{6}\right)\)

    47)\( \left(8,\frac{π}{3},\frac{π}{2}\right)\)

    Jibu
    \( \left(8,\frac{π}{3},0\right)\)

    48)\( \left(9,−\frac{π}{6},\frac{π}{3}\right)\)

    Kwa mazoezi 49 - 52, pata mfumo unaofaa zaidi wa kuratibu kuelezea yabisi.

    49) imara hali katika octant kwanza na kipeo katika asili na iliyoambatanishwa na mchemraba wa makali urefu\( a\), ambapo\( a>0\)

    Jibu
    Mfumo wa Cartesian,\( \big\{(x,y,z)\,|\,0≤x≤a,\;0≤y≤a,\;0≤z≤a\big\}\)

    50) Ganda la spherical linalowekwa na kanda kati ya nyanja mbili za msingi zinazozingatia asili, ya radii ya\( a\) na\( b\), kwa mtiririko huo, wapi\( b>a>0\)

    51) Thabiti ndani ya nyanja\( x^2+y^2+z^2=9\) na nje ya silinda\( \left(x−\frac{3}{2}\right)^2+y^2=\frac{9}{4}\)

    Jibu
    Mfumo wa silinda,\( \big\{(r,θ,z)\,|\,r^2+z^2≤9,\;r≥3\cos θ,\;0≤θ≤2π\big\}\)

    52) Kamba ya urefu wa cylindrical\( 10\) imedhamiriwa na kanda kati ya mitungi miwili na kituo hicho, maamuzi sambamba, na radii ya\( 2\) na\( 5\), kwa mtiririko huo

    53) [T] Tumia CAS au CalcPlot3D kwa grafu katika kuratibu cylindrical eneo kati ya paraboloid elliptic\( z=x^2+y^2\) na koni\( x^2+y^2−z^2=0.\)

    Jibu

    Kanda ni ilivyoelezwa na seti ya pointi\( \big\{(r,θ,z)\,|\,0≤r≤1,\;0≤θ≤2π,\;r^2≤z≤r\big\}.\)

    54) [T] Tumia CAS au CalcPlot3D kwa grafu katika kuratibu spherical “kanda ya barafu ya koni” iliyo juu ya ndege ya xy-kati ya nyanja\( x^2+y^2+z^2=4\) na koni ya elliptical\( x^2+y^2−z^2=0.\)

    55) Washington, DC, iko katika\( 39°\) N na\( 77°\) W (angalia takwimu zifuatazo). Fikiria radius ya Dunia ni\( 4000\) mi. Eleza eneo la Washington, DC, katika kuratibu za spherical.

    Jibu
    \( (4000,−77°,51°)\)

    56) San Francisco iko katika\( 37.78°N\) na\( 122.42°W.\) kudhani Radius ya Dunia ni\( 4000\) mi. Eleza eneo la San Francisco katika kuratibu za spherical.

    57) Pata latitude na longitude ya Rio de Janeiro ikiwa kuratibu zake za mviringo ni\( (4000,−43.17°,102.91°).\)

    Jibu
    \( 43.17°W, 22.91°S\)

    58) Pata latitude na longitude ya Berlin ikiwa kuratibu zake za spherical ni\( (4000,13.38°,37.48°).\)

    59) [T] Fikiria torus ya equation\( \big(x^2+y^2+z^2+R^2−r^2\big)^2=4R^2(x^2+y^2),\) ambapo\( R≥r>0.\)

    Andika equation ya torus katika kuratibu spherical.

    b Ikiwa uso\( R=r,\) unaitwa torus ya pembe. Onyesha kwamba equation ya torus pembe katika kuratibu spherical ni\( ρ=2R\sin φ.\)

    c Tumia CAS au CalcPlot3D kwa graph pembe torus na\( R=r=2\) katika kuratibu spherical.

    Jibu

    a.\(ρ=0, \quad ρ+R^2−r^2−2R\sin φ=0\)

    c.

    60) [T] “nyanja bumpy” na equation katika kuratibu spherical ni\( ρ=a+b\cos(mθ)\sin(nφ)\)\( φ∈[0,π]\),\( θ∈[0,2π]\) na, ambapo\( a\) na\( b\) ni idadi chanya\( m\) na\( n\) ni integers chanya, inaweza kutumika katika hisabati kutumika kwa mfano ukuaji wa uvimbe.

    Onyesha kwamba “nyanja ya bumpy” imetolewa ndani ya nyanja ya equation\( ρ=a+b.\) Kupata maadili ya\( θ\) na\( φ\) ambayo nyuso mbili intersect.

    b Matumizi CAS au CalcPlot3D kwa graph uso kwa\( a=14, b=2, m=4,\) na\( n=6\) pamoja na nyanja\( ρ=a+b.\)

    pata equation ya pembe ya makutano ya uso kwenye b. na koni\( φ=\frac{π}{12}\). Graph curve ya makutano katika ndege ya makutano.

    Wachangiaji

    Template:ContribOpenStaxCalc

    Viungo kwa CalcPlot3D aliongeza na Paul Seeburger (Monroe Community College).