12.5E: Mazoezi ya Sehemu ya 12.5

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178178

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 4, pointi$ P$ na$ Q$ hutolewa. Hebu$ L$ kuwa mstari unaopitia pointi$ P$ na$ Q$.

Pata equation ya vector ya mstari$ L$.

pata equations parametric ya mstari$ L$.

c Kupata equations ulinganifu wa mstari$ L$.

pata usawa wa parametric wa sehemu ya mstari uliowekwa$ P$ na na$ Q$.

1)$ P(−3,5,9), \quad Q(4,−7,2)$

Jibu: a.$\vecs r=⟨−3,5,9⟩+t⟨7,−12,−7⟩, \quad t∈R;$
b.$ x=−3+7t, \quad y=5−12t, \quad z=9−7t, \quad t∈R;$
c.$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y−5}{−12}=\dfrac{z−9}{−7};$
d.$x=−3+7t, \quad y=5−12t, \quad z=9−7t, \quad 0 \le t \le 1$

2)$ P(4,0,5), \quad Q(2,3,1)$

3)$ P(−1,0,5), \quad Q(4,0,3)$

Jibu: a.$\vecs r=⟨−1,0,5⟩+t⟨5,0,−2⟩, \quad t∈R;$
b.$ x=−1+5t,y=0,z=5−2t, \quad t∈R;$
c.$\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{z−5}{−2}, \quad y=0;$
d.$x=−1+5t, \quad y=0, \quad z=5−2t, \quad t∈[0,1]$

4)$ P(7,−2,6), \quad Q(−3,0,6)$

Kwa mazoezi ya 5 - 8, hatua$ P$ na vector$\vecs v$ hutolewa. Hebu$ L$ kuwa mstari unaopitia hatua$ P$ na mwelekeo$\vecs v$.

Pata milinganyo ya parametric ya mstari$ L$.

pata usawa wa mstari$ L$.

c Pata makutano ya mstari na$xy$ -ndege.

5)$ P(1,−2,3),\,\vecs v=⟨1,2,3⟩$

Jibu: a.$x=1+t, \quad y=−2+2t, \quad z=3+3t, \quad t∈R;$
b.$ \dfrac{x−1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z−3}{3};$
c.$(0,−4,0)$

6)$ P(3,1,5), \,\vecs v=⟨1,1,1⟩$

7)$ P(3,1,5), \,\vecs v=\vecd{QR},$ wapi$ Q(2,2,3)$ na$ R(3,2,3)$

Jibu: a.$x=3+t, \quad y=1, \quad z=5, \quad t∈R;$
b.$ y=1, \quad z=5;$
c. mstari haina intersect$xy$ -ndege.

8)$ P(2,3,0), \,\vecs v=\vecd{QR},$ wapi$ Q(0,4,5)$ na$ R(0,4,6)$

Kwa mazoezi 9 na 10, mstari$ L$ hutolewa.

Pata hatua$ P$ ambayo ni ya mstari na vector ya mwelekeo$\vecs v$ wa mstari. Eleza$\vecs v$ katika fomu ya sehemu.

pata umbali kutoka kwa asili hadi mstari$ L$.

9)$ x=1+t, \quad y=3+t, \quad z=5+4t, \quad t∈R$

Jibu: a. inawezekana uhakika na mwelekeo vector ni$P(1,3,5)$ na$\vecs v=⟨1,1,4⟩$, lakini majibu haya si ya kipekee.
b.$ \sqrt{3} $ vitengo

10)$ −x=y+1, \quad z=2$

11) Pata umbali kati ya uhakika$ A(−3,1,1)$ na mstari wa equations ya ulinganifu

$ x=−y=−z.$

Jibu: $ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} $vitengo

12) Pata umbali kati ya uhakika$ A(4,2,5)$ na mstari wa equations parametric

$ x=−1−t, \; y=−t, \; z=2, \; t∈R.$

Kwa mazoezi 13 - 14, mistari$ L_1$ na$ L_2$ hutolewa.

a Thibitisha kama mistari$ L_1$ na$ L_2$ ni sambamba.

b Kama mistari$ L_1$ na$ L_2$ ni sambamba, kisha kupata umbali kati yao.

13)$ L_1:x=1+t, \quad y=t, \quad z=2+t, \quad t∈R$ na$L_2:x−3=y−1=z−3$

Jibu: sambamba;
b.$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $ vitengo

14)$ L_1:x=2, \quad y=1, \quad z=t, \quad t∈R$ na$ L_2:x=1, \quad y=1, \quad z=2−3t, \quad t∈R$

15) Onyesha kwamba mstari unaopitia pointi$ P(3,1,0)$ na$ Q(1,4,−3)$ unafanana na mstari na equation$ x=3t, \quad y=-32+8t, \quad z=−9+6t, \quad t∈R.$

Jibu: $ \vecd{PQ} = \langle -2, 3, -3 \rangle$ni vector mwelekeo wa mstari kupitia pointi$P$ na$Q$, na mwelekeo vector ya mstari inavyoelezwa na equations parametric hapo juu ni$\vecs v = \langle 3, 8, 6 \rangle.$
Tangu$\vecs v \cdot \vecd{PQ} = -6 + 24 - 18 = 0$, vectors mbili mwelekeo ni orthogonal.
Sasa wote tunahitaji kuonyesha ni kwamba mistari miwili inakabiliana.
Mstari kupitia pointi$ P(3,1,0)$ na$ Q(1,4,−3)$ ina equations parametric:$x = 3 - 2u$$y = 1 + 3u$,, na$z = -3u$.
Kuweka$x$ - na$z$ -kuratibu ya mistari miwili sawa, tunapata mfumo wa equations:
\[3t = 3 - 2u \quad\text{and}\quad -9 + 6t = -3u \nonumber \]
Kutatua mfumo huu kwa kutumia mbadala inatupa,$u = -3$ na$t = 3$. Kuziba maadili haya$t$ na$u$ kurudi kwenye usawa wa parametric wa mistari hii miwili inatupa hatua ya makutano na kuratibu$\left(9, -8, 9\right)$ kwenye mistari yote mawili.
Kwa hiyo mistari huingiliana na mstari kupitia pointi$P$$Q$ na kwa vector ya mwelekeo$\vecd{PQ} $ ni perpendicular kwa mstari mwingine.

16) Je, ni mistari ya equations$ x=−2+2t, \quad y=−6, \quad z=2+6t, \quad t∈R$ na$ x=−1+t, \quad y=1+t, \quad z=t, \quad t∈R,$ perpendicular kwa kila mmoja?

17) Pata hatua ya makutano ya mistari ya equations$ x=−2y=3z$ na$ x=−5−t, \quad y=−1+t, \quad z=t−11, \quad t∈R.$

Jibu: $ (−12,6,−4)$

18) Pata hatua ya makutano ya$x$ mhimili na mstari wa usawa wa parametric$ x=10+t, \quad y=2−2t, \quad z=−3+3t, \quad t∈R.$

Kwa mazoezi 19 - 22, mistari$ L_1$ na$ L_2$ hutolewa. Kuamua kama mistari ni sawa, sambamba lakini si sawa, skew, au intersecting.

19)$ L_1:x=y−1=−z$ na$ L_2:x−2=−y=\dfrac{z}{2}$

Jibu: Mstari ni skew.

20)$ L_1:x=2t, \quad y=0, \quad z=3, \quad t∈R$ na$ L_2:x=0, \quad y=8+s, \quad z=7+s, \quad s∈R$

21)$ L_1:x=−1+2t, \quad y=1+3t, \quad z=7t, \quad t∈R$ na$ L_2:x−1=\frac{2}{3}(y−4)=\frac{2}{7}z−2$

Jibu: Mstari ni sawa.

22)$ L_1:3x=y+1=2z$ na$ L_2:x=6+2t, \quad y=17+6t, \quad z=9+3t, \quad t∈R$

23) Fikiria mstari$ L$ wa equations ulinganifu$ x−2=−y=\dfrac{z}{2}$ na uhakika$ A(1,1,1).$

a. Kupata milinganyo parametric kwa mstari sambamba na$ L$ kwamba hupita kwa njia ya uhakika$ A$.

Kupata equations ulinganifu wa mstari skew$ L$ na kwamba hupita kwa njia ya uhakika$ A$.

c Kupata equations ulinganifu wa mstari kwamba intersects$ L$ na hupita kupitia hatua$ A$.

Jibu: a.$x=1+t, \quad y=1−t, \quad z=1+2t, \quad t∈R$
b Kwa mfano, mstari unaopitia$ A$ na vector mwelekeo$ j:x=1,z=1$
c Kwa mfano, mstari unaopita$ A$ na kumweka$ (2,0,0)$ ambayo$ L$ ni ya ni mstari unaoingiliana;$ L:\frac{x−1}{−1}=y−1=z−1$

24) Fikiria mstari$ L$ wa equations parametric$ x=t, \quad y=2t, \quad z=3, \quad t∈R.$

a. Kupata milinganyo parametric kwa mstari sambamba na$ L$ kwamba hupita kwa njia ya asili.

pata equations parametric ya mstari skew kwa$ L$ kwamba hupita kupitia asili.

pata equations ya ulinganifu wa mstari unaozunguka$ L$ na hupita kupitia asili.

Kwa mazoezi 25 - 28, uhakika$ P$ na vector$\vecs n$ hutolewa.

Kupata equation scalar ya ndege ambayo hupita kupitia$ P$ na ina vector kawaida$\vecs n$.

pata fomu ya jumla ya equation ya ndege inayopita$ P$ na ina vector ya kawaida$\vecs n$.

25)$ P(0,0,0), \quad \vecs n=3\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+4\mathbf{\hat k}$

Jibu: a.$3x−2y+4z=0$
b.$3x−2y+4z=0$

26)$ P(3,2,2), \quad \vecs n=2\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}$

27)$ P(1,2,3), \quad \vecs n=⟨1,2,3⟩$

Jibu: a.$(x−1)+2(y−2)+3(z−3)=0$
b.$x+2y+3z−14=0$

28)$ P(0,0,0), \quad \vecs n=⟨−3,2,−1⟩$

Kwa mazoezi 29 - 32, equation ya ndege hutolewa.

Kupata vector kawaida$\vecs n$ kwa ndege. Express$\vecs n$ kutumia kiwango kitengo vectors.

pata makutano ya ndege na kila moja ya axes kuratibu (intercepts yake).

c. mchoro ndege.

29) [T]$ 4x+5y+10z−20=0$

Jibu

a.$\vecs n=4\mathbf{\hat i}+5\mathbf{\hat j}+10\mathbf{\hat k}$
b.$(5,0,0), \,(0,4,0),$ na$ (0,0,2)$

30)$ 3x+4y−12=0$

31)$ 3x−2y+4z=0$

Jibu

a.$\vecs n=3\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+4\mathbf{\hat k}$
b.$(0,0,0)$

32)$ x+z=0$

33) Kutokana$ P(1,2,3)$ na uhakika na vector$\vecs n=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}$, kupata uhakika$ Q$ juu ya$x$ -axis vile kwamba$ \vecd{PQ}$ na$\vecs n$ ni orthogonal.

Jibu: $ (3,0,0)$

34) Onyesha hakuna ndege perpendicular$\vecs n=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}$ kwamba hupita kupitia pointi$ P(1,2,3)$ na$ Q(2,3,4)$.

35) Pata usawa wa parametric wa mstari unaopita kupitia hatua$ P(−2,1,3)$ ambayo ni perpendicular kwa ndege ya equation$ 2x−3y+z=7.$

Jibu: $ x=−2+2t, \quad y=1−3t, \quad z=3+t, \quad t∈R$

36) Pata equations ya ulinganifu wa mstari unaopitia hatua$ P(2,5,4)$ ambayo ni perpendicular kwa ndege ya equation$ 2x+3y−5z=0.$

37) Onyesha mstari$ \dfrac{x−1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z−2}{4}$ huo ni sawa na ndege$ x−2y+z=6$.

38) Pata namba halisi$ α$ kama mstari wa equations parametric$ x=t, \quad y=2−t, \quad z=3+t, \quad t∈R$ ni sawa na ndege ya equation$ αx+5y+z−10=0.$

Kwa mazoezi 39 - 42, usawa wa ndege mbili hutolewa.

a Kuamua kama ndege ni sambamba, orthogonal, au wala.

b Kama ndege si sambamba wala orthogonal, kisha kupata kipimo cha angle kati ya ndege. Eleza jibu kwa digrii zilizozunguka kwa integer iliyo karibu.

c Ikiwa ndege zinakabiliana, tafuta mstari wa makutano ya ndege, kutoa usawa wa parametric wa mstari huu.

39) [T]$ x+y+z=0, \quad 2x−y+z−7=0$

Jibu: a. ndege si sambamba wala orthogonal.
b.$62°$
c.$x = -1 + 2t$
$y = -4 + t$
$z = 5 - 3t$

40)$ 5x−3y+z=4, \quad x+4y+7z=1$

41)$ x−5y−z=1, \quad 5x−25y−5z=−3$

Jibu: a. ndege ni sambamba.

42) [T]$ x−3y+6z=4, \quad 5x+y−z=4$

Kwa mazoezi 43 - 46, onyesha kama mstari uliopewa unaingiliana na ndege iliyotolewa. Ikiwa wanaingiliana, sema hatua ya makutano.

43) Ndege:$2x + y - z = 11$ Line:$x = 1 + t, \quad y = 3 - 2t, \quad z = 2 +4t$

Jibu: Wao intersect katika hatua$ (-1, 7, -6) $.

44) Ndege:$-x + 2y + z = 2$ Line:$x = 1 + 2t, \quad y = -2 + t, \quad z = 5 - 3t$

Jibu: Wao intersect katika hatua$ \left(-\frac{1}{3}, \, -\frac{8}{3}, \, 7\right) $.

45) Ndege:$x - 3y + 2z = 4$ Line:$x = 2 - t, \quad y = t, \quad z = 4 +2t$

Jibu: Mstari hauingiliani na ndege hii.

46) Ndege:$x - 3y + 2z = 10$ Line:$x = 2 - t, \quad y = t, \quad z = 4 +2t$

Jibu: Mstari ni kweli kikamilifu zilizomo katika ndege hii, hivyo kila hatua kwenye mstari ni juu ya ndege. Kwa mfano, wakati$t = 0$ tuna uhakika,$(2, 0, 4)$.

47) Onyesha kwamba mistari ya equations$ x=t, \quad y=1+t, \quad z=2+t, \quad t∈R,$ na$ \dfrac{x}{2}=\dfrac{y−1}{3}=z−3$ ni skew, na kupata umbali kati yao.

Jibu: $ \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$vitengo

48) Onyesha kwamba mistari ya equations$ x=−1+t, \quad y=−2+t, \quad z=3t, \quad t∈R,$ na$ x=5+s, \quad y=−8+2s, \quad z=7s, \quad s∈R$ ni skew, na kupata umbali kati yao.

49) Fikiria uhakika$ C(−3,2,4)$ na ndege ya equation$ 2x+4y−3z=8$.

Pata eneo la nyanja na kituo cha$C$ tangent kwa ndege iliyotolewa.

pata hatua$P$ ya tangency.

Jibu: a.$r = \frac{18}{\sqrt{29}} = \frac{18\sqrt{29}}{29}$
b.$P\left(−\frac{51}{29},\frac{130}{29},\frac{62}{29}\right)$

50) Fikiria ndege ya equation$ x−y−z−8=0.$

a Kupata equation ya nyanja na kituo$C$ katika asili ambayo ni tangent kwa ndege kutokana.

pata usawa wa parametric wa mstari unaopita kupitia asili na hatua ya tangency.

51) Watoto wawili wanacheza na mpira. Msichana hutupa mpira kwa mvulana. mpira husafiri katika hewa, curves$ 3$ ft na haki, na maporomoko$ 5$ ft mbali na msichana (angalia takwimu zifuatazo). Ikiwa ndege iliyo na trajectory ya mpira ni perpendicular kwa ardhi, pata equation yake.

Jibu: $ 4x−3y=0$

52) [T] John kutenga$ d$ dola ya kula kila mwezi bidhaa tatu ya bei$ a,b$, na$ c$. Katika muktadha huu, equation bajeti hufafanuliwa kama$ ax+by+cz=d,$ wapi$ x≥0,\, y≥0$, na$ z≥0$ kuwakilisha idadi ya vitu kununuliwa kutoka kila bidhaa. Seti ya bajeti inatolewa$ \big\{(x,y,z)\,|\,ax+by+cz≤d,\;x≥0,\;y≥0,\;z≥0\big\},$ na ndege ya bajeti ni sehemu ya ndege ya equation$ ax+by+cz=d$ ambayo$ x≥0,\,y≥0$, na$ z≥0$. Fikiria$ a=$8, \,b=$5, \,c=$10,$ na$ d=$500.$

Tumia CAS kwa graph kuweka bajeti na ndege ya bajeti.

b Kwa$ z=25,$ kupata mpya ya bajeti equation na graph bajeti kuweka katika mfumo huo wa kuratibu.

53) [T] Fikiria$\vecs r(t)=⟨\sin t,\cos t,2t⟩$ vector msimamo wa chembe kwa wakati$ t∈[0,3]$, ambapo vipengele vya$\vecs r$ vinaonyeshwa kwa sentimita na wakati hupimwa kwa sekunde. Hebu$ \vecd{OP}$ kuwa vector nafasi ya chembe baada ya$ 1$ sec.

a Kuamua vector kasi$\vecs v(1)$ ya chembe baada ya$ 1$ sec.

pata equation scalar ya ndege ambayo ni perpendicular$ v(1)$ na hupita kupitia hatua$ P$. Ndege hii inaitwa ndege ya kawaida kwa njia ya chembe kwenye hatua$ P$.

c Tumia CAS kutazama njia ya chembe pamoja na vector kasi na ndege ya kawaida katika hatua$ P$.

Jibu: a.$\vecs v(1)=⟨\cos 1,−\sin 1, 2⟩$
b.$ (\cos 1)(x−\sin 1)−(\sin 1)(y−\cos 1)+2(z−2)=0$
c.

54) [T] Jopo la jua limewekwa juu ya paa la nyumba. Jopo linaweza kuonekana kama limewekwa kwenye pointi za kuratibu (katika mita)$ A(8,0,0), \, B(8,18,0), \, C(0,18,8),$ na$ D(0,0,8)$ (angalia takwimu zifuatazo).

Pata fomu ya jumla ya equation ya ndege iliyo na jopo la jua kwa kutumia pointi$ A, \, B,$ na$ C$, na uonyeshe kwamba vector yake ya kawaida ni sawa na$ \vecd{AB}×\vecd{AD}.$

pata equations parametric ya mstari$ L_1$ kwamba hupita katikati ya jopo la jua na ina mwelekeo vector$\vecs s=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat k},$ ambayo inaelekea nafasi ya jua wakati fulani wa siku.

c Pata usawa wa mstari$ L_2$ unaopita katikati ya jopo la jua na ni perpendicular yake.

d Kuamua angle ya mwinuko wa jua juu ya jopo la jua kwa kutumia angle kati ya mistari$ L_1$ na$ L_2$.

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc

Matatizo 15 na 43 - 46 iliyoundwa na Paul Seeburger