12.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 12.1

Kwa mazoezi 1 - 10, fikiria pointi\(P(−1,3), Q(1,5),\) na\(R(−3,7)\). Tambua vectors zilizoombwa na ueleze kila mmoja wao

a. katika fomu ya sehemu na

b. kwa kutumia wadudu wa kitengo cha kawaida.

1)\( \vecd{PQ}\)

Jibu

a.\(\vecd{PQ}=⟨2,2⟩\)
b.\(\vecd{PQ}=2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

2)\(\vecd{PR}\)

3)\(\vecd{QP}\)

Jibu

a.\(\vecd{QP}=⟨−2,−2⟩\)
b.\(\vecd{QP}=−2\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)

4)\(\vecd{RP}\)

5)\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}\)

Jibu

a.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=⟨0,6⟩\)
b.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=6\hat{\mathbf j}\)

6)\(\vecd{PQ}−\vecd{PR}\)

7)\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}\)

Jibu

a.\(2\vecd{PQ}→−2\vecd{PR}=⟨8,−4⟩\)
b.\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}=8\hat{\mathbf i}−4\hat{\mathbf j}\)

8)\(2\vecd{PQ}+\frac{1}{2}\vecd{PR}\)

9) vector kitengo katika mwelekeo wa\(\vecd{PQ}\)

Jibu

a.\(\left\langle\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right\rangle\)
b.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf j}\)

10) vector kitengo katika mwelekeo wa\(\vecd{PR}\)

11) vector\({\overset{\scriptstyle\rightharpoonup}{\mathbf v}}\) ina hatua ya awali\((−1,−3)\) na hatua ya mwisho\((2,1)\). Kupata kitengo vector katika mwelekeo wa\(\vecs v\). Eleza jibu katika fomu ya sehemu.

Jibu

\(⟨\frac{3}{5},\frac{4}{5}⟩\)

12) vector\(\vecs v\) ina hatua ya awali\((−2,5)\) na hatua ya mwisho\((3,−1)\). Kupata kitengo vector katika mwelekeo wa\(\vecs v\). Eleza jibu katika fomu ya sehemu.

13) vector\(\vecs v\) ina hatua ya awali\(P(1,0)\) na hatua ya mwisho\(Q\) iliyo kwenye\(y\) -axis na juu ya hatua ya awali. Pata kuratibu za hatua ya terminal\(Q\) kama ukubwa wa vector\(\vecs v\) ni\(\sqrt{5}\).

Jibu

\(Q(0,2)\)

14) vector\(\vecs v\) ina hatua ya awali\(P(1,1)\) na hatua ya mwisho\(Q\) iliyo kwenye\(x\) -axis na kushoto ya hatua ya awali. Pata kuratibu za hatua ya terminal\(Q\) kama ukubwa wa vector\(\vecs v\) ni\(\sqrt{10}\).

Kwa mazoezi 15 na 16, tumia vectors zilizopewa\(\vecs a\) na\(\vecs b\).

a Tambua jumla ya vector\(\vecs a+\vecs b\) na uieleze katika fomu zote mbili za sehemu na kwa kutumia vectors ya kawaida ya kitengo.

pata tofauti ya vector\(\vecs a −\vecs b\) na uieleze katika fomu zote mbili za sehemu na kwa kutumia vectors ya kawaida ya kitengo.

c Thibitisha kwamba wadudu\(\vecs a, \; \vecs b,\) na\(\vecs a+\vecs b\), na, kwa mtiririko huo\(\vecs a, \, \vecs b\), na\(\vecs a−\vecs b\) kukidhi usawa pembetatu.

d Kuamua wadudu\(2\vecs a, \;−\vecs b,\) na\(2\vecs a−\vecs b.\) Express wadudu katika fomu zote mbili za sehemu na kwa kutumia vectors ya kawaida ya kitengo.

15)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}, \quad \vecs b=\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}\)

Jibu

\(a.\, \vecs a+\vecs b=⟨3,4⟩, \quad \vecs a+\vecs b=3\hat{\mathbf i}+4\hat{\mathbf j}\)
\(b.\, \vecs a−\vecs b=⟨1,−2⟩, \quad \vecs a−\vecs b=\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)
\(c.\)Majibu yatatofautiana
\(d.\, 2\vecs a=⟨4,2⟩, \quad 2\vecs a=4\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}, \quad −\vecs b=⟨−1,−3⟩, \quad −\vecs b=−\hat{\mathbf i}−3\hat{\mathbf j}, \quad 2\vecs a−\vecs b=⟨3,−1⟩, \quad 2\vecs a−\vecs b=3\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

16)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}, \quad \vecs b=−2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

17) Hebu\(\vecs a\) kuwa vector ya kiwango cha msimamo na hatua ya mwisho\((−2,−4)\). Hebu\(\vecs b\) kuwa vector na hatua ya awali\((1,2)\) na hatua ya mwisho\((−1,4)\). Pata ukubwa wa vector\(−3\vecs a+\vecs b−4\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}.\)

Jibu

\(15\)

18) Hebu\(\vecs a\) kuwa kiwango msimamo vector na terminal uhakika katika\((2,5)\). Hebu\(\vecs b\) kuwa vector na hatua ya awali\((−1,3)\) na hatua ya mwisho\((1,0)\). Pata ukubwa wa vector\(\vecs a−3\vecs b+14\hat{\mathbf i}−14\hat{\mathbf j}.\)

19) Hebu\(\vecs u\) na\(\vecs v\) uwe vectors mbili zisizo na zero ambazo hazipatikani. Fikiria wadudu\(\vecs a=4\vecs u+5\vecs v\) na\(\vecs b=\vecs u+2\vecs v\) hufafanuliwa kwa suala la\(\vecs u\) na\(\vecs v\). Kupata scalar\(λ\) vile vectors\(\vecs a+λ\vecs b\) na\(\vecs u−\vecs v\) ni sawa.

Jibu

\(λ=−3\)

20) Hebu\(\vecs u\) na\(\vecs v\) uwe vectors mbili zisizo na zero ambazo hazipatikani. Fikiria wadudu\(\vecs a=2\vecs u−4\vecs v\) na\(\vecs b=3\vecs u−7\vecs v\) hufafanuliwa kwa suala la\(\vecs u\) na\(\vecs v\). Pata scalars\(α\) na\(β\) vile vectors\(α\vecs a+β\vecs b\) na\(\vecs u−\vecs v\) ni sawa.

21) Fikiria vector\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) na vipengele vinavyotegemea idadi halisi\(t\). Kama idadi\(t\) inatofautiana, vipengele vya\(\vecs a(t)\) mabadiliko pia, kulingana na kazi zinazowafafanua.

Andika vectors\(\vecs a(0)\) na\(\vecs a(π)\) katika fomu ya sehemu.

Onyesha kwamba ukubwa\(∥\vecs a(t)∥\) wa vector\(\vecs a(t)\) unabaki mara kwa mara kwa idadi yoyote halisi\(t\).

c Kama\(t\) inatofautiana, onyesha kwamba hatua ya mwisho ya vector\(\vecs a(t)\) inaelezea mduara unaozingatia asili ya radius\(1\).

Jibu

\(a.\, \vecs a(0)=⟨1,0⟩, \quad \vecs a(π)=⟨−1,0⟩\)
\(b.\)Majibu inaweza kutofautiana
\(c.\) Majibu inaweza kutofautiana

22) Fikiria vector\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) na vipengele ambavyo hutegemea idadi halisi\(x∈[−1,1]\). Kama idadi\(x\) inatofautiana, vipengele vya\(\vecs a(x)\) mabadiliko pia, kulingana na kazi zinazowafafanua.

Andika vectors\(\vecs a(0)\) na\(\vecs a(1)\) katika fomu ya sehemu.

Onyesha kwamba ukubwa\(∥\vecs a(x)∥\) wa vector\(\vecs a(x)\) unabaki mara kwa mara kwa idadi yoyote halisi\(x\).

c Kama\(x\) inatofautiana, onyesha kwamba hatua ya mwisho ya vector\(\vecs a(x)\) inaelezea mduara unaozingatia asili ya radius\(1\).

23) Onyesha kwamba wadudu\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) na\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) ni sawa kwa\(x=1\) na\(t=2kπ\), wapi\(k\) integer.

Jibu Majibu inaweza kutofautiana

24) Onyesha kwamba wadudu\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) na\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) ni kinyume\(x=1\) na\(t=π+2kπ\), wapi\(k\) integer.

Kwa mazoezi 25-28, pata vector\(\vecs v\) na ukubwa uliopewa na katika mwelekeo sawa na vector\(\vecs u\).

25)\(\|\vecs v\|=7, \quad \vecs u=⟨3,4⟩\)

Jibu

\(\vecs v=⟨\frac{21}{5},\frac{28}{5}⟩\)

26)\(‖\vecs v‖=3,\quad \vecs u=⟨−2,5⟩\)

27)\(‖\vecs v‖=7,\quad \vecs u=⟨3,−5⟩\)

Jibu

\(\vecs v=⟨\frac{21\sqrt{34}}{34},−\frac{35\sqrt{34}}{34}⟩\)

28)\(‖\vecs v‖=10,\quad \vecs u=⟨2,−1⟩\)

Kwa mazoezi 29-34, tafuta fomu ya sehemu ya vector\(\vecs u\), kutokana na ukubwa wake na angle vector hufanya na\(x\) mhimili mzuri. Kutoa majibu halisi wakati iwezekanavyo.

29)\(‖\vecs u‖=2, θ=30°\)

Jibu

\(\vecs u=⟨\sqrt{3},1⟩\)

30)\(‖\vecs u‖=6, θ=60°\)

31)\(‖\vecs u‖=5, θ=\frac{π}{2}\)

Jibu

\(\vecs u=⟨0,5⟩\)

32)\(‖\vecs u‖=8, θ=π\)

33)\(‖\vecs u‖=10, θ=\frac{5π}{6}\)

Jibu

\(\vecs u=⟨−5\sqrt{3},5⟩\)

34)\(‖\vecs u‖=50, θ=\frac{3π}{4}\)

Kwa mazoezi 35 na 36, vector\(\vecs u\) inapewa. Pata angle\(θ∈[0,2π)\) ambayo vector\(\vecs u\) inafanya kwa mwelekeo mzuri wa\(x\) -axis, kwa mwelekeo wa saa moja kwa moja.

35)\(\vecs u=5\sqrt{2}\hat{\mathbf i}−5\sqrt{2}\hat{\mathbf j}\)

Jibu

\(θ=\frac{7π}{4}\)

36)\(\vecs u=−\sqrt{3}\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

37) Hebu\(\vecs a=⟨a_1,a_2⟩, \vecs b=⟨b_1,b_2⟩\), na\(\vecs c =⟨c_1,c_2⟩\) uwe na wadudu watatu wasio na sifuri. Ikiwa\(a_1b_2−a_2b_1≠0\), basi onyesha kuna scalars mbili,\(α\) na\(β\), kama vile\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b.\)

Jibu Majibu inaweza kutofautiana

38) Fikiria wadudu\(\vecs a=⟨2,−4⟩, \vecs b=⟨−1,2⟩,\) na\(\vecs c =\vecs 0\) Kuamua scalars\(α\) na\(β\) vile vile\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b\).

39) Hebu\(P(x_0,f(x_0))\) kuwa hatua ya kudumu kwenye grafu ya kazi\(f\) inayofahamika na uwanja ambao ni seti ya namba halisi.

a. kuamua idadi halisi kama hatua\(z_0\) hiyo\(Q(x_0+1,z_0)\) iko juu ya mstari tangent kwa graph ya\(f\) katika hatua\(P\).

b Kuamua vector kitengo\(\vecs u\) na hatua ya awali\(P\) na uhakika terminal\(Q\).

Jibu

\(a. \quad z_0=f(x_0)+f′(x_0); \quad b. \quad \vecs u=\frac{1}{\sqrt{1+[f′(x_0)]^2}}⟨1,f′(x_0)⟩\)

40) Fikiria kazi\(f(x)=x^4,\) ambapo\(x∈R\).

a. kuamua idadi halisi kama hatua\(z_0\) hiyo\(Q(2,z_0)\) s hali ya mstari tangent kwa graph ya\(f\) katika hatua\(P(1,1)\).

b Kuamua vector kitengo\(\vecs u\) na hatua ya awali\(P\) na uhakika terminal\(Q\).

41) Fikiria\(f\) na kazi\(g\) mbili defined juu ya seti moja ya idadi halisi\(D\). Hebu\(\vecs a=⟨x,f(x)⟩\) na\(\vecs b=⟨x,g(x)⟩\) uwe vectors mbili zinazoelezea grafu za kazi, wapi\(x∈D\). Onyesha kwamba kama grafu ya kazi\(f\) na\(g\) haipatikani, basi vectors\(\vecs a\) na\(\vecs b\) si sawa.

42) Pata\(x∈R\) vile vectors\(\vecs a=⟨x, \sin x⟩\) na\(\vecs b=⟨x, \cos x⟩\) ni sawa.

43) Tumia mahesabu ya kuratibu ya uhakika\(D\)\(ABCD\) kama vile parallelogram, na\(A(1,1), B(2,4)\), na\(C(7,4)\).

Jibu

\(D(6,1)\)

44) Fikiria pointi\(A(2,1), B(10,6), C(13,4)\), na\(D(16,−2)\). Tambua fomu ya sehemu ya vector\(\vecd{AD}\).

45) Kasi ya kitu ni ukubwa wa vector yake ya kasi inayohusiana. mpira wa miguu kutupwa na quarterback ina kasi ya awali ya\(70\) mph na angle ya mwinuko wa\(30°\). Kuamua vector kasi katika mph na kuelezea katika fomu ya sehemu. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

Jibu

\(⟨60.62,35⟩\)

46) mchezaji baseball throws baseball katika pembe ya\(30°\) na usawa. Ikiwa kasi ya awali ya mpira ni\(100\) mph, pata vipengele vya usawa na vya wima vya vector ya awali ya kasi ya baseball. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

47) risasi ni fired na kasi ya awali ya\(1500\) ft/sec kwa pembeni ya\(60°\) na usawa. Find vipengele usawa na wima ya vector kasi ya risasi. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

Jibu

Vipengele vya usawa na wima ni\(750\) ft/sec na\(1299.04\) ft/sec, kwa mtiririko huo.

48) [T] Mwanariadha wa kilo 65 hutumia nguvu ya\(798\) N kwa\(19°\) pembeni kuhusiana na ardhi kwenye kizuizi cha kuanzia kwa papo mbio huanza. Pata sehemu ya usawa ya nguvu. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

49) [T] Majeshi mawili, nguvu ya usawa ya\(45\) lb na nyingine ya\(52\) lb, kutenda kitu kimoja. Pembe kati ya majeshi haya ni\(25°\). Pata ukubwa na mwelekeo wa mwelekeo kutoka kwa\(x\) mhimili mzuri wa nguvu inayofanya kitu. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

Jibu

Ukubwa wa nguvu ya matokeo ni\(94.71\) lb; angle ya mwelekeo ni\(13.42°\).

50) [T] vikosi viwili, nguvu wima ya\(26\) lb na nyingine ya\(45\) lb, kutenda juu ya kitu kimoja. Pembe kati ya majeshi haya ni\(55°\). Pata ukubwa na mwelekeo wa mwelekeo kutoka kwa\(x\) mhimili mzuri wa nguvu inayofanya kitu. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

51) [T] Vikosi vitatu vitendo juu ya kitu. Majeshi mawili yana ukubwa\(58\) N na\(27\) N, na hufanya pembe\(53°\) na\(152°\), kwa mtiririko huo, na\(x\) mhimili mzuri. Pata ukubwa na angle ya mwelekeo kutoka kwa\(x\) mhimili mzuri wa nguvu ya tatu kama kwamba nguvu inayofanya kazi kwenye kitu ni sifuri. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

Jibu

Ukubwa wa vector ya tatu ni\(60.03\) N; angle ya mwelekeo ni\(259.38°\).

52) Majeshi matatu yenye ukubwa 80 lb, 120 lb, na 60 lb kitendo juu ya kitu katika pembe ya\(45°, 60°\) na\(30°\), kwa mtiririko huo, na chanya\(x\) -axis. Pata ukubwa na mwelekeo angle kutoka kwa\(x\) mhimili mzuri wa nguvu inayosababisha. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

53) [T] Ndege inaruka katika mwelekeo wa\(43°\) mashariki ya kaskazini (pia hufupishwa kama kwa\(N43E\) kasi ya\(550\) mph. upepo kwa kasi\(25\) mph linatokana kusini magharibi katika kuzaa ya\(N15E\). Je! Kasi ya ardhi na mwelekeo mpya wa ndege ni nini?

Jibu

Kasi mpya ya ardhi ya ndege ni\(572.19\) mph; mwelekeo mpya ni\(N41.82E.\)

54) [T] mashua ni kusafiri katika maji katika\(30\) mph katika mwelekeo wa\(N20E\) (yaani,\(20°\) mashariki ya kaskazini). sasa nguvu ni kusonga katika\(15\) mph katika mwelekeo wa\(N45E\). Kasi mpya na mwelekeo wa mashua ni nini?

55) [T] uzito 50-lb ni Hung na cable ili sehemu mbili za cable kufanya pembe ya\(40°\) na\(53°\), kwa mtiririko huo, na usawa. Pata ukubwa wa nguvu za mvutano\(\vecs T_1\) na\(\vecs T_2\) katika nyaya ikiwa nguvu inayofanya kazi kwenye kitu ni sifuri. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

Jibu

\(\|\vecs T_1\|=30.13 \, lb, \quad \|\vecs T_2\|=38.35 \, lb\)

56) [T] uzito 62-lb hangs kutoka kamba ambayo inafanya pembe ya\(29°\) na\(61°\), kwa mtiririko huo, na usawa. Pata ukubwa wa nguvu za mvutano\(\vecs T_1\) na\(\vecs T_2\) katika nyaya ikiwa nguvu inayofanya kazi kwenye kitu ni sifuri. (Pande zote kwa sehemu mbili za decimal.)

57) [T] mashua 1500-lb ni parked juu ya njia panda ambayo inafanya angle ya\(30°\) kwa usawa. Vector ya uzito wa mashua inaonyesha chini na ni jumla ya wadudu wawili: vector usawa\(\vecs v_1\) ambayo ni sambamba na barabara na vector wima\(\vecs v_2\) ambayo ni perpendicular kwa uso kutega. Ukubwa wa vectors\(\vecs v_1\) na\(\vecs v_2\) ni sehemu ya usawa na wima, kwa mtiririko huo, ya vector uzito wa mashua. Kupata magnitudes ya\(\vecs v_1\) na\(\vecs v_2\). (Pande zote kwa integer iliyo karibu.)

Jibu

\(\|\vecs v_1\|=750 \, lb, \quad \|\vecs v_2\|=1299 \, lb\)

58) [T] sanduku 85-lb ni katika mapumziko juu ya\(26°\) elekea. Kuamua ukubwa wa nguvu sambamba na kutembea muhimu ili kuweka sanduku kutoka sliding. (Pande zote kwa integer iliyo karibu.)

59) Wire-guy inasaidia pole ambayo ni\(75\) ft juu. Mwisho mmoja wa waya unaunganishwa juu ya pole na mwisho mwingine umefungwa chini ya\(50\) futi kutoka chini ya pole. Kuamua vipengele vya usawa na wima vya nguvu ya mvutano katika waya ikiwa ukubwa wake ni\(50\) lb. (Pande zote kwa integer iliyo karibu.)

Jibu

Vipengele viwili vya usawa na wima vya nguvu ya mvutano ni\(28\) lb na\(42\) lb, kwa mtiririko huo.

60) simu pole guy-waya ina angle ya mwinuko wa kuhusiana\(35°\) na ardhi. Nguvu ya mvutano katika waya ya mvulana ni\(120\) lb Pata vipengele vya usawa na wima vya nguvu ya mvutano. (Pande zote kwa integer iliyo karibu.)

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc