11.3E: Mazoezi ya Sehemu ya 11.3

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178464

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 7, njama hatua ambayo kuratibu polar hutolewa kwa kwanza kujenga angle$θ$ na kisha kuashiria mbali umbali$r$ kando ya ray.

1)$\left(3,\frac{π}{6}\right)$

Jibu: $Katika ndege ya kuratibu polar, ray hutolewa kutoka kwa alama ya asili π/6 na hatua hutolewa wakati mstari huu unavuka mduara na radius 3.$

2)$\left(−2,\frac{5π}{3}\right)$

3)$\left(0,\frac{7π}{6}\right)$

Jibu: $Katika ndege ya kuratibu polar, ray hutolewa kutoka kwa asili inayoashiria 7π/6 na hatua hutolewa wakati mstari huu unavuka mduara na radius 0, yaani, inaashiria asili.$

4)$\left(−4,\frac{3π}{4}\right)$

5)$\left(1,\frac{π}{4}\right)$

Jibu: $Katika ndege ya kuratibu polar, ray hutolewa kutoka kwa alama ya asili π/4 na hatua hutolewa wakati mstari huu unavuka mduara na radius 1.$

6)$\left(2,\frac{5π}{6}\right)$

7)$\left(1,\frac{π}{2}\right)$

Jibu: $Katika ndege ya kuratibu polar, ray hutolewa kutoka kwa alama ya asili π/2 na hatua hutolewa wakati mstari huu unavuka mduara na radius 1.$

Katika mazoezi 8 - 11, fikiria grafu ya polar hapa chini. Kutoa seti mbili za kuratibu polar kwa kila hatua.

$Ndege ya kuratibu polar imegawanywa katika pies 12. Point A ni inayotolewa kwenye mduara wa kwanza juu ya kwanza alizungumza juu = 0 line katika roboduara ya kwanza. Hatua B hutolewa katika roboduara ya nne kwenye mduara wa tatu na pili alizungumza chini ya mstari wa η = 0. Point C ni inayotolewa kwenye = π line kwenye mduara wa tatu. Point D ni inayotolewa kwenye mduara wa nne juu ya kwanza alizungumza chini ya = π line.$

8) Kuratibu ya uhakika A.

9) Kuratibu ya uhakika B.

Jibu: $B\left(3,\frac{−π}{3}\right) B\left(−3,\frac{2π}{3}\right)$

10) Kuratibu ya uhakika C.

11) Kuratibu ya uhakika D.

Jibu: $D\left(5,\frac{7π}{6}\right) D\left(−5,\frac{π}{6}\right)$

Katika mazoezi 12 - 17, kuratibu mstatili wa uhakika hutolewa. Kupata seti mbili ya kuratibu polar kwa uhakika katika$(0,2π]$. Pande zote hadi maeneo matatu ya decimal.

12)$(2,2)$

13)$(3,−4)$

Jibu: $(5,−0.927),\;(−5,−0.927+π)$

14)$(8,15)$

15)$(−6,8)$

Jibu: $(10,−0.927),\;(−10,−0.927+π)$

16)$(4,3)$

17)$(3,−\sqrt{3})$

Jibu: $(2\sqrt{3},−0.524),\;(−2\sqrt{3},−0.524+π)$

Katika mazoezi 18 - 24, pata kuratibu za mstatili kwa hatua iliyotolewa katika kuratibu za polar.

18)$\left(2,\frac{5π}{4}\right)$

19)$\left(−2,\frac{π}{6}\right)$

Jibu: $(−\sqrt{3},−1)$

20)$\left(5,\frac{π}{3}\right)$

21)$\left(1,\frac{7π}{6}\right)$

Jibu: $\left(−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{−1}{2}\right)$

22)$\left(−3,\frac{3π}{4}\right)$

23)$\left(0,\frac{π}{2}\right)$

Jibu: $(0,0)$

24)$(−4.5,6.5)$

Katika mazoezi 25 - 29, onyesha kama grafu za equation ya polar ni sawa na heshima na$x$ -axis,$y$ -axis, au asili.

25)$r=3\sin(2θ)$

Jibu: Ulinganifu kwa heshima ya x -axis, y -axis, na asili.

26)$r^2=9\cos θ$

27)$r=\cos\left(\frac{θ}{5}\right)$

Jibu: Symmetric kwa heshima na x -axis tu.

28)$r=2\sec θ$

29)$r=1+\cos θ$

Jibu: Ulinganifu kwa heshima na x -axis tu.

Katika mazoezi 30 - 33, kuelezea grafu ya kila equation polar. Thibitisha kila maelezo kwa kugeuza katika equation mstatili.

30)$r=3$

31)$θ=\frac{π}{4}$

Jibu: Line$y=x$

32)$r=\sec θ$

33)$r=\csc θ$

Jibu: $y=1$

Katika mazoezi 34 - 36, kubadilisha equation mstatili kwa fomu polar na mchoro grafu yake.

34)$x^2+y^2=16$

35)$x^2−y^2=16$

Jibu

Hyperbola; fomu ya polar$r^2\cos(2θ)=16$ au$r^2=16\sec θ.$

$Hyperbola yenye vipeo katika (-4, 0) na (4, 0), ya kwanza inayoelezea katika quadrants II na III na ya pili inayoelezea katika quadrants I na IV.$

36)$x=8$

Katika mazoezi 37 - 38, kubadilisha equation mstatili kwa fomu polar na mchoro grafu yake.

37)$3x−y=2$

Jibu

$r=\frac{2}{3\cos θ−\sin θ}$

$Mstari wa moja kwa moja na mteremko 3 na y kukatiza -1.$

38)$y^2=4x$

Katika mazoezi 39 - 43, kubadilisha equation polar kwa fomu mstatili na mchoro grafu yake.

39)$r=4\sin θ$

40)$x^2+y^2=4y$

Jibu: $Mduara wa radius 2 na kituo cha saa (2, π/2).$

41)$r=6\cos θ$

42)$r=θ$

Jibu

$x\tan\sqrt{x^2+y^2}=y$

$ond kuanzia katika asili na kuvuka η = π/2 kati ya 1 na 2, η = π kati ya 3 na 4, η = 3π/2 kati ya 4 na 5, η = 0 kati ya 6 na 7, η = π/2 kati ya 7 na 8, na π = π kati ya 9 na 10.$

43)$r=\cot θ\csc θ$

Katika mazoezi 44 - 54, mchoro grafu ya equation polar na kutambua ulinganifu wowote.

44)$r=1+\sin θ$

Jibu

$y$-mhimili ulinganifu

$Cardioid na sehemu ya juu ya moyo katika asili na wengine wa cardioid oriented up.$

45)$r=3−2\cos θ$

46)$r=2−2\sin θ$

Jibu

$y$-mhimili ulinganifu

$Cardioid na sehemu ya juu ya moyo katika asili na wengine wa cardioid oriented chini.$

47)$r=5−4\sin θ$

48)$r=3\cos(2θ)$

Jibu

$x$$y$-na-axis ulinganifu na ulinganifu kuhusu pole

$Waridi wenye petali nne zinazofikia kiwango chao cha mbali zaidi kutoka asili kwa = 0, π/2, π, na 3π/2.$

49)$r=3\sin(2θ)$

50)$r=2\cos(3θ)$

Jibu: $x$-mhimili ulinganifu
$Rose yenye petals tatu zinazofikia kiwango chao cha mbali zaidi kutoka asili katika = 0, 2π/3, na 4π/3.$

51)$r=3\cos\left(\frac{θ}{2}\right)$

52)$r^2=4\cos\left(\frac{2}{θ}\right)$

Jibu

$x$$y$-na-axis ulinganifu na ulinganifu kuhusu pole

$Ishara ya infinity yenye hatua ya kuvuka katika asili na kwa kiwango cha mbali zaidi cha petals mbili kuwa saa η = 0 na π.$

53)$r^2=4\sin θ$

54)$r=2θ$

Jibu: hakuna ulinganifu
$Ond inayoanza katika asili kuvuka mstari η = π/2 kati ya 3 na 4, η = π kati ya 6 na 7, η = 3π/2 kati ya 9 na 10, η = 0 kati ya 12 na 13, η = π/2 kati ya 15 na 16, na π = π kati ya 18 na 19.$

55) [T] Grafu ya$r=2\cos(2θ)\sec(θ).$ inaitwa strophoid. Tumia matumizi ya graphing ili mchoro grafu, na, kutoka kwenye grafu, tambua asymptote.

56) [T] Matumizi graphing shirika na mchoro grafu ya$r=\dfrac{6}{2\sin θ−3\cos θ}$.

Jibu: mstari
$Mstari unaovuka mhimili y kwa takribani 3 na ina mteremko takribani 3/2.$

57) [T] Tumia matumizi ya graphing kwa grafu$r=\frac{1}{1−\cos θ}$.

58) [T] Tumia teknolojia ya grafu$r=e^{\sin(θ)}−2\cos(4θ)$.

Jibu: $Sura ya kijiometri inayofanana na kipepeo yenye mabawa makubwa katika quadrants ya kwanza na ya pili, mbawa ndogo katika quadrants ya tatu na ya nne, mwili pamoja na mstari = π/2 na miguu pamoja na mistari η = 0 na π.$

59) [T] Tumia teknolojia ya kupanga njama$r=\sin(\frac{3θ}{7})$ (tumia muda$0≤θ≤14π$).

60) Bila kutumia teknolojia, mchoro safu ya polar$θ=\frac{2π}{3}$.

Jibu: $Mstari wenye = 120°.$

61) [T] Tumia matumizi ya graphing ili kupanga njama$r=θ\sin θ$$−π≤θ≤π$.

62) [T] Tumia teknolojia ya kupanga njama$r=e^{−0.1θ}$$−10≤θ≤10.$

Jibu: $Ond ambayo huanza katika quadrant ya tatu.$

63) [T] Kuna Curve inayojulikana kama “Black Hole.” Tumia teknolojia ya kupanga njama$r=e^{−0.01θ}$$−100≤θ≤100$.

64) [T] Tumia matokeo ya matatizo mawili yaliyotangulia kuchunguza grafu za$r=e^{−0.001θ}$ na$r=e^{−0.0001θ}$ kwa$|θ|>100$.

Jibu: Majibu hutofautiana. Uwezekano mmoja ni mistari ya ond kuwa karibu pamoja na idadi ya ongezeko la spirals.