8.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 8.1

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Katika mazoezi ya 1 - 7, tambua utaratibu wa kila equation tofauti.

1)\(y′+y=3y^2\)

Jibu: Amri ya kwanza

2)\((y′)^2=y′+2y\)

3)\(y'''+y''y′=3x^2\)

Jibu: Mpangilio wa 3

4)\(y′=y''+3t^2\)

5)\(\dfrac{dy}{dt}=t\)

Jibu: Amri ya kwanza

6)\(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d^2y}{dx^2}=3x^4\)

7)\(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+8\dfrac{dy}{dt}+3y=4t\)

Jibu: Amri ya kwanza

Katika mazoezi ya 8 - 17, hakikisha kwamba kazi iliyotolewa ni suluhisho la usawa tofauti uliotolewa.

8)\(y=\dfrac{x^3}{3}\quad\) hutatua\(\quad y′=x^2\)

9)\(y=2e^{−x}+x−1\quad\) hutatua\(\quad y′=x−y\)

10)\(y=e^{3x}−\dfrac{e^x}{2}\quad\) hutatua\(\quad y′=3y+e^x\)

11)\(y=\dfrac{1}{1−x}\quad\) hutatua\(\quad y′=y^2\)

12)\(y=\dfrac{e^{x^2}}{2}\quad\) hutatua\(\quad y′=xy\)

13)\(y=4+\ln x\quad\) hutatua\(\quad xy′=1\)

14)\(y=3−x+x\ln x\quad\) hutatua\(\quad y′=\ln x\)

15)\(y=2e^x−x−1\quad\) hutatua\(\quad y′=y+x\)

16)\(y=e^x+\dfrac{\sin x}{2}−\dfrac{\cos x}{2}\quad\) hutatua\(\quad y′=\cos x+y\)

17)\(y=πe^{−\cos x}\quad\) hutatua\(\quad y′=y\sin x\)

Katika mazoezi 18 - 27, thibitisha ufumbuzi wa jumla uliopewa na kupata suluhisho fulani.

18) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(y′=4x^2\) unaopita\((−3,−30)\), kutokana na kwamba\(y=C+\dfrac{4x^3}{3}\) ni suluhisho la jumla.

19) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(y′=3x^3\) unaopita\((1,4.75)\), kutokana na kwamba\(y=C+\dfrac{3x^4}{4}\) ni suluhisho la jumla.

Jibu: \(y=4+\dfrac{3x^4}{4}\)

20) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(y′=3x^2y\) unaopita\((0,12)\), kutokana na kwamba\(y=Ce^{x^3}\) ni suluhisho la jumla.

21) Pata suluhisho fulani kwa usawa tofauti\(y′=2xy\) unaopita\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\), kutokana na kwamba\(y=Ce^{x^2}\) ni suluhisho la jumla.

Jibu: \(y=\frac{1}{2}e^{x^2}\)

22) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(y′=\big(2xy\big)^2\) unaopita\(\left(1,−\frac{1}{2}\right)\), kutokana na kwamba\(y=−\dfrac{3}{C+4x^3}\) ni suluhisho la jumla.

23) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(y′x^2=y\) unaopita\(\left(1,\frac{2}{e}\right)\), kutokana na kwamba\(y=Ce^{−1/x}\) ni suluhisho la jumla.

Jibu: \(y=2e^{−1/x}\)

24) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(8\dfrac{dx}{dt}=−2\cos(2t)−\cos(4t)\) unaopita\((π,π)\), kutokana na kwamba\(x=C−\frac{1}{8}\sin(2t)−\frac{1}{32}\sin(4t)\) ni suluhisho la jumla.

25) Pata suluhisho maalum kwa usawa tofauti\(\dfrac{du}{dt}=\tan u\) unaopita\(\left(1,\frac{π}{2}\right)\), kutokana na kwamba\(u=\sin^{−1}\big(e^{C+t}\big)\) ni suluhisho la jumla.

Jibu: \(u=\sin^{−1}\big(e^{−1+t}\big)\)

26) Pata suluhisho fulani kwa usawa tofauti\(\dfrac{dy}{dt}=e^{t+y}\) unaopita\((1,0)\), kutokana na kwamba\(y=−\ln(C−e^t)\) ni suluhisho la jumla.

27) Kupata ufumbuzi maalum kwa equation tofauti\(y′(1−x^2)=1+y\) kwamba hupita kupitia\((0,−2),\) kutokana na kwamba\(y=C\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\) ni suluhisho la jumla.

Jibu: \(y=−\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\)

Katika mazoezi 28 - 37, pata suluhisho la jumla kwa usawa tofauti.

28)\(y′=3x+e^x\)

29)\(y′=\ln x+\tan x\)

Jibu: \(y=C−x+x\ln x−\ln(\cos x)\)

30)\(y′=\sin x e^{\cos x}\)

31)\(y′=4^x\)

Jibu: \(y=C+\dfrac{4^x}{\ln 4}\)

32)\(y′=\sin^{−1}(2x)\)

33)\(y′=2t\sqrt{t^2+16}\)

Jibu: \(y=\frac{2}{3}\sqrt{t^2+16}\big(t^2+16\big)+C\)

34)\(x′=\coth t+\ln t+3t^2\)

35)\(x′=t\sqrt{4+t}\)

Jibu: \(x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}\big(3t^2+4t−32\big)+C\)

36)\(y′=y\)

37)\(y′=\dfrac{y}{x}\)

Jibu: \(y=Cx\)

Katika mazoezi 38 - 42, tatua matatizo ya thamani ya awali kuanzia\(y(t=0)=1\) na\(y(t=0)=−1.\) Chora ufumbuzi wote kwenye grafu moja.

38)\(\dfrac{dy}{dt}=2t\)

39)\(\dfrac{dy}{dt}=−t\)

Jibu: \(y=1−\dfrac{t^2}{2},\)na\(y=−\dfrac{t^2}{2}−1\)

40)\(\dfrac{dy}{dt}=2y\)

41)\(\dfrac{dy}{dt}=−y\)

Jibu: \(y=e^{−t}\)na\(y=−e^{−t}\)

42)\(\dfrac{dy}{dt}=2\)

Katika mazoezi 43 - 47, tatua matatizo ya thamani ya awali kuanzia\(y_0=10\). Wakati gani\(y\) huongeza\(100\) au kushuka kwa\(1\)?

43)\(\dfrac{dy}{dt}=4t\)

Jibu: \(y=2(t^2+5),\)Lini\(t=3\sqrt{5},\)\(y\) itaongeza kwa\(100\).

44)\(\dfrac{dy}{dt}=4y\)

45)\(\dfrac{dy}{dt}=−2y\)

Jibu: \(y=10e^{−2t},\)Lini\(t=−\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{10}\right),\)\(y\) itapungua kwa\(1\).

46)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{4t}\)

47)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{−4t}\)

Jibu: \(y=\frac{1}{4}(41−e^{−4t}),\)Wala hali kamwe kutokea.

Kumbuka kwamba familia ya ufumbuzi ni pamoja na ufumbuzi wa equation tofauti ambayo inatofautiana na mara kwa mara. Kwa mazoezi 48 - 52, tumia calculator yako kuunda familia ya ufumbuzi wa equation tofauti iliyotolewa. Tumia hali ya awali kutoka\(y(t=0)=−10\) kwa\(y(t=0)=10\) kuongezeka kwa\(2\). Je, kuna hatua muhimu ambapo tabia ya suluhisho huanza kubadilika?

48) [T]\(y′=y(x)\)

49) [T]\(xy′=y\)

Jibu: Suluhisho hubadilika kutoka kuongezeka hadi kupungua kwa\(y(0)=0\).

50) [T]\(y′=t^3\)

51) [T]\(y′=x+y\) (Kidokezo:\(y=Ce^x−x−1\) ni suluhisho la jumla)

Jibu: Suluhisho hubadilika kutoka kuongezeka hadi kupungua kwa\(y(0)=0\).

52) [T]\(y′=x\ln x+\sin x\)

53) Kupata ufumbuzi wa jumla kuelezea kasi ya mpira wa wingi\(1\) lb kwamba ni kutupwa zaidi kwa kiwango cha\(a\) ft/sec.

Jibu: \(v(t)=−32t+a\)

54) Katika tatizo lililotangulia, ikiwa kasi ya awali ya mpira iliyopigwa hewa ni\(a=25\) ft/s, andika suluhisho fulani kwa kasi ya mpira. Kutatua kupata muda wakati mpira hits chini.

55) Wewe kutupa vitu viwili\(m_1\) na raia tofauti na\(m_2\) zaidi katika hewa na kasi sawa ya awali ya\(a\) ft/s. ni tofauti katika kasi yao baada ya\(1\) pili nini?

Jibu: \(0\)ft/s

56) [T] Unatupa mpira wa\(1\) kilo kilo zaidi na kasi ya\(a=25\) m/s kwenye Mars, ambapo nguvu ya mvuto ni\(g=−3.711\) m/s ². Matumizi calculator yako kwa takriban kiasi gani tena mpira ni katika hewa juu ya Mars.

57) [T] Kwa tatizo la awali, kutumia calculator yako kwa takriban kiasi gani juu mpira akaenda Mars.

Jibu: \(4.86\)mita

58) [T] Gari kwenye barabara kuu huharakisha kulingana na\(a=15\cos(πt),\) wapi\(t\) hupimwa kwa masaa. Weka na kutatua equation tofauti ili kuamua kasi ya gari ikiwa ina kasi ya awali ya\(51\) mph. Baada ya\(40\) dakika ya kuendesha gari, kasi ya dereva ni nini?

59) [T] Kwa gari katika tatizo iliyotangulia, kupata usemi kwa umbali gari ina alisafiri katika muda\(t\), kuchukua umbali wa awali wa\(0\). Inachukua muda gani gari kusafiri\(100\) maili? Pindua jibu lako kwa masaa na dakika.

Jibu: \(x=50t−\frac{15}{π^2}\cos(πt)+\frac{3}{π^2},2\)masaa\(1\) dakika

60) [T] Kwa tatizo la awali, kupata umbali jumla alisafiri katika saa ya kwanza.

61) Mbadala\(y=Be^{3t}\) katika\(y′−y=8e^{3t}\) kupata ufumbuzi fulani.

Jibu: \(y=4e^{3t}\)

62) Mbadala\(y=a\cos(2t)+b\sin(2t)\) katika\(y′+y=4\sin(2t)\) kupata ufumbuzi fulani.

63) Mbadala\(y=a+bt+ct^2\) katika\(y′+y=1+t^2\) kupata ufumbuzi fulani.

Jibu: \(y=1−2t+t^2\)

64) Mbadala\(y=ae^t\cos t+be^t\sin t\) katika\(y′=2e^t\cos t\) kupata ufumbuzi fulani.

65) Tatua\(y′=e^{kt}\) na hali ya awali\(y(0)=0\)\(y′=1\) na kutatua kwa hali hiyo ya awali. Kama\(k\) mbinu\(0\), unaona nini?

Jibu: \(y=\frac{1}{k}(e^{kt}−1)\)na\(y=t\)