7.6E: Mazoezi ya Sehemu ya 7.6
- Page ID
- 178853
Katika mazoezi ya 1 - 5, takriban integrals zifuatazo kwa kutumia utawala wa midpoint, utawala wa trapezoidal, au utawala wa Simpson kama ilivyoonyeshwa. (Majibu ya pande zote kwa maeneo matatu ya decimal.)
1) utawala wa\( \displaystyle ∫^2_1\frac{dx}{x};\) trapezoidal;\( n=5\)
- Jibu
- \( 0.696\)
2) utawala wa\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)
3) utawala wa\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) Simpson;\( n=6\)
- Jibu
- \( 9.279\)
4) utawala wa\( \displaystyle ∫^{12}_0x^2\;dx;\) midpoint;\( n=6\)
5) utawala wa\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) midpoint;\( n=3\)
- Jibu
- \( 0.500\)
6) Tumia utawala wa midpoint na migawanyiko nane ili kukadiria\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)
7) Tumia utawala wa trapezoidal na migawanyiko minne ili kukadiria\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)
- Jibu
- \( T_4=18.75\)
8) Pata thamani halisi ya\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\) Kupata hitilafu ya makadirio kati ya thamani halisi na thamani iliyohesabiwa kwa kutumia utawala wa trapezoidal na migawanyiko minne. Chora grafu ili kuonyesha.
Takriban muhimu kwa maeneo manne ya decimal kwa kutumia utawala ulioonyeshwa.
9) utawala wa\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)
- Jibu
- \( 0.5000\)
10) utawala wa\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)
11) utawala wa\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) Simpson;\( n=6\)
- Jibu
- \( 1.1614\)
12) utawala wa\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) trapezoidal;\( n=4\)
13) utawala wa\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) Simpson;\( n=4\)
- Jibu
- \(0.6577\)
14) utawala wa\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) trapezoidal;\( n=4\)
15) utawala wa\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) Simpson;\( n=4\)
- Jibu
- \(0.0213\)
16) utawala wa\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) trapezoidal;\(n=4\)
17) utawala wa\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) Simpson;\(n=4\)
- Jibu
- \(1.5629\)
18) Tathmini\( \displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1+x^2}\) hasa na uonyeshe kwamba matokeo ni\( π/4\). Kisha, tafuta thamani ya takriban ya muhimu kwa kutumia utawala wa trapezoidal na\( n=4\) mgawanyiko. Tumia matokeo ya takriban thamani ya\( π\).
19) Takriban\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) kutumia utawala wa midpoint na migawanyiko minne hadi sehemu nne za decimal.
- Jibu
- \( 1.9133\)
20) Takriban\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) kutumia utawala wa trapezoidal na mgawanyiko nane hadi sehemu nne za decimal.
21) Tumia utawala wa trapezoidal na migawanyiko minne\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx\) ili kukadiria maeneo manne ya decimal.
- Jibu
- \( T(4)=0.1088\)
22) Tumia utawala wa trapezoidal na migawanyiko minne ili kukadiria\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx.\) kulinganisha thamani hii na thamani halisi na kupata makadirio ya makosa.
23) Kutumia utawala wa Simpson na migawanyiko minne, tafuta\( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx.\)
- Jibu
- \( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx\approx \quad 1.0\)
24) Onyesha kwamba thamani halisi ya\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e}\). Pata hitilafu kabisa ikiwa unakaribia muhimu kwa kutumia utawala wa midpoint na migawanyiko 16.
25) Kutokana na\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e},\) matumizi ya utawala wa trapezoidal na mgawanyiko 16 ili takriban muhimu na kupata kosa kamili.
- Jibu
- Hitilafu takriban ni\( 0.000325.\)
26) Pata kifungo cha juu kwa kosa katika kukadiria\( \displaystyle ∫^3_0(5x+4)\;dx\) kutumia utawala wa trapezoidal na hatua sita.
27) Pata kifungo cha juu kwa kosa katika kukadiria\( \displaystyle ∫^5_4\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) kutumia utawala wa trapezoidal na mgawanyiko saba.
- Jibu
- \( \frac{1}{7938}\)
28) Kupata juu amefungwa kwa makosa katika kukadiria\( \displaystyle ∫^3_0(6x^2−1)\;dx\) kutumia utawala Simpson na\( n=10\) hatua.
29) Kupata juu amefungwa kwa makosa katika kukadiria\( \displaystyle ∫^5_2\frac{1}{x−1}\;dx\) kutumia utawala Simpson na\( n=10\) hatua.
- Jibu
- \( \frac{81}{25,000}\)
30) Kupata juu amefungwa kwa makosa katika kukadiria\( \displaystyle ∫^π_02x\cos(x)\;dx\) kutumia utawala Simpson na hatua nne.
31) Tathmini idadi ya chini ya vipindi vinavyohitajika ili takriban muhimu\( \displaystyle ∫^4_1(5x^2+8)\;dx\) na ukubwa wa kosa la chini ya 0.0001 kwa kutumia utawala wa trapezoidal.
- Jibu
- \( 475\)
32) Tambua thamani ya n kama utawala wa trapezoidal\( \displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^2}\;dx\) utakaribia na kosa la zaidi ya 0.01.
33) Tathmini idadi ya chini ya vipindi vinahitajika ili takriban muhimu\( \displaystyle ∫^3_2(2x^3+4x)\;dx\) na kosa la ukubwa chini ya 0.0001 kwa kutumia utawala wa trapezoidal.
- Jibu
- \( 174\)
34) Tathmini idadi ya chini ya vipindi vinavyohitajika ili takriban muhimu\( \displaystyle ∫^4_3\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) na ukubwa wa kosa la chini ya 0.0001 kwa kutumia utawala wa trapezoidal.
35) Matumizi utawala Simpson na tarafa nne kwa takriban eneo chini ya uwezekano wiani kazi\( y=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=0.4\).
- Jibu
- \( 0.1544\)
36) Matumizi utawala Simpson na\( n=14\) takriban (kwa maeneo matatu decimal) eneo la mkoa imepakana na grafu ya\( y=0, x=0,\) na\( x=π/2.\)
37) Urefu wa arch moja ya curve\( y=3\sin(2x)\) hutolewa na\( L=∫^{π/2}_0\sqrt{1+36\cos^2(2x)}\;dx.\) Makadirio L kwa kutumia utawala wa trapezoidal na\( n=6\).
- Jibu
- \( 6.2807\)
38) Urefu wa ellipse\( x=a\cos(t),y=b\sin(t),0≤t≤2π\) hutolewa na\( L=4a∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\cos^2(t)}dt\), ambapo e ni eccentricity ya ellipse. Tumia utawala wa Simpson na\( n=6\) migawanyiko ili kukadiria urefu wa duaradufu wakati\( a=2\) na\( e=1/3.\)
39) Tathmini eneo la uso linalozalishwa na kuzunguka pembe\( y=\cos(2x),0≤x≤\frac{π}{4}\) kuhusu mhimili wa x-axis. Tumia utawala wa trapezoidal na mgawanyiko sita.
- Jibu
- \( 4.606\)
40) Tathmini eneo la uso linalozalishwa na kuzunguka pembe\( y=2x^2, 0≤x≤3\) kuhusu x-axis. Matumizi ya utawala Simpson na\( n=6.\)
41) Kiwango cha ukuaji wa mti fulani (kwa miguu) kinatolewa na\( y=\dfrac{2}{t+1}+e^{−t^2/2},\) wapi t ni wakati kwa miaka. Tathmini ukuaji wa mti hadi mwisho wa mwaka wa pili kwa kutumia utawala wa Simpson, ukitumia vipindi viwili. (Pindua jibu kwa karibu mia moja.)
- Jibu
- \( 3.41\)ft
42) [T] Tumia calculator kwa takriban\( \displaystyle ∫^1_0\sin(πx)\;dx\) kutumia utawala midpoint na 25 migawanyiko. Compute makosa jamaa ya makadirio.
43) [T] Kutokana\( \displaystyle ∫^5_1(3x^2−2x)\;dx=100,\) takriban thamani ya muhimu hii kwa kutumia utawala midpoint na 16 migawanyiko na kuamua makosa kabisa.
- Jibu
- \( T_{16}=100.125;\)hitilafu kabisa =\( 0.125\)
44) Kutokana na kwamba tunajua Theorem ya Msingi ya Calculus, kwa nini tunataka kuendeleza mbinu za namba kwa integrals uhakika?
45) Jedwali linawakilisha kuratibu\( (x,y)\) zinazotoa mipaka ya mengi. Vitengo vya kipimo ni mita. Tumia utawala wa trapezoidal ili kukadiria idadi ya mita za mraba za ardhi iliyo katika kura hii.
| \( x\) | \( y\) | \( x\) | \( y\) |
| 0 | 125 | 600 | 95 |
| 100 | 125 | 700 | 88 |
| 200 | 120 | 800 | 75 |
| 300 | 112 | 900 | 35 |
| 400 | 90 | 1000 | 0 |
| 500 | 90 |
- Jibu
- kuhusu 89,250 m 2
46) Chagua jibu sahihi. Wakati utawala wa Simpson unatumiwa kukadiria muhimu ya uhakika, ni muhimu kwamba idadi ya partitions kuwa____
a. idadi hata
b. idadi isiyo ya kawaida
c. ama hata au idadi isiyo ya kawaida
d. nyingi ya 4
47) Jumla ya “Simpson” inategemea eneo chini ya ____.
- Jibu
- parabola
48) Fomu ya hitilafu ya utawala wa Simpson inategemea ___.
a.\( f(x)\)
b.\( f′(x)\)
c.\( f^{(4)}(x)\)
d. idadi ya hatua