Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

7.6: Ushirikiano wa namba

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Malengo ya kujifunza
  • Takriban thamani ya muhimu ya uhakika kwa kutumia sheria za midpoint na trapezoidal.
  • Kuamua hitilafu kabisa na jamaa katika kutumia mbinu ya ushirikiano wa namba.
  • Tathmini kosa kamili na jamaa kwa kutumia formula iliyofungwa na hitilafu.
  • Kutambua wakati midpoint na trapezoidal sheria juu- au underestimate thamani ya kweli ya muhimu.
  • Matumizi utawala Simpson ya takriban thamani ya muhimu uhakika kwa usahihi fulani.

Antiderivatives ya kazi nyingi ama haiwezi kuelezwa au haiwezi kuelezwa kwa urahisi katika fomu iliyofungwa (yaani, kwa suala la kazi zinazojulikana). Kwa hiyo, badala ya kutathmini integrals uhakika wa kazi hizi moja kwa moja, sisi mapumziko kwa mbinu mbalimbali za ushirikiano namba kwa takriban maadili yao. Katika sehemu hii, sisi kuchunguza kadhaa ya mbinu hizi. Kwa kuongeza, tunachunguza mchakato wa kukadiria kosa katika kutumia mbinu hizi.

Utawala wa midpoint

Mapema katika maandishi haya sisi defined muhimu uhakika wa kazi zaidi ya muda kama kikomo cha Riemann kiasi. Kwa ujumla, yoyote jumla Riemann ya kazif(x) juu ya muda[a,b] inaweza kutazamwa kama makadirio yabaf(x)dx. Kumbuka kwamba jumla ya Riemann ya kazif(x) zaidi ya muda[a,b] hupatikana kwa kuchagua kizigeu

P={x0,x1,x2,,xn}

wapia=x0<x1<x2<<xn=b

na seti

S={x1,x2,,xn}

wapixi1xixifor alli.

Jumla ya Riemann inayolinganaP na ugawaji na kuwekaS hutolewa nani=1f(xi)Δxi, ambapo urefuΔxi=xixi1, waith subinterval.

Utawala wa midpoint kwa kukadiria muhimu ya uhakika inatumia jumla ya Riemann na subspintervations ya upana sawa na midpointsmi,, ya kila subinterval badala yaxi. Rasmi, tunasema theorem kuhusu kuunganishwa kwa utawala wa midpoint kama ifuatavyo.

Utawala wa midpoint

Kudhani kwambaf(x) ni kuendelea juu ya[a,b]. Hebun kuwa integer chanya naΔx=ban. Ikiwa[a,b]n imegawanywa katika sehemu ndogo, kila urefuΔx, nami ni midpoint yaith subinterval, kuweka

Mn=ni=1f(mi)Δx.

Kishalim

Kama tunaweza kuona katika Kielelezo\PageIndex{1}, ikiwa f(x)≥0 juu [a,b], basi\displaystyle \sum^n_{i=1}f(m_i)Δx inalingana na jumla ya maeneo ya rectangles inakaribia eneo kati ya grafu ya f(x) nax -axis juu[a,b]. Grafu inaonyesha rectangles sambamba naM_4 kwa kazi isiyo ya hasi juu ya muda uliofungwa.[a,b].

Takwimu hii ni grafu ya kazi isiyo ya hasi katika quadrant ya kwanza. Kazi huongezeka na hupungua. Quadrant imegawanywa katika gridi ya taifa. Kuanzia kwenye mhimili wa x kwenye hatua iliyoandikwa = x ndogo 0, kuna mstatili uliovuliwa ambao urefu wake ni takriban urefu wa curve. X-axis ni kuongezwa na nyongeza ya msub1, x ndogo 1, m ndogo 2, x ndogo 2, m ndogo 3, x ndogo 3, m ndogo 4 na b = x ndogo 4.
Kielelezo\PageIndex{1}: Utawala wa midpoint unakaribia eneo kati ya grafu yaf(x) nax -axis kwa kuhesabu maeneo ya rectangles na midpoints ambazo zinaonyeshaf(x).
Mfano\PageIndex{1}: Using the Midpoint Rule with M_4

Tumia utawala wa midpoint ili ukadirie\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx kutumia vipindi vinne. Linganisha matokeo na thamani halisi ya hii muhimu.

Solution: Kila subinterval ina urefu Δx=\dfrac{1−0}{4}=\dfrac{1}{4}. Kwa hiyo, subintervants inajumuisha

\left[0,\tfrac{1}{4}\right],\,\left[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right],\,\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right],\, \text{and}\, \left[\tfrac{3}{4},1\right].\nonumber

midpoints ya subinternations hizi ni\left\{\frac{1}{8},\,\frac{3}{8},\,\frac{5}{8},\, \frac{7}{8}\right\}. Hivyo,

\begin{align*} M_4 &=\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{5}{8}\right)+\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{7}{8}\right) \\[4pt] &=\frac{1}{4}⋅\frac{1}{64}+\frac{1}{4}⋅\frac{9}{64}+\frac{1}{4}⋅\frac{25}{64}+\frac{1}{4}⋅\frac{49}{64}\\[4pt] &=\frac{21}{64} = 0.328125. \end{align*}

Tangu

∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3},\nonumber

makosa kabisa katika makadirio hii ni:

\left\lvert\dfrac{1}{3}−\dfrac{21}{64}\right\rvert=\dfrac{1}{192}≈0.0052, \nonumber

na tunaona kwamba utawala wa midpoint hutoa makadirio ambayo ni karibu na thamani halisi ya muhimu ya uhakika.

Mfano\PageIndex{2}: Using the Midpoint Rule with M_6

TumiaM_6 ili kukadiria urefu wa pembey=\frac{1}{2}x^2[1,4].

Suluhisho: urefu way=\frac{1}{2}x^2 juu[1,4] ni

s = ∫^4_1\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.\nonumber

Tangu\dfrac{dy}{dx}=x, hii muhimu inakuwa\displaystyle ∫^4_1\sqrt{1+x^2}\,dx.

Ikiwa[1,4] imegawanywa katika vipindi sita, basi kila subinterval ina urefuΔx=\dfrac{4−1}{6}=\dfrac{1}{2} na midpoints ya subspintervals ni\left\{\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{9}{4},\frac{11}{4},\frac{13}{4},\frac{15}{4}\right\}. Kama sisi kuwekaf(x)=\sqrt{1+x^2},

\begin{align*} M_6 &=\tfrac{1}{2}\cdot f\left(\frac{5}{4}\right)+\tfrac{1}{2}\cdot f\left(\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{9}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{11}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{13}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{15}{4}\right) \\[4pt] &≈\frac{1}{2}(1.6008+2.0156+2.4622+2.9262+3.4004+3.8810)=8.1431 \, \text{ units}. \end{align*}

Zoezi\PageIndex{1}

Tumia utawala wa midpoint na n=2 kukadiria\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx.

Kidokezo

Δx=\frac{1}{2}, \quad m_1=\frac{5}{4},\quad \text{and} \quad m_2=\frac{7}{4}.

Jibu

\dfrac{24}{35}\approx 0.685714

Utawala wa Trapezoidal

Tunaweza pia takriban thamani ya muhimu kwa kutumia trapezoids badala ya rectangles. Katika Kielelezo\PageIndex{2}, eneo chini ya Curve ni takriban na trapezoids badala ya rectangles.

Takwimu hii ni grafu ya kazi isiyo ya hasi katika quadrant ya kwanza. Kazi huongezeka na hupungua. Quadrant imegawanywa katika gridi ya taifa. Kuanzia kwenye mhimili wa x kwenye hatua iliyoandikwa = x ndogo 0, kuna trapezoids kivuli ambacho urefu wake ni takriban urefu wa curve. x-axis ni kuongezwa na nyongeza ya = x ndogo 0, x ndogo 1, x ndogo 2, x ndogo 3, na b = x ndogo 4.
Kielelezo\PageIndex{2}: Trapezoids inaweza kutumika kwa takriban eneo chini ya Curve, hivyo inakadiriwa muhimu ya uhakika.

Utawala wa trapezoidal kwa kukadiria integrals uhakika hutumia trapezoids badala ya rectangles kwa takriban eneo chini ya curve. Ili kupata ufahamu katika fomu ya mwisho ya utawala, fikiria trapezoids iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo\PageIndex{2}. Tunadhani kwamba urefu wa kila subinterval hutolewa naΔx. Kwanza, kumbuka kwamba eneo la trapezoid yenye urefuh na msingi wa urefub_1 nab_2 hutolewa na\text{Area}=\frac{1}{2}h(b_1+b_2). Tunaona kwamba trapezoid ya kwanza ina urefuΔx na sambamba besi za urefu f(x_0) na f(x_1). Hivyo, eneo la trapezoid kwanza katika Kielelezo\PageIndex{2} ni

\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_0)+f(x_1)\Big).\nonumber

Sehemu za trapezoids tatu zilizobaki ni

\dfrac{1}{2}Δx\Big(f(x_1)+f(x_2)\Big),\, \dfrac{1}{2}Δx\Big(f(x_2)+f(x_3)\Big),na \dfrac{1}{2}Δx\Big(f(x_3)+f(x_4)\Big).

Kwa hiyo,

∫^b_af(x)\,dx≈\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_0)+f(x_1)\Big)+\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_1)+f(x_2)\Big)+\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_2)+f(x_3)\Big)+\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_3)+f(x_4)\Big).\nonumber

Baada ya kuchukua sababu ya kawaida ya\frac{1}{2}Δx na kuchanganya kama maneno, tuna

∫^b_af(x)\,dx≈\frac{Δx}{2}\Big[f(x_0)+2\,f(x_1)+2\,f(x_2)+2\,f(x_3)+f(x_4)\Big].\nonumber

Kuzalisha, tunasema rasmi utawala wafuatayo.

Utawala wa Trapezoidal

Kudhani kwambaf(x) ni kuendelea juu ya[a,b]. Hebun kuwa integer chanya naΔx=\dfrac{b−a}{n}. Hebu [a,b]n kugawanywa katika sehemu ndogoΔx, kila urefu, na mwisho P=\{x_0,x_1,x_2…,x_n\}.

Kuweka

T_n=\frac{Δx}{2}\Big[f(x_0)+2\, f(x_1)+2\, f(x_2)+⋯+2\, f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]. \nonumber

Kisha,\displaystyle \lim_{n→+∞}T_n=∫^b_af(x)\,dx.

Kabla ya kuendelea, hebu tufanye uchunguzi machache kuhusu utawala wa trapezoidal. Kwanza kabisa, ni muhimu kutambua kwamba

T_n=\dfrac{1}{2}(L_n+R_n)wapi\displaystyle L_n=\sum_{i=1}^nf(x_{i−1})Δx na\displaystyle R_n=\sum_{i=1}^nf(x_i)Δx.

Hiyo ni,L_n naR_n takriban muhimu kwa kutumia mwisho wa mkono wa kushoto na wa kulia wa kila subinterval, kwa mtiririko huo. Aidha, uchunguzi wa makini wa Kielelezo\PageIndex{3} hutuongoza kufanya uchunguzi wafuatayo kuhusu kutumia sheria za trapezoidal na sheria za midpoint ili kukadiria muhimu ya kazi isiyo ya kawaida. Utawala wa trapezoidal huelekea kuzingatia thamani ya muhimu ya uhakika kwa utaratibu juu ya vipindi ambapo kazi ni concave juu na underestimate thamani ya muhimu ya uhakika kwa utaratibu juu ya vipindi ambapo kazi ni concave chini. Kwa upande mwingine, utawala wa midpoint huelekea wastani wa makosa haya kwa kiasi fulani kwa kuzingatia sehemu na kupunguza kiasi cha thamani ya muhimu ya uhakika juu ya aina hizi za vipindi. Hii inatuongoza kufikiri kwamba, kwa ujumla, utawala wa midpoint huelekea kuwa sahihi zaidi kuliko utawala wa trapezoidal.

Takwimu hii ina grafu mbili, zote mbili za kazi isiyo ya hasi katika quadrant ya kwanza. Kazi huongezeka na hupungua. Quadrant imegawanywa katika gridi ya taifa. Grafu ya kwanza, kuanzia kwenye mhimili wa x kwenye hatua iliyoandikwa = x ndogo 0, kuna trapezoids kivuli ambacho urefu wake ni takriban urefu wa curve. x-axis ni kuongezwa na nyongeza ya = x ndogo 0, xsub1, x ndogo 2, x ndogo 3, na b = x ndogo 4. Grafu ya pili ina kwenye mhimili wa x kwenye hatua iliyoandikwa = x ndogo 0. Kuna rectangles kivuli ambacho urefu wake ni takriban urefu wa curve. X-axis ni kuongezwa na nyongeza ya m ndogo 1, x ndogo 1, m ndogo 2, x ndogo 2, m ndogo 3, x ndogo 3, m ndogo 4 na b = x ndogo 4.
Takwimu: Utawala wa\PageIndex{3} trapezoidal huelekea kuwa sahihi zaidi kuliko utawala wa midpoint.
Mfano\PageIndex{3}: Using the Trapezoidal Rule

Tumia utawala wa trapezoidal kukadiria\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx kutumia subinternations nne.

Suluhisho

Mwisho wa vipindi vinajumuisha vipengele vya kuwekaP=\left\{0,\frac{1}{4},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{4},1\right\} naΔx=\frac{1−0}{4}=\frac{1}{4}. hivyo,

\ [kuanza {align*} ^1_0x^2dx &≈\ Frac {1} {2}}\ Frac {1}\ Frac {1} {4}\ Big [f (0) +2\, f\ kushoto (\ tfrac {1} {1} {1}\ haki) +2\, f\ kushoto (\ tfrac {3} {4}\ haki) +f (1)\ Big]\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {8}\ kubwa (0+2\ tfrac {1} {16} +2\ tfrac {1} {4} +2\ tfrac {9} {16} +1\ big)\4pt] &=\frac{11}{32} = 0.34375\end{align*}

Zoezi\PageIndex{2}

Tumia utawala wa trapezoidal na n=2 kukadiria\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx.

Kidokezo

WekaΔx=\dfrac{1}{2}. Mwisho wa vipindi ni vipengele vya kuwekaP=\left\{1,\frac{3}{2},2\right\}.

Jibu

\dfrac{17}{24} \approx 0.708333

Hitilafu kamili na ya Jamaa

Kipengele muhimu cha kutumia sheria hizi za makadirio ya namba lina kuhesabu kosa katika kuitumia kwa kukadiria thamani ya muhimu ya uhakika. Sisi kwanza tunahitaji kufafanua kosa kamili na kosa la jamaa.

Ufafanuzi: hitilafu kamili na jamaa

IkiwaB ni makadirio yetu ya kiasi fulani kuwa na thamani halisi yaA, basi kosa kabisa linatolewa na|A−B|.

Hitilafu ya jamaa ni kosa kama asilimia ya thamani halisi na hutolewa na\left\lvert\frac{A−B}{A}\right\rvert⋅100\%. \nonumber

Mfano\PageIndex{4}: Calculating Error in the Midpoint Rule

Tumia hitilafu kamili na ya jamaa katika makadirio ya\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx kutumia utawala wa midpoint, uliopatikana katika Mfano\PageIndex{1}.

Suluhisho: Thamani ya mahesabu ni\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3} na makadirio yetu kutoka kwa mfano niM_4=\frac{21}{64}. Hivyo, kosa kabisa linatolewa na\left\lvert\frac{1}{3}−\frac{21}{64}\right\rvert=\frac{1}{192}≈0.0052.

Hitilafu ya jamaa ni\frac{1/192}{1/3}=\frac{1}{64}≈0.015625≈1.6\%.\nonumber

Mfano\PageIndex{5}: Calculating Error in the Trapezoidal Rule

Tumia hitilafu kamili na ya jamaa katika makadirio ya\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx kutumia utawala wa trapezoidal, uliopatikana katika Mfano\PageIndex{3}.

Suluhisho: Thamani ya mahesabu ni\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3} na makadirio yetu kutoka kwa mfano niT_4=\frac{11}{32}. Hivyo, kosa kabisa linatolewa na\left\lvert\frac{1}{3}−\frac{11}{32}\right\rvert=\frac{1}{96}≈0.0104.

Hitilafu ya jamaa hutolewa na\frac{1/96}{1/3}=0.03125≈3.1\%.\nonumber

Zoezi\PageIndex{3}

Katika checkpoint mapema, sisi inakadiriwa\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx kuwa\frac{24}{35} kutumiaM_2. Thamani halisi ya muhimu hii ni\ln 2. Kutumia\frac{24}{35}≈0.6857 na\ln 2≈0.6931, kuhesabu kosa kamili na kosa la jamaa.

Kidokezo

Tumia mifano ya awali kama mwongozo.

Jibu

hitilafu kamili\approx 0.0074, na hitilafu ya jamaa\approx 1.1\%

Hitilafu mipaka kwenye Kanuni za Midpoint na Trapezoidal

Katika mifano miwili iliyopita, tuliweza kulinganisha makadirio yetu ya muhimu na thamani halisi ya muhimu; hata hivyo, hatuwezi kuwa na anasa hii. Kwa ujumla, kama sisi ni makadirio muhimu, sisi ni kufanya hivyo kwa sababu hatuwezi kukokotoa thamani halisi ya muhimu yenyewe kwa urahisi. Kwa hiyo, mara nyingi husaidia kuwa na uwezo wa kuamua juu amefungwa kwa makosa katika makadirio ya muhimu. Theorem ifuatayo hutoa mipaka ya makosa kwa sheria za midpoint na trapezoidal. Theorem inasemwa bila ushahidi.

Hitilafu mipaka kwa Kanuni za Midpoint na Trapezoidal

Hebuf(x) kuwa kazi ya kuendelea juu[a,b], kuwa na derivative ya pilif''(x) juu ya muda huu. IkiwaM ni thamani ya juu ya|f''(x)| juu[a,b], basi mipaka ya juu ya kosa katika kutumiaM_n naT_n kukadiria\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx ni

\text{Error in}\, M_n≤\frac{M(b−a)^3}{24n^2}\label{MidError}

na

\text{Error in}\, T_n≤\frac{M(b−a)^3}{12n^2} \nonumber .

Tunaweza kutumia mipaka hii kuamua thamani yan muhimu ili kuhakikisha kuwa kosa katika makadirio ni chini ya thamani maalum.

Mfano\displaystyle \PageIndex{6}: Determining the Number of Intervals to Use

Ni thamani gani yan lazima kutumika kuhakikisha kwamba makadirio ya\displaystyle ∫^1_0e^{x^2}\,dx ni sahihi kwa ndani0.01 kama sisi kutumia midpoint utawala?

Suluhisho

Tunaanza kwa kuamua thamani yaM, thamani ya juu ya |f''(x)| juu [0,1] kwa f(x)=e^{x^2}. Tangu f′(x)=2xe^{x^2}, tuna

f''(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}.\nonumber

Hivyo,

|f''(x)|=2e^{x^2}(1+2x^2)≤2⋅e⋅3=6e.\nonumber

Kutoka kwa Equation iliyofungwa na hitilafu\ref{MidError}, tuna

\text{Error in}\, M_n≤\frac{M(b−a)^3}{24n^2}≤\frac{6e(1−0)^3}{24n^2}=\frac{6e}{24n^2}.\nonumber

Sasa tunatatua usawa wafuatayo kwan:

\frac{6e}{24n^2}≤0.01.\nonumber

Hivyo,n≥\sqrt{\frac{600e}{24}}≈8.24. Tangun lazima integer kuridhisha kukosekana kwa usawa huu, uchaguzi wan=9 bila kuhakikisha kwamba

\left\lvert ∫^1_0e^{x^2}\,dx−M_n \right\rvert <0.01.\nonumber

Uchambuzi

Tunaweza kuwa kujaribiwa kwa pande zote8.24 chini na kuchaguan=8, lakini hii itakuwa sahihi kwa sababu ni lazima tuwe na integer kubwa kuliko au sawa na8.24. Tunahitaji kukumbuka kwamba makadirio ya kosa hutoa juu amefungwa tu kwa kosa. makadirio halisi inaweza, kwa kweli, kuwa makadirio bora zaidi kuliko unahitajika kwa makosa amefungwa.

Zoezi\PageIndex{4}

Matumizi Equation\ref{MidError} kupata juu amefungwa kwa makosa katikaM_4 kutumia makisio\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx.

Kidokezo

f''(x)=2,hivyoM=2.

Jibu

\dfrac{1}{192}

Simpson ya utawala

Kwa utawala wa midpoint, tulikadiria maeneo ya mikoa chini ya curves kwa kutumia rectangles. Kwa maana, sisi takriban Curve na kazi piecewise mara kwa mara. Kwa utawala wa trapezoidal, tulifikia curve kwa kutumia kazi za mstari wa kipande. Nini kama tulikuwa, badala yake, kwa takriban Curve kutumia kazi piecewise quadratic? Kwa utawala wa Simpson, tunafanya hili tu. Tunagawanya muda katika idadi hata ya vipindi, kila moja ya upana sawa. Zaidi ya jozi ya kwanza ya subspinternations sisi takriban\displaystyle ∫^{x_2}_{x_0}f(x)\,dx na\displaystyle ∫^{x_2}_{x_0}p(x)\,dx, ambapop(x)=Ax^2+Bx+C ni kazi quadratic kupita kupitia(x_0,f(x_0)), \,(x_1,f(x_1)), na(x_2,f(x_2)) (Kielelezo\PageIndex{4}). Zaidi ya jozi ya pili ya vipindi tunakaribia\displaystyle ∫^{x_4}_{x_2}f(x)\,dx na muhimu ya kazi nyingine ya quadratic inayopitia (x_2,f(x_2)), \,(x_3,f(x_3)), na Utaratibu(x_4,f(x_4)). huu unaendelea na kila jozi mfululizo wa subinternations.

Takwimu hii ina grafu mbili, zote mbili za kazi isiyo ya hasi katika quadrant ya kwanza. Kazi huongezeka na hupungua. Quadrant imegawanywa katika gridi ya taifa. Grafu ya kwanza, kuanzia kwenye mhimili wa x kwenye hatua iliyoandikwa x ndogo 0, kuna trapezoids kivuli ambacho urefu wake unawakilishwa na kazi p (x), ambayo ni safu inayofuata njia ya takriban ya grafu ya awali. x-axis ni kuongezwa na nyongeza ya x ndogo 0, x ndogo 1, x ndogo 2. Grafu ya pili ina kwenye mhimili wa x kwenye hatua iliyoandikwa x ndogo 0. Kuna mikoa ya kivuli chini ya Curve, imegawanywa na x ndogo 0, x ndogo 1, x ndogo 2, x ndogo 3, na x ndogo 4. Curve imegawanywa katika sehemu mbili tofauti juu ya maeneo ya kivuli. Sehemu hizi mbili zimeandikwa p ndogo 1 (x) na p ndogo 2 (x).
Kielelezo\PageIndex{4}: Kwa utawala wa Simpson, tunakaribia muhimu ya uhakika kwa kuunganisha kazi ya quadratic ya kipande.

Ili kuelewa formula kwamba sisi kupata kwa utawala Simpson ya, tunaanza kwa deriving formula kwa makadirio hii juu ya subinternations mbili za kwanza. Tunapopitia kupitia derivation, tunahitaji kukumbuka mahusiano yafuatayo:

f(x_0)=p(x_0)=Ax_0^2+Bx_0+C \nonumber

f(x_1)=p(x_1)=Ax_1^2+Bx_1+C \nonumber

f(x_2)=p(x_2)=Ax_2^2+Bx_2+C \nonumber

x_2−x_0=2Δx,Δx wapi urefu wa subinterval.

x_2+x_0=2x_1,tangux_1=\dfrac{(x_2+x_0)}{2}.

Hivyo,

\ [kuanza {align*} ^ {x_2} _ {x_0} f (x)\, dx &≈ ^ {x_2} _ {x_0} p (x)\, dx\\ [4pt]
&=^ {x_2} _ {x_0} (Ax ^ 2+Bx+C)\, dx\\ [4pt]
&=\ kushoto (\ frac {A} {3} x ^ 3+\ Frac {B} {2} X ^ 2+CX\ haki)\ kubwa|^ {x_2} _ {x_0} & &\ maandishi {Kupata antiderivative.}\\ [4pt]
&=\ Frac {A} {3} (x_2^3—x_0^3) +\ frac {B} {2} (x_2^2—x_0 ^ 2) +C (x_2,1x_0) & &\ maandishi {Tathmini antiderivative.}\\ [4pt]
&=\ Frac {A} {3} (x_2,1x_0) (x_2^2^2+x_0+x_0 ^ 2) +\ frac c {B} {2} (x_2—x_0) (x_2+x_0) +C (x_2—x_0)\\ [4pt]
&=\ frac {x_2,1x_0} {6}\ kubwa (2A (x_2^2+x_2+x_0+x_0 ^ 2) +3B (x_2+x__0) +6C\ Bigg) & &\ maandishi {Factor nje}\,\ frac {x_2,1x_0} {6}.\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ kubwa (Ax_2^2+Bx_2+C) + (Ax_0 ^ 2+Bx_0+C) +A (x_2^2x_2x_0+x_0^2) +2x_0 ^ 2) +2 B (x_2+x_0) +4C\ bigg) & &\ maandishi {Panga upya masharti. Kumbuka:}\ enspace Δx =\ frac {x_2,1x_0} {2}\\ [4pt]
&=\ Frac {Δx} {3}\ kubwa (f (x_2) +f (x_0) +A (x_2+x_0) ^2+2B (x_2+x_0) +4C\ kubwa) & &\ Nakala Factor {na mbadala:}\\ [4pt]
& & &\ quad f (x_2) =Ax_2 ^ 2+Bx_2+C\ enspace\ maandishi {na}\ enspace f (x_0) =Ax_0 ^ 2+Bx_0+C.\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ kubwa (f (x_2) +f (x_0) +A (2x_1) ^2+2B (2x_1) +4C\ kubwa) & &\ maandishi {mbadala}\, x_2+x_0=2x_1.\\ [4pt] & & &\ quad\ maandishi {Kumbuka:}\, x_0=2x_1.\ [4pt]
& & &\ quad\ maandishi {Kumbuka:}\, x_0=2x_1.\ [4pt] & & &\ quad\ maandishi {Kumbuka:}\, x__1 =\ frac {x_2+x_0} {2}\ enspace\ maandishi {ni midpoint.}\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ kubwa (f (x_2) +4f (x_1) +f (x_0)\ kubwa). & &\ maandishi {Panua na mbadala}\, f (x_1) =Ax_1^2+Bx_1+C.\ mwisho {align*}\]

Kama sisi takriban\displaystyle ∫^{x_4}_{x_2}f(x)\,dx kutumia njia hiyo, tunaona kwamba tuna

∫^{x_4}_{x_2}f(x)\,dx≈\frac{Δx}{3}(f(x_4)+4\,f(x_3)+f(x_2)).\nonumber

Kuchanganya makadirio haya mawili, tunapata

∫^{x_4}_{x_0}f(x)\,dx≈\frac{Δx}{3}(f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+f(x_4)).\nonumber

mfano inaendelea kama sisi kuongeza jozi ya subinternations kwa makadirio yetu. Utawala wa jumla unaweza kusema kama ifuatavyo.

Simpson ya utawala

Kudhani kwambaf(x) ni kuendelea juu ya[a,b]. Hebun kuwa chanya hata integer naΔx=\dfrac{b−a}{n}. Hebu[a,b] kugawanywa katikan subspinternations, kila urefuΔx, na endpoints katikaP=\{x_0,x_1,x_2,…,x_n\}. Set

S_n=\frac{Δx}{3}\Big[f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]. \nonumber

Kisha,

\lim_{n→+∞}S_n=∫^b_af(x)\,dx.\nonumber

Kama vile utawala wa trapezoidal ni wastani wa sheria za mkono wa kushoto na wa kulia kwa kukadiria integrals uhakika, utawala wa Simpson unaweza kupatikana kutoka midpoint na sheria trapezoidal kwa kutumia wastani mizigo. Inaweza kuonyeshwa kuwaS_{2n}=\left(\frac{2}{3}\right)M_n+\left(\frac{1}{3}\right)T_n.

Pia inawezekana kuweka amefungwa juu ya makosa wakati wa kutumia utawala Simpson kwa takriban muhimu uhakika. Waliofungwa katika kosa hutolewa na sheria ifuatayo:

Kanuni: Hitilafu imefungwa kwa Utawala Simpson ya

Hebuf(x) kuwa kazi ya kuendelea juu ya[a,b] kuwa derivative nne, f^{(4)}(x), juu ya kipindi hiki. IkiwaM ni thamani ya juu ya∣f^{(4)}(x)∣ juu[a,b], basi juu ya kufungwa kwa kosa la kutumia kwaS_n kukadiria\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx hutolewa na

\text{Error in}\, S_n≤\frac{M(b−a)^5}{180n^4}. \nonumber

Mfano\displaystyle \PageIndex{7}: Applying Simpson’s Rule 1

TumiaS_2 kwa takriban\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx. Tathmini amefungwa kwa makosa katikaS_2.

Suluhisho

Tangu[0,1] imegawanywa katika vipindi viwili, kila subinterval ina urefuΔx=\frac{1−0}{2}=\frac{1}{2}. Mwisho wa vipindi hivi ni\left\{0,\frac{1}{2},1\right\}. Kama sisi kuwekaf(x)=x^3, basi

S_2=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{2}(f(0)+4\,f(\frac{1}{2})+f(1))=\frac{1}{6}(0+4⋅\frac{1}{8}+1)=\frac{1}{4}.\nonumber

Tangu f^{(4)}(x)=0 na hivyoM=0, tunaona kwamba

Hitilafu katikaS_2≤\frac{0(1)^5}{180⋅2^4}=0.

Hii amefungwa inaonyesha kwamba thamani kupatikana kwa njia ya utawala Simpson ni halisi. Angalia haraka kuthibitisha kwamba, kwa kweli,\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}.

Mfano\displaystyle \PageIndex{8}: Applying Simpson’s Rule 2

TumiaS_6 kukadiria urefu wa curvey=\frac{1}{2}x^2 juu[1,4].

Suluhisho

Urefu way=\frac{1}{2}x^2 juu[1,4] ni\displaystyle ∫^4_1\sqrt{1+x^2}\,dx. Ikiwa[1,4] tunagawanyika katika vipindi sita, basi kila subinterval ina urefuΔx=\frac{4−1}{6}=\frac{1}{2}, na mwisho wa vipindi ni \left\{1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4\right\}. Kuweka f(x)=\sqrt{1+x^2},

S_6=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{2}(f(1)+4f(\frac{3}{2})+2f(2)+4f(\frac{5}{2})+2f(3)+4f(\frac{7}{2})+f(4)).\nonumber

Baada ya kubadilisha, tuna

S_6=\frac{1}{6}(1.4142+4⋅1.80278+2⋅2.23607+4⋅2.69258+2⋅3.16228+4⋅3.64005+4.12311)≈8.14594\,\text{units}. \nonumber

Zoezi\PageIndex{5}

TumiaS_2 kukadiria\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx.

Kidokezo

S_2=\frac{1}{3}Δx\left(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right) \nonumber

Jibu

\frac{25}{36} \approx 0.694444


Dhana muhimu

  • Tunaweza kutumia ushirikiano wa namba ili kukadiria maadili ya integrals ya uhakika wakati fomu imefungwa ya muhimu ni vigumu kupata au wakati thamani ya takriban tu ya muhimu ya uhakika inahitajika.
  • Mbinu za kawaida zinazotumiwa kwa ushirikiano wa namba ni utawala wa midpoint, utawala wa trapezoidal, na utawala wa Simpson.
  • Utawala wa midpoint unakaribia muhimu kwa kutumia mikoa ya mstatili ambapo utawala wa trapezoidal unakaribia muhimu kwa kutumia makadirio ya trapezoidal.
  • utawala Simpson ya approximates muhimu uhakika na kwanza makadirio ya kazi ya awali kwa kutumia kazi piecewise quadratic.

Mlinganyo muhimu

  • Utawala wa midpoint

\displaystyle M_n=\sum^n_{i=1}f(m_i)Δx

  • Trapezoidal utawala

T_n=\frac{Δx}{2}\Big[f(x_0)+2\,f(x_1)+2\,f(x_2)+⋯+2\,f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]

  • utawala Simpson

S_n=\frac{Δx}{3}\Big[f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+4\,f(x_5)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]

  • Hitilafu imefungwa kwa utawala wa midpoint

Hitilafu katikaM_n≤\dfrac{M(b−a)^3}{24n^2}, wapiM thamani ya|f''(x)| juu ya zaidi[a,b].

  • Hitilafu imefungwa kwa utawala wa trapezoidal

Hitilafu katikaT_n≤\dfrac{M(b−a)^3}{12n^2}, wapiM thamani ya|f''(x)| juu ya zaidi[a,b].

  • Hitilafu kufungwa kwa utawala Simpson ya

Hitilafu katikaS_n≤\dfrac{M(b−a)^5}{180n^4}, wapiM thamani ya∣f^{(4)}(x)∣ juu ya zaidi[a,b].


faharasa

hitilafu kabisa
ikiwaB ni makadirio ya kiasi fulani kuwa na thamani halisi yaA, basi kosa kabisa linatolewa na |A−B|
utawala wa katikati
sheria ambayo inatumia jumla ya Riemann ya fomu\displaystyle M_n=\sum^n_{i=1}f(m_i)Δx, wapi m_i midpoint yai^{\text{th}} subinterval kwa takriban\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx
ushirikiano wa namba
mbinu mbalimbali za namba zinazotumiwa kukadiria thamani ya muhimu ya uhakika, ikiwa ni pamoja na utawala wa midpoint, utawala wa trapezoidal, na utawala wa Simpson
kosa la jamaa
makosa kama asilimia ya thamani halisi, iliyotolewa na\text{relative error}=\left|\frac{A−B}{A}\right|⋅100\%\nonumber
utawala Simpson
sheria ambayo inakaribia\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx kutumia eneo chini ya kazi ya quadratic ya kipande.
S_nMakadirio\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx ya hutolewa naS_n=\frac{Δx}{3}\big(f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\big).\nonumber
utawala wa trapezoidal
sheria ambayo inakaribia\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx kutumia eneo la trapezoids.
T_nMakadirio\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx ya hutolewa naT_n=\frac{Δx}{2}\big(f(x_0)+2\, f(x_1)+2\, f(x_2)+⋯+2\, f(x_{n−1})+f(x_n)\big).\nonumber

Wachangiaji na Majina

  • Template:ContribOpenStaxCalc
  • Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College). Notes added to development of area under a parabola and typos fixed in original text.