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6.4E: Mazoezi ya Sehemu ya 6.4

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Kwa mazoezi 1 - 3, pata urefu wa kazi juu ya muda uliopewa.

    1)\( y=5x\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=2\)

    Jibu
    \(s = 2\sqrt{26}\)vitengo

    2)\( y=−\frac{1}{2}x+25\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=4\)

    3)\( x=4y\) kutoka\( y=−1\) kwa\( y=1\)

    Jibu
    \( s = 2\sqrt{17}\)vitengo

    4) Chagua kazi ya mstari wa kiholela\( x=g(y)\) juu ya muda wowote wa uchaguzi wako\( (y_1,y_2).\) Kuamua urefu wa kazi na kisha kuthibitisha urefu ni sahihi kwa kutumia jiometri.

    5) Kupata eneo la uso wa kiasi yanayotokana wakati Curve\( y=\sqrt{x}\) mhusisha\(x\) -axis kutoka\( (1,1)\) kwa\( (4,2)\), kama inavyoonekana hapa.

    Jibu
    \(A = \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−5\sqrt{5})\)vitengo 2

    6) Kupata eneo la uso wa kiasi yanayotokana wakati Curve\( y=x^2\) inahusu\(y\) -axis kutoka\( (1,1)\) kwa\( (3,9)\).

    Kwa mazoezi 7 - 16, tafuta urefu wa kazi za\(x\) zaidi ya muda uliopewa. Kama huwezi kutathmini muhimu hasa, kutumia teknolojia ya takriban yake.

    7)\( y=x^{3/2}\) kutoka\( (0,0)\) kwa\( (1,1)\)

    Jibu
    \(s= \frac{13\sqrt{13}−8}{27}\)vitengo

    8)\( y=x^{2/3}\) kutoka\( (1,1)\) kwa\( (8,4)\)

    9)\( y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=1\)

    Jibu
    \(s= \frac{4}{3}\)vitengo

    10)\( y=\frac{1}{3}(x^2−2)^{3/2}\) kutoka\( x=2\) kwa\( x=4\)

    11) [T]\( y=e^x\) juu\( x=0\) ya\( x=1\)

    Jibu
    \(s \approx 2.0035\)vitengo

    12)\( y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{4x}\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=3\)

    13)\( y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=2\)

    Jibu
    \(s= \frac{123}{32}\)vitengo

    14)\( y=\dfrac{2x^{3/2}}{3}−\dfrac{x^{1/2}}{2}\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=4\)

    15)\( y=\frac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=2\)

    Jibu
    \(s=10\)vitengo

    16) [T]\( y=\sin x\) juu\( x=0\) ya\( x=π\)

    Kwa mazoezi 17 - 26, tafuta urefu wa kazi za\(y\) zaidi ya muda uliopewa. Kama huwezi kutathmini muhimu hasa, kutumia teknolojia ya takriban yake.

    17)\( y=\dfrac{5−3x}{4}\) kutoka\( y=0\) kwa\( y=4\)

    Jibu
    \(s= \frac{20}{3}\)vitengo

    18)\( x=\frac{1}{2}(e^y+e^{−y})\) kutoka\( y=−1\) kwa\( y=1\)

    19)\( x=5y^{3/2}\) kutoka\( y=0\) kwa\( y=1\)

    Jibu
    \(s= \frac{1}{675}(229\sqrt{229}−8)\)vitengo

    20) [T]\( x=y^2\) kutoka\( y=0\) kwa\( y=1\)

    21)\( x=\sqrt{y}\) kutoka\( y=0\) kwa\( y=1\)

    Jibu
    \(s= \frac{1}{8}(4\sqrt{5}+\ln(9+4\sqrt{5}))\)vitengo

    22)\( x=\frac{2}{3}(y^2+1)^{3/2}\) kutoka\( y=1\) kwa\( y=3\)

    23) [T]\( x=\tan y\) kutoka\( y=0\) kwa\( y=\frac{3}{4}\)

    Jibu
    \(s \approx 1.201\)vitengo

    24) [T]\( x=\cos^2y\) kutoka\( y=−\frac{π}{2}\) kwa\( y=\frac{π}{2}\)

    25) [T]\( x=4^y\) kutoka\( y=0\) kwa\( y=2\)

    Jibu
    \(s \approx 15.2341\)vitengo

    26) [T]\( x=\ln(y)\) juu\( y=\dfrac{1}{e}\) ya\( y=e\)

    Kwa mazoezi 27 - 34, tafuta eneo la uso wa kiasi kilichozalishwa wakati curves zifuatazo zinahusu\(x\) -axis. Kama huwezi kutathmini muhimu hasa, kutumia calculator yako kwa takriban yake.

    27)\( y=\sqrt{x}\) kutoka\( x=2\) kwa\( x=6\)

    Jibu
    \(A= \frac{49π}{3}\)vitengo 2

    28)\( y=x^3\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=1\)

    29)\( y=7x\) kutoka\( x=−1\) kwa\( x=1\)

    Jibu
    \(A = 70π\sqrt{2}\)vitengo 2

    30) [T]\( y=\frac{1}{x^2}\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=3\)

    31)\( y=\sqrt{4−x^2}\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=2\)

    Jibu
    \(A = 8π\)vitengo 2

    32)\( y=\sqrt{4−x^2}\) kutoka\( x=−1\) kwa\( x=1\)

    33)\( y=5x\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=5\)

    Jibu
    \(A = 120π\sqrt{26}\)vitengo 2

    34) [T]\( y=\tan x\) kutoka\( x=−\frac{π}{4}\) kwa\( x=\frac{π}{4}\)

    Kwa mazoezi 35 - 42, tafuta eneo la uso wa kiasi kilichozalishwa wakati curves zifuatazo zinahusu\(y\) -axis. Kama huwezi kutathmini muhimu hasa, kutumia calculator yako kwa takriban yake.

    35)\( y=x^2\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=2\)

    Jibu
    \(A= \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−1)\)vitengo 2

    36)\( y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=1\)

    37)\( y=x+1\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=3\)

    Jibu
    \(A = 9\sqrt{2}π\)vitengo 2

    38) [T]\( y=\dfrac{1}{x}\) kutoka\( x=\dfrac{1}{2}\) kwa\( x=1\)

    39)\( y=\sqrt[3]{x}\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=27\)

    Jibu
    \(A = \frac{10\sqrt{10}π}{27}(73\sqrt{73}−1)\)vitengo 2

    40) [T]\( y=3x^4\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=1\)

    41) [T]\( y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) kutoka\( x=1\) kwa\( x=3\)

    Jibu
    \(A \approx 25.645\)vitengo 2

    42) [T]\( y=\cos x\) kutoka\( x=0\) kwa\( x=\frac{π}{2}\)

    43) Msingi wa taa hujengwa kwa kuzunguka mduara wa robo\( y=\sqrt{2x−x^2}\) karibu na\(y\) -axis kutoka\( x=1\) kwa\( x=2\), kama inavyoonekana hapa. Unda muhimu kwa eneo la uso wa curve hii na uifanye.

    Jibu
    \(A = 2π\)vitengo 2

    44) Bonde la taa ni nyanja yenye radius\(1/2\) katika. na chini iliyokatwa ili kufaa hasa kwenye silinda ya radius\(1/4\) katika. na urefu\(1/3\) ndani., kama inavyoonekana hapa. Sifa hiyo imekatwa chini ili kufanana hasa kwenye silinda, hivyo radius ya kukata\(1/4\) iko. Pata eneo la uso (sio pamoja na juu au chini ya silinda).

    45) [T] Lampshade ni ujenzi kwa kupokezana\( y=1/x\) kuzunguka\(x\) -mhimili kutoka\( y=1\) kwa\( y=2\), kama inavyoonekana hapa. Kuamua ni kiasi gani nyenzo ungependa haja ya kujenga hii lampshade-yaani, eneo uso-sahihi kwa sehemu nne decimal.

    Jibu
    \(10.5017\)vitengo 2

    46) [T] Nanga huvuta nyuma ya mashua kufuatana na kazi\( y=24e^{−x/2}−24\), ambapo\( y\) inawakilisha kina chini ya mashua na\( x\) ni umbali usawa wa nanga kutoka nyuma ya mashua. Kama nanga ni\( 23\) ft chini ya mashua, ni kiasi gani kamba una kuvuta kufikia nanga? Piga jibu lako kwa maeneo matatu ya decimal.

    47) [T] Wewe ni kujenga daraja kwamba span\( 10\) ft. Una nia ya kuongeza kamba mapambo katika sura ya\( y=5|\sin((xπ)/5)|\), ambapo\( x\) ni umbali katika miguu kutoka mwisho mmoja wa daraja. Jua ni kiasi gani cha kamba unachohitaji kununua, kilichozunguka kwa mguu wa karibu.

    Jibu
    \( 23\)ft

    Kwa zoezi 48, pata urefu halisi wa arc kwa matatizo yafuatayo juu ya muda uliopewa.

    48)\( y=\ln(\sin x)\) kutoka\( x=\frac{π}{4}\) kwa\( x=\frac{3π}{4}\). (Kidokezo: Kumbuka utambulisho wa trigonometric.)

    49) Chora grafu ya\(y=x^2, y=x^6\), na\(y=x^{10}\). Kwa\( y=x^n\), kama\( n\) ongezeko, fanya utabiri juu ya urefu wa arc kutoka\( (0,0)\) kwa\( (1,1)\). Sasa, compute urefu wa kazi hizi tatu na kuamua kama utabiri wako ni sahihi.

    Jibu
    \(2\)

    50) Linganisha urefu wa parabola\(x=y^2\) na mstari\(x=by\) kutoka\((0,0)\) kwa\((b^2,b)\) kama\(b\) ongezeko. Unaona nini?

    51) Tatua kwa urefu wa\(x=y^2\) kutoka\((0,0)\) hadi\((1,1)\). Onyesha kwamba\( x=\dfrac{y^2}{2}\) kutoka\((0,0)\) hadi\((2,2)\) ni mara mbili kwa muda mrefu. Grafu kazi zote mbili na kuelezea kwa nini hii ndivyo ilivyo.

    Jibu
    Majibu inaweza kutofautiana

    52) [T] Ambayo ni tena kati ya\((1,1)\) na\(\left(2,\frac{1}{2}\right)\): hyperbola\(y=\dfrac{1}{x}\) au graph ya\(x+2y=3\)?

    53) Eleza kwa nini eneo la uso halipunguki wakati\(y=1/x\) linazungushwa karibu na\(x\) -axis kwa\( 1≤x<∞,\) lakini kiasi ni cha mwisho.

    Jibu
    Kwa habari zaidi, angalia Pembe ya Gabriel.