6.3E: Mazoezi ya Sehemu ya 6.3

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178300

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kwa mazoezi ya 1 - 6, pata kiasi kilichozalishwa wakati eneo kati ya curves mbili linazungushwa karibu na mhimili uliopewa. Tumia njia zote za shell na njia ya washer. Tumia teknolojia ya kuchora kazi na kuteka kipande cha kawaida kwa mkono.

1) [T] Zaidi ya Curve ya$ y=3x,$$x=0,$ na$ y=3$ kuzungushwa karibu$y$ -axis.

2) [T] Chini ya Curve ya$ y=3x,$$x=0$, na$ x=3$ kuzungushwa kuzunguka$y$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni mstari y=3x. Chini ya mstari na juu ya x-axis kuna eneo la kivuli. Eneo limepakana upande wa kulia kwa x=3.$

$V = 54π$vitengo ³

3) [T] Zaidi ya Curve ya$ y=3x,$$x=0$, na$ y=3$ kuzungushwa kuzunguka$x$ -axis.

4) [T] Chini ya Curve ya$ y=3x,$$x=0,$ na$ x=3$ kuzungushwa karibu$x$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni mstari y=3x. Chini ya mstari na juu ya x-axis kuna eneo la kivuli. Eneo limepakana upande wa kulia kwa x=3.$

$V = 81π$vitengo ³

5) [T] Chini ya Curve ya$ y=2x^3,\;x=0,$ na$ x=2$ kuzungushwa karibu$y$ -axis.

6) [T] Chini ya Curve ya$ y=2x^3,\;x=0,$ na$ x=2$ kuzungushwa karibu$x$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni kuongezeka Curve y = 2x^ 3. Chini ya pembe na juu ya x-axis kuna eneo la kivuli. Eneo limepakana upande wa kulia kwa x=2.$

$V = \frac{512π}{7}$vitengo ³

Kwa mazoezi ya 7 - 16, tumia shells ili kupata kiasi cha solids zilizopewa. Kumbuka kuwa mikoa iliyozungushwa iko kati ya pembe na$x$ -axis na imezungushwa karibu na$y$ -axis.

7)$ y=1−x^2,$$x=0,$ na$ x=1$

8)$ y=5x^3,$$x=0$, na$ x=1$

Jibu: $V = 2π$vitengo ³

9)$ y=\dfrac{1}{x},$$x=1,$ na$ x=100$

10)$ y=\sqrt{1−x^2},$$x=0$, na$ x=1$

Jibu: $V= \frac{2π}{3}$vitengo ³

11)$ y=\dfrac{1}{1+x^2},$$x=0$, na$ x=3$

12)$ y=\sin x^2,x=0$, na$ x=\sqrt{π}$

Jibu: $V= 2π$vitengo ³

13)$ y=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}},$$x=0$, na$ x=\frac{1}{2}$

14)$ y=\sqrt{x},$$x=0$, na$ x=1$

Jibu: $V = \frac{4π}{5}$vitengo ³

15)$ y=(1+x^2)^3,$$x=0$, na$ x=1$

16)$ y=5x^3−2x^4,$$x=0$, na$ x=2$

Jibu: $V= \frac{64π}{3}$vitengo ³

Kwa mazoezi 17 - 26, tumia shells ili kupata kiasi kilichozalishwa na kupokezana mikoa kati ya safu iliyotolewa na$ y=0$ karibu na$x$ -axis.

17)$ y=\sqrt{1−x^2},$$x=0$, na$ x=1$

18)$ y=x^2,$$x=0$, na$ x=2$

Jibu: $V = \frac{32π}{5}$vitengo ³

19)$ y=e^x,$$x=0$, na$ x=1$

20)$ y=\ln(x),$$x=1$, na$ x=e$

Jibu: $V= π(e−2)$vitengo ³

21)$ x=\dfrac{1}{1+y^2},$$y=1$, na$ y=4$

22)$ x=\dfrac{1+y^2}{y},$$y=0$, na$ y=2$

Jibu: $V= \frac{28π}{3}$vitengo ³

23)$ x=\cos y,$$y=0$, na$ y=π$

24)$ x=y^3−4y^2,$$x=−1$, na$ x=2$

Jibu: $V= \frac{84π}{5}$vitengo ³

25)$ x=ye^y,$$x=−1$, na$ x=2$

26)$ x=e^y\cos y,$$x=0$, na$ x=π$

Jibu: $V = e^ππ^2$vitengo ³

Kwa mazoezi 27 - 36, pata kiasi kilichozalishwa wakati eneo kati ya curves linazungushwa karibu na mhimili uliopewa.

27)$ y=3−x$,,$y=0$$x=0$, na$ x=2$ kuzungushwa karibu na$y$ -axis.

28)$ y=x^3$,,$y=0$$x=0$, na$ y=8$ kuzungushwa karibu na$y$ -axis.

Jibu: $ V=\frac{64π}{5}$vitengo ³

29)$ y=x^2,$$y=x,$ kuzungushwa karibu$y$ -axis.

30)$ y=\sqrt{x},$$x=0$, na$ x=1$ kuzungushwa karibu na mstari$ x=2.$

Jibu: $V=\frac{28π}{15}$vitengo ³

31)$ y=\dfrac{1}{4−x},$$x=1,$ na$ x=2$ kuzungushwa karibu na mstari$ x=4$.

32)$ y=\sqrt{x}$ na$ y=x^2$ kuzungushwa karibu na$y$ -axis.

Jibu: $V=\frac{3π}{10}$vitengo ³

33)$ y=\sqrt{x}$ na$ y=x^2$ kuzungushwa karibu na mstari$ x=2$.

34)$ x=y^3,$$y=\dfrac{1}{x},$$x=1$, na$ y=2$ kuzungushwa karibu na$x$ -axis.

Jibu: $ \frac{52π}{5}$vitengo ³

35)$ x=y^2$ na$ y=x$ kuzungushwa karibu na mstari$ y=2$.

36) [T] Kushoto ya$ x=\sin(πy)$, haki ya$ y=x$, karibu$y$ -mhimili.

Jibu: $V \approx 0.9876$vitengo ³

Kwa mazoezi 37 - 44, tumia teknolojia ya kuchora kanda. Tambua njia gani unayofikiri itakuwa rahisi kutumia ili kuhesabu kiasi kilichozalishwa wakati kazi inapozungushwa karibu na mhimili maalum. Kisha, tumia njia yako iliyochaguliwa ili kupata kiasi.

37) [T]$ y=x^2$ na$ y=4x$ kuzungushwa kuzunguka$y$ -axis.

38) [T]$ y=\cos(πx),y=\sin(πx),x=\frac{1}{4}$, na$ x=\frac{5}{4}$ kuzungushwa kuzunguka$y$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu. Kwenye grafu ni curves mbili, y=cos (pi mara x) na y=sin (pi mara x). Wao ni pembe za mara kwa mara zinazofanana na mawimbi Curves huingiliana katika quadrant ya kwanza na pia quadrant ya nne. Kanda kati ya pointi mbili za makutano ni kivuli.$

$V = 3\sqrt{2}$vitengo ³

39) [T]$ y=x^2−2x,\; x=2,$ na$ x=4$ kuzungushwa kuzunguka$y$ -axis.

40) [T]$ y=x^2−2x,\; x=2,$ na$ x=4$ kuzungushwa kuzunguka$x$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni parabola y=x ^ 2-2x. Chini ya pembe na juu ya x-axis kuna eneo la kivuli. Eneo linaanza saa x=2 na umepakana na haki katika x=4.$

$V= \frac{496π}{15}$vitengo ³

41) [T]$ y=3x^3−2,\; y=x$, na$ x=2$ kuzungushwa kuzunguka$x$ -axis.

42) [T]$ y=3x^3−2,\; y=x$, na$ x=2$ kuzungushwa kuzunguka$y$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Kuna curves mbili kwenye grafu. Curve ya kwanza ni y=3x^2-2 na Curve ya pili ni y=x. kati ya curves kuna kanda kivuli. Eneo linaanza saa x=1 na umefungwa kwa haki katika x=2.$

$ V = \frac{398π}{15}$vitengo ³

43) [T]$ x=\sin(πy^2)$ na$ x=\sqrt{2}y$ kuzungushwa kuzunguka$x$ -axis.

44) [T]$ x=y^2,\; x=y^2−2y+1$, na$ x=2$ kuzungushwa kuzunguka$y$ -axis.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu. Kuna curves mbili kwenye grafu. Curve kwanza ni x=y ^ 2-2y+1 na ni parabola ufunguzi wa kulia. Curve pili ni x=y ^ 2 na ni parabola ufunguzi wa kulia. Kati ya curves kuna eneo la kivuli. Eneo la kivuli limepakana na haki katika x=2.$

$ V =15.9074$vitengo ³

Kwa mazoezi 45 - 51, tumia njia ya shells ili takriban kiasi cha vitu vingine vya kawaida, ambavyo vinaonyeshwa katika takwimu zinazoongozana.

45) Tumia njia ya shells kupata kiasi cha nyanja ya radius$ r$.

$Takwimu hii ina picha mbili. kwanza ni mduara na radius r. pili ni mpira wa kikapu.$

46) Tumia njia ya shells kupata kiasi cha koni na radius$ r$ na urefu$ h$.

$Takwimu hii ina picha mbili. Ya kwanza ni koni ya kichwa-chini na r radius na urefu h. pili ni koni ice cream.$

Jibu: $V = \frac{1}{3}πr^2h$vitengo ³

47) Tumia njia ya shells ili kupata kiasi cha ellipse$ (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1$ kilichozungushwa karibu na$x$ -axis.

$Takwimu hii ina picha mbili. Ya kwanza ni duaradufu yenye umbali usio na usawa kutoka katikati hadi makali na b umbali wa wima kutoka katikati hadi makali ya juu. Ya pili ni watermelon.$

48) Tumia njia ya shells kupata kiasi cha silinda na radius$ r$ na urefu$ h$.

$Takwimu hii ina picha mbili. Ya kwanza ni silinda yenye r radius na urefu h. pili ni mshumaa cylindrical.$

Jibu: $V= πr^2h$vitengo ³

49) Tumia njia ya shells ili kupata kiasi cha donut kilichoundwa wakati mduara$ x^2+y^2=4$ umezungushwa karibu na mstari$ x=4$.

$Takwimu hii ina picha mbili. Ya kwanza ina ellipses mbili, moja ndani ya nyingine. Radi ya njia kati yao ni vitengo 2. Ya pili ni donut.$

50) Fikiria kanda iliyoambatanishwa na grafu ya$ y=f(x),\; y=1+f(x),\; x=0,\; y=0,$ na$ x=a>0$. Je! Ni kiasi gani cha imara kilichozalishwa wakati mkoa huu umezungushwa karibu na$y$ -axis? Fikiria kwamba kazi hufafanuliwa zaidi ya muda$ [0,a]$.

Jibu: $ V=πa^2$vitengo ³

51) Fikiria kazi$ y=f(x)$, ambayo inapungua kutoka$ f(0)=b$ kwa$ f(1)=0$. Weka integrals kwa kuamua kiasi, kwa kutumia njia zote za shell na njia ya disk, ya imara yanayotokana wakati eneo hili, pamoja$ x=0$ na$ y=0$, linazungushwa karibu na$y$ -axis. Thibitisha kwamba njia zote mbili zinakaribia kiasi sawa. Njia ipi ni rahisi kutumia? (Kidokezo: Kwa kuwa$ f(x)$ ni moja kwa moja, kuna inverse$ f^{−1}(y)$.)

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc