2.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 2.1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178945

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Kwa mazoezi 1 - 3, pointi\(P(1,2)\) na\(Q(x,y)\) ni kwenye grafu ya kazi\(f(x)=x^2+1\).

1) [T] Kukamilisha meza ifuatayo na maadili sahihi:\(y\) -kuratibu ya\(Q\), uhakika\(Q(x,y)\), na mteremko wa mstari secant kupita kwa njia ya pointi\(P\) na\(Q\). Piga jibu lako kwa tarakimu nane muhimu.

\(x\)	\(y\)	\(Q(x,y)\)	\(m_{sec}\)
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 1.1	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">a.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.01	\ (y\)” style="Nakala-align:katikati; ">b.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">f.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 1.001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">c.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">g.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">k.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.0001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">d.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">h.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">l.

Jibu: a. 2.2100000
b. 2.0201000
c. 2.0020010
d. 2.0002000
e. (1.1000000, 2.2100000)
f. (1.0100000, 2.0201000)
g. (1.0010000, 2.0020010)
h. (1.0001000, 2.0002000)
i. 1000000
m. 2.0100000
k. 2.0010000
l. 2.0001000

2) Tumia maadili katika safu ya haki ya meza katika zoezi la awali ili nadhani thamani ya mteremko wa mstari wa tangent hadi\(f\) saa\(x=1\).

3) Tumia thamani katika zoezi lililotangulia ili kupata usawa wa mstari wa tangent wakati\(P\). Grafu\(f(x)\) na mstari wa tangent.

Jibu: \(y=2x\)

Kwa mazoezi 4-6, pointi\(P(1,1)\) na\(Q(x,y)\) ni kwenye grafu ya kazi\(f(x)=x^3\).

4) [T] Kukamilisha meza ifuatayo na maadili sahihi:\(y\) -kuratibu ya\(Q\), uhakika\(Q(x,y)\), na mteremko wa mstari secant kupita kwa njia ya pointi\(P\) na\(Q\). Piga jibu lako kwa tarakimu nane muhimu.

\(x\)	\(y\)	\(Q(x,y)\)	\(m_{sec}\)
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 1.1	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">a.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.01	\ (y\)” style="Nakala-align:katikati; ">b.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">f.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 1.001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">c.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">g.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">k.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.0001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">d.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">h.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">l.2

5) Tumia maadili katika safu ya haki ya meza katika zoezi la awali ili nadhani thamani ya mteremko wa mstari wa tangent hadi\(f\) saa\(x=1\).

Jibu: \(3\)

6) Tumia thamani katika zoezi lililotangulia ili kupata equation ya mstari wa tangent wakati\(P\). Grafu\(f(x)\) na mstari wa tangent.

Kwa mazoezi 7 - 9, pointi\(P(4,2)\) na\(Q(x,y)\) ni kwenye grafu ya kazi\(f(x)=\sqrt{x}\).

7) [T] Kukamilisha meza ifuatayo na maadili sahihi:\(y\) -kuratibu ya\(Q\), uhakika\(Q(x,y)\), na mteremko wa mstari secant kupita kwa njia ya pointi\(P\) na\(Q\). Piga jibu lako kwa tarakimu nane muhimu.

\(x\)	\(y\)	\(Q(x,y)\)	\(m_{sec}\)
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 4.1	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">a.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 4.01	\ (y\)” style="Nakala-align:katikati; ">b.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">f.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 4.001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">c.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">g.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">k.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 4.0001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">d.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">h.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">l.

Jibu: a. 2.0248457
b. 2.0024984
c. 2.0002500
d. 2.0000250
e. (4.1000000,2.0248457)
f. (4.0100000,2.0024984)
g. (4.0010000,2.000,2.0002500)
h. (4.00010000,2.0000250)
i. 24845673
j. 0.24984395
k. 0.24998438
l. 0.24999844

8) Tumia maadili katika safu ya haki ya meza katika zoezi la awali ili nadhani thamani ya mteremko wa mstari wa tangent hadi\(f\) saa\(x=4\).

9) Tumia thamani katika zoezi lililotangulia ili kupata equation ya mstari wa tangent wakati\(P\).

Jibu: \(y=\frac{x}{4}+1\)

Kwa mazoezi 10 - 12, pointi\(P(1.5,0)\) na\(Q(ϕ,y)\) ni kwenye grafu ya kazi\(f(ϕ)=\cos(πϕ)\).

10) [T] Kukamilisha meza ifuatayo na maadili sahihi:\(y\) -kuratibu ya\(Q\), uhakika\(Q(ϕ,y)\), na mteremko wa mstari secant kupita kwa njia ya pointi\(P\) na\(Q\). Piga jibu lako kwa tarakimu nane muhimu.

\(x\)	\(y\)	\(Q(ϕ,y)\)	\(m_{sec}\)
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> 1.4	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">a.	\ (Q (, y)\)” style="text-align:katikati; ">e.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.49	\ (y\)” style="Nakala-align:katikati; ">b.	\ (Q (, y)\)” style="text-align:katikati; ">f.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.499	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">c.	\ (Q (, y)\)” style="text-align:katikati; ">g.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">k.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> 1.4999	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">d.	\ (Q (, y)\)” style="text-align:katikati; ">h.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">l.

11) Tumia maadili katika safu ya haki ya meza katika zoezi la awali ili nadhani thamani ya mteremko wa mstari wa tangent kwa f at\(ϕ=1.5\).

Jibu: \( π \)

12) Tumia thamani katika zoezi lililotangulia ili kupata equation ya mstari wa tangent wakati\(P\).

Kwa mazoezi 13 - 15, pointi\(P(−1,−1)\) na\(Q(x,y)\) ni kwenye grafu ya kazi\(f(x)=\frac{1}{x}\).

13) [T] Kukamilisha meza ifuatayo na maadili sahihi:\(y\) -kuratibu ya\(Q\), uhakika\(Q(x,y)\), na mteremko wa mstari secant kupita kwa njia ya pointi\(P\) na\(Q\). Piga jibu lako kwa tarakimu nane muhimu.

\(x\)	\(y\)	\(Q(x,y)\)	\(m_{sec}\)
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> -1.05	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">a.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">e.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> -1.01	\ (y\)” style="Nakala-align:katikati; ">b.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">f.	\ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="Nakala-align:katikati; "> -1.005	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">c.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">g.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">k.
\ (x\)” style="text-align:katikati; "> -1.001	\ (y\)” style="text-align:katikati; ">d.	\ (Q (x, y)\)” style="text-align:katikati; ">h.	\ (m_ {sec}\)” style="Nakala-align:katikati; ">l.

Jibu: a. -0.95238095
b. -0.99009901
c. -0.99502488
d. -0.99900100
e. (-1; .0500000, -0; .95238095)
f. (-1; .0100000, -0; .99099901)
g. (-1; .0050000, -0; .99502488)
h.. (1.0010000, -0; .99900100)
i. -0.95238095
j. -0.99009901
k. -0.99502488
l. -0.99900100

14) Tumia maadili katika safu ya haki ya meza katika zoezi la awali ili nadhani thamani ya mteremko wa mstari wa tangent hadi\(f\) saa\(x=−1\).

15) Tumia thamani katika zoezi lililotangulia ili kupata equation ya mstari wa tangent kwa uhakika\(P\).

Jibu: \(y=−x−2\)

Kwa mazoezi 16 - 17, kazi ya nafasi ya mpira imeshuka kutoka juu ya jengo la urefu wa mita 200 hutolewa na\(s(t)=200−4.9t^2\), ambapo nafasi\(s\) inapimwa kwa mita na wakati\(t\) hupimwa kwa sekunde. Piga jibu lako kwa tarakimu nane muhimu.

16) [T] Kokokotoa kasi ya wastani wa mpira juu ya vipindi kupewa muda.

a. [4.99,5]

b. [5,5.01]

c. [4.999,5]

d. [5,5.001]

17) Tumia zoezi la awali ili nadhani kasi ya papo hapo ya mpira kwa\(t=5\) sec.

Jibu: \(−49\)m/sec (kasi ya mpira ni 49 m/sec chini)

Kwa mazoezi 18 - 19, fikiria jiwe lililopigwa ndani ya hewa kutoka ngazi ya chini na kasi ya awali ya 15 m/sec. Urefu wake katika mita kwa wakati t sekunde ni\(h(t)=15t−4.9t^2\).

18) [T] Compute kasi ya wastani ya jiwe juu ya vipindi kupewa muda.

a. [1,1.05]

b. [1,1.01]

c. [1,1.005]

d. [1,1.001]

19) Tumia zoezi la awali ili nadhani kasi ya haraka ya jiwe kwa\(t=1\) sec.

Jibu: \(5.2\)m/sec

Kwa mazoezi 20 - 21, fikiria risasi ya roketi ndani ya hewa ambayo inarudi duniani. Urefu wa roketi katika mita hutolewa na\(h(t)=600+78.4t−4.9t^2\), ambapo\(t\) hupimwa kwa sekunde.

20) [T] Kokokotoa kasi ya wastani wa roketi juu ya vipindi kupewa muda.

a. [9,9.01]

b. [8.99,9]

c. [9,9.001]

d. [8.999,9]

21) Matumizi ya zoezi kabla ya nadhani kasi instantaneous ya roketi katika\(t=9\) sec.

Jibu: \(-9.8\)m/sec

Kwa mazoezi, fikiria mwanariadha anayeendesha dash 40-m. Msimamo wa mwanariadha hutolewa na\(d(t)=\frac{t^3}{6}+4t\), wapi\(d\) nafasi katika mita na\(t\) ni wakati uliopita, kipimo kwa sekunde.

22) [T] Compute kasi wastani wa mwanariadha juu ya vipindi kupewa muda.

a. [1.95,2.05]

b. [1.995,2.005]

c. [1.9995,2.0005]

d. [2,2.00001]

23) Tumia zoezi la awali ili nadhani kasi ya papo hapo ya mwanariadha kwa\(t=2\) sec.

Jibu: \(6\)m/sec

Kwa mazoezi 24 - 25, fikiria kazi\(f(x)=|x|\).

24) Mchoro grafu ya\(f\) zaidi ya muda [\(−1,2\)] na kivuli kanda juu ya\(x\) -axis.

25) Tumia zoezi la awali ili kupata thamani halisi ya eneo kati ya\(x\) -axis na grafu ya\(f\) zaidi ya muda [\(−1,2\)] kwa kutumia rectangles. Kwa rectangles, tumia vitengo vya mraba, na takriban wote juu na chini ya mistari. Tumia jiometri ili kupata jibu halisi.

Jibu: chini ya, 1\(unit^2\); zaidi: 4\(unit^2\).
Eneo halisi la pembetatu mbili ni\(\frac{1}{2}(1)(1)+\frac{1}{2}(2)(2)=2.5 units^2\).

Kwa mazoezi 26 - 27, fikiria kazi\(f(x)=\sqrt{1−x^2}\). (Kidokezo: Hii ni nusu ya juu ya mduara wa Radius 1 nafasi nzuri katika (\(0,0\)).)

26) Mchoro grafu ya f juu ya muda [\(−1,1\)].

27) Tumia zoezi la awali ili kupata eneo halisi kati ya\(x\) -axis na grafu ya\(f\) zaidi ya muda [\(−1,1\)] kwa kutumia rectangles. Kwa mstatili, tumia mraba 0.4 na vitengo 0.4, na takriban wote juu na chini ya mistari. Tumia jiometri ili kupata jibu halisi.

Jibu: Chini,\(0.96 \;\text{units}^2\); juu,\(1.92 \;\text{units}^2\)).
Eneo halisi la semicircle na radius 1 ni\(\frac{π(1)^2}{2}=\frac{π}{2} \;\text{units}^2\)

Kwa mazoezi 28 - 29, fikiria kazi\(f(x)=−x^2+1\).

28) Mchoro grafu ya\(f\) zaidi ya muda [\(−1,1\)].

29) Takriban eneo la kanda kati ya\(x\) -axis na grafu ya\(f\) zaidi ya muda [\(−1,1\)].

Jibu: Takriban\(1.3333333 \;\text{units}^2\)