9.4: Distribuição necessária para testes de hipóteses

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No início do curso, discutimos as distribuições de amostragem. Distribuições específicas estão associadas ao teste de hipóteses. Realize testes de uma média populacional usando uma distribuição normal ou uma\(t\) distribuição de Student. (Lembre-se de usar a\(t\) distribuição de Student quando o desvio padrão da população for desconhecido e a distribuição da média da amostra for aproximadamente normal.) Realizamos testes de proporção da população usando uma distribuição normal (geralmente\(n\) é grande ou o tamanho da amostra é grande).

Se você estiver testando uma única média populacional, a distribuição para o teste será para médias:

\[\bar{X} - N\left(\mu_{x}, \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right)\]

\[t_{df}\]

O parâmetro da população é\(\mu\). O valor estimado (estimativa pontual) para\(\mu\) é\(\bar{x}\), a média da amostra.

Se você estiver testando uma única proporção da população, a distribuição do teste será para proporções ou porcentagens:

\[P' - N\left(p, \sqrt{\frac{p-q}{n}}\right)\]

O parâmetro da população é\(p\). O valor estimado (estimativa pontual) para\(p\) é\(p′\). \(p' = \frac{x}{n}\)onde\(x\) é o número de sucessos e n é o tamanho da amostra.

Suposições

Quando você realiza um teste de hipótese de uma única média populacional\(\mu\) usando a\(t\) distribuição -de Student (geralmente chamada de\(t\) teste -), há suposições fundamentais que precisam ser atendidas para que o teste funcione corretamente. Seus dados devem ser uma amostra aleatória simples proveniente de uma população distribuída aproximadamente normalmente. Você usa o desvio padrão da amostra para aproximar o desvio padrão da população. (Observe que, se o tamanho da amostra for suficientemente grande, um\(t\) -test funcionará mesmo que a população não esteja aproximadamente distribuída normalmente).

Ao realizar um teste de hipótese de uma única média populacional\(\mu\) usando uma distribuição normal (geralmente chamada de\(z\) teste -), você obtém uma amostra aleatória simples da população. A população que você está testando normalmente é distribuída ou o tamanho da amostra é suficientemente grande. Você sabe o valor do desvio padrão da população que, na realidade, raramente é conhecido.

Ao realizar um teste de hipótese de uma única proporção populacional\(p\), você obtém uma amostra aleatória simples da população. Você deve atender às condições de uma distribuição binomial que são: há um certo número\(n\) de ensaios independentes, os resultados de qualquer tentativa são sucesso ou fracasso e cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso\(p\). A forma da distribuição binomial precisa ser semelhante à forma da distribuição normal. Para garantir isso, as quantidades\(np\) e\(nq\) devem ser maiores que cinco\((np > 5\)\(nq > 5)\) e. Então, a distribuição binomial de uma proporção amostral (estimada) pode ser aproximada pela distribuição normal com\(\mu = p\)\(\sigma = \sqrt{\frac{pq}{n}}\) e. Lembre-se disso\(q = 1 – p\).

Resumo

Para que os resultados de um teste de hipótese sejam generalizados para uma população, certos requisitos devem ser atendidos.

Ao testar para uma única população, a média é:

Um\(t\) teste de Student deve ser usado se os dados vierem de uma amostra simples e aleatória e a população estiver distribuída aproximadamente normalmente, ou se o tamanho da amostra for grande, com um desvio padrão desconhecido.
O teste normal funcionará se os dados vierem de uma amostra simples e aleatória e a população estiver aproximadamente distribuída normalmente, ou se o tamanho da amostra for grande, com um desvio padrão conhecido.

Ao testar uma única proporção populacional, use um teste normal para uma única proporção populacional se os dados vierem de uma amostra simples e aleatória, preencha os requisitos para uma distribuição binomial e o número médio de sucessos e o número médio de falhas satisfaçam as condições:\(np > 5\) e\(nq > 5\) onde\(n\) é o tamanho da amostra,\(p\) é a probabilidade de um sucesso e\(q\) é a probabilidade de uma falha.

Revisão da fórmula

Se não houver nenhum preconcebido\(\alpha\), use\(\alpha = 0.05\).

Tipos de testes de hipóteses

Média de população única, variância populacional conhecida (ou desvio padrão): teste normal.
Média de população única, variância populacional desconhecida (ou desvio padrão): \(t\)teste de Student.
Proporção de população única: teste normal.
Para uma única média populacional, podemos usar uma distribuição normal com a seguinte média e desvio padrão. Meios:\(\mu = \mu_{\bar{x}}\) e\(\\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\)
Uma única proporção populacional, podemos usar uma distribuição normal com a seguinte média e desvio padrão. Proporções:\(\mu = p\)\(\sigma = \sqrt{\frac{pq}{n}}\) e.

Glossário

Distribuição binomial: uma variável aleatória discreta (RV) que surge dos ensaios de Bernoulli. Há um número fixo,\(n\), de ensaios independentes. “Independente” significa que o resultado de qualquer ensaio (por exemplo, ensaio 1) não afeta os resultados dos ensaios a seguir, e todos os ensaios são conduzidos nas mesmas condições. Nessas circunstâncias, o binômio RV ÷ é definido como o número de sucessos em\(n\) ensaios. A notação é:\(X \sim B(n, p) \mu = np\) e o desvio padrão é\(\sigma = \sqrt{npq}\). A probabilidade exata de\(x\) sucesso nos\(n\) testes é\(P(X = x) = \binom{n}{x} p^{x}q^{n-x}\).

Distribuição normal: uma variável aleatória contínua (RV) com pdf\(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\), onde\(\mu\) é a média da distribuição e\(\sigma\) é o desvio padrão, notação:\(X \sim N(\mu, \sigma)\). Se\(\mu = 0\) e\(\sigma = 1\), o RV é chamado de distribuição normal padrão.

Desvio padrão: um número que é igual à raiz quadrada da variância e mede a distância entre os valores dos dados e sua média; notação:\(s\) para o desvio padrão da amostra e\(\sigma\) para o desvio padrão da população.

Distribuição t do aluno

investigado e relatado por William S. Gossett em 1908 e publicado sob o pseudônimo de Student. As principais características da variável aleatória (RV) são:

É contínuo e assume quaisquer valores reais.
O pdf é simétrico em relação à média de zero. No entanto, é mais espalhado e mais plano no ápice do que a distribuição normal.
Ele se aproxima da distribuição normal padrão à\(n\) medida que aumenta.
Existe uma “família”\(t\) de distribuições: cada representante da família é completamente definido pelo número de graus de liberdade que é um a menos do que o número de itens de dados.